CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL

Transcripción

1 ASIMOV CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL ECUACIONES HORARIAS PARA Y TIRO VERTICAL Poición en función del iepo Velocidad en función del iepo

2 ASIMOV CAÍDA LIBRE y TIRO VERTICAL Suponé que un ipo va a la venana y deja caer una coa. Una oneda, por ejeplo. Claro, el ipo iene razón. Cuando uno deja caer una coa, lo que cae, cae con MRUV. Toda coa que uno uele va a caer con una aceleración de 9,8 /. Puede er una oneda, una plua o un elefane. Si uponeo que no hay reiencia del aire, oda la coa caen con la ia aceleración. Quién decubrió eo? Obvio. Galileo. ( IDOLO! ). Ee hecho e edio raro pero e aí. En la realidad real, una plua cae á depacio que una oneda por la reiencia que opone el aire. Pero i vo acá el aire, la plua y la oneda van a ir cayendo odo el iepo juna. ( Ee e un experieno que e puede hacer). Ea aceleración con la que caen la coa hacia la Tierra e llaa aceleración de la gravedad. Se la denoina con la lera g y iepre apuna hacia abajo. En el cao de la oneda que cae yo puedo "acoar" al problea y lo que endría ería un objeo que acelera con aceleración 1 /. Vendría a er algo aí : V = a = 1 / X

3 ASIMOV CAÍDA LIBRE y TIRO VERTICAL Suponé que un ipo va a la venana y deja caer una coa. Una oneda, por ejeplo. Claro, el ipo iene razón. Cuando uno deja caer una coa, lo que cae, cae con MRUV. Toda coa que uno uele va a caer con una aceleración de 9,8 /. Puede er una oneda, una plua o un elefane. Si uponeo que no hay reiencia del aire, oda la coa caen con la ia aceleración. Quién decubrió eo? Obvio. Galileo. ( IDOLO! ). Ee hecho e edio raro pero e aí. En la realidad real, una plua cae á depacio que una oneda por la reiencia que opone el aire. Pero i vo acá el aire, la plua y la oneda van a ir cayendo odo el iepo juna. ( Ee e un experieno que e puede hacer). Ea aceleración con la que caen la coa hacia la Tierra e llaa aceleración de la gravedad. Se la denoina con la lera g y iepre apuna hacia abajo. En el cao de la oneda que cae yo puedo "acoar" al problea y lo que endría ería un objeo que acelera con aceleración 1 /. Vendría a er algo aí : V = a = 1 / X

4 ASIMOV Y i lo hubiera irado para abajo, endría velocidad inicial, e decir, eo: V a = 1 / X E decir que un problea de caída libre no e diferencia para nada de un problea de MRUV. E á, la caída libre ES un MRUV. Para reolver lo problea de caída libre o iro verical puedo aplicar lo io razonaieno y la ia ecuacione que en MRUV. Todo lo io. La única diferencia e que ane odo paaba en un eje horizonal. Ahora odo paa en un eje verical. Lo deá e igual. Vao ahora a eo. Preguna: Y qué paa con el iro verical?. Ra: Y bueno, con el iro verical e la ia hioria. Tiro verical ignifica irar una coa para arriba. Si yo acueo una iuación de iro verical, lo que voy a obener va a er eo: Piedra v ( + ) a = ( ) 1 x E decir, engo la iuación de una coa que ale con una deerinada velocidad inicial y e va frenando debido a una aceleración negaiva. Y eo qué e? Ra: Y bueno, e un oviieno recilíneo uniforeene variado. Si hiciera un equea oando un eje verical y, endría algo aí:

5 ASIMOV SISTEMA DE REFERENCIA PIEDRA Concluión: Tano la caída libre coo el iro verical on cao de oviieno recilíneo uniforeene variado. Lo problea e pienan de la ia anera y e reuelven de la ia anera. La ecuacione on la ia. Lo gráfico on lo io. Caída libre y iro verical no on un ea nuevo, on ólo la aplicación del ea anerior. El que abe MRUV, abe caída libre y iro verical. ( Sólo que no abe que lo abe ). CÓMO RESOLVER PROBLEMAS DE CAÍDA LIBRE y TIRO VERTICAL 1 - Hago un equea de lo que paa. Sobre ee equea oo un eje verical y. Ee eje lo puedo poner apunando para arriba o para abajo ( coo á e convenga ) Puede er algo aí: SIGNOS EN UN TIRO VERTICAL Sobre ee equea arco lo enido de V y de g. Si V y g apunan en el io enido del eje y, erán (+).Si alguna va al revé del eje y erá (-).( coo en el dibujo). El eje horizonal x puedo ponerlo o no. No e ua en eo problea pero e puede poner. - La aceleración del oviieno e dao. E la aceleración de la gravedad ( g ). El valor verdadero de g en La Tierra e 9,8 /. Pero generalene para lo problea e la oa coo 1 /. Para caída libre y iro verical engo iepre ecuacione: La de poición y la de velocidad. Ea ecuacione on la que engo que ecribir.tabién puedo poner la ecuación copleenaria que e puede llegar a ervir i el iepo no e dao.

