MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO

Transcripción

1 MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO

2 ASIMOV MOVIMIENTO RECTLÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO Suponé un coche que etá quieto y arranca. Cada ez e uee á rápido. Priero e uee a por hora, depué a por hora, depué a 3 por hora y aí iguiendo. Su elocidad a cabiando (aría). Eto endría a er un oiiento ariado. Entonce, Pregunta: Cuándo tengo un oiiento ariado? Rta: cuando la elocidad cabia. ( O ea, aría ). Ahora, ello dicen que un oiiento e UNIFORMEMENTE ariado i la elocidad cabia lo io en cada egundo que paa. Mirá el dibujito : Cuando el tipo e al ontruo e pone a correr. Depué de egundo u elocidad e de K/h y depué de egundo e de K/h. Su elocidad etá auentando, de anera uniore, a razón de K/h por cada egundo que paa. Digo entonce que el oiiento del tipo e unioreente ariado auentando = K/h en cada t = egundo. Atención, aclaro: en íica, la palabra uniore igniica "Siepre igual, iepre lo io, iepre de la ia anera ". ACELERACIÓN ( Atento ) El concepto de aceleración e uy iportante. E la bae para poder entender bien - bien y tabién otra coa coo caída libre y tiro ertical. Entender lo que e la aceleración no e diícil. Ya tené una idea del aunto porque la palabra aceleración tabién e ua en la ida diaria. De toda anera lee con atención lo que igue y lo a a entender ejor. Fijate. En el ejeplo del ontruo alado que auta al eñor, el tipo paa de á K/h en eg. Pero podría haber paado de á K/h en un año. En ee cao etaría acelerando á depacio. Digo entonce que la aceleración e la rapidez con que etá cabiando la elocidad.

3 ASIMOV Má rápido auenta ( o diinuye ) la elocidad, ayor e la aceleración. Digao que la aceleración endría a er una edida de la "bruquedad" del cabio de elocidad. Si lo pená un rato, a a llegar a la concluión de que para tener algo que e indique qué tan rápido etá cabiando la elocidad, tengo que diidir ee cabio de elocidad por el tiepo t que tardó en producire. E decir: a = t Deinición de aceleración Suponé un auto que tiene una elocidad V en t y otra elocidad V al tiepo t : Para acar la aceleración hago : a = t t Aí e calcula la aceleración Una coa. Fijate por aor que cuando en íica e habla de aceleración, hablao de auentar o diinuir la elocidad. Lo que iporta e que la elocidad CAMBIE. ( Varíe ). Para la íica, un auto que etá renando tiene aceleración. Atención porque en la ida diaria no e ua aí la palabra aceleración. Por eo alguno chico e conunden y dicen: Pará, pará, herano. Cóo puede etar acelerando un auto que a cada ez á depacio?! Vao a un ejeplo. EJEMPLO DE Un coche que e uee con tiene en un deterinado oento una elocidad de 3 / y egundo depué una elocidad de 4 /. Calcular u aceleración. Para calcular lo que e piden aplico la deinición anterior : a = t t Entonce : 4 / 3 / a = eg a = /eg

4 ASIMOV Fijate que el reultado dio en /. Eta on la unidade de la aceleración: " etro diidido egundo diidido egundo ". Siepre e uelen poner la unidade de la aceleración en /. Pero tabién e puede uar cualquier otra unidad de longitud diidida por una unidad de tiepo al cuadrado ( coo K/h ). Ahora, pregunta: Qué igniica eto de " / "? Rta: Bueno, / lo puedo ecribir coo: } } Variación de elocidad. Interalo de tiepo. Eto de " /eg diidido egundo " e lee aí: La aceleración de ete coche e tal que u elocidad auenta etro por egundo, en cada egundo que paa ( Atención ) Un equea de la ituación ería éte: De acá quiero que ea algo iportante: Al tener una idea de lo que e la aceleración puedo decir eto ( Iportante ) : La caracterítica del oiiento unioreente ariado e jutaente que tiene aceleración contante. Otra anera de decir lo io ( y eto e e en el dibujito ) e decir que en el la elocidad auenta todo el tiepo ( o diinuye todo el tiepo ). Y que ee auento ( o diinución ) de elocidad e LINEAL CON EL TIEMPO. SIGNO DE LA ACELERACIÓN: La aceleración que tiene un objeto puede Ser (+) o (-). Eto depende de coa: Fin del ejeplo De i el tipo e etá oiendo cada ez á rápido o cada ez á depacio. De i e etá oiendo en el io entido del eje x o al reé. ( Ojaldre! ) La regla para aber el igno de la aceleración e eta: LA ACELERACIÓN ES POSITIVA CUANDO EL VECTOR ACELE- RACIÓN APUNTA EN EL MISMO SENTIDO QUE EL EJE EQUIS

