Física General 1 Proyecto PMME - Curso 2008 Instituto de Física Facultad de Ingeniería UdelaR

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1 Física General Pryec PMME - Curs 8 Insiu de Física Faculad de Ineniería UdelaR E s u d i d e u n M i m i e n b i d i m e n s i n a l e n e l f ú b l Naalia Alarez, Mariana del Casill, Miuel Renm INTRODUCCIÓN En ese infrme se esudiará un prblema de cinemáica bidimensinal raand las diferenes ariables inlucradas en el mimien y mdificand ls diferenes parámers iniciales para bserar el psible cmpramien del mism. FUNDAMENTO TEÓRICO Para la reslución de ese prblema físic es necesari cnar cn ncines sbre cinemáica en una y ds dimensines que serán prprcinadas en ese aparad. En la reslución de d prblema físic dnde se da un mimien es necesaria la elección de un sisema de referencia. Ésa es cmpleamene arbiraria, y depende únicamene de la uilidad que ena para cada bseradr en paricular. Las direccines denr del sisema referencial ambién sn arbirarias. Psición en función del iemp: elcidad media e insanánea. Eleid el sisema de referencia cmenzarems pr definir la psición en función del iemp: la elcidad. Numéricamene la elcidad media es el cciene enre el cambi de psición desplazamien y el iemp, mienras que la elcidad insanánea (una definición cneniene desde el pun de isa físic) se define cm el límie del incremen de la psición enre el incremen de iemps crrespndiene, haciend ender a ese úlim a cer. Dich límie es la definición de deriada de la psición respec al iemp en ese pun. i d ɺ media ii ins lim ins lim Velcidad en función del iemp: aceleración media e insanánea. Se definen de frma anála a la que se usó para definir a la elcidad media e insanánea, la aceleración media y aceleración insanánea. iii a media i d d ins lim Pdems hacer un prcedimien similar para hallar ambién las ecuacines de aceleración en función del iemp, per n apran en cuan a ese prblema, dnde la aceleración es cnsane nula. a ɺɺ - -

2 Relacines inerales. Ya se ha is cóm calcular la aceleración y la elcidad, a parir de la función psición cnra iemp, pr deriadas sucesias. En aluns cass, el bjei es cncer la ecuación de mimien de una masa a parir de la aceleración la elcidad de la misma, l cual sinificaría el prcedimien iners. En ese cas bendríams la ecuación pr medi de inerales sucesias. d a d a d a( ) a( ) + De frma anála cncerems la epresión de la psición respec al iemp. d d a d ( ) i ( ) + Mimien en ds dimensines. Para esudiar el mimien en ds dimensines mimien pryecil marems un sisema de referencia en el plan del mimien cuy ersr i sea paralel a la Tierra y su ersr j perpendicular a la misma. Esa elección sól es efecuada a md de faciliar la reslución de ls prblemas. Ls mimiens seún ambs ejes sn almene independienes. A parir de la aceleración pdems llear a las ecuacines de elcidad y psición respec al iemp mediane ineracines sucesias. ii iii.csθ y.senθ i a iˆ + ( ) ˆj ( ) iˆ + ( + ) ˆj y i. ( ) ˆ r ( ) ˆ + r i + + y + ry j - -

3 Cm se puede bserar en las ecuacines, en el eje n se eperimena aceleración pr l cual la elcidad en el mism es cnsane y ale. Sin embar en el eje y se bsera la presencia de la aceleración raiaria que hace disminuir la elcidad en y hasa que ale en el pun de máima alura y uele a aumenar en módul hasa una f cuand llea al final. Las ecuacines anerires msraban ambas crdenadas en función del iemp. Es ineresane esudiar ambién la rayecria del cuerp, es decir, el luar eméric de ds ls puns del plan pr ls cuales pasa la parícula. Para ell se eliminará el iemp enre las ecuacines: ii + y y + y En las cndicines en que (elección arbiraria del pun inicial para faciliar el despeje de ecuacines que serán úiles más adelane) y despejand el iemp en la ecuación de para suplanarl en la de y se biene las siuienes epresines: ii iii i y y y + y y + ( θ ) cs θ Sbre la rayecria suren aris puns de inerés, cm pr ejempl: la alura máima que alcanza la parícula, el alcance y el ánul para el que se biene mayr alcance. El alcance se define cm la disancia hriznal recrrida desde un pun (,y) a un de la frma ( f,y) (nar que la crdenada y es iual para ambas siuacines). Para el iemp en el cual alcanza la alura máima resula que la elcidad erical se hace cer: y y hmá En ese iemp se halla la mayr disancia erical que puede recrrer y la miad del alcance: y i y y y sen θ má y hmá ii hmá y senθ csθ hmá Pr simería de la cura, el alcance (R) sería el dble de hmá :. iii senθ csθ R sen hmá θ - 3 -

4 La úlima ecuación presena simería respec al ánul θ 45, para el cual endría un alr máim. Pr l cual, resula que el alcance máim de un mimien de ese ip es: / En las siuienes ráficas se muesra un ejempl de mimien bidimensinal dnde: el módul de m/s, α45º e y m 8 Psición en función del iemp ) (m (s) 3.5 Psición y en función del iemp y (m ) (s) 8 elcidad en funcin del iemp 6 4 s ) (m / - Velcidad en función del iemp y en rj en azul (s) - 4 -

5 Mimien relai. De la fiura se deduce direcamene que: i r R + r ' de la cual se desprenden las siuienes epresines: dr dr dr ' d r d R d r ' + i + Dichas ecuacines serán uilizadas para esudiar el prblema desde diferenes sisemas de referencia, ds inerciales (l cual sinifica cn aceleración nula, ya sea elcidad nula cnsane). EL PROBLEMA Un ler (Juan) paea la pela hacia adelane y hacia arriba (desde el pas) cn elcidad inicial y un ánul α respec a la cancha. En ese insane, un medicampisa (Pedr) que se encuenra a una disancia D delane del ler cmienza a crrer cn elcidad cnsane hacia adelane. En dónde cae la pela cn respec a Pedr? Cuán iemp esu la pela en el aire? Cuál es la alura máima que alcanza la pela? - 5 -

6 Planeamien de un sisema referencial ubicad sbre Pedr. Para ell definirems ersres perpendiculares de manera al que el ersr i sea hriznal y paralel a la ierra, mienras que el ersr j es perpendicular a la misma.pr cmdidad denminarems eje al deerminad pr el ersr i, y eje y al deerminad pr el ersr j. De ese md a simple isa bserams que cn respec al ersr j el sisema de referencia n presena ninuna aceleración ni elcidad, pr l cual el raamien de las ecuacines cincide cn el que haríams desde el sisema ierra. Sin embar seún el ersr i ése iene una elcidad cnsane de módul alejándse de Juan. Para rabajar desde mi nue sisema deb uilizar la ransfrmación de Galile descripa en el aparad de fundamen eóric. Para resler el prblema se uilizarán das las ecuacines descripas para mimien en ds dimensines sal que en ez de rabajar cn se rabajará cn - (siend ésa la elcidad hriznal bserada desde Pedr). A cninuación se muesran cm quedan las ecuacines de mimien bidimensinal para ese cas en paricular: a iˆ + ( ) ˆj ( ˆ ˆ ) i + ( + ) j y (( ) ) ˆ r ( ) ˆ d i + + y j Dónde cae la pela respec a Pedr? Para calcular la crdenada dnde cae la pela cn respec a Pedr despej el iemp de la ecuación de recrrid (r) en el ersr i y la suplan en la de recrrid en el ersr j, así benems: + d y ( ) + d Despejand y suplanand y y pr sus epresines dependiend de α benems: ( senα senα ) d Cuán iemp esá la pela en el aire? Teniend la crdenada dnde cae la pela y sabiend la ecuación para el recrrid en el ersr i se llea a la siuiene epresión: y f ( ) ( ) f d d Despejand y suplanand pr ls alres dependiend de α, ben f : f senα - 6 -

7 Cuál es la alura máima que alcanza la pela? Sabiend que el módul de la elcidad en j en la alura máima ale y que pr simería de la cura (dad que la crdenada y inicial y final sn iuales) el iemp en la alura máima es iual a la miad del iemp al ben: hmá + y sen α hmá y hmá GENERALIZANDO: Eensión del prblema Esudi del prblema para cass pariculares de relacines enre las elcidades de la pela y Pedr. Para el esudi de aluns cass pariculares se parirá de las siuienes ecuacines: a b c ' y r ( ) d ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) + d + d ry + y + y + d Cas : En ese cas se planea la siuación en que la elcidad inicial en el eje es iual a la elcidad de Pedr (mi sisema referencial). Dad que la elcidad seún Pedr enía dada pr la ecuación - y la psición pr la ecuación ( - )-d; se bsera que la pela se muee jun a Pedr y la disancia a la cual se encuenra respec a él es cnsane e iual a -d. Cas : Para ese cas, dnde la elcidad en es iual a la elcidad inicial impresa sbre la pela, enems que la crdenada en y es cnsane y ale. Carecems de una frma de deerminar el iemp que la pela esá en el aire prque la pela nunca se despeó del pis. L que sí es psible calcular es el iemp que demra la pela en llear a Pedr (). ( ) d d - 7 -

8 Cas 3: Aquí se analizará la relación que debe haber enre y para que la pela lleue a Pedr (y ése la aarre), l que sinifica que la disancia enre ambs () es nula. y ( ) d d y Cmpramien del sisema para diferenes ánuls α. En ese aparad se msrará qué alr debe mar α para que la disancia sea máima. Para ell se derió cn respec a α la epresión de. Pr medi de relacines rinméricas se biene una ecuación de seunda rad en cs α que enems que resler y analizar si sus raíces ienen senid físic n. ( α α ) sen sen d ( cs α csα ) ( ( cs α ) csα ) d d α d ( cs α csα ) dα csα ± De ese raamien se desprenden ds alres de cs α. Se debe recrdar que el α que buscams se encuenra en el ineral [,π/]; ineral en el cual a función cs α ma alres psiis y cer. De es úlim se cncluye que la función alcanza un alr máim en: + + α arccs 4 8 Se inenará encnrar el ánul para el cual. Para ell dispnems de: ( senα senα ) d d α α sen ( cs ) El raamien maemáic de la función que depende de α cnsiderams que es irreleane en cuan al prblema físic en sí. Se puede resler pr méds ráfics cm Rlle y Ábacs susiuyend pr enidades rinméricas de frma al de bener una epresión en función cuya única ariable sea α. De esa frma se llea a una ecuación de cuar rad que puede ser resuela pr medi de relacines enre ceficienes y raíces u rs méds de cálcul numéric. d senα ( csα ) d ( cs α )( cs α cs α ) - 8 -

9 Esudi del sisema cuand Juan ira la pela desde una alura pr encima del pis. Para ese cas las ecuacines de mimien quedan eacamene iual que las usadas sal que en la ecuación de recrrid en el ersr j debems arear un érmin de y inicial diferene de. (( ) ) ˆ r ( ) ˆ d i + + y + y j Desfasaje en el iemp inicial de la pela y Pedr. Seuir rabajand desde un referencial Pedr se hace más cmplicad en ese cas, pr es rabajarems desde un referencial ubicad en la ierra y ransfrmarems el resulad al final. Para ell definirems p cm el iemp de la pela, cm el iemp de Pedr y la diferencia en el iemp enre ambs. Ese úlim será cnsiderad psii y neai para diferenciar que en un cas la Pedr empieza a crrer anes y en el r después que Juan lanza la pela. Ls parámers p y sn cncids. p ± - Análisis de la pela: a (, ) p r ( p, + y p ) (, p + y ) p p y en el fin (cuand llea al pis) y + y A ese deb resarle la crdenada final de Pedr para saber la crdenada de la pela respec Pedr. - Análisis de Pedr: a + d ± + d f Cmbinand las ecuacines descripas anerirmene para ls análisis de la pela y de Pedr benems: r' sen(α ) ± csα d Siend r la psición de la pela respec a Pedr

10 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. HALLIDAY, D., RESNICK, R., KRANE, K. Física (Vlúmen ). hp://ichasaua.dfis.ull.es/dcencia/im/cinemaica/relai/relai.hm 3. hp:// - -