6 ASIMOV y = y v f = v + g a = ce = g + v + 1 g Ecuacione Horaria v f v = g ( y y) Ec.Copleenaria f Si, por ejeplo en el dibujo V fuera 1 /, la aceleración de la gravedad fuera 1 / y la alura del edificio fuera de, la ecuacione horaria quedarían: 1 Y = Vf = a = - 1 = ce Reeplacé por lo Dao 3 - Uando la priera ecuacione horaria depejo lo que e piden. En lo problea de caída libre y T verical uelen pedire iepre la ia coa. Puede er la alura áxia (h ax ). Puede er el iepo que arda en llegar a la alura áxia. ( ax ). Puede er la velocidad inicial con la que fue lanzado. Puede er el iepo que arda en caer ( caída ). Siepre on coa por el eilo. EJEMPLO 1 : ( Tiro verical ) Un eñor ira una piedra para arriba con una velocidad inicial de 4 /. Calcular : a ) La alura áxia. b ) El iepo arda en llegar a la alura áxia. c ) -- Trazar lo gráfico de poición, velocidad y aceleración en función del iepo. Bueno, lo priero que hago e un dibujio de lo que planea el problea. Elijo i iea de referencia. En ee cao lo voy a oar poiivo para arriba. g = (-). DIBUJO SISTEMA DE REFERENCIA

7 ASIMOV La ecuacione horaria para un iro verical on : Y = Y + V y + ½ g V f y = V y + g Reeplazo por lo dao. Fijae que oé el iea de referencia para arriba. Quiere decir que g e negaiva. La voy a oar coo 1 /. Pongo el iea de referencia exacaene en la ano del ipo. Me queda: Y = + 4 / + ½ ( - 1 / ). V f = 4 / + ( - 1 / ). Fijae que cuando el cuerpo llega a la alura áxia u velocidad e cero. Enonce reeplazo V f por cero en la ecuación de la velocidad. Me queda: V f = = 4 / + ( - 1 / ). ax Depejo ax : ax 4 / = 1 / ax = 4 eg Tiepo que arda en llegar a la alura áxia Reeplazando ax = 4 egundo en la ecuación de la poición, calculo la alura áxia: Y ax = 4 /. 4 + ½ ( - 1 / ). ( 4 ) Y ax = 8 Alura áxia Para conruir lo gráfico puedo dar valore o puedo hacerlo en fora cualiaiva. Grafico cualiaivo quiere decir indicar la fora que iene in dar odo lo valore exaco. Podé hacerlo coo quiera. En ee cao quedan aí: Poición en función del iepo 4 Velocidad en función del iepo

8 ASIMOV Fijae eo: El iepo que la piedra ardó en llegar a la alura áxia dio 4 egundo. El iepo que la piedra arda en ocar el uelo da 8 egundo. ( El doble ). E eo una caualidad? Tendría anera de coprobar que el iepo que arda la piedra en caer iene que er í o í 8 egundo? ( Penarlo ) Ejeplo ( Y TIRO VERTICAL ) Un eñor eá parado a de alura. Calcular qué iepo arda y con qué velocidad oca el uelo una piedra i : a)- La deja caer. b)- La ira para abajo con V = 1 /. c)- La ira para arriba con V = 1 /. Hago un equea de lo que paa. Tengo el ipo arriba de la erraza que ira la piedra: Voy al cao a) donde el ipo deja caer la piedra. Elijo i iea de referencia y arco v y g con u igno. En ee cao V o vale cero porque la piedra e deja caer. Reeplazo por lo valore. Voy a calcular odo con g = 1 /. La ecuacione del oviieno quedan aí : Y = V f = + -1 a = - 1 = ce Ecuacione ECUACIONES HORARIAS horaria