5 ASIMOV Si el ector aceleración apunta al reé del eje equi, a a er negatia. La coa e que eto nunca e entiende bien y la gente uele decir: Bueno, no e tan diícil. Si el tipo a cada ez á rápido, u aceleración e poitia y i a cada ez á depacio, u aceleración e negatia. Hu... Cuidado! Eto ale olaente i el tipo e uee en el entido poitio del eje x. Si el tipo a para el otro lado, lo igno on exactaente al reé. No lo toe a al. Eto de lo igno no lo inenté yo. Todo el aunto ale de reeplazar lo alore de la elocidade en la ecuación: a = t t MATEMÁTICA: ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA En ateática, una parábola e repreentaba por la iguiente ecuación: y = a.x + b.x + c ECUACION DE UNA PARABOLA. Por ejeplo, una parábola podría er : Y = 4 x + x - 8. Dándole alore a x oy obteniendo lo alore de Y. Aí puedo contruir una tabla. Repreentando eto alore en un par de eje x-y oy obteniendo lo punto de la parábola. Eo puede dar una coa aí: La parábola puede dar á arriba:, á abajo,á a la derecha:, á a la izquierda:, á abierta: á cerrada: Puede incluo dar para a bajo: Una parábola puede dar cualquier coa, dependiendo de lo alore de a, b y c. Pero iepre tendrá ora de parábola. Atento con eto! La parábola aparecen ucho en lo problea de. E un poco largo de explicar. Pero en realidad, reoler un problea de e reoler la ecuación de una parábola. ( Una ecuación cuadrática, en realidad )

6 ASIMOV Solución de una ecuación cuadrática Se upone que eto tabién tuite que haberlo ito en ateática. Por la duda lo pongo, lo repaá un inuto y te quedá tranquilo. Una ecuación cuadrática e la ecuación de una parábola igualada a CERO. O ea, una ecuación del tipo: a X + b X + C = ECUACION CUADRATICA Por ejeplo : X - 6 X + 8 =. Lo que uno iepre buca on lo alore de equi tale que reeplazado en X - 6 X + 8 hagan que todo el choclo dé ( Cero ). Eo alore e llaan olucione de la ecuación o raíce ecuación. En ete cao, eo alore on y 4. x = x = 4 Son la raíce de la ecuación x -6x + 8 = Una ecuación cuadrática puede tener olucione ( coo en ete cao ); una ola olución ( la do raíce on iguale ), o ninguna olución ( raíce iaginaria ). Para calcular la raíce de la ecuación cuadrática e ua la iguiente órula: Con eto obtengo la olucione b ± b 4 a c x = x y x de la ec ax + bx + c =, a Para el ejeplo que pue que era X - 6 X + 8 = tengo: x 6 x + 8 = a b c Entonce: OJO x, b ± = b 4 a c a ( 6) ± = ( 6) 4 8 x 6 + = = 4 ; x 6 = = Nota: Alguna calculadora tienen ya la órula para reoler la ecuación cuadrática etida adentro. Vo poné lo alore de a, b y c. Ella te hace la cuenta y te da lo alore de la raíce X y X. ( Ta güeno )

7 ASIMOV ECUACIONES HORARIAS Y GRÁFICOS EN EL ( IMPORTANTE ) La ecuacione horaria on iepre la de poición, elocidad y aceleración en unción del tiepo. Quiero que ea cóo e repreenta cada ecuación en el. Voy a epezar por la 3ra ecuación que e á ácil de entender. 3ª Ecuación horaria ( a = (t) ) La caracterítica undaental de un oiiento unioreente ariado e que la aceleración e contante. En el la aceleración no cabia. E iepre igual. Vale iepre lo io. Eto pueto en ora ateática ería: a = Cte 3 ra Ecuación horaria El gráico correpondiente e una recta paralela al eje horizontal. O ea, algo aí: ª Ecuación horaria ( V = (t) ) Otra anera de decir que la aceleración e contante e decir que la elocidad auenta ( o diinuye ) linealente con el tiepo. Eto ale de la deinición de aceleración. Fijate. Era: a = t t Tonce, i depejo : V - V = a ( t t ) V = V + a ( t t ) Cai iepre t cero ale cero. Entonce la ecuación de la elocidad queda aí: V = V + a. t da ECUACION HORARIA Eto e la ecuación de una recta. Tiene la ora y = ee equi + be. ( Y = x + b). Acá el tiepo cuple la unción de la ariable equi. La repreentación e aí:

8 ASIMOV Por ejeplo, una ª ecuación horaria típica podría er: V = + t El tipo que e uee iguiendo la ecuación V = / + /. t alió con una elocidad inicial de / y tiene una aceleración de /. Eto lo a a entender ejor cuando ea algún ejeplo hecho con núero y cuando epiece a reoler problea. ( Coo iepre ). Ahora eguí. ra Ecuación horaria ( x = (t) ) Eta e la ecuación iportante y e la que hay que aber bien. La ecuación de la poición en unción del tiepo para el oiiento unioreente ariado e éta: X = X + V t + ½ a t ra ECUACION HORARIA. La deducción de eta ecuación porque e un poco larga. No la oy a poner acá. Puede er que ello hagan la deotración en el pizarrón. No é. De toda anera en lo libro etá. Lo que í quiero que ea e que e la ecuación de una parábola. Fijate: x y = x +.t + a = c + b x + a.. t x VER LA CORRESPONDEN- CIA DE CADA TERMINO Cada térino de la ecuación X = X + V t + ½ a t tiene u equialente en la expreión Y = a x + b x + C. La repreentación de la poición en unción del tiepo e eta: Ete dibujito lindo quiere decir ucha coa. Ello uelen decirlo aí : Ete gráico repreenta la ariación de la poición en unción del tiepo para un oiiento unioreente ariado. Ete dibujito lindo e la repreentación gráica de la unción X = x + V t + ½ a t. La ecuación no da nada á ni nada eno que la poición del óil para cualquier intante t. Eta unción e una ecuación cuadrática. ( t etá al cuadrado ). Eto e iportante porque e da una caracterítica undaental del oiiento unioreente ariado. Ea caracterítica e eta:

9 ASIMOV " EN EL LA POSICIÓN VARÍA CON EL CUADRADO DEL TIEMPO. X = ( t ). EQUIS DEPENDE DE t CUADRADO " Te decía entonce que la repreentación gráica de X = X + V t + ½ a t e una parábola. Eta parábola puede dar para la derecha, para la izquierda, uy cerrada, uy abierta... Eo a a depender de lo alore de equi cero, de e cero y de a. Ahora, el hecho de que la parábola aya para arriba o para abajo depende ÚNICA- MENTE del igno de la aceleración. Si a e ( + ), la parábola irá para arriba ( ). Si a e ( - ), la parábola irá para abajo ( ). Eto podé acordártelo de la iguiente anera: a = + a = - La parábola poitia etá contenta. La parábola negatia etá trite. Concluión: Hay que er poitio en la ida! No. Concluión: irá el iguiente ejeplo a er i lo entendé ejor: Ejeplo. Supongao que tengo la iguiente ecuación horaria para algo que e uee con :.t X = 4 +.t + Ete ería el cao de algo que alió de la poición inicial 4 con una elocidad de / y una aceleración de 4 /. ( Ojo, e 4, no. Penalo ). Para aber cóo e el gráico le oy dando alore a t y oy acando lo alore de x. E decir, oy haciendo la cuenta y oy arando una tablita. x [] t [eg] TABLA CON LOS VALO- RES DE LAS POSICIO- NES Y LOS TIEMPOS. Ahora repreento eto y e da una coa aí:

10 ASIMOV Ete gráico e la repreentación de la ra ecuación horaria. Me gutaría que notara do coa: ) - La parábola a para arriba ( ) porque a e poitia. ) - Aunque uno ea ólo un arco aí eto e una parábola. La parte que alta etaría a la izquierda y no la dibujé. La podría repreentar i le diera alore negatio a t ( coo eg, - eg, etc ). En ee cao el aunto daría aí: UN EJEMPLO DE Fin Explicación Ec. Horaria Una horiga picadoru ale de la poición X = con elocidad inicial cero y coienza a oere con aceleración a = /. a) - Ecribir la ecuacione horaria. b) - Hacer lo gráico x (t), (t) y a (t). Voy a hacer un equea de lo que paa y too un itea de reerencia: La ecuacione horaria para una coa que e uee con oiiento rectilíneo unioreente ariado on: x = x + t+ = + a t a = cte ECUACIONES HORARIAS ESCRITAS EN FORMA GENERAL. x y alen cero. Reeplazando por lo otro dato el aunto queda aí: x = + t + t = + t a = = cte Ecuacione horaria para la horiga Ahora, dando alore a t oy acando lo alore de equi y de. Hago eta tabla: a t

11 ASIMOV X t V t a t / / / 4 4 / / Teniendo la tabla puedo repreentar la ecuacione horaria. LA ECUACIÓN COMPLEMENTARIA ( leer ) Fin del Ejeplo Hay una órula á que e ua a ece para reoler lo problea. La uelen llaar ecuación copleentaria. La órula e éta: V V = a ( X X ) ECUACION COMPLEMENTARIA Eta ecuación endría a er una ezcla entre la ra y la da ecuación horaria. La deducción de eta ecuación e un poco larga. Pero te puedo explicar de dónde ale. Seguie. Ecribo la priera ecuacione horaria. Depejo t de la da y lo reeplazo en la ra. x = x + t + = + a t a t t = a REEMPLAZO Si o te toá el trabajex de reeplazar el choclazo y de hacer todo lo pao que iguen, terina quedándote la aoa ecuación copleentaria. Sobre eta ecuación e gutaría que ea alguna coita. Priero: La ecuacione horaria e llaan aí porque en ella aparece el tiepo. ( El tiepo = la hora ). La ecuación copleentaria NO e una ecuación horaria porque en ella no aparece el tiepo.

12 ASIMOV Segundo: Eta ecuación no e una nuea órula. E ezcla de la otra do ecuacione Tercero: Nunca e iprecindible uar la ecuación copleentaria para reoler un problea. Todo problea de tiene que poder reolere uando olaente la ª y la ª ecuación horaria. Lo que tiene de bueno la expreión V V = a ( X X ) e que perite hallar lo que a uno le piden in calcular el tiepo. E decir, acilita la cuenta cuando uno tiene que reoler un problea en donde el tiepo no e dato. Reuiendo: La ecuación copleentaria ahorra cuenta. Eo e todo. Ejeplo: En el problea anterior, calcular la elocidad que tiene la horiga picadoru depué de recorrer. Uando la ecuación copleentaria: = = a... ( x x ) ( ) V = VELOCIDAD FINAL Lo hago ahora in uar la ecuación copleentaria: Ecribo la ecuacione horaria: De la ª t = ecuación t = a horaria : = + a.t Tiepo que tardó la picadoru en recorrer La ª ec. horaria era : x = x + t + a t Reeplazando t por = + t + : t = = 4 4 = (eriica)

13 ASIMOV VELOCIDAD INSTANTÁNEA EN EL ( leer ) En el oiiento unioreente ariado la elocidad a cabiando todo el tiepo. La elocidad intantánea e la que tiene el tipo juto en un oento deterinado. ( = en ee intante ). El elocíetro de lo auto a arcando todo el tiepo la elocidad intantánea. VELOCIDAD INSTANTANEA Velocíetro Ahora quiero que le prete atención a una cuetión iportante. Suponé que agarro el gráico de poición en unción del tiepo y trazo la tangente a la parábola en algún lugar. La pendiente de eta recta tangente e a a dar la elocidad intantánea en ee oento. Fijate: E decir, yo tengo la parábola. Ahora lo que hago e agarrar una regla y trazar la tangente en algún punto deterinado de la cura ( por ejeplo en t = 3 eg ). Ea recta a a orar un ángulo ala y a a tener una deterinada inclinación. O ea, una deterinada pendiente. ( Pendiente = inclinación ). Midiendo ea pendiente tengo la elocidad intantánea en ee oento ( a lo 3 egundo ). E un poco largo de explicar porqué eto e aí, pero e aí. Se upone que alguna ez tendrían que habértelo explicado en ateática. ( Deriada y todo eo). De ete aunto puedo acar coo concluión que cuanto ayor ea la inclinación de la recta tangente al gráico de poición, ayor erá la elocidad del tipo en ee oento. Por aor pretale atención a eta últia rae y irá el iguiente dibujito:

14 ASIMOV La idea e que entienda eto: En el gráico la pendiente de la recta para t = eg e ayor que la pendiente de la recta para t = eg. Eto e dice la que la elocidad a lo eg e ayor que la elocidad en eg. Eto e razonable. Ete gráico repreenta a un tipo que e uee cada ez á rápido. Todo bien. Ahora, pregunto:... Cuál erá la elocidad del tipo para t =? ( ojo ) Rta: Bueno, ahí la recta tangente e horizontal ( ). Y la pendiente de una recta horizontal e CERO. Entonce la elocidad tendrá que er cero. ANÁLISIS DE LA PENDIENTE y DEL ÁREA DEL GRÁFICO = (t) Supongao que tengo un gráico cualquiera de elocidad en unción del tiepo. Por ejeplo éte: Ete gráico indica que lo que e etá oiendo alió con una elocidad inicial de 4 / y etá auentando u elocidad en /, por cada egundo que paa. Peneo: Qué obtengo i calculo la pendiente de la recta del gráico? Rta: Obtengo la aceleración. Eta aceleración ale de irar el iguiente dibujito:

15 ASIMOV En ete cao el opueto e ( la ariación de elocidad ), y el adyacente e t ( el interalo de tiepo ). De anera que, hacer la cuenta opueto obre adyacente e Hacer la cuenta delta V obre delta t ( / t ). Y eo e jutaente la aceleración! En ete cao en epecial daría aí: op 8-4 Pend = = = ady t - Pend = Aceleración Y i calculo el área que etá bajo la recta que obtengo? Veao: A er i e eguí: El área del coo aí a a er la de ete + la de ete. A = A + A b h t = b h + = t + = a t A = t + a t Eto e x - x A = x A = Epacio recorrido Recordar Ahora en el ejeplo que pue ante, el área a a er: A = A + A = eg 4 + eg ( 8 4 ) A = Epacio recorrido

16 ASIMOV LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN SON VECTORES La elocidad y la aceleración on ectore. Qué quiere decir eto? Rta: Quiere decir que puedo repreentar la elocidad y la aceleración por una lecha. Si por ejeplo, la elocidad a aí, la lecha e pone apuntando aí. La ituación del dibujito e el cao de un tipo que e uee con elocidad contante. Fijate ahora eta otra poibilidade: Lo que quiero que ea e que i el auto a para la derecha, la elocidad iepre irá para la derecha, pero la aceleración NO. ( E decir, puede que í, puede que no. Eta cuetión e iportante por lo iguiente: i la elocidad que tiene una coa a en el io entido que el eje x, ea elocidad erá ( + ). Si a al reé erá ( - ). Lo io paa con la aceleración ( y acá iene el aunto ). Fijate : Ejeplo: Un auto que iene con una elocidad de 54 K/h rena durante 3 eg con una aceleración de /. Qué ditancia recorrió en ee interalo?. Hago un equea de lo que paa. El auto iene a 54 por hora y epieza a renar.

17 ASIMOV k por hora on 5 /eg. ( Diidí por 3,6 ). El dibujito ería ete: Ahora too un itea de reerencia. Lo too poitio para allá. Planteo la ecuacione horaria. Me queda eto: x 5 B = + t + t B = 5 + t ab = - = cte. Ecuacione horaria. En la ª ec. horaria reeplazo t por 3 eg y calculo la poición inal: er x = 5 3 eg ( 3eg ) x = 36 Poición inal Concluión: En lo tre egundo el tipo recorre 36 etro. Si yo e hubiera equiocado en el igno de la aceleración y la hubiera pueto poitia, la coa habría quedado aí: x = 5 3 eg + ( 3eg ) X = 54 ( Nada que er ) Lo io hubiera paado i hubiera calculado la elocidad inal depué de lo 3 eg: = 5 + 3eg = HORROR!

18 ASIMOV Eto no puede er. La elocidad inal tiene que dar enor que la inicial! ( El tipo etá renando ). Por eo: ojo con el igno de la aceleración. Si lo poné al, toooooodo el problea da al. CÓMO RESOLVER PROBLEMAS DE Lo ro que hay que hacer e un dibujito de lo que el problea plantea y toar un itea de reerencia. Una ez que uno toó el itea de reerencia, ecribe la ecuacione horaria X = X + V t + ½ a t y V = V + a.t. En la ecuacione uno reeplaza por lo dato y el problea tiene que alir. Si el tiepo no e dato y queré ahorrarte cuenta, podé uar la ecuación copleentaria V V = a ( X X ) Por aor acordate de una coa : Todo problea de tiene que poder reolere uando la ra y la da ecuación horaria. NADA MAS. Puede er que haya que uar priero una ecuación y depué la otra. Puede er que haya que cobinar la ecuacione. Puede er cualquier coa, pero todo problea tiene que alir de ahí. Aclaro eto porque a ece o ení con MILES de ecuacione de ecrita en tu hoja de orula. Etá MAL. Mile de ecuacione? Por qué ile? La ecuacione que periten reoler un problea de on. O ea, te etá coplicando. Repito: Hay ólo DOS la ecuacione que periten reoler cualquier problea de. En algún cao tal ez pueda conenir uar la ecuación copleentaria i el tiepo no e dato. Pero, inito, eo e hace para ahorrare cuenta, nada á. Uando olaente la ª y la ª ecuación horaria el problea TIENE QUE SALIR. Tal ez ea á largo, pero uando olo ecuacione el problea tiene que alir. Fin