TRANSFORMADA DE LAPLACE. Consideremos una función f(t) definida para t 0.Se define la transformada de Laplace GENERALIDADES

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1 Capíulo 4 TRANSFORMADA DE LAPLACE 4.. GENERALIDADES Conideremo una función f() definida para.se define la ranformada de Laplace de la función como una nueva función de ora variable,aí: L {f()} = F () = lím b b e f()d (4.) La ranformada de Laplace de la función f() que eá en el dominio emporal, quedaahora en el dominio de la variable, cuyoignificadoeáaociadoparicularmenealafrecuencia ocilaoria (ω en Radiane). En general = σ + jω e una variable compleja, cuya pare real e imaginaria correponden a la frecuencia neperiana y ocilaoria de la eñal, por ea razón e dice que la función F () eá en el dominio de la frecuencia. E claro que la convergencia de la inegral de la ecuación (4.) dependedelanauraleza de la función. El iguiene dearrollo no permiirá aclarar la iuación planeada, eniendo en cuena la eñal de la figura 4.. Supongamoquelafuncióneeccionalmeneconinuaenel inervalo [,T), e decir,preena un número finio de diconinuidade finia en el inervalo. En al cao, la inegral e puede exprear de la iguiene manera: L {f()} =lím b b e f()d = T e f()d +lím b b T e f()d Pueo que la función eá acoada en el inervalo [,T), exiiráunrealpoiivo:k al que Llamada aí en honor al maemáico y arónomo francé Pierre-Simon Laplace ( ) coniderado como uno de lo má grande cienífico de la hioria, avece referido como el Newon de Francia. 249

2 25 CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE f () T Figura 4.: Función eccionalmene coninua en [,T] y de orden exponencial para >T la primera inegral cumple con la iguiene condición: T T e f()d K e d T e f()d K ( e T ) En cuano a la egunda inegral, u convergencia e aegura en la medida en que la función no crezca má de lo que decrece la función exponencial, e decir, debe exiir un real poiivo: M yunreal:α al que: f() Me α Una función que preena dicha caraceríica e denomina de orden exponencial. Aí la coa, la egunda inegral cumple con la iguiene condición: b lím b e f()d b e Me α d T T b lím b e f()d b lím M e ( α) d b E claro que i >α la inegral converge y viene dada por: b lím e f()d b Me ( α)t α T T T

3 4.. GENERALIDADES 25 El análii preenado no lleva a decir que i la función e eccionalmene coninua en [,T) ydeordenexponencialpara>t,uranformadadelaplaceexieyeáacoadadela iguiene manera: F () M + Me ( α)t, con >α α E conveniene adverir que la condicione bajo la cuale e da la convergencia on de uficiencia y no de neceidad, e decir, e poible aignarle una ranformada de Laplace a una función que no cumpla con una de la do condicione. De oda forma, la funcione que cumplen con amba condicione, a la que e le denomina repeable, on la funcione de uo generalizado en ingeniería y ciencia. Cuando la función e repeable e cumple que: lím {F ()} = lím {F ()} K La función impulo uniario δ() no e eccionalmene coninua y in embargo e le aigna, como ranformada de Laplace, la unidad, e decir: L {δ()} =.Obervequenocumplela do propiedade previamene enunciada. Ora función de ineré e aquella de la forma: f() = α con α =, 2, 3,... E obvio que i α e negaivo la función no e eccionalmene coninua, in embargo, e le aigna una ranformada de Laplace, aí: L { α } = e α d Haciendo el cambio de variable x =,eencuenraque: L { α } = α+ Por definición de la función Gamma 2,eieneque: L { α } = Γ(α +) α+ x α e x dx De lo anerior, puede vere que la función: /2,apeardenoerrepeable,ieneranformada y viene dada por: L /2 = F () = Γ(/2) π = S /2 Como puede vere, la función F () no cumple con la propiedad lím {F ()} K, preciamene por que f() no e una función repeable, aunque cumple la propiedad lím {F ()} =. 2 Remíae al Apéndice A.2

4 252 CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE De la mima manera, pueden ideare funcione no repeable, cuya ranformada de Laplace exien. Por ejemplo la función definidad como: f() = e n2 σ( n) =σ()+eσ( ) + e 4 σ( 2) + e 8 σ( 3) + n= Cuya ranformada (como e verá má adelane en la ección 4.3.) eádadapor: L {f()} = F () = n= e n2 n Una función de ineré paricular, que in er eccionalmene coninua, e le aigna una ranformada de Laplace e: f() =ln().aplicandoladefinicióneiene: L {ln()} = e ln()d El procedimieno para realizar la inegral e baane ruculeno, in embargo e preena a coninuación: Parimo de la definición de la función Gamma, aí: Derivando con repeco a p, reula: dγ(p +) dp Γ(p +)= = Γ (p +)= e x x p dx e x x p ln(x)dx Evaluando en p =,eiene:γ () = e x ln(x)dx = γ. El reulado de ea inegral e conocido como el número de Euler 3 γ = Haciendo el cambio de variable x = ynoqueda: Γ () = γ = ln() e ln()d = e [ln()+ln()]d e d + F () = ln() + F () De donde: (γ +ln()) F () =L {ln()} = 3 Remíae al apéndice A.2

5 4.2. TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE 253 EJERCICIOS 4... Diga i la iguiene funcione on repeable o no. a) f() = in() b) f() = e e 2 c) f() = co() d) f() = ln() 2. La ranformada de Laplace de una función viene dada por F () =ln() ln( +). Deermine i la función f() e repeable o no TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE f() F () δ() Ku() K para > e a a para >a in(ω) ω 2 + ω 2 co(ω) 2 + ω 2 α Γ(α +) α+ para α =, 2, 3,... n n! n+ para n =,, 2, 3,... inh(b) b 2 b 2 para >b coh(b) 2 b 2 para >b ln() J () 2 + (γ +ln()) para > Tabla 4.: Reumen de ranformada de Laplace

6 254 CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE Por inegración direca e puede verificar la abla 4.,in embargo omiiremo lo procedimieno maemáico y preenaremo alernaivamene un ejemplo de cálculo de ranformada mediane ofware. Solución con Máxima: Para enconrar la ranformada de Laplace e ejecua el comando: laplace(f(),,). Como ejemplo, enconraremo la ranformada de alguna funcione dada en la abla 4.. (%i) laplace(exp(a*),,); laplace(in(w*),,); laplace(inh(b*),,); laplace(beel_j(,),,); Lo reulado on: (%o) a w (%o2) w b (%o3) 2 b 2 (%o4) + 2 Solución con Malab: En ee cao, la ecuencia de comando uado e: >> ym, ym a, ym b, ym w; laplace(exp(a*)),laplace(in(w*)), laplace(inh(b*)), laplace(beelj(,)) an = -/(a - ) an = w/(^2 + w^2) an = -b/(b^2 - ^2) an = /(^2 + )^(/2) Polinomio de Beel de orden cero, definido en la ecuación (5.8). Remíae a la ección 5.6.5