9 ASIMOV El iepo que la piedra arda en caer lo depejo de la 1ª ecuación. Cuando la piedra oca el uelo u poición e y =. Enonce en la priera ecuación reeplazo y por cero. Me queda : = 11 5 = = 5 = eg Tiepoque arda Reeplazando ee iepo en la egunda ecuación engo la velocidad con que oca el pio : Vf = 1 eg V f = Velocidad de la piedra al ocar el uelo. El igno negaivo de V f e indica que la velocidad va en enido conrario al eje y. Siepre conviene aclarar eo. b) - La ira para abajo con V = 1 /. Too el io iea de referencia que oé ane. Eje Y poiivo verical hacia arriba. Ahora la velocidad inicial e (-) porque va al revé del eje Y. ( Aeno ). Igual que ane, cuando la piedra oca el uelo, y =. Enonce: ( y = ) = a + 1 = c Eo e una ecuación cuadráica. Fijae que e arqué lo valore de a, b y c. Enonce reeplazo lo valore de a, b y c en la fórula de la ecuación cuadráica. b

10 ASIMOV , b ± = b 4 a c a Haciendo la cuena : 1, 1 ± = 1, ±,36 = 1 ( ) = 3,36 eg 1 ; = 1,36 eg Tiepo de caida. Taché la 1ª olución porque iepo negaivo no ienen enido fíico. Ahora voy a reeplazar ee iepo de 1,36 egundo en la ora ecuación que e V f = V o + g y calculo la velocidad final. ( = al ocar el pio ). Me queda : V f = -1 / 1 /. 1,36 eg V f = -,36 / VELOCIDAD FINAL c) - Cuando el ipo la ira para arriba con V = 1 /. El igno de V o cabia. Ahora V e poiiva. Pero... Ojaldre! El igno de g NO cabia! El vecor aceleración de la gravedad igue apunando para abajo ( coo iepre ). Enonce el vecor aceleración va al revé del eje Y SU SIGNO ES NEGATIVO. La ecuacione horaria quedan: Y = + 1 / - ½ 1 / V f = 1 / - 1 / Haciendo lo io que en el cao anerior e queda 1 c ( y = ) = a = b 1, b ± = b 4 a c a

11 ASIMOV - 1-1, 1 ± = caida = 3,36 eg ( ) Igual que ane, anulé la olución negaiva porque no iene ignificado fíico. Para calcular la velocidad con que la piedra oca el pio hago: V f = 1 / - 1 / x 3,36 V f = -,36 / Ahora fijae eo: en lo cao b) y c) el iepo de caída no dio lo io. Eo e lógico. En un cao eoy irando la piedra para arriba y en el oro para abajo. Cuando la iro para arriba iene que ardar a. Pero en lo cao b) y c) la velocidad de la piedra al ocar el pio... dio lo io! ( urprie ) Hu... Eará bien eo? Eo e earía diciendo que al irar una piedra con una velocidad inicial "ve cero" para arriba o para abajo, la piedra oca el pio con la ia velocidad. ( Raro ). Podrá er eo?... Ra: Sí. No e que "puede er que ea aí". TIENE que er aí. ( Penalo ). Fin Teoría de Caída Libre y Tiro Verical

12 ASIMOV PROBLEMAS SACADOS DE PARCIALES 1) - MARCAR LAS AFIRMACIONES CORRECTAS. DESPRECIANDO LA INFLUENCIA DEL AIRE, CUANDO SE LANZA VERTICALMENTE HACIA ARRIBA UN CUERPO: a) El iepo de ubida haa la alura áxia e enor que el iepo de caída haa la poición inicial. b) La inenidad de la velocidad inicial e ayor que la inenidad de la velocidad cuando paa bajando por la ia poición inicial. c) El iepo de ubida haa la alura áxia e ayor que el iepo de caída haa la poición inicial. d) La inenidad de la velocidad inicial e igual que la inenidad de la velocidad cuando paa bajando por la ia poición inicial. e) La aceleración e un vecor verical hacia abajo cuando el cuerpo ube y hacia arriba cuando baja. f) La aceleración e la ia cuando ube y cuando baja, pero e cero en la alura áxia. g) La aceleración e la ia cuando ube, cuando baja y en la alura áxia. a y b d y e a y g b y f d y g c y f Veao alguna coa obre el iro verical: - Si depreciao el efeco del aire, la única fuerza que acúa e el peo. Enonce, la aceleración e la de la gravedad hacia abajo, en odo inane. - La ecuacione horaria para ee oviieno on: V() = V -g. y h()=v.- 1.g. Si elevao la expreión para la velocidad al cuadrado y reeplazando, llegao a: V=V -.g.h. E decir que la velocidad ólo depende de la poición: e la ia la do vece que paa por la poición inicial: cuando ube y cuando baja. Coo la aceleración e iepre la ia, el iepo que arda en frenare dede la velocidad inicial V haa (iepo de ubida) e igual al que arda en acelerare de vuela dede el repoo haa V, o ea haa la poición inicial de vuela (iepo de caída. O ea que la cobinación de repuea correca on la d y g

