PROBLEMAS RESUELTOS MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES CAPITULO 4 FISICA TOMO 1. Cuarta y quinta edición. Raymond A. Serway

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1 PROBLEMAS RESUELTOS MOIMIENTO EN DOS DIMENSIONES CAPITULO 4 FISICA TOMO Cuara y quina edición Raymond A. Serway MOIMIENTO EN DOS DIMENSIONES 4. Los vecores de desplazamieno, velocidad y aceleración 4. Movimieno bidimensional con aceleración consane 4.3 Movimieno de proyeciles 4.4 Movimieno circular uniforme 4.5 Aceleración anencial y radial 4.6 elocidad y aceleración relaiva 4.7 Movimieno relaivo a alas velocidades Ervin Quinero Gil In. Elecromecánico Bucaramana Colombia 6 quinere@homail.com quinere@mail.com quinere6@yahoo.com

2 ALCANCE HORIZONTAL Y ALTURA MAXIMA DE UN PROYECTIL Y sen θ X X Y h sen θ Y X X T UELO Θ X X X X Θ Un proyecil disparado desde el orien en con una velocidad inicial. La alura máxima del proyecil es h y su alcance horizonal es R. En el puno más alo de la rayecoria, la parícula iene coordenadas (R/, h). Supónase que un proyecil se lanza desde el orien en con una componene Y posiiva, hay dos punos especiales que es ineresane analizar: El máximo que iene coordenadas (R/, h) y el puno que iene coordenadas (R,). La disancia R se conoce como alcance horizonal del proyecil y h es su alura máxima. Se encuenra h y R en función de, Θ,. Disancia horizonal recorrida R X vuelo Se puede deerminar h al observar que en la alura máxima Y. En consecuencia, puede usarse la ecuación 4. para deerminar el iempo necesario para llear a la alura máxima. Y Ecuación 4. Y Y Y sen Θ Despejando el iempo Y + sen Θ sen Θ - Y pero Y sen Θ sen θ

3 Al susiuir esa expresión para en la ecuación 4.3 y reemplazando y con h, se obiene h en función de, Θ. Componene de posición verical Y ( ) Y - sen θ pero: sen θ ( ) Y sen Θ Y h Reemplazando Y ( ) Y - h ( sen ) sen θ sen - θ θ h ( ( ) sen ) sen θ sen - θ θ h ( sen ) sen θ sen - θ θ ( ) ( ) sen sen θ - θ h h ( ) sen - ( ) sen θ θ h ( ) sen θ El alcance R, es la disancia horizonal recorrida en el doble de iempo necesario para alcanzar la alura máxima, es decir, en el iempo. Y ( ) Y - pero: Y Y - ( ) Y Cancelando ( Y ) despejando Y pero: Y sen Θ 3

4 sen θ Se le denomina iempo de vuelo del proyecil sen θ UELO El alcance R, es la disancia horizonal recorrida R X UELO Pero: X X cos Θ R X UELO R cos Θ UELO sen R cosθ sen θ cosθ ( ) R θ UELO pero: sen Θ cos Θ sen Θ sen θ R sen θ Ejemplo 4.5 Donde pone el ojo pone la bala. Pá. 8 del libro serway cuara edición En una conferencia demosraiva muy popular, un proyecil se dispara conra un blanco de al manera que el primero sale del rifle al mismo iempo que el blanco se deja caer en reposo, como muesra la fiura 4.9. Se demosrara que si el rifle esa inicialmene diriido hacia el blanco esacionario, aun así el proyecil hará diana. Línea de visión Y ½ y X T Θ Θ Y T X T FIGURA 4.9 Razonamieno y solución Se puede arumenar que el choque resulara bajo las condiciones esablecidas observando que ano el proyecil como el blanco experimenan la misma aceleración a Y - an prono como se 4

5 liberan. Primero observe en la fiura 4.9 que la coordenada y inicial del blanco es X T Θ y que disminuye a lo laro de una disancia ½ en un iempo. En consecuencia, la coordenada y del blanco como una función del iempo es, seún la ecuación 4.4. y X T θ er fiura 4.9 y X T Y T + Y X T θ YT + Despejamos Y T X y T θ - YT θ Pero Y ½ Si después de eso se escriben las ecuaciones para x y y correspondienes a la rayecoria del proyecil a lo laro del iempo, uilizando las ecuaciones 4. y 4.3 en forma simulanea, se obiene COMPONENTE DE POSICION HORIZONTAL X v X * X (v cos Θ) ECUACION 4. COMPONENTE DE POSICION ERTICAL Y - Y Y sen - θ YP sen θ - PERO: X T (v cos Θ) Despejamos XT cosθ Reemplazando en la ecuación anerior YP YP sen θ - XT sen - θ cos Cancelando θ XT Y sen - P θ cosθ Y - P XT θ Asi pues, al comparar las dos ecuaciones aneriores se vera que cuando X P X T ; Y P Y T Se produce un choque. 5

6 Ejemplo 4.7 Los exploradores exraviados. Pá. 8 del libro serway cuara edición Un avión de rescae en Alaska deja caer un paquee de provisiones a un rupo de exploradores exraviados, como se muesra en la fi. 4.. Si el avión viaja horizonalmene a 4 m/se. Y a una alura de meros sobre el suelo. Donde cae el paquee en relación con el puno en que se soló? 4 m/se Y Pero: X Y X + Y X Y Y X Y X elocidad con que llea al piso X X?? θ Donde cae el paquee en Disancia relación con horizonal el puno recorrida en que se soló? Se halla el UELO Y Y Y * Y Y Y * vuelo,4 9,8 9,8 4,5 se. X * vuelo 4 m se * 4,5 se 8,4 X 8,4 meros meros Y * UELO Y 9,8 * 4,5 Y 44,9 m/se. X 4 m/se. Seccion 4.3 Movimieno de proyeciles Problema 4. Edición cuara SERWAY Jimmy esa en la pare inferior de la colina, mienras que Billy se encuenra 3 meros arriba de la misma. Jimmy de un sisema de coordenadas esa en el orien de un sisema de coordenadas x,y y la línea que siue la pendiene de la colina esa dada por la ecuación Y,4 X. Si Jimmy lanza una manzana a Billy con un ánulo de 5 respeco de la horizonal. Con que velocidad debe lanzar la manzana para que pueda llear a Billy? 6

7 BILLY? Y B,4 m 5 X B 7,85 m Daos del problema: Disancia enre Jimmy y Billy 3 meros. Θ 5 Pendiene de la colina Y,4 X. Y B,4 X B Y B,6 X B Pero: ( 3 ) ( X ) ( Y ) B + B 9 X B +,6 X B 9,6 ( X ) B 9 X B 7,85 meros,6 X B 7,85 meros pero: Y B,4 X B Y B,4 (7,85) Y B,4 meros Alcance horizonal X v X * X (v cos Θ) (Ecuación ) X cosθ Pero: Y OY * * Y O * senθ * (Ecuación ) Reemplazando la ecuación en la ecuación. 7

8 * Y O senθ * X * X O cos θ Y O senθ * cos θ O senθ * X Y * X cosθ ( cosθ ) * ( X) Y a θ * X ( cos ) θ Reemplazando X 7,85 meros Y,4 meros a 5 * ( 7,85) Θ 5,4 9,8* 7756,,4 33,9 (,863) 9386,68 33,9 9386,68 33,9-9386,68,9 9386,68,9 9386,68,56 m se,9,56 m/se. ( 7,85) ( cos 5) Problema 4. Edición cuara SERWAY En un bar local, un cliene hace deslizar un arro vacío de cerveza sobre la barra para que vuelvan a llenarlo. El caninero esa momenáneamene disraído y no ve el arro, el cual cae de la barra y olpea el piso a,4 meros de la base de la misma. Si la alura de la barra es,86 meros. a) Con que velocidad abandono el arro la barra? b) Cual fue la dirección de la velocidad del arro juso anes de chocar con el piso? Se halla el UELO Y Y * Y Y 8