7 4.3. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LA- PLACE AconinuaciónepreenanlapropiedademáimporanedelaranformadadeLaplace Linealidad Si F () y G() on la ranformada de la funcione f() y g() repecivamene, enonce: Ejemplo: 4.. L {af()+bg()} = af ()+bg() (4.2) Deermine la ranformada de Laplace de la función: f() =in 2 () Solución: De la rigonomería e abe que: f() = in 2 () = [ co(2)]. 2 Por lo ano, e iene que: L in 2 () = L { co(2)} 2 Con bae en la abla 4. reula: L in 2 () = 2 = ( 2 +4) Muliplicación por la exponencial o ranlación lineal L e a f() = F ( a) (4.3) Demoración: Sea F () la ranformada de la función f(), eoe:f () = e f()d. Al muliplicar la función dada por e a,uranformadavieneaer: L e a f() = =F ( a) e [e a f()]d = e ( a) f()d En conecuencia, i una función f() e muliplica por una función exponencial e a,lacorrepondiene ranformada e ralada una canidad a. Ejemplo: 4.2. Deermine la ranformada de la función: 2 e 2 Solución: Con bae en la abla 4., laranformadade 2 e: L { 2 } = 2 3

8 256 CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE En conecuencia, al muliplicarla por la exponencial, reula: Ejemplo: 4.3. L 2 e 2 = 2 ( +2) 3 Encuenre la ranformada de Laplace de la función: f() =e in(2) Solución: Aparirdelaranformadadelafuncióneno,eaplicalaegundapropiedad, aí: L {in(2)} = L e in(2) 2 = ( +) 2 +4 = Tranlación en el dominio del iempo o ranlación real Demoración: Pariendo de la definición de la ranformada: L {f( a)u( a)} = L {f( a)u( a)} = e a F () para a> (4.4) e f( a)u( a)d = Se hace el cambio de variable a = τ,reulando: L {f( a)u( a)} = a a e f( a)d e (a+τ) f(τ)dτ = e a e τ f(τ)dτ = e a F () Corolario: Aparirdelapropiedadaneriormenepreenadaepuededeerminarlaranformadade Laplace de cualquier función de la forma f()u( a) para a>,aí: L {f()u( a)} = e f()u( a)d = Haciendo el cambio de variable: z = a, eiene: L {f()u( a)} = Por lo ano, e iene que: a e f()d e (z+a) f(z + a)dz = e a e z f(z + a)dz L {f()u( a)} = e a L {f( + a)} (4.5)

9 4.3. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 257 Ejemplo: 4.4. Encuenre la ranformada de Laplace de la función:,i< x() =,i,i< Solución: La función por ramo x() e puede exprear en función de eñale ingulare aí: x() =u() ( )u( ) u( ) Aplicando la propiedade de linealidad (4.2) yranlaciónemporal(4.4), reula: X() = 2 e 2 e Ejemplo: 4.5. Deermine la ranformada de Laplace de la función: [ +in()]u( π) Solución: Con bae en el corolario de la propiedad de ranlación emporal (4.5), e iene: L {[ +in()]u( π)} = e π L {[ + π +in( + π)]} Pero e abe que in( + π) = in(), conloque: L {[ +in()]u( π)} = e π L { + π in()} = e π + π Ejemplo: 4.6. Encuenre la ranformada de Laplace de la función: y() =co()[u() u( π)] Solución: Tranformando a ambo lado de la función y(), obenemo: Cambio de ecala Y () =L {co()u()} L {co()u( π)} = 2 + e π L {co( + π)u()} = 2 + e π L { co()u()} = e π 2 + = ( e ) 2 + L {f(a)} = F (/a) para > (4.6) a

10 258 CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE La propiedad eablece que cuando e cambia la ecala en el dominio de iempo ocurre un cambio de ecala conrario en el dominio de la frecuencia, e decir, i la función en el dominio de iempo e amplía en un facor a, lacorrepondieneranformadaereduceenlamima canidad y vicevera. E de noar que en el dominio de la frecuencia la ampliud queda dividida por a. Demoración: Pariendo de la definición, enemo: L {f(a)} = e f(a)d. Realizando el cambio de variable: τ = a, noqueda: L {f(a)} = e (/a)τ f(τ) dτ a = a F (/a) Ejemplo: 4.7. Deermine la ranformada de la funcione x(2), x(/2), iendox() la función del ejemplo 4.4. Solución: Con bae en el ejemplo 4.4, eieneque: En conecuencia reula: L {x(2)} = 2 X(/2) = 2 X() = 2 e 2 e = 2 2 e /2 2 2 e /2 (/2) 2 e /2 (/2) 2 e /2 /2 Yparax(/2), noqueda: L {x(/2)} =2X(2) =2 (2) 2 e 2 (2) 2 e 2 2 = e e Derivada en el dominio del iempo L {f ()} = F () f() (4.7) Demoración: Para demorar la propiedad e pare de uponer que ano la función como u primera derivada on repeable, e decir, aifacen la condicione de exiencia de la ranformada. Se recurrirá al iguiene procedimieno: L {f ()} = e f ()d

11 4.3. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 259 Uando el procedimieno de inegración por pare, e iene: U = e du = e d dv = f ()d V = f() Enonce la inegral puede expreare de la iguiene manera: L {f ()} =lím f()e b + e f()d b De la expreión anerior, para >, e igue que: L {f ()} = f() + F () =F () f() Debe garanizare que la función f() eé definida en =. Corolario. Derivada de orden uperior. Con bae en la propiedad e preenan la ranformada de la derivada de orden uperior, en la medida en que ean repeable y que la función y la n primera derivada eén definida en =. L {f ()} = 2 F () f() f () L {f ()} = 3 F () 2 f() f () f (). L {D n f()} = n F () n f() n 2 f () n 3 f () D n f() 2. Teorema del valor inicial. El eorema del valor inicial e de gran imporancia en aquello problema de valor inicial que reulan del análii de iema lineale. Se pare de la ranformada de la primera derivada, aí: F () f() = e f ()d Tomando el límie cuando iende a infinio, y aumiendo que f () e repeable, reula: lím {F () f()} =lím e f ()d lím {F ()} f() = lím e f () d Finalmene e obiene: lím = {F ()} =lím{f()} (4.8)