13 ASIMOV ) - UN PROYECTIL ES LANZADO VERTICALMENTE HACIA ARRIBA CON CIERTA VELOCIDAD INICIAL QUE LE PERMITE ALCANZAR UNA ALTURA MÁXIMA H. EN EL INSTANTE EN QUE SU VELOCIDAD SEA LA MITAD DE LA VELOCIDAD INICIAL HABRÁ ALCANZADO UNA ALTURA h TAL QUE: h = ½ H h = ¼ H h = 3/4 H h = 1/3 H h = 4/5 H h = 7/8 H SOLUCIÓN En ee problea lo dao eán odo con lera. Yo lo voy a reolver con lera. Si e reula uy coplicado podé darle valore. ( Por ejeplo, H MAX = 1 ) Hagao un dibujio. ESQUEMA DEL TIRO VERTICAL Planeo la ecuación copleenaria para la velocidad. V F V O = a ( Y F Y ) La ecuación copleenaria e de MRUV, pero un iro verical abién e un MRUV, aí que abién e puede uar. Me queda : Ahora hago alguna cuena:

14 ASIMOV ) - PARA MEDIR LA ATRACCIÓN GRAVITATORIA DE UN PLANETA SIN ATMÓSFERA SE DEJA CAER UN OBJETO DESDE CIERTA ALTURA h. ÉSTE TARDA 16 EN LLEGAR AL SUELO, CON UNA VELOCIDAD DE 4 /. ENTONCES, LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD EN ESE PLANE- TA ES, EN / : a),8 b),4 c) 5, d) 1, e) 1,5 f),5 El problea dice e deja caer. Quiere decir que e una caída caída libre, o ea, un MRUV con velocidad inicial CERO. Ecribo la ecuacione horaria, oando y =, y iea de referencia poiivo hacia abajo:.( ) h = 1. g 16 (1) y 4 = g. 16 (). Con la egunda ecuación e alcanza para calcular la aceleración de la gravedad. Éa e: g =,5 /. Enonce, la repuea correca e la f). 4 - SE DEJA CAER UNA PIEDRA A DESDE LA TERRAZA DE UN EDIFICIO. CUANDO LA PIEDRA PASA POR UNA VENTANA UBICADA A 6 POR DEBAJO DEL NIVEL DE LA TERRAZA, SE ARROJA VERTICALMENTE DESDE EL PISO OTRA PIEDRA B CON UNA VELOCIDAD INICIAL DE /. AMBAS PIEDRAS SE ENCUENTRAN CUANDO LA PIEDRA B, LLEGA A SU PUNTO MÁS ALTO. a) CUÁNTOS METROS DE ALTURA TIENE EL EDIFICIO? b) REPRESENTE LA ALTURA EN FUNCIÓN DEL TIEMPO PARA AMBAS PIEDRAS EN UN MISMO GRÁFICO, (EN Y ), TOMANDO = CUANDO PARTE LA PIEDRA (A), Y UN EJE DE REFERENCIA VERTICAL CON ORIGEN EN EL PUNTO DE PARTIDA DE LA PIEDRA (A), CON SENTIDO POSITIVO HACIA ABAJO. INDICAR EN EL GRÁFICO LOS VALORES EN TODOS LOS PUNTOS SIGNIFICATIVOS. Ee e un problea de encuenro en Caída libre y iro verical. Hay que penarlo un poco. Voy a oar iea de referencia poiivo para abajo. Priero voy a calcular el iepo que arda A en alcanzar lo 6 : y = 1. A 1

15 ASIMOV Reeplazando e: = 3,46. Calculeo la velocidad de la piedra en ea poición: v A = 1., reula: v A = 3,46 /. Ahora vao a oar coo puno de parida para A lo 6, y vao a epezar a conar el iepo dede que e ira B. Ecribo la ecuacione horaria de la piedra: y = 6 34,6 y v = 34,6 + 1 para A A A. y h 1 1 B +. = y v = + 1 para B B. El enunciado dice que la piedra e encuenran cuando B llega a u alura áxia. Significa que en el oeno del encuenro v B =. Calculeo el iepo que arda en uceder eo. Uo la egunda ecuación de B. Me da: e =. Ahora calculeo la alura a la que e encuenran, uando la priera ecuación de A: y e = 149,. Con ee dao y el del iepo de encuenro puedo calcular h. Me da: h = 169. Hago el gráfico: