Capítulo 2. Cinemática de la Partícula

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1 Capíul 2. Cinemáica de la Parícula 2.1 Cnceps Básics Parícula Pun Maerial Además del mvimien de raslación, ls cuerps pueden efecuar mvimiens de ración y de vibración. Cuand se analiza el mvimien de raslación eclusivamene, resula cnveniene inrducir el cncep de parícula, asumiend que el cuerp se cmpran cm un pun, cn da su masa cncenrada en él. Siempre que sól inerese analizar el mvimien de raslación, se puede asumir, en una primera aprimación, que el cuerp en cuesión se cmpra cm una parícula. De esa frma se cenra la aención en la raslación, y se deja de mar en cuena las psibles racines y vibracines, que siempre pueden ser analizadas pserirmene. La aprimación será más cercana a la realidad mienras mayres sean las disancias invlucradas en cmparación cn las dimensines del bje en cuesión. Vecr de psición El mvimien es relaiv. Cuand se mencina que un cuerp se mueve, hay que especificar cn relación a qué se esá mviend. Usualmene se ma la Tierra cm sisema de referencia, per la Tierra ambién se mueve alrededr del Sl, y ése, jun cn d el sisema slar, alrededr del cenr de la galaia y cn relación a ras galaias, ec. La psición de una parícula respec a cualquier sisema de referencia se especifica mediane el vecr de psición r = i + yj + zk. Cnciend (,y,z) se cnce eacamene la psición de la parícula. En l que sigue sól se analizaran prblemas en 1 y 2 dimensines (reca y plan), pr l que la represenación del vecr de psición será en el plan y: r = i + yj i k r j P Trayecria y Desplazamien Cuand la parícula varía su psición cn el ranscurs del iemp, la curva imaginaria que se biene al unir las psicines sucesivas que va cupand la parícula se denmina rayecria de la misma. En ese cas el vecr de psición será función del iemp, l que se designa pr r = r(). Cm r = i + yj, ambién se cumplirá que = () ; y = y(). y j r P Supngams que en un insane 1, medid cn relj, la parícula se encuenra en la psición P 1, cn vecr de psición r 1. Y que en un insane i pserir se encuenra en P 2, asciad a r 2. Se define el desplazamien de la parícula en el inerval de iemp Δ = 2 1 cm Δ r = r 2 - r 1 (ver figura). Se ve fácilmene que, efecivamene, r 2 = r 1 + Δ r. 2.2 Velcidad y Rapidez Velcidad 1r P1 r 2 Δ r P2 Si la parícula ha realizad un desplazamien Δ r en el inerval de iemp Δ, es psible definir su vel- Dr. Arnald Gnzález Arias, Dp. Física Aplicada,UH arnald@fisica.uh.cu pare I, Cap.2, pag. 1

2 cidad media pr la epresión Δr v m = Δ Cm Δ es un escalar siempre psiiv, la velcidad media siempre iene la misma dirección y senid que el desplazamien Δ r. La velcidad insanánea ( simplemene, la velcidad) se define cm el límie para cuand Δ 0: lim Δr v = Δ 0 Δ dr v = d Cuand Δ iende a cer, el vecr desplazamien ambién iende a cer, y cada vez la cuerda se acerca más a la angene a la curva (ver figura). Cm la velcidad iene la misma dirección que Δ r, ambién su dirección se acercará cada vez más a la angene a la curva. En el límie, cuand Δ = 0, la dirección de la velcidad cincide cn la angene a la rayecria. Es decir, la velcidad insanánea de la parícula siempre es angene a la rayecria. En crdenadas caresianas en ds dimensines, dnde r i + y j se biene v = v i + v j y =, derivand cn respec al iemp dnde v y v y sn las cmpnenes de la velcidad a l larg de ls ejes crdenads: v = d/d, v y = dy/d. Rapidez Cnsidere un segmen cualquiera de rayecria recrrida enre ls puns P 1 y P 1 Δ P 2, y sea Δ la lngiud de ese inerval. Si la lngiud se recrre en el inerval Δr P Δ = 2 1, la rapidez de la parícula se define pr la epresión 2 lim Δ rapidez = Δ 0 Δ De la figura se ve que Δ y Δr n sn iguales sin que, a l más, Δ Δr. Sin embarg, a medida que el inerval Δ se hace menr y el pun P 2 se acerca a P 1, el valr de Δr y el de Δ irán siend cada vez más similares. En el límie para Δ 0 el pun P 1 y el P 2 prácicamene cinciden, y es psible susiuir un pr el r. En ese cas d = dr, y queda ennces lim Δ d dr dr = = = = v Δ 0 Δ d d d Pr an, la rapidez de la parícula n es más que el módul de su velcidad. Resumiend: v d dr = =. d d Si se desea calcular la lngiud Δ recrrida a l larg de la rayecria, despejand en la epresión anerir se biene d = vd, pr an, r r v Δ Dr. Arnald Gnzález Arias, Dp. Física Aplicada,UH arnald@fisica.uh.cu pare I, Cap.2, pag. 2

3 lim Δv a = Δ 0 Δ d = vd Δ = vd 2.3 Aceleración Sean v 1 y v 2 las velcidades de una parícula en ls insanes 1 y 2, respecivamene. La aceleración media de la parícula en ese inerval de iemp se define pr la epresión Δv a m = Δ y se cmprueba fácilmene que el vecr a m, paralel al vecr Δv, esá dirigid siempre hacia la pare cóncava de la rayecria (ver figura). La aceleración (insanánea) se define cm el Δ v v 2 1, v 1 límie de la aceleración media cuand el inerval Δ iende a cer: 2, v a m 2 - v 1 dv a = d Cuand la velcidad se epresa en función de sus cmpnenes, anerir, se biene a = a i + ay j. a = dv /d, a y = dv y /d. Cmpnenes Nrmal y Tangencial de la Aceleración v = v i + v j, aplicand la definición Hasa el mmen se ha uilizad para esablecer la psición de la parícula un sisema de referencia ligad a ierra. Cnsiderems ahra r sisema de referencia: un sisema de referencia ligad a la parícula, de manera que se mueve jun cn ella a l larg de la rayecria. y Ls ejes crdenads de ese sisema de referencia se man de frma que un de ells es angene a la rayecria en cada insane, y el r es perpendicular a esa angene. Se inrducen, además, el vecr uniari angene T (au) y el vecr uniari nrmal N, ése úlim dirigid hacia la pare cóncava de la curva. El vecr T se puede epresar en función de la velcidad de la parícula, que ambién es angene a la rayecria, cm v T = v Epresand la aceleración en función de T : dv d a = = (vt) d d N T Dr. Arnald Gnzález Arias, Dp. Física Aplicada,UH arnald@fisica.uh.cu pare I, Cap.2, pag. 3

4 a dv dt = T + v d d El primer érmin, dv/d, es la variación de la rapidez a l larg de la curva, y iene la dirección del vecr angene. Se denmina aceleración angencial: a = dv/d. Para analizar el significad de dt d, cnsiderems que, cm T es un vecr uniari, ennces el prduc escalar de él cnsig mism es igual a la unidad: T T = 1. La derivada del prduc escalar de vecres sigue las mismas reglas que las derivadas de las funcines dt reales. Derivand respec al iemp se biene 2 T = 0, l que de acuerd a las prpiedades analizadas del prduc escalar, significa que ls vecres T y dt d sn perpendiculares enre sí. Significa d que el vecr dt d iene la dirección del vecr uniari nrmal N, y pr an es psible escribir dt d = dt d N. Es decir, hasa el mmen hems lgrad epresar la aceleración de la siguiene frma: a dv dt = T + v N d d Fala pr invesigar el significad de dt d. Si pasams a la definición de derivada, ennces endrems dt lim ΔT ΔT = d Δ 0 Δ Δ Para calcular ΔT/Δ cnsiderems la figura siguiene: El riángul frmad pr ls ds radis y el segmen de cuerda de valr v m Δ es semejane al riángul frmad pr ls vecres T, T y Δ T, pr ser isósceles cn ángul cmún enre ls lads iguales. Que el ángul es el mism en ambs cass se ve fácilmene cnsiderand que ls vecres uniaris sn perpendiculares a ls crrespndienes radis de la circunferencia. Cuand ds ánguls aguds ienen sus lads crrespndienes perpendiculares enre sí, sn iguales. v m Δ θ T R T ΔT T θ T Analizand ennces la prprcinalidad enre lads hmólgs de riánguls semejanes, se cumplirá que ΔT T 1 = = v Δ R R m ΔT vm = Δ R Cnsiderand ahra un inerval Δ endiend a cer, la velcidad media v m enderá al valr de la velcidad insanánea en un pun, y el cciene ΔT/Δ se cnverirá en la derivada dt/d. Es decir, Dr. Arnald Gnzález Arias, Dp. Física Aplicada,UH arnald@fisica.uh.cu pare I, Cap.2, pag. 4

5 dt/d = v/r que es la epresión que deseábams encnrar. Susiuyend en la frmula de la página anerir, se llega a: a dv 2 v = T + N d R dnde el érmin v 2 /R es la cmpnene nrmal de la aceleración, simplemene, aceleración nrmal. En resumen, cuand ns referims a un sisema de referencia que se mueve jun cn la parícula a l larg de la rayecria, es psible epresar la aceleración pr la epresión a = at + ann a = dv/d a n = v 2 /R θ a = at Nar que a n es siempre psiiva, mienras que a puede ser psiiva negaiva, según sea que la parícula vaya aumenand reduciend su velcidad a l larg de la rayecria. El vecr aceleración siempre esará dirigid hacia la pare cóncava de la curva. Su dirección puede an = ann benerse a parir de las cmpnenes; anθ = a n /a. a 2. 4 Cas en que ā = 0: Mvimien Recilíne Unifrme A cninuación se esudian alguns cass pariculares de mvimien, cmenzand pr el más sencill psible. dv Si a = = 0, ennces necesariamene v = cnsane. Si d la velcidad es cnsane (módul, dirección, senid) el mvimien iene que ser a l larg de una reca. Y en ese v( 1) v( 2) r = i cas resula cnveniene escger el eje de frma que cincida cn la dirección del mvimien. El vecr de psición de la parícula endrá la frma. 0 1,1 2,2 1r r 2 En la figura, r 1 = 1 ; r 2 = 2. Cm sól hay una dirección cn ds psibles senids, se puede adpar el cnveni de que ls vecres que esén dirigids hacia la derecha se represenen cn un sign (+), mienras que ls dirigids a la izquierda se represenen cn un sign (-). De esa frma se puede bviar cmpleamene la represenación vecrial, y rabajar sól cn ls escalares. Así se biene, para la velcidad media v m = Δ/Δ dnde Δ = 2 1, Δ = 2 1 (psiiva cuand el mvimien es hacia la derecha, negaiva en cas cnrari). Cm la velcidad es cnsane, la velcidad insanánea será igual a la velcidad media en d insane, pr an: v = Δ/Δ Dr. Arnald Gnzález Arias, Dp. Física Aplicada,UH arnald@fisica.uh.cu pare I, Cap.2, pag. 5

6 Esa es la fórmula de la velcidad en el MRU. Tmand 1 = 0 (mmen en que se cmienza a cnar el iemp) y despejand Δ en la epresión anerir, se llega a la epresión para el espaci recrrid: Δ = v. Si se desea epresar cm varia la abscisa en función del iemp, susiuyend Δ en la epresión anerir, se biene = + v dnde se ha llamad a la psición de la parícula para = 0. Si se grafica la velcidad en función del iemp, se biene una reca paralela el eje de las. En cambi, la ecuación de la abscisa en función del iemp es la ecuación de una reca cn inercep y pendiene v. Ejercici: Analizar cm queda el gráfic cuand es negaiv y la velcidad ambién. θ (v = an θ) Unidades En el SI de unidades las lngiudes se miden mers (magniud parón) y el iemp en segunds. Pr an, [v] = [L]/[ ] = m/s [a] = [v]/[] = m/s Mvimien a l Larg de una Reca cn a 0 (cnsane). MRUV Fórmula de la Velcidad en el Mv. Recilíne Unifrmemene Variad En ese cas la epresión de la aceleración, cnsiderand una sla dimensión queda cm a = dv/d. Cnsiderand la derivada cm un cciene de infiniesimales un insane anes de alcanzar el límie, es psible rabajar cn ls diferenciales cm si fueran númers reales. Pr an, despejand en la ecuación anerir, dv = a d. La igualdad debe manenerse cuand se inegra a ambs lads de la epresión, cnsiderand que para el insane inicial la velcidad de la parícula enía el valr y que la aceleración es cnsane y se puede sacar fuera de la inegral, v dv = a v Inegrand ambas epresines y haciend = 0 pr cnveniencia (insane en que se cmienza a cnar el iemp), se llega a la fórmula de la velcidad en el mvimien recilíne unifrmemene variad. d v = v + a (2.5.1) Ne que siempre es (+), per v, v y a pueden ser psiivs negaivs, y que aquí se sigue el mism cnveni de signs que en el cas del MRU. El vecr que apune a la derecha (sea v ó a ) será psiiv, y negaiv en cas cnrari. Hay cuar psibilidades que se resumen a cninuación: Dr. Arnald Gnzález Arias, Dp. Física Aplicada,UH arnald@fisica.uh.cu pare I, Cap.2, pag. 6

7 v a mvimien acelerad a la derecha (v > 0, a >0) mvimien acelerad a la izquierda (v < 0, a < 0) mvimien reardad a la derecha (v > 0, a < 0) mvimien reardad a la izquierda (v < 0, a < 0) El gráfic de v en función del iemp prprcina la ecuación de una reca. En el ejempl se ha represenad un mvimien reardad hacia la derecha. v v θ Fórmula del Espaci en el MRUV Para hallar la epresión del espaci recrrid, a parir de la definición de velcidad v = d/d es psible despejar d: d = vd (a = an θ) Inegrand a ambs lads del sign de igualdad, y susiuyend v = v + a, se biene: = (v + d a)d = v d + a d La inegración definida de la epresión anerir, cnsiderand = 0 cm se ha hech anerirmene, cnduce a: Δ = v + 1 a 2 (2.5.2) Si se prefiere, es psible epresar la abscisa eplíciamene en función del iemp: = + v + 1 a 2 Ne que esas epresines prprcinan en realidad la abscisa en un insane deerminad, que n es l mism que el espaci al recrrid. Oras fórmulas de Inerés en el MRUV Si se despeja el iemp en la fórmula de la velcidad (2.5.1), se susiuye en la fórmula del espaci (2.5.2) y se simplifican érmins, se llega a v 2 = v 2 + 2aΔ (2.5.3) relación que n depende del iemp y puede ser de uilidad en muchs cass. Si se susiuye la fórmula del espaci (2.5.2) en la epresión de la velcidad media v m = Δ/Δ y se simplifican érmins, se llega a: v m v + v = (2.5.4) 2 Finalmene, cm Δ ambién puede escribirse cm Δ = v m, susiuyend la epresión (4) se llega a Dr. Arnald Gnzález Arias, Dp. Física Aplicada,UH arnald@fisica.uh.cu pare I, Cap.2, pag. 7

8 Δ = v + v (2.5.5) 2 Ne que las ecuacines (1) a la (5) se derivarn para el cas paricular en que la aceleración es cnsane y a l larg de una reca. N se pueden aplicar en ningún r cas. 2.6 Caída Libre de ls Cuerps Resulads Eperimenales Cuand es psible despreciar la resisencia del aire, ds ls cuerps caen vericalmene hacia la ierra cn la misma aceleración, de aprimadamene g = 9.8 m/s 2. Es se puede cmprbar fácilmene en eperimens de cáedra, dnde una pluma y una esfera pequeña de acer caen al unísn en un ub al que se le ha eraíd el aire previamene. Ls ejes de la gráfica adjuna represenan la disancia al pun inicial y el iemp ranscurrid desde que se deja caer un bje cerca de la superficie erresre. La gravedad acelera el bje, que sól cae uns 20 mers en ls primers ds segunds, per casi 60 mers en ls ds segunds siguienes. También se encuenra en la prácica que g disminuye a medida que aumena la alura sbre la ierra (se analizará mas adelane) y que, además, varía cn la laiud gegráfica: Lugar g(cm/s 2 ) La Habana (23 N) Washingn (47 N) Alaska (64 N) Cm el mvimien de caída libre es cn aceleración cnsane y a l larg de una reca, se regirá pr las mismas epresines que el MRUV. L únic que varía es el sisema de referencia, que ahra se encuenra verical (equivale a rar 90 a la izquierda el sisema de referencia que se uiliza para el mvimien en el eje. El cnveni de signs se maniene). 0 v+ v- v+ v- + - a = -g Cn ese cnveni de signs, las ecuacines de la caída libre man la frma siguiene: v = v g Δy = v - 1 g 2 v 2 = v 2 2gΔy Nar que, al igual que el mvimien analizad en el eje, la variable y represena la abscisa en un insane deerminad, y n el espaci recrrid pr la parícula. Usualmene el cer del sisema de referencia se ma de frma que cincida cn la superficie de la ierra, per es psible clcarl en cualquier r lugar. Dr. Arnald Gnzález Arias, Dp. Física Aplicada,UH arnald@fisica.uh.cu pare I, Cap.2, pag. 8

9 2.7 Mvimien de Pryeciles Pryecil Un pryecil es cualquier bje que se mueve baj la acción eclusiva de la gravedad y de la resisencia del aire, después que se le aplica un impuls inicial. En l sigue n marems en cuena la resisencia del aire (aprimación válida cuand la disancia a recrrer pr el pryecil n es muy grande). Cuand se analiza la variación de la psición (y = y()) se cmprueba que cualquier pryecil describe una rayecria caracerísica (aprimadamene parabólica) represenada esquemáicamene en la figura. El mvimien del pryecil se caraceriza pr una serie de parámers: v y v g θ h v : velcidad inicial θ : ángul de lanzamien ángul inicial (ne que el ángul que frma la velcidad cn la hriznal varía a medida que el pryecil avanza) y m : alura máima que alcanza el pryecil h : alcance hriznal (disancia recrrida a l larg del eje ) v : iemp de vuel (iemp que el pryecil esá en el aire) Es psible encnrar relacines enre das esas magniudes; pr ejempl, el alcance hriznal cm función de la velcidad inicial y el ángul de dispar. La psición del pryecil quedará deerminada cmpleamene en cada insane si se cnce su ley del mvimien, es decir, si se cnce la dependencia r = r(). Cm esams en un mvimien en ds dimensines, ennces r = i + yj, dnde = (), y = y(). Si se cnce el vecr de psición en cada insane, ennces se puede cncer ambién la velcidad en dr cada insane, pues que v =. Para calcular y() y () analicems la cmpnene del mvimien en d cada eje pr separad. Mvimien en el Eje X La única aceleración acuand es la de la gravedad, que n iene cmpnene en el eje. Pr an, el mvimien en el eje es cn velcidad cnsane, a l larg de una reca. Las epresines a uilizar sn las mismas del Mvimien Recilíne y Unifrme, mand la pryección cmpnene de la velcidad inicial a l larg del eje : v = v csθ Δ = v csθ Mvimien en el Eje Y La cmpnene de la velcidad inicial en eje y es: v y = v senθ. Y se ve fácilmene que las epresines serán las mismas que las de caída Libre (mvimien en el eje y cn aceleración de la gravedad). v y = v senθ g Dr. Arnald Gnzález Arias, Dp. Física Aplicada,UH arnald@fisica.uh.cu pare I, Cap.2, pag. 9

10 Tiemp de vuel Δy = v senθ - 1g 2 Cuand n hay fricción se cmprueba fácilmene que el pryecil arda el mism inerval de iemp en llegar hasa su alura máima que el que arda en regresar pserirmene hasa el suel. Pr an, es psible escribir v = 2 dnde es el iemp que arda en llegar a la alura máima. El iemp se puede calcular cnsiderand que, al alcanzar la alura máima el pryecil inviere su recrrid en el eje y, y pr an, en ese insane, v y = 0. De manera que, haciend v y = 0 en la epresión crrespndiene: 0 = v senθ g vsen θ ' = g y cm el iemp de vuel es el dble de ese valr, v 2vsenθ = 2' = g Alcance hriznal Si se susiuye en la epresión de Δ() el iemp que el pryecil esá en el aire ( v ), bendrems su máim alcance. Susiuyend: vsenθ Δ = v csθ 2 g Cnsiderand que 2senθ csθ = sen(2θ ), = 0, agrupand y simplificand se biene: h = 2 v sen2θ g Alcance Máim Dada una velcidad inicial v, el ángul inicial que prprcina el máim alcance del pryecil se biene impniend la cndición de erem relaiv en la epresión anerir, ya que en ese cas h depende de θ eclusivamene. 2 dh v cs(2θ ).2 = dθ g Igualand a cer esa epresión (cndición de erem relaiv) se biene que la derivada será cer si cs(2θ ) = 0, l que es igual, si 2θ = π/2. De aquí se biene θ (má) = π/4 (45 ). que puede cmprbarse crrespnde a un máim de la función h = h (θ ). Ecuación de la rayecria Eliminand el iemp en las epresines para Δ y Δy, haciend = y = 0, es psible demsrar que la ecuación de la rayecria sigue una dependencia parabólica (ejercici). Dr. Arnald Gnzález Arias, Dp. Física Aplicada,UH arnald@fisica.uh.cu pare I, Cap.2, pag. 10

11 Un cañón es una pieza que dispara pryeciles pr un ub larg (el cañón prpiamene dich) a ala velcidad y cn una rayecria baja y rasa; el pryecil lleva pr l general una carga que epla al prducirse el impac cn el blanc. El ánima (inerir) del cañón puede esar acanalada en espiral, en cuy cas es un ánima rayada, l que mejra la esabilidad del pryecil en vuel y hace más precisa su rayecria. Alguns cañnes uilizan una munición capaz de penerar bjeivs blindads. Gracias a ls recienes avances de las cmpuadras llevadas a brd y de ls insrumens de lcalización, ls cañnes y lanzachees mderns se pueden desplazar cn aunmía pr el camp de baalla, deeniéndse para disparar y rasladándse después cn rapidez a una nueva psición de fueg. Alguns cañnes y lanzadres mderns pueden disparar una munición denminada ineligene : sn pryeciles y cargas que pueden lcalizar y alcanzar blancs fijs móviles mediane refinads sensres y rasreadres. Ese ip de munición recibe ambién el nmbre de dispara y lvida prque su rayecria n iene que ser crregida en vuel Mvimien Relaiv Cuand un bje cae de un móvil (aubús, ren) la descripción del mvimien que prprcina un bservadr en el móvil usualmene difiere de la descripción que frece un bservadr en ierra. Un bservadr en una de las venanas del móvil verá que el bje se aleja de sí en línea reca hacia la ierra, mienras que el bservadr en ierra verá que sigue al móvil en su mvimien, describiend una parábla. bservadr en el móvil (caída libre) bservadr en ierra (pryecil) Ineresa, pr an, encnrar la relación que hay enre el mvimien vis pr ambs bservadres. Cn ese fin, cnsidere una parícula en mvimien y ds sisemas de referencia, un fij a ierra (y) y r ligad a un móvil ( y ) que se mueve cn velcidad cnsane respec al sisema fij. Ls vecres r y r sn ls vecres de psición de la parícula P respec a cada sisema de referencia. El vecr r u es el vecr de psición del sisema móvil respec al sisema fij. Según las reglas de la suma de vecres, r = r μ + r'. Cm la parícula esá en mvimien, y el sisema móvil supnems que se mueve cn velcidad cnsane, ls res vecres esán variand cninuamene su psición cn el ranscurs del iemp. Derivand en la epresión anerir cn respec al iemp, se biene: v = μ + v' dnde: v : velcidad de la parícula respec al sisema fij v : velcidad de la parícula respec al sisema móvil μ : velcidad del sisema móvil respec al sisema fij r y P r' Se acsumbra represenar la epresión anerir despejand v ' : v ' = v μ sisema fij r μ y sisema móvil Dr. Arnald Gnzález Arias, Dp. Física Aplicada,UH arnald@fisica.uh.cu pare I, Cap.2, pag. 11

12 Ejempl: Un au se mueve a 10 m/s. Cmienza a llver sin vien, cayend las gas cn velcidad cnsane de 5 m/s. Cn qué Angul chcan las gas de lluvia el parabrisas laeral? Das: Au (sisema móvil): μ = 10 m/s Lluvia (parícula respec a ierra): v = 5 m/s Lluvia respec al sisema móvil (v )? au (μ) lluvia (v) v' = v μ θ v an θ = μ/v = 10/5 = 2 θ = arcan(2) θ 63 cn la verical μ Dr. Arnald Gnzález Arias, Dp. Física Aplicada,UH arnald@fisica.uh.cu pare I, Cap.2, pag. 12