12 26 CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE 3. Teorema del valor final. El eorema del valor final e de gran imporancia en aquello problema de valor inicial que reulan del análii de iema lineale. Se pare de la ranformada de la primera derivada, aí: F () f() = e f ()d Tomando el límie cuando iende a cero, reula: lím {F () f()} =lím e f ()d lím {F ()} f() = lím e f () d = =lím {f()} f() f ()d Finalmene e obiene: lím {F ()} =lím{f()} (4.9) Ejemplo: 4.8. Deermine la ranformada de Laplace de la función y() del iguiene problema de valor inicial: y ()+2y() =e u() con y() = 2 Solución: Sea Y () =L {y()}. Aplicandolapropiedaddelinealidadeiene: L {y ()+2y()} = L e u() Simplificando la expreión, no queda: Y () y() + 2Y () = + Y () 2+2Y () = + ( +2)Y () =2+ + Y () = 2 +3 ( +)( +2) Ejemplo: 4.9. Deermine la ranformada de Laplace de la función y() del iguiene problema de valor inicial: y ()+2y ()+2y() =u() con y() =,y () =

13 4.3. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 26 Solución: Sea Y () =L {y()}. Aplicandolapropiedaddelinealidadeiene: L {y ()+2y ()+2y()} = L {u()} 2 Y () y () y() + 2[Y () y()] + 2Y () = 2 Y ()+2Y ()+2Y () = ( )Y () = Depejando Y (), no queda: Y () = ( +2 +2) Inegración en el dominio del iempo L f(τ)dτ = F () (4.) Demoración: Se pare del hecho de que la función a inegrar e repeable y, en conecuencia, u inegral ambién lo erá. L f(τ)dτ = e f(τ)dτ d Por el procedimieno de inegración por pare, e iene: U = f(τ)dτ du = f()d dv = e d V = e Enonce la inegral puede expreare de la iguiene manera: L f(τ)dτ = lím b = = F () e b f(τ)dτ e + f()d e b f(τ)dτ + lím + e f()d b b Ejemplo: 4.. Deermine la ranformada de Laplace de la función y() del iguiene problema de valor inicial: y ()+2y()+ y(z)dz = u() con y() =

14 262 CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE Solución: Aplicando la propiedade de linealidad, derivación e inegración emporal, e iene: L y ()+2y()+ y(z)dz = L {u()} Muliplicación por Y ()+2Y()+ Y () = ( )Y () = Y () = ( +) 2 L {f()} = F () (4.) Demoración: Por definición, la ranformada de Laplace de f() viene dada por: F () = Si F () e derivable con repeco a, eiene: e f()d df () d = F () = d d e f()d Uando la regla de Leibniz 4 para derivar denro de una inegral, reula: De la expreión anerior e igue que: F () = e f()d L {f()} = F () Cororario. La ranformada de una función muliplicada por una poencia enera no negaiva del iempo e: L { n f()} =( ) n dn F () d n con n =, 2, 3,... 4 Remíae al apendice A.

15 4.3. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 263 Ejemplo: 4.. Deermine la ranformada de Laplace de la función: f() =e 2 in(2) Solución: Sea F () =L {in(2)} = Uando la propiedad de muliplicación por, enemo: L { in(2)} = F () = d 2 = d 2 +4 YFinalmene,aplicandolapropiedadderanlaciónlineal: L e 2 in(2) = 4 ( 2 +4) 2 4( +2) [( +2) 2 +4] = 4( +2) 2 ( ) 2 Ejemplo: 4.2. Encuenre la ranformada de Laplace de la función:f() =e x in(x)dx Solución: Primero hacemo g() = in(), cuyaranformadae: G() = d 2 = d 2 + ( 2 +) 2 Ahora hacemo h() = g(u)du, cuyaranformadaeobieneaplicandolapropiedadde inegración emporal (4.2), aí: H() = G() = 2 ( 2 +) 2 Yfinalmeneconf() =e h(), uandolapropiedadderanlaciónlineal,noqueda: Diviión por F () =H( +)= 2 [( +) 2 +] = 2 2 ( ) 2 f() L = F (z)dz (4.2) Demoración: Se pare de uponer que la función f()/ e repeable. Sea g() =f()/,conloque: f() =g() Con bae en la propiedad de muliplicación por 4., eiene: F () = d G() dg() = F ()d d

16 264 CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE Pueo que la ranformada de Laplace de una función repeable e convergene para grande valore de la frecuencia, e inegran ambo miembro de la iguiene manera: De lo anerior e igue que: dg() = G() = G() = f() L = F ()d F ()d F (z)dz F (z)dz Ejemplo: 4.3. Encuenre la ranformada de Laplace de la función: f() = in() Solución: Se pare de la ranformada de la función eno, aí: L {in()} = 2 +. Aplicando la propiedad de inegración emporal: in() L = z 2 + dz =an () =an () an () = π 2 an () =an (/) Ejemplo: 4.4. Deermine la ranformada de Laplace de la función: x() = e e u u du Solución: Sea la función f() = /2 e,cuyaranformadadelaplaceelaranformada de /2 deplazada, aí: π F () = Aconinuaciónehaceg() = f(u)du,cuyarandormadaedeerminauandolapropiedad de inegración emporal (4.2): G() = F () Ahora hacemo h() =e g(), conloque: = H() =G( +)= π π ( +)

17 4.3. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 265 Finalmene, a función original e puede ecribir como: x() = h()/, cuyaranformadae: π X() = dz z (z +) Para realizar la inegral e hace el cambio de variable z = u 2. Evaluando la inegral y omando lo límie, e obiene: X() =2 π an ( ) La ranformada de la convolución Demoración: La convolución de do funcione viene dada por: Aplicando la ranformada reula: L {f() g()} = F ()G() (4.3) f() g() = L {f() g()} = = e f(τ)g( τ)dτ τ= f(τ)g( τ)dτ d La expreión anerior e puede ecribir en la forma: L {f() g()} = f(τ) e g( τ)d dτ τ= = De acuerdo con la propiedad de ranlación emporal (4.5), e iene que: = Con eo, no queda: e g( τ)d = L {g( τ)u( τ)} = e τ G() L {f() g()} = τ= f(τ)e τ G()dτ para >τ Ahora, de acuerdo con una de la propiedade de la inegral definida, e eablece que: τ= f(τ)e τ G()dτ = G() τ= e τ f(τ)dτ G() τ= e τ f(τ)dτ Ya que τ <,eclaroquelaegundainegraldeladerechaeceroyenconecuencia,e iene: L {f() g()} = G() τ= e τ f(τ)dτ

18 266 CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE Finalmene, uando la definición de la ranformada, reula: L {f() g()} = G()F () Pueo que la convolución e conmuaiva, e puede ecribir: L {f() g()} = G()F () =F ()G() Ejemplo: 4.5. Deermine la ranformada de Laplace de la función y() para el iguiene problema de valor inicial: y ()+2y()+ y(u)( u) 2 du = u() con y() = Solución: Con bae en la definición de convolución emporal, el problema de valor inicial e puede ecribir en la forma: y ()+2y()+y() 2 = u() con y() = Aplicando la ranformada de Laplace, reula: Simplificando, reula: Ejemplo: 4.6. Y ()+2Y ()+Y () 2 3 = Y () = Halle la ranformada de Laplace de la función: g() = x 2 e ( x) dx Solución: Puede vere que la función dada e puede ecribir como: g() =( 2 e ) En conecuencia, aplicando la propiedade de convolución y muliplicación por, eiene: G() = d d Finalmene, reolviendo la derivada reula: G() = (4 +3) 4 ( +) 2

19 4.3. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Tranformada de Laplace de una función periódica Conideremo una eñal g() definida por ramo en el inervalo [,T), alcomolomuera la línea ólida de la figura 4.2. Silafunciónedeplazahacialaderechalacanidade T,2T,3T,...,nT,reulalafunciónperiódicaf() que aparece en línea puneada. La expreión maemáica para la función periódica, para > e la iguiene: f() =g()+g( T )+g( 2T)+g( 3T)+ = g( nt ) La ranformada de Laplace de la función periódica e deermina aplicando la propiedade f () g() n= T 2T 3T Figura 4.2: Función periódica de linealidad (4.2) y deplazamieno emporal(4.3), aí: F () =G()+e T G()+e 2T G()+e 3T G()+ + e nt G()+ = +e T + e 2T + e 3T + G() = G() e T Ya que g() olo exie en <<T enonce G() = T e g()d. Finalmene, la ranformada de la eñal periódica f(), de periodo T, e ecribe como: L {f()} = T e g()d e T (4.4) Por oro lado, podemo enconrar una equivalencia de la inegral T e g()d, uandoel cororario de la propiedad 4.5, aí:

20 268 CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE Sea la función y() =g()[u() u( T )], definidaenelinervalo <<T y g() exiene, cuyaranformadae: Y () = e g()d = T e g()d Aplicando la ranformada en ambo lado de la expreión para y(), no queda: Y () =L {g()u()} L {g()u( T )} De donde: T e g()d = G() e T L {g( + T )} (4.5) Ejemplo: 4.7. como: Deermine la ranformada de Laplace de la función periódica definida f() =,i,i <<2 Solución: Aplicando la ecuación (4.4), reula: con T =2 F () = e d + 2 e d e 2 Evaluando la inegrale, e iene: F () = e ( e 2 ) Ya que el denominador de la expreión anerior e una diferencia de cuadrado perfeco, no queda: F () = ( + e ) Ejemplo: 4.8. Deermine la ranformada de Laplace de la función: f() = in() Solución: La función dada e periódica con periodo T = π yeconocecomolaondaeno recificada de onda complea. Su repreenación gráfica e ilura en la figura 4.3. Aplicando la ranformada, reula: π L { in() } = e in()d e π Con bae en la ecuación (4.5), e iene:

21 4.3. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 269 f ()= in()! 2! 3! Figura 4.3: Función eno recificada de onda complea π e in()d = L {in()} e π L {in( + π)} = 2 + e π L { in()} = e π 2 + = +e π 2 + Enonce, la ranformada de la función periódica eno recificada de onda complea e: La cual e puede ecribir como: L { in() } = +e π ( e π )( 2 +) L { in() } = e π 2 + e π 2 e π/2 e π = coh( π) De la mima manera como e procedió aneriormene, e puede demorar que la ranformada de Laplace de la función in(ω ) e: L { in(ω ) } = ω coh( π 2ω ) 2 + ω 2 Ejemplo: 4.9. Deermine la ranformada de Laplace de la función periódica, definida como:,i << f() = Con T =2 2,i <<2 Solución: La función f() correponde a la eñal riangular con periodo T =2,ilurada en la figura 4.4. Aplicando la ranformada de Laplace para una eñal periódica, reula:

22 27 CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE f () Figura 4.4: Función riangular F () = e d + 2 e (2 )d e 2 Efecuando la inegrale, enemo: F () = 2e + e 2 2 ( e 2 ) = ( e ) 2 2 ( e 2 ) En el denominador enemo una diferencia de cuadrado, enonce, implificando no queda: F () = e 2 ( + e ) = anh(/2) 2 Procediendo de la mima manera, e puede demorar que la ranformada de la eñal riangular de periodo T,vienedadapor: F () = anh T 2 /2 T 2 2 Como puede vere, mediane la propiedade de la ranformada de Laplace e implifica enormemene el cálculo direco de éa. Finalmene en la abla 4.2 e muera un reumen de la propiedade.

23 4.3. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 27 Propiedad Dominio de Dominio de Linealidad af()+bg() af ()+bg() Tranlación lineal e a f() F ( a) Tranlación emporal f( a)u( a) e a F () Cororario f()u( a) e a L {f( + a)} Cambio de ecala f(a) a F (/a) Derivada emporal f () F () f() Cororario D n f() n F () n f() n 2 f () D n f() Inegración emporal f(τ)dτ F () Muliplicación por f() F () Cororario n f() ( ) n dn F () d n f() Diviión por F (z)dz Convolución emporal Función periódica f() g() = f() = g( nt ) k= f(τ)g( τ)dτ F ()G() T e g()d e T Tabla 4.2: Reumen de propiedade de la ranformada de Laplace

24 272 CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE EJERCICIOS 4.2. Deermine la ranformada de Laplace de la funcione:. f() =[ co()]u() 2. f() =e in()u( π) 3. f() = e 2 4. f() = e 2 e 6. f() =e 2 x dx 7. f() =e 2 τ in(τ)dτ 8. f() =( +) 2 u( 2) 9. f() =( e )u( ) 5. f() = e in 2 (). f() =δ()+u() u( ) + δ( ) Deermine la ranformada de Laplace de la iguiene funcione periódica:,i <. f() = con T =2,i <2,i < 2. f() = con T =2,i <2 in(π),i < 3. f() = con T =2,i <2,i <2 4. f() = con T =4,i2 <4 2,i < 5. f() = con T =2,i <2

25 4.4. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Dada una función en el dominio de la frecuencia F (), uinveraeunafuncióndeiempoy viene dada por: L {F ()} = f() = e F ()d 2πi C La inegral e conoce como inegral de inverión compleja y la olución e de una nauraleza compleamene diferene a la de la inegrale radicionale de variable real. En un curo de maemáica avanzada e eudia la manera de reolver la inegral de inverión compleja. Uaremo méodo indireco para deerminar la invera de una función F (). Báicamene on do méodo, aí: Mediane abla: Mediane procedimieno algebraico e exprea la función F () en expreione canónica imple cuya invera e pueden obener de la abla. Cuando F () e una función racional e procede a decomponer en fraccione parciale. De er neceario, e aplican la propiedade de la ranformada. 2 Mediane la inegral de convolución: Cuando la función dada F () e pueda exprear mediane un produco de la forma F () =X()Y (), lainveravienedadapor: L {F ()} = f() =x() y() = x(τ)y( τ)dτ = y(τ)x( τ)dτ A parir de la abla 4. de ranformada direca e obiene la abla 4.3 de ranformada invera. Ejemplo: 4.2. Deermine la ranformada invera de Laplace de la función: F () = Solución: La función e puede ecribir en la forma: F () = Decomponiendo en fraccione parciale, reula: F () = ( +)( +2) Con bae en la abla de ranformada reula y eniendo en cuena la primera propiedad de la invera, e iene: L {F ()} = f() =(2e +3e 2 )u()

26 274 CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE F () f() α δ() K para > Ku() a para >a e a u() 2 + ω 2 ω in(ω)u() 2 + ω 2 co(ω)u() para α =, 2, 3,... α Γ(α) u() n para n =,, 2, 3,... n 2 b 2 para >b 2 b 2 para >b coh(b)u() 2 + para > (n )! u() b inh(b)u() J ()u() Tabla 4.3: Reumen de ranformada invera de Laplace La ranformada invera de Laplace preena la propiedade que e indican en la abla 4.4. Se omiirán la demoracione ya que on imilare a la de la ranformación direca. Ejemplo: 4.2. Encuenre la ranformada invera de Laplace de la función: F () = 3 + Solución: Se exprea la función en fraccione parciale, aí: F () = a + b + c 2 +

27 4.4. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 275 Propiedad Dominio de Dominio de Linealidad af ()+bg() af()+bg() Tranlación lineal F ( a) e a f() Tranlación emporal e a F () f( a)u( a) Cambio de ecala F (a) a f(/a) Muliplicación por F () f ()+f()δ() Diviión por F () f(τ)dτ Derivación en F () f() Inegración en F (z)dz Convolución emporal F ()G() f() g() = f(τ)g( τ)dτ Funcione periódica F () e = e kt F () T f() = f( kt)u( kt) k= F () +e = ( ) k e kt F () T k= k= f() f() = ( ) k f( kt)u( kt) Tabla 4.4: Reumen de propiedade de la ranformada Invera de Laplace k= La conane e pueden deerminar mediane el procedimieno uual, in embargo, e preena una alernaiva diferene, aí: F () = ( 2 +) = +2 2 ( 2 +) Uando la abla 4.3, laranformadainverae: f() =[ co()]u() = 2 + Ejemplo: Encuenre la ranformada invera de Laplace de la función: G() =e π 3 +

28 276 CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE Solución: Puede vere que: G() =e π F (). Delejemploanerior4.2. Por ano, e puede aplicar la propiedad de ranlación emporal, eo e: f() =g( π) =[ co( π)]u( π) Ejemplo: Deermine la ranformada invera de Laplace de la función: H() = 2( ) Solución: El denominador de la función e puede facorizar por diviión inéica, reulando: 2( ) H() = ( +2)( ) La fraccione parciale aociada a la fracció, on: H() = 2( ) ( +2)( ) = a +2 + b + c La conane e evalúan a parir de la iguiene idenidad: Reolviendo, reula: a( )+(b + c) H() = = ( +) ( +) 2 + Aplicando la propiedad de ranlación lineal y eniendo en cuena la abla de ranformada invera 4.3, e iene: h() =[e 2 + e co()+e in()]u() Ejemplo: Encuenre la ranformada invera de Laplace de la función: 2 F () = ( 2 +4) 2 Solución: Primero e reuelve mediane la ranformada de la convolución de do funcione, aí: 2 F () = f() =in(2) co(2) = in(2τ)co(2( τ))dτ

29 4.4. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 277 La olución de la inegral e baane laborioa ya que e neceario hacer uo de la idenidade rigonomérica, aí: f() = Reulan do inegrale, aí: f() =co(2) in(2τ)[co(2)co(2τ)+in(2)in(2τ)]dτ in(2τ)co(2τ)dτ +in(2) in 2 (2τ)dτ Depué de evaluar la inegrale y implficar, reula: f() = 2 in(2) Una alernaiva de olución e la que e preena a coninuación y que conie en parir de la ranformada de la función eno, aí: X() = X () = 4 ( 2 +4) 2 Comparando, e iene: F () = 2 X () Si e aplica la propiedad de muliplicación por, reula que: f() = 2 L {X()} = 2 in(2) Ejemplo: Encuenre la ranformada invera de Laplace de la función: Y () = 2 ( 2 +4) 2 Solución: Puede vere que la función reula de dividir por alafuncióndelejemplo anerior 4.24, edecir: Y () = F () En conecuencia, aplicando la propiedad de diviión por, eiene: Evaluando la inegral, e iene: y() = 2 τ in(2τ)dτ y() = 8 in(2) 4 co(2)

30 278 CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE Ejemplo: Encuenre la ranformada invera de Laplace de la función: F () =an (/) Solución: Para poder hallar la ranformada invera e neceario omar la primera derivada de la función, aí: F () = d d an (/) = 2 = Tranformando inveramene a ambo lado y uando la propiedad de derivación en,eiene: L {F ()} = L 2 + f() = in()u() f() = in() u() Ejemplo: Encuenre la ranformada invera de Laplace de la función: F () =an ( ) Solución: Procediendo como en el ejercicio 4.26 anerior, e iene: F () = 2 ( +) = 2 /2 + Por oro lado, enemo: L = /2 /2 Γ(/2) = /2 u() π L = e u() + Con eo, la ranformada invera de F (S) e la convolución de la funcione aneriore, aí: f() = 2 π /2 e El reulado puede expreare de do manera, aí: f() = 2 π e τ dτ = τ 2 π e τ τ dτ

31 4.4. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 279 Ejemplo: Encuenre la ranformada invera de Laplace de la función: + F () =ln +2 Solución: La función e puede exprear en la forma:f () = ln( +) ln( +2). Tomando la primera derivada, e iene: F () = + +2 Tranformando inveramene a ambo lado de la ecuación y uando la propiedad de derivación en, reula: f() =(e e 2 )u() En conecuencia, el reulado e: Ejemplo: gráficamene: e 2 e f() = u() Encuenre la ranformada invera de la iguiene función y repreene F () = e 2 ( + e ) Solución: Hacemo uo de la erie geomérica, aí: +e = ( ) k e k = e + e 2 + e 3 + k= Por ano, la función original queda en la forma: F () = e 2 ( ) k e k = k= Pueo que L 2 = u(),reula: f() = ( ) k e k ( ) k e k(+) 2 2 k= ( ) k ( k)u( k) k= Expandiendo reula la función riangular de periodo T =2: k= ( ) k [ (k +)]u( (k +)) k= f() =u() 2( )u( ) + 2( 2)u( 2) 2( 3)u( 3) + 2( 4)u( 4) + La figura 4.4 del ejercicio 4.9 ilura la gráfica de la eñal f()

32 28 CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE EJERCICIOS 4.3. Deermine la ranformada invera de Laplace para la funcione decria a coninuación:. X() = Y () = ( +)( 2 +4) 3. Z() =e ( +2) 4. F () = 2 ( 2 +) 6. G() =an ( +) 7. R() = W () = 9. P () = 3 ( 3 +) 8( +) U() = e e 2 ( e ) 4.5. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL MEDIANTE LAPLACE Un problema de valor inicial de egundo orden e formula de la iguiene manera: a 2 y ()+a y ()+a y() =f() y() = y,y () = p Cuando lo coeficiene de la ecuación diferencial on conane, la ecuación e paa al dominio de la frecuencia, aí: Depejando, reula: a 2 2 Y () y p + a [Y () y ]+a Y () =F () Y () = a 2y + a 2 p + a y F () + (4.6) a a + a a a + a La primera pare de la ecuación (4.6) proporcionalaoluciónranioriamienraquela ora correponde a la olución de eado eacionario. Si la condicione iniciale on iguale acero,edecir,cuandoeliemaeáinicialmeneenrepoo,laolucióndelproblemade valor inicial e: y() =L {Y ()} = L F () a a + a Ejemplo: 4.3. Reuelva el problema de valor inicial: y ()+2y() =e 2,y() =

33 4.5. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL MEDIANTE LAPLACE 28 Solución: Aplicando la ranformada de Laplace a la ecuación diferencial, no queda: Y ()+2Y () = +2 Y () = ( +2) 2 Uando la abla de ranformada invera 4.3 y la propiedad de ranlación lineal,reula: y() =e 2 u() Ejemplo: 4.3. Reuelva el problema de valor inicial: y ()+2y() =[u() u( )],y() = Solución: La ecuación diferencial debe ecribire en la forma: y ()+2y() =u() ( )u( ) u( ) Aplicando la propiedade, e iene: ( +2)Y () = 2 e 2 e Depejando, reula: Y () = 2 ( +2) e 2 ( +2) e ( +2) El primer érmino de la derecha e puede ecribir en la forma: 2 ( +2) = 2 De manera imilar, e iene que: En conecuencia, reula: 2 2 ( +2) = ( +2) = 2 ( +2) = 2 2+ ( +2) = 2 Y () = ( +2) e = ( +2) e 2 ( +2) ( +2) ( +2) e 2 2( +2) Finalmene, uando la propiedade, la ranformada invera e: y() = e 2 u() 2 ( ) e 2( ) u( )

34 282 CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE Ejemplo: Reuelva el problema de valor inicial: Solución: Se aplican la propiedade, aí: y ()+2y ()+5y() = y() =, y () = 2 Y () +2Y () 2+5Y () = La invera correpondiene viene a er: y() = e co(2)+ 2 e in(2) u() = Y () = = + ( +) ( +) 2 +4 co(2)+ 2 in(2) e u() Ejemplo: Reuelva el problema de valor inicial: y ()+ e 2u y( u)du = y() = Solución: La ecuación inegro-diferencial e puede ecribir en la forma: Aplicando la propiedade, reula: Depejando, reula: y ()+e 2 y() = Y () + Y () +2 = Y () = ( +) 2 Por ano, la olución del problema e: y() =e u()

35 4.5. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL MEDIANTE LAPLACE 283 EJERCICIOS 4.4. Reuelva lo iguiene problema de valor inicial:. y ()+y() =e y() = 2. y ()+y() = y() =,y () = 3. y ()+3y ()+2y() = y() =,y () = 4. y ()+y() =u() u( ) y() =,y () = 5. y ()+y() =en(π)[u() u( )] y() =,y () = 6. y ()+4 y(u)du = y() = 7. y ()+2y ()+2y() =e y() =,y () = 8. y ()+2 ( u)y(u)du = y() = 9. y ()+2y() = in() y() =. y ()+y () 2 y(u)du = y() =,y () =. y ()+5y()+5 inh( u)y(u)du =6 y() =,y () =,i< 2. y ()+y () = in(),i π y() =,y () =,i>π,i< 3. y ()+y () =,i 2,i> x () =2x() 3y() y () = 2x()+y() x () =2x() 5y() in(2) y () = 2x() 2y() x() = 8,y() = 3 y() = x() =,y() =

36 284 CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE 4.6. SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES Un iema lineal invariane de orden n eá regido por una ecuación diferencial lineal de orden n de coeficiene conane, aí: an D n + a n D n + + a D + a y() = bm D m + b m D m + + b D + b x() con n m En donde x() e la exciación de enrada en el iema y y() e la repuea de alida. Si el iema eá inicialmene en repoo, e decir, la condicione iniciale on nula, e obiene: Y () = b m m + b m m + + b + b a n n + a n n + + a + a X() Se define la función de ranferencia H() del iema, aí: H() = b m m + b m m + + b + b a n n + a n n + + a + a (4.7) Aí la coa, la alida en el dominio de la frecuencia Y (), vienedadapor: Y () =H()X() Como puede vere, una función de ranferencia e el cociene indicado de do polinomio racionale enero, e decir, ano el numerador como el denominador e pueden exprear mediane facore lineale y cuadráico. Sacando la ranformada invera, obenemo la función en el iempo: y() =L {H()X()} = h() x() Como puede vere, la repuea emporal e la convolución de la enrada con la invera de Laplace de la función de ranferencia. Diagrama de polo y cero Lo cero de la función de ranferencia on la raíce del numerador y lo polo on la raíce del denominador. El diagrama de polo y cero e una repreenación, en el plano complejo, de dicha raíce. Con bae en lo planeado, la función de ranferencia e puede exprear en la forma: H() = K( z )( z 2 )( z 3 ) ( z m ) p k = σ k + jω k ( p )( p 2 )( p 3 ) ( p n )

37 4.6. SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES 285 Eabilidad La eabilidad del iema eá aociada con la ubicación de lo polo de H() aí:. Siema eable: El iema e eable i odo lo polo eán a la izquierda del eje imaginario, e decir, para odo valor de k e verifica que σ k <. Eneecao,uponiendoquelopoloon diferene enre í, la repuea naural del iema e de la forma: n h() = c k e σk e jω E claro que: lím h() = k= 2. Siema ineable: El iema e ineable i al meno uno de lo polo eá a la derecha del eje imaginario oieienenpolomúlipleobreelejeimaginario. 3. Siema marginalmene eable: El iema e marginalmene eable i preena polo imple obre el eje imaginario. La figura 4.5 ilura el diagrama de polo y cero y la repuea naural de re ejemplo de lo cao enunciado. Ejemplo: Deermine i lo iguiene iema on eable, ineable o marginalmene eable: 3. H() = H() = H() = 2 ( +3) H() = Solución: El eudiane puede verificar lo iguiene:. Eable. 2. Marginalmene eable. 3. Ineable. 4. Ineable.

38 286 CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE Img h() Re (a) Diagrama de polo y cero de iema eable (b) Repuea naural de iema eable Img h() Re (c) Diagrama de polo y cero de iema ineable (d) Repuea naural de iema ineable Img h() Re (e) Diagrama de polo y cero de iema marginalmene eable (f) Repuea naural de iema marginalmene eable Figura 4.5: Ejemplo de diagrama de polo y cero y repuea naural de iema eable, ineable y marginalmene eable

39 4.6. SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES 287 Polinomio de Hurwiz Conideremo un polinomio racional enero, e decir, de coeficiene reale, aí: P () =a n n + a n n + a n 2 n a + a El polinomio e puede exprear mediane una pare par y ora impar, aí: P () =[a n n + a n 2 n 2 + a n 4 n a ]+[a n n + a n 3 n a ] Se dice que el polinomio e de Hurwiz i u raíce eán a la izquierda del eje imaginario oonimpleobreelejeimaginario.unacondiciónneceariaparaqueunpolinomioeade Hurwiz, e que odo lo coeficiene del polinomio on poiivo, a meno que ea ericamene par o ericamene impar. Lo anerior ignifica que i alguno de lo coeficiene e negaivo, el polinomio endrá raíce a la derecha del eje imaginario. De oro modo, i el polinomio no e par ni impar y uno de lo coeficiene e cero, el polinomio no puede er de Hurwiz. Una condición de uficiencia para que un polinomio ea de Hurwiz e que la fracción coninuada enre u pare par e impar enga odo u cociene poiivo. Si ecribimo el polinomio mediane u pare par e impar, aí P () =M()+N(), lafracciónconinuada e la iguiene: M() N() = q + q 2 + q 3 + Ejemplo: Deermine i el iguiene polinomio e de Hurwiz: Solución: La fracción coninuada e la iguiene: = Con bae en lo planeado previamene, el polinomio no e de Hurwiz. Se puede generalizar el hecho de que por cada cociene negaivo hay una raíz a la derecha del eje imaginario. Para nuero ejemplo, el polinomio iene do raíce a la izquierda del eje imaginario y do a la derecha. En efeco, i e ua un paquee de ofware, e puede verificar lo anerior. Uando Máxima, e puede ver que la raíce el polinomio on: (%i) allroo(^4+3*^3+^2+5*+4); (%o) [= *%i , = *%i, = ,= ]

40 288 CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE Cuando el polinomio e ericamene par o impar, la fracción coninuada e hace enre el polinomio y u primera derivada, aí: P () P () Ejemplo: Deermine i el iguiene polinomio e de Hurwiz: P () = Solución: La fracción coninuada e la iguiene: = Como puede vere, el polinomio e de Hurwiz. Ejemplo: La repuea naural de un iema lineal invariane viene dada por: h() =[e + e 2 ]u() a) Encuenre la función de ranferencia del iema. b) Encuenre la repuea al ecalón uniario y repreene gráficamene. Solución: a) La función de ranferencia e la ranformada de Laplace de la repuea naural, aí: H() = + + ( +2) 2 = ( +2)2 + + ( +)( +2) 2 = ( +)( +2) 2 E claro que la función de ranferencia iene un polo imple en = yunpolodoble en: = 2. Por oro lado, lo cero del iema on reale y eán ubicado en: = 5 ± 5 2 b La repuea al ecalón uniario e deermina de la iguiene manera: x() =u() X() = Y () =H()X() = ( +)( +2) 2 Decomponiendo en fraccione parciale, e iene: Y () = ( +2) 2

41 4.6. SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES 289 Aplicando la ranformada invera, reula: 5 y() = 4 e 4 e 2 2 e 2 u() La figura 4.6 ilura gráfica y() de repuea al ecalón uniario. Se puede ver que la repuea e eable. y() Figura 4.6: Repuea al ecalón uniario del ejemplo 4.37 Ejemplo: ecuación diferencial: Un iema lineal invariane, inicialmene en repoo, eá regido por la D 3 +3D 2 +7D +5 y() =(D +5)x() a) Encuenre la función de ranferencia del iema y ubique u polo y cero. b) Encuenre la repuea al ecalón uniario y repreene gráficamene la olución. Solución: a) Aparirdelaecuacióndiferencial,lafunciónderanferenciae: H() = = +5 ( +)( ) La función de ranferencia iene un cero imple en = 5, unpoloimpleen = ydopolocomplejoconjugadoen = ± j2 b) La ranformada de Laplace de la repuea al ecalón uniario e: Y () = +5 ( +)( )

42 29 CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE Decomponiendo en fraccione parciale, e iene: Y () = = + ( +) 2 +4 La ranformada invera de Laplace e: y() = e + 2 e in(2) u() La figura 4.7 ilura gráfica y() de repuea al ecalón uniario. Se puede ver que la repuea e eable. y() Figura 4.7: Repuea al ecalón uniario del ejemplo 4.38 Ejemplo: ecuación diferencial: Un iema lineal invariane, inicialmene en repoo, eá regido por la D 2 +2D + y() =r() Encuenre ka repuea forzada del iema ane la iguiene exciacione: a) r() =in(3) b) r() =in( ) Solución: a) En el primer cao, al paar al dominio de la frecuencia, reula: ( )Y () = Y () = 3 ( 2 +9)( )

