Física. fisica.ips.edu.ar

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1 Mvimient Circular Segunda Parte Física fisica.ips.edu.ar 3º Añ Cód P r f. L i l i a n a G r i g i n i P r f. M a r c e l a P a l m e g i a n i P r f. M a r í a E u g e n i a G d i n Dpt. de Físi ca

2 Capítul IV Mvimient circular Física III Desplazamient, velcidad y aceleración angulares Cuand una partícula en mvimient sigue una trayectria circular se puede dar su psición en cada instante indicand: el radi r y el ángul barrid θ r es el radi de la trayectria θ es el ángul que frma el vectr psición cn el semieje x psitiv P ( r, ) P 0 ( r 0, 0 ) Cuand un bjet gira desde una psición inicial 0 hasta una psición final, el desplazamient angular es Pdems especificar la psición de la partícula dand sus crdenadas x e y, per una descripción más simple y cnveniente es el par rdenad (r, θ) que representa las crdenadas plares de la psición. La simplificación prviene de que θ es la única crdenada que cambia cn el tiemp, la tra crdenada, el radi, permanece cnstante, en cambi las crdenadas x e y varían ambas en cada instante y n permiten distinguir entre sí psicines mayres a un gir cmplet. Para expresar la medida del ángul, se usan crrientemente ds unidades: 1 a) el grad sexagesimal (1º) definid cm la amplitud angular de de un círcul 360 cmplet b) el radián (1rad) definid cm la amplitud de un ángul para el cuál el arc subtendid y el radi sn iguales 0 8 P O L I T E C N I C O

3 La medida de un ángul en radianes resulta del cciente entre la lngitud del arc y el radi de la circunferencia crrespndiente. s r Un ángul de 1 radián es aquel para el cual la medida del arc subtendid es igual al radi. s r 1 Para cnvertir un ángul en grads a un ángul en radianes, viceversa, usams el hech de que: = 360 º En el estudi del mvimient circular, tds ls ánguls se indican en radianes. La psición θ queda así expresada pr un númer real, tal que a cada punt de la trayectria se le asigna el par (r, θ) que caracteríza únivcamente a la trayectria. Velcidad Angular Media ( M ): es el cciente entre el desplazamient angular y el interval de tiemp en el cual se prduce. M = t La unidad de la velcidad angular se btiene de la definición anterir: M = t rad 1 = = = s -1 s s Velcidad Angular Instantánea ( ): es el valr al cual tiende la velcidad angular media cuand el interval de tiemp se hace infinitamente pequeñ. lím t 0 t Esta velcidad angular puede ser cnstante variable. P O L I T E C N I C O 9

4 Capítul IV Mvimient circular Física III Aceleración Angular Media ( m ): en el cas de que la velcidad angular varíe en el tiemp, definims la aceleración angular media cm la relación entre la variación de velcidad angular y el interval de tiemp en el cual se prduce. m t La unidad de la aceleración angular se btiene de la definición anterir: M = t rad / s = s rad 1 = s = s = s - Aceleración Angular Instantánea ( ): es el valr al cual tiende la aceleración angular media cuand el interval de tiemp se hace infinitamente pequeñ. lím t 0 t MOVIMIENTO CIRCULAR CON ACELERACIÓN ANGULAR CONSTANTE (MCUV) En el estudi del mvimient rectilíne encntrams que la frma más simple de mvimient acelerad que es psible analizar es el mvimient baj aceleración lineal cnstante. De igual md, para el mvimient circular, el mvimient acelerad más simple que es psible analizar es el que curre baj aceleración angular cnstante. Desarrllarems a cntinuación, relacines cinemáticas para el mvimient circular baj aceleración angular cnstante. Si es cnstante y distinta de cer, se trata de un Mvimient Circular Unifrmemente Variad. k 0 MCUV Si la aceleración angular es cnstante, su valr cincide cn el de la aceleración angular media; pr l tant pdems escribir: m t t t 10 P O L I T E C N I C O

5 Despejand ; resulta: ( t t) esta fórmula permite calcular la velcidad angular en función del tiemp. La velcidad angular media se puede calcular cn la siguiente expresión: m t t t 0 Trabajand algebraicamente en frma adecuada la expresión anterir se puede escribir: m Igualand las ds expresines anterires y sustituyend pr t btenems: 1 ( t t ) ( t t ), 0 t 0 Si en la fórmula anterir reemplazams (t t ) pr btenems: 0 a y trabajams algebraicamente, ( ) Esta expresión permite calcular la velcidad angular en función de la psición angular del desplazamient angular. Si aceptams cm cndición inicial del mvimient que t 0, tdas las ecuacines recién vistas adptan una frma más simplificada: t 1 t t P O L I T E C N I C O 11

6 Capítul IV Mvimient circular Física III Observe que estas expresines para el mvimient circular cn aceleración angular cnstante sn de la misma frma que las crrespndientes al mvimient lineal cn aceleración cnstante cn las siguientes sustitucines: x v a Si es cnstante e igual a cer el mvimient recibe el nmbre de Mvimient Circular Unifrme; las ecuacines del mvimient circular unifrmemente variad, cn 0, adptan la frma: cns tan te t MCU RELACIONES ENTRE MAGNITUDES ANGULARES Y LINEALES En esta sección deducirems algunas relacines útiles entre las variables angulares y las variables lineales que describen el mvimient circular de una partícula. Cnsiderems una partícula P que gira en una circunferencia de radi r r s r En un tiemp t recrre el arc s, el ángul central crrespndiente a dich arc es el desplazamient angular que expresad en radianes es s r 1 P O L I T E C N I C O

7 Esta expresión ns permite establecer relación entre la lngitud del arc y el desplazamient angular s r De las definicines de v y de resulta: s lim t 0 lim t v t 0 r r lim t 0 t r t Esta expresión ns permite establecer relación entre la velcidad lineal y la velcidad angular v r Igualmente resulta: a t r Cncluims que s, v, at (variables lineales) se vinculan cn,, (variables angulares) a través de las expresines sencillas siguientes: s r v r a t r En tds ls cass las variables angulares se expresan en radianes. Cnsiderand la relación frma: v r, la expresión para la aceleración centrípeta adpta la a c v r r Recrdand que a a t a, resulta: c a r 4 ; tg P O L I T E C N I C O 13

8 Capítul IV Mvimient circular Física III Prblemas 1) Una partícula recrre una trayectria circular de radi 5 m cn una velcidad cuy módul es cnstante e igual a 15 m/s. Cuál es el módul, dirección y sentid de su aceleración? R: dirección radial, sentid hacia el centr de la trayectria, a c = 45 m/s ) Un satélite se mueve cn rapidez cnstante en una órbita circular alrededr del centr de la Tierra y próxima a su superficie. La cantidad de aceleración es 9,8 m/s ; cuál es la rapidez y cuánt tiemp tarda en dar una revlución cmpleta? ( Radi de la Tierra: 6370 km ). R: v = 7901 m/s; T = 5065 s 3) Un muchach hace girar una pelta atada a una cuerda en una circunferencia hrizntal de 1 m de radi. A cuántas revlucines pr minut deberá girar la pelta si su aceleración hacia el centr de la circunferencia ha de tener el mism módul que la aceleración de la gravedad? R: 30 rpm 4) Un pilt de avión se lanza hacia abaj para describir un riz siguiend un arc de circunferencia cuy radi es 300 m. En la parte inferir de la trayectria, dnde el módul de su velcidad es de 480 km/h, cuáles sn la dirección, el sentid y el módul de su aceleración? R: radial, hacia el centr de la trayectria, a c = 59,6 m/s 5) En las partes (a) y (b) de la figura se están mviend unas partículas en trayectrias circulares cn velcidad de móduls variables, habiéndse indicad ls vectres de velcidad. Halla el módul del vectr aceleración media entre las ds psicines dadas en ls ds cass. 6) En la figura unas partículas se están mviend en sentid cntrari a las agujas del relj en una circunferencia de radi 5 m cn velcidades cuys móduls pueden ser variables. Ls vectres aceleración se indican en cierts instantes. Halla: a) Las cmpnentes radiales y tangenciales de la aceleración en cada un de ess instantes; b) El módul de la velcidad en cada un de ess instantes. 14 P O L I T E C N I C O

9 7) Una platafrma gira a 78 revlucines pr minut y se encuentra que un pequeñ bjet clcad a distancias radiales menres de 5 cm se mantiene sbre la platafrma, mienta que a valres mayres desliza respect de la platafrma. Cuál es el ceficiente de rzamient entre la platafrma y el bjet? R: 0, 34 8) Se utiliza una cuerda de 1 m de larg para clgar una esfera de 0,5 kg del punt más alt de un pste. La esfera se pne en mvimient circular alrededr del pste cn una velcidad de 1,1 m/s frmand la cuerda un ángul de 0º cn respect al pste. Teniend en cuenta que la esfera gira en un plan hrizntal, calcula la tensión de la cuerda. Analiza el tip de mvimient que describe la esfera. 9) Un autmóvil describe una curva hrizntal de 10 m de radi sbre una carretera sin peralte, cn una velcidad de 40 km/h. Cuál es el ceficiente mínim de rzamient entre ls neumátics y la carretera para que el autmóvil n patine?; b) Cuál debe ser el ángul de peralte para esta velcidad? R: a) 0, 105 b) 6º 10) Un péndul simple se balancea en un plan vertical. Cuand la cuerda, de 0,75 m de lngitud, frma un ángul de 15º cn la vertical, la esferita tiene una velcidad de,7 m/s. Encuentra la aceleración resultante. 11) Una rueda de 90 cm de diámetr parte del reps y va aumentand unifrmemente su velcidad angular hasta alcanzar un valr de 100 rad/s en 0 s. Calcule: a) La aceleración angular; b) El ángul girad en ese tiemp. R: a) 5 rad/s b) 10 3 rad 1) Una partícula describe una circunferencia de 5 m de radi cn velcidad cnstante de m/s. En un instante dad cmienza a frenar cn una aceleración cnstante de 0,5 m/s hasta detenerse. Calcula: a) la aceleración de la partícula antes de empezar a frenar b) la aceleración resultante s después de empezar a frenar c) la aceleración angular mientras frena d) el tiemp que tarda en detenerse. 13) La velcidad angular de un vlante disminuye unifrmemente desde 900 r.p.m. hasta 800 r.p.m. en 5 s. Calcule: a) La aceleración angular; b) El númer de revlucines efectuadas pr el vlante en el interval de 5 s; c) Cuánts segunds más P O L I T E C N I C O 15

10 Capítul IV Mvimient circular Física III serán necesaris para que el vlante se detenga? R: a) -,1 s - b) 70,83 vueltas c) 39,96 s 14) Una rueda que inicialmente se encuentra en reps inicia un mvimient de rtación cn aceleración cnstante igual a 1,5 rad/s durante 8 s. A partir de este instante mantiene su velcidad angular cnstante durante 5 s más. A cntinuación desacelera a razón de 0,9 rad/s hasta vlver nuevamente al reps. Calcule el númer de revlucines giradas pr la rueda durante la ttalidad del mvimient.-r: 9,9 vueltas 15) Un móvil recrre cn velcidad de módul cnstante una trayectria circular de radi r. a) Si se duplica la velcidad, cóm se ve afectada la aceleración?; b) Si se duplica el radi de la trayectria, cóm se ve afectada la aceleración? 16) Un bjet ejecuta un mvimient circular cn una rapidez cnstante siempre que una fuerza neta de magnitud cnstante actúe perpendicular a la velcidad. Qué pasa cn la rapidez si la fuerza neta n es perpendicular a la velcidad? 17) Una masa m que está sbre una mesa hrizntal lisa, está fija a una cuerda de lngitud l, cuy extrem a su vez está clavad sbre la mesa. La masa gira alrededr del clav a una velcidad cnstante. Si la lngitud de la cuerda se reduce a la mitad, la tensión de la cuerda n varía si la velcidad angular se cambia a: a) b) c). d) Seleccina y justifica. 18) Un chic da vueltas a una piedra de masa m sujeta a cuerda de lngitud l. El plan de gir es vertical. La tensión de la cuerda cuand la piedra está en el punt más baj de su trayectria mviéndse cn una velcidad angular es: a) mg b) m(l +g) c) m(l -g) d) ninguna de las anterires. Seleccina y justifica. 16 P O L I T E C N I C O

11 Bibligrafía Física, Wilsn J, Buffa A, Lu B, Prentice Hall Inc., Méxic, 007 Física para la Ciencia y la Tecnlgía, Vlumen 1, Tipler P, Editrial Reverté, España, 001 Fundaments de Física, Vlumen 1, Sexta Edición, Serway R, Faughn J, Internatinal Thmsn Editres, Méxic, 004 Física Cncepts y aplicacines, Tippens P, Mc Graw Hill, Méxic, 001 Física, Blatt F, Prentice Hall Hispanamericana, Méxic, 1991 Física, Wilsn J, Prentice Hall Hispanamericana, Méxic, 1996 Física, Tm 1, Serway R, Mc Graw Hill, Méxic, 1997 Física Principis y aplicacines, Giancli D, Editrial Reverté, España, 1985 P O L I T E C N I C O 17