43 4.6. SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES 29 Decomponiendo en fraccione parciale, reula: Y () = (2 ) Tomando la invera, e iene: y() = 37 e [in(3)+6co(3)] + [in(3) 6co(3)] 37 Simplificando, la repuea de eado eacionario puede expreare en la forma: 37 y() = 37 in(3 an (6)) La ampliud de la alida, en eado eacionario, e alrededor del 6 % de la ampliud de la exciación. b) En el egundo cao, al paar al dominio de la frecuencia, reula: ( )Y () = 2 + Y () = ( 2 +)( ) Decomponiendo en fraccione parciale, reula: Y () = 2 Tomando la invera, e iene: y() = 2 e in(3)+co(3) 2 co( ) La repuea de eado eacionario correponde al fenómeno de reonancia previamene analizado el capíulo Ejemplo: 4.4. La función de ranferencia de un iema lineal invariane eá dada por: H() = Deermine la repuea naural, la repuea al ecalón uniario y la repuea a la exciación x() =e u(). Solución: La función de ranferencia e puede exprear en la forma: H() =

44 292 CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE En conecuencia, la repuea naural eá dada por: h() =δ()+2e u() 3e 2 u() En cuano a la repuea al ecalón uniario, e puede proceder de do manera diina, a aber: Mediane la inegral de la repuea naural: Mediane la invera de: y() = h(τ)dτ Y () = H() = ( +)( +2) Decomponiendo en fraccione parciale, enemo: H() = ( +2) 2 + En conecuencia, la repuea al ecalón uniario e: 3 y() = e 2 2e u() Para hallar la repuea a la función x() =e u() parimo de la correpondiene ranformada de Laplace, aí: Y () =H()X() = Decomponiendo en fraccione parciale, e iene: Y () = ( +)( ) = ( +) 2 ( +2) 2 ( +) Tomando la ranformada invera de Laplace, e encuenra que: y() = 2e 2e +3e 2 u()

45 4.6. SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES 293 EJERCICIOS Un iema lineal invariane, inicialmene en repoo, eá regido por la iguiene ecuación diferencial: D 3 +3D 2 +2D +6 y() =(D 2 + D)x() a) Encuenre la función de ranferencia del iema y dibuje el diagrama de polo y cero. b) Encuenre la repuea naural del circuio y repreene gráficamene. c) Encuenre la repuea al ecalón uniario y repreene gráficamene. 2. La repuea al ecalón uniario de un iema lineal invariane eá dada por: y() =[in() co()] u() a) Encuenre la repuea naural del iema. b) Encuenre la función de ranferencia y dibuje el diagrama de polo y cero. c) Encuenre la repuea del iema ane la iguiene exciacione: x () =u(), x 2 () =e u(), x 3 () =co()u() 3. La función de ranferencia de un iema lineal invariane eá dada por: H() = a) Dibuje el diagrama de polo y cero. b) Encuenre la repuea naural c) Encuenre la repuea del iema ane cada una de la iguiene exciacione: x () =u(),x 2 () = in( 6 )u(),x 3 () =co()u(),x 4 () =e co(2)u() (Solamene la forma, e decir, no deermine la conane del dearrollo en fraccione parciale) 4. La función de ranferencia de un iema eá dada por: H() = ω 2 n 2 +2ζω n + ω 2 n Donde ω n e la frecuencia naural y ζ e el coeficiene de amoriguamieno del iema. a) Tome ω n =2y ζ =.25 ydeerminelarepueaanelaiguieneexciacione yrepreenegráficamene. x () =u(),x 2 () =e,x 3 () = in(.5)u(),x 4 () =in(5)u()

46 294 CAPÍTULO 4. TRANSFORMADA DE LAPLACE b) Repia el pao anerior con lo iguiene dao: ω n =2y ζ = c) Repia el pao anerior con lo iguiene dao: ω n = 5 y ζ = 5 5. La función de ranferencia de un iema lineal invariane eá dada por: H() = a) Dibuje el diagrama de polo y cero b) Deermine la repuea naural y repreene gráficamene. c) Deermine la repuea al ecalón uniario y repreene gráficamene. d) Deermine la repuea del iema ane la iguiene exciacione y repreene gráficamene. x () =e co()u(),x 2 () =co(3)u(),x 3 () =in()u() 6. La función de ranferencia de un iema lineal invariane eá dada por: H() = K + a) Dibuje el diagrama de polo y cero para diferene valore de K. b) Para K =,deerminelarepueaanelaiguieneexciacioneyrepreene gráficamene. x () =u(),x 2 () =e u(),x 3 () = in()u(),x 4 () =in(2)u() 7. Deermine lo valore de k, de al manera que lo iguiene polinomio ean de Hurwiz. a) P () = k b) P () = 4 + k 2 +3 c) P () = 3 + k k d) P () = k 8. Reponda i la iguiene afirmacione on fala o verdadera y juifique: a) Si un polinomio iene u coeficiene poiivo enonce e de Hurwiz. b) Si el denominador de la función de ranferencia e un polinomio de Hurwiz enonce el iema e eable o marginalmene eable. c) El produco de do polinomio de Hurwiz e de Hurwiz. d) Una combinación lineal de do polinomio de Hurwiz e de Hurwiz.

47 4.6. SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES 295 e) Si un iema iene la función de ranferencia H() = ,eeable. 9. Deermine lo valore de K para que la iguiene función circuial enga u polo y cero reale y alernado: F () = K Una maa de 2 gramo hace que un reore e eire 2 cenímero. Si el reore eá conecado a un mecanimo amoriguador de aceie que iene una conane de amoriguamieno de 4 dina egundo/cenímero, deermine la poición en odo inane abiendo que inicialmene e eira cenímero y e uela.. Un iema maa-reore in amoriguamieno, con un peo de 3 Newon y un módulo de elaicidad de 3 N/m e pone repeninamene en movimieno por medio de una fuerza exerna, en Newon, de 4co(7). a) Deermine la poición en odo inane y repreene gráficamene. b) Repia el lieral anerior i la fuerza aplicada e de 4co() Newon. 2. Un iema maa-reore-amoriguador preena lo iguiene dao: M =KgB =5N/mk =4N/m a) Encuenre y grafique la poición y la velocidad en odo inane i eando en u poición de equilibrio e le imprime hacia abajo una velocidad de 5 cenímero/egundo. b) Deermine el deplazamieno máximo y verifique lo reulado del úlimo ejercicio de la ección anerior. 3. Un cuerpo de 32 libra de peo e cuelga de un reore que iene una conane de elaicidad de 8/3 libra / pié. La reiencia del medio e numéricamene igual a 7 vece la velocidad inanánea. En el inane =el cuerpo e deplaza 2 pie hacia abajo de la poición de equilibrio y e impula hacia arriba con una velocidad V. a) Deermine el valor de la velocidad de al forma que el cuerpo alcanza la poición de equilibrio en un egundo. b) Halle el mínimo valor de la velocidad inicial que impide que el cuerpo alcance la poición de equilibrio en un iempo finio.