9 Y *,86 vuelo,755 9,8,489 se. a) Con que velocidad abandono el arro la barra? Daos: X,4 meros UELO,489 se. X * vuelo X,4 m 3,34 vuelo,489 se 3,34 m/se. b) Cual fue la dirección de la velocidad del arro juso anes de chocar con el piso? Daos: X 3,34 m/se. 9,8 m/se UELO,489 se. Y UELO 9,8 m/se *,489 se. Y 4,5 m/se. ( X ) + ( Y ) ( ) + ( ) ( 3,34) + ( 4,5) X Y,55 + 6,85 5,9 m se θ Y X - 4,5 -,9 3,34 θ arc (-,9) θ - 5,86 Problema 4.3 Edición cuara SERWAY Una peloa se lanza horizonalmene desde la azoea de un edificio de 35 meros de alura. La peloa olpea el suelo en un puno a 8 meros de la base del edificio. Encuenre: a) El iempo que la peloa permanece en vuelo? b) Su velocidad inicial? c) Las componenes X y Y de la velocidad juso anes de que la peloa peue en el suelo? a) El iempo que la peloa permanece en vuelo? Se halla el UELO Daos: Y 35 meros 9,8 m/se Y Y * Y Y Y * 35 7 vuelo 7,4,676 9,8 9,8 se. UELO,676 se. 9

10 b) Su velocidad inicial? X Daos: X 8 meros UELO,676 se. X * vuelo X 8 m 9,93 vuelo,676 se 9,93 m/se. c) Las componenes X y Y de la velocidad juso anes de que la peloa peue en el suelo? X 9,93 m/se. UELO,676 se. Y UELO 9,8 m/se *,676 se. Y - 6,9 m/se. (El sino neaivo por que va la peloa va cayendo.) ( X ) + ( Y ) ( ) + ( ) ( 9,93) + (- 6,9) X Y 895, ,96 39,77 m/se θ Y X - 6,9-9,93,875 θ arc (-,875) θ - 4,8 Problema 4.4 Edición cuara SERWAY Superman vuela al nivel de los árboles cuando ve que el elevador de la orre Eiffel empieza a desplomarse (el cable se rompe), su visión de rayos X le indica que Luisa Lane esa en el inerior. Si Superman se encuenra a km de disancia de la orre y el elevador cae desde una alura de 4 meros. Cuano arda Superman en salvar a Luisa y cual debe ser su velocidad promedio? Se halla el UELO Daos: Y 4 meros 9,8 m/se Y Y * Y Y Y * 4 48 vuelo 48, ,8 9,8 UELO 7 se. se. Daos: X km meros UELO 7 se. X * vuelo

11 X 4,85 vuelo 7 X 4,85 m/se. m se Problema 4.4a Edición cuara SERWAY Superman vuela al nivel de los árboles cuando ve que el elevador de la orre Eiffel empieza a desplomarse (el cable se rompe), su visión de rayos X le indica que Luisa Lane esa en el inerior. Si Superman se encuenra a una disancia d de la orre y el elevador cae desde una alura h. Cuano arda Superman en salvar a Luisa y cual debe ser su velocidad promedio? Se halla el UELO Daos: alura verical h 9,8 m/se disancia horizonal d h h h vuelo h * h d * d vuelo vuelo d h d h d h d h d h d * h d h Problema 4.5 Edición cuara SERWAY Un juador de soccer paea una roca horizonalmene desde el borde de una plaaforma de 4 meros de alura en dirección a una fosa de aua. Si el juador escucha el sonido de conaco con el aua 3 se. Después de paear la roca. Cual fue la velocidad inicial?. Supona que la velocidad del sonido en el aire es 343 m/se. Se halla el UELO Daos: Y 4 meros 9,8 m/se Y Y * Y Y Y * 4 8 vuelo 8,63,86 9,8 9,8 se.

12 UELO,86 se. 3 se UELO 3,86,4 se.? X Y 4 m R Y X Disancia horizonal recorrida Y Se halla la disancia recorrida por la peloa Daos:,4 se. X veloc. del sonido en el aua 343 m/se. R * 343*,4 48, m R (Y) + (X) (X) R - (Y) X ( R) - (Y) ( 48,) - ( 4) 35,9-6 75,9 X 6,56 m/se. Su velocidad inicial? X Daos: X 6,56 meros UELO,86 se. X * vuelo X 6,56 m 9,8,86 se vuelo X 9,8 m/se. Problema 4.7 Edición cuara SERWAY Un paeador de luar debe paear un balón de fúbol desde un puno a 36 meros (casi 4 yardas) de la zona de ol y la bola debe librar los poses, que esán a 3,5 meros de alo. Cuando se paea, el balón abandona el suelo con una velocidad de m/se y un ánulo de 53 respeco de la horizonal.

13 a) Por cuana disancia el balón libra o no los poses. b) El balón se aproxima a los poses mienras coninua ascendiendo o cuando va descendiendo. max,63 se X X 3 se m/se Y Y 3,9 m 53 3,5 m T UELO max X X Daos X 36 meros Θ 53 m/se. Y sen Θ Y 4 sen 53 Y 6 m/se. X X 53 Se halla el iempo máximo, es decir el iempo en que alcanza el puno mas alo de la rayecoria. Con eso se puede ubicar los poses. Y 6 max,63 se. 9,8 Se halla el iempo de vuelo del balón. vuelo max vuelo *,63 vuelo 3,6 se. Disancia horizonal recorrida X 36 m En la fiura se puede observar la posición del pose. A los 3 se. el balón va bajando. Pero: * 9,8 * 3 Y OY * 6 * 3 Y 48 44, Y 3,9 meros. la diferencia es 3,9 3,5,85 METROS Y Problema 4.8 Edición cuara SERWAY Un bombero a 5 meros de un edificio en llamas dirie un chorro de aua de una manuera a un ánulo de 3 sobre la horizonal, como se muesra en la fiura p4.8. Si la velocidad inicial de la corriene es 4 m/se. A que alura el aua incide en el edificio? 3

14 Y 4 m/se Y X X Y Θ 3 X X max X X 5 meros Daos X 5 meros Θ 3 4 m/se. PERO: X (v cos Θ) X cosθ Despejamos X cosθ 4 5 cos ,64,443 se. * Y OY * * Y O senθ * 9,8*,443 Y 4 sen 3 *,443,4 Y 8,86 Y 8,86, Y 8,66 meros Problema 4.8 a Edición cuara SERWAY Un bombero a una disancia d meros de un edificio en llamas dirie un chorro de aua de una manuera a un ánulo de Θ sobre la horizonal, como se muesra en la fiura p4.8. Si la velocidad inicial de la corriene es. A que alura el aua incide en el edificio? 4

15 Y X X h Y Θ X d PERO: d (v cos Θ) d cosθ Despejamos h OY * * h O senθ * * reemplazando en la ecuación h ( d d sen θ ) - cos cos θ θ d d h ( sen θ ) - cos cos θ θ d h θ d - cos θ h θ d - d ( ) cos θ h ( ) cos θ θ d - d ( ) cos θ h sen θ ( ) cos θ d - d cosθ ( ) cos θ h ( ) cosθ sen θ d ( ) cos θ - d 5

16 pero: sen Θ cos Θ sen Θ h ( ) sen θ d ( ) cos - θ d Problema 4.9 Edición cuara SERWAY Un asronaua sobre la luna dispara una pisola de manera que la bala abandona el cañon moviéndose inicialmene en una posición horizonal a) Cual debe ser la velocidad de orificio si la bala va a recorrer por compleo el derredor de la luna y alcanzara al asronaua en un puno cm debajo de su alura inicial b) Cuano permanece la bala en vuelo? Supona que la aceleración en caida libre sobre la luna es un sexo de la de la ierra. Gravedad de la luna /6 * 9,8,6333 m/se (Aceleración de la luna) La realidad es que la bala describe un movimieno circular alrededor de la luna, para eso necesiamos el radio de la luna,74 * 6 meros, los cm no inciden sobre el calculo del radio de la luna. hallamos la velocidad a L rl a L * r L 6 a L rl,6333*,74* 84999, ,8 b) Cuano permanece la bala en vuelo? m se π r L f π rl T Se despeja el periodo T π r 6 L * π *,74 * m T 6485,se m 685,8 se hora T 6485,se *,8 horas 36 se T,8 horas Problema 4. Edición cuara SERWAY Un rifle se dirie horizonalmene al cenro de un ran blanco a meros de disancia. La velocidad inicial de la bala es 5 m/se. a) Donde incide la bala en el blanco? b) Para olpear en el cenro del blanco, el cañón debe esar a un ánulo sobre la línea de visión. Deermine el ánulo de elevación del cañón. a) Donde incide la bala en el blanco? Es evidene que al disparar horizonalmene, la bala describe un movimieno de iro parabólico, ver la fiura. 6

17 Disancia horizonal recorrida X X Y,784 m X m Daos: Como el disparo es horizonal X 5 m/se X meros Hallamos el iempo de vuelo X X * vuelo X vuelo,4 se X 5 Ahora se halla el desplazamieno verical de la bala con respeco al cenro. Y OY * * - pero como el disparo es horizonal Y Y * como el movimieno es hacia abajo se considera el valor de Y (+) Y * 9,8 *,4,784 m b) Para olpear en el cenro del blanco, el cañón debe esar a un ánulo sobre la línea de visión. Deermine el ánulo de elevación del cañón. Observemos que el mismo disparo, pero ahora la velocidad inicial iene un ánulo respeco de la horizonal, eso es para aranizar que el disparo lleue al blanco. Es decir 5 m/se. Disancia horizonal recorrida X X X sen θ X sen θ X sen θ sen Θ,784 arc sen Θ arc sen,784 X m *9,8 96,

18 Θ,449,449 θ,4 Θ,4 respeco a la horizonal. Problema 4. Edición cuara SERWAY Durane la primera uerra mundial los alemanes enian un cañon llamado Bi Berha que se uso para bombardear paris. Los proyeciles enian una velocidad inicial de,7 km/ se. a una inclinacion de 55 con la horizonal. Para dar en el blanco, se hacian ajuses en relacion con la resisencia del aire y oros efecos. Si inoramos esos efecos: a) Cual era el alcance de los proyeciles b) Cuano permanecian en el aire? Disancia horizonal recorrida,7 km/ se 55 X X R? a) Cual era el alcance de los proyeciles Daos:,7 km/se Θ 55 km m,7 * 7 se km R sen θ sen R 9,8 R 77,3 km ( 55) ( 7) m se sen * 89 9,8 757, ,43 m 9,8 R X vuelo pero: X cos Θ R cosθ vuelo despejamos el iempo de vuelo R 773,43 773,43 cosθ 7*cos ,79 vuelo 84,9 se vuelo 84,9 se 8

19 Problema 4. Edición cuara SERWAY Una esraeia en las uerras con bolas de nieve es lanzarlas a un ran ánulo sobre el nivel del suelo. Mienras su oponene esa viendo esa primera bola de nieve, used lanza una seunda bola a un ánulo menor lanzada en el momeno necesario para que lleue a su oponene ya sea anes o al mismo iempo que la primera. Supona que ambas bolas de nieve se lanzan con una velocidad de 5 m/se. La primera se lanza a un ánulo de 7 respeco de la horizonal. a) A que ánulo debe lanzarse la seunda bola de nieve para llear al mismo puno que la primera? b) Cuanos seundos después debe lanzarse la seunda bola después de la primera para que lleue al blanco al mismo iempo? Primera bola de nieve Disancia horizonal recorrida 5 m/se 7 Seunda bola de nieve X X R? Disancia horizonal recorrida 5 m/se β Seunda bola de nieve X X R? PRIMERA BOLA DE NIEE Se halla el iempo de vuelo. Daos Θ 7 5 m/se. Y OY * * - pero: Y sen Θ Y O sen θ * - * pero Y O sen θ * - * O sen θ * * Cancelando a ambos lados de la iualdad. O sen θ * sen θ 9

20 sen θ vuelo * 5 sen 7 5 sen 7 46,984 vuelo 4,794 9,8 9,8 vuelo 4,794 se (de la primera bola de nieve.) se Con el iempo de vuelo de la primera bola de nieve, se halla el alcance horizonal. R X vuelo pero: X cos Θ R cosθ vuelo R 5* cos 7 * 4,794 R 4 meros Ahora hallamos el iempo de vuelo de la seunda bola de nieve en función del ánulo de disparo. Daos: β ánulo de disparo de la seunda bola de nieve 5 m/se. R 4 meros sen β vuelo sen β vuelo 5, sen β * 5*sen β 5 sen β 9,8 9,8 vuelo (de la seunda bola de nieve.) 5, sen β Con ese dao procedemos a hallar el ánulo β de disparo de la seunda bola de nieve. R X vuelo pero: X cos β R cos β vuelo pero: vuelo 5, sen β R cos β * 5, sen β R 5*cos β * 5, sen β R 7,5 * cos β *sen β pero: R ,7 *( cos β *sen β ) pero: sen β cos β sen β 4 63,7 *( sen β ) 4 sen β,643 63,75 sen β,643 arc sen β arc sen,643 β 4 4 β β

21 Con el calor del ánulo de disparo de la seunda bola de nieve, se halla el iempo de vuelo vuelo 5, sen β (de la seunda bola de nieve.) vuelo 5, sen vuelo 5, *,34 vuelo,744 se (de la seunda bola de nieve.) b) Cuanos seundos después debe lanzarse la seunda bola después de la primera para que lleue al blanco al mismo iempo? vuelo 4,794 se (de la primera bola de nieve.) vuelo,744 se (de la seunda bola de nieve.) Δ vuelo - vuelo Δ 4,794 se -,744 se Δ 3,5 se. Problema 4.3 Edición cuara SERWAY Un proyecil se dispara de al manera que su alcance horizonal es iual a res veces su máxima alura. Cual es el ánulo de disparo? Disancia horizonal recorrida β Y MAX X X R 3 Y MAX ( ) OY Ymax Pero: Y sen β ( senβ ) ( ) sen β Ymax Ymax O ( ) sen β ECUACION sen β R Pero: sen β cos β sen β sen β cos β * R Pero: R 3 Y MAX

22 3 Y Y MAX sen β cos β * 3 ( ) ( ) sen β cos β * MAX ECUACION Iualando las ecuaciones y. Ymax Y ( ) ECUACION sen β 3 ( ) sen β cos β * MAX ECUACION ( ) sen sen β cos *( ) β Cancelando a ambos lados de la ecuación 3 β sen β sen β cos β β 4 3 cos β 3 * 3 β,3333 arc β arc,3333 β 53,3 Problema 4.4 Edición cuara SERWAY Una pula puede brincar una alura verical h. a) Cual es la máxima disancia horizonal que puede salar. b) Cual es el iempo en el aire en ambos casos? Disancia horizonal recorrida β h X X R a) Cual es la máxima disancia horizonal que puede solar. El máxima alcance horizonal se lora cuando el ánulo es de β 45

23 R sen β ( ) sen 9 ( ) sen * 45 R R Ecuación h ( ) OY h ( Y ) h ( senβ) h ( ) sen β h,5 * ( ) 4 h ( ) Ecuación Reemplazando en la ecuación ( ) 4 h R R 4 h R Problema 4.5 Edición cuara SERWAY Un cañón que iene una velocidad de orificio de m/se se usa para desruir un blanco en la cima de una monaña. El blanco se encuenra a meros del cañón horizonalmene y a 8 meros sobre el nivel del suelo. A que ánulo relaivo al suelo, debe dispararse el cañón? Inore la fricción del aire. X X Y m/se Y 4 X X Y MAX 8 meros Θ X X max X 3 m/se Disancia horizonal recorrida 3

24 Daos del problema: m/se. X meros Alcance horizonal X v X * X (v cos Θ) X (Ecuación ) cosθ cosθ cosθ Mienras el cuerpo vaya subiendo, ( - ) la ecuación es neaiva. * Y O senθ * (Ecuación ) Reemplazando la ecuación en la ecuación. * Y O senθ * * cosθ Y O senθ * cosθ O senθ * senθ 9,8* 4 Y * - cosθ cosθ cosθ cosθ 8 * a θ 9,6 ( cosθ ) Y OY * * * θ 8 + 9,6 ( cosθ ) pero: ( cos θ ) (sec θ ) ( sec ) * θ 8 + 9,6 θ pero: (sec θ ) ( θ ) + ( ) * θ 8 + 9,6 θ + * θ 8 + 9,6 α + 9,6 Ordenando la ecuación 9,6 θ - θ ,6 ( θ ) - θ + 89,6 9,6 pero: a 9,6 b - c 88,6 θ - b ± b - 4 a c a - (- ) ± (-) - 4*9,6 *(88,6) *9,6 ± ,4 39, 4

25 θ ± 39358,76 39, ± 983,895 39, + 983,895 θ, , -983,895 β, , Θ,69863 Θ arc,69863 Θ 89,43 cos θ cos 89,43 9,948* - 3,4 se β,4956 cos β cos,34,949 β arc,4956 β,34,6 se. Problema 4.6 Edición cuara SERWAY Se lanza una peloa desde la venana del piso más alo de un edificio. Se da a la peloa una velocidad inicial de 8 m/se. a un ánulo de debajo de la horizonal. La peloa olpea el suelo 3 se. después. a) A que disancia horizonal a parir de la base del edificio la peloa olpea el suelo? b) Encuenre la alura desde la cual se lanzo la peloa? c) Cuano iempo arda la peloa para alcanzar un puno meros abajo del nivel de lanzamieno? Daos: 8 m/se. Θ vuelo 3 se. a) A que disancia horizonal a parir de la base del edificio la peloa olpea el suelo? X v X * vuelo X (v cos Θ) vuelo X (8 cos ) * 3 X,55 meros Mienras el cuerpo vaya bajando, ( + ) la ecuación es posiiva. * Y O senθ * + 9,8*3 Y 8 sen *3 + 9,8*9 Y 4 sen + Y 8,8 + 44, Y 5,3 meros c) Cuano iempo arda la peloa para alcanzar un puno meros abajo del nivel de lanzamieno? Mienras el cuerpo vaya bajando, ( + ) la ecuación es posiiva. 5

26 * Y O senθ * + 9,8* 8 sen * +, ,9 Y? 8 m/se Y m Y X 4,9 +,736 a 4,9 b,736 c - X Disancia horizonal recorrida - b ± b - 4 a c - (,736) ± (,736) - 4* 4,9*(-) a * 4,9 -,736 ± 3,459 -,736 ± 4,6 9,8 9,8 -, ,6,53 9,8 9,8,7 se. -,736 ± 7,459 9, Problema 4.58 Edición cuara SERWAY Un juador de básquebol de, meros de alura lanza un iro a la canasa desde una disancia horizonal de meros. Si ira a un ánulo de 4 con la horizonal, Con que velocidad inicial debe irar de manera que el balón enre al aro sin olpear el ablero? Daos del problema: Alura del lanzador, meros Alura de la canasa 3,5 meros 6

27 X meros Y 3,5,,5 METROS Θ 4 Alcance horizonal X v X * X (v cos Θ) (Ecuación ) X cosθ Pero: Y OY * * * Y O senθ * (Ecuación ) Reemplazando la ecuación en la ecuación. * Y O senθ * X * X O cos θ Y O senθ * cos θ O senθ * X Y * X cosθ ( cosθ ) * ( X) Y a θ * X ( cos ) θ Reemplazando X meros Y 3,5,,5 meros a 4* ( ) Θ 4,5,5 8,39,5 8,39 * 85,7 (,736) ( ) ( cos 4) 85,7 8,39 -,5 85,7 7,34 85,7 7,34 7

28 85,7,77 7,34,77 m/se. m se PROBLEMAS ADICIONALES SOBRE TIRO PARABOLICO Problema Un proyecil iene una velocidad inicial de 4 m /se que forma un ánulo de 53 por encima de la horizonal calcular: a) La disancia horizonal a que se encuenra del puno de parida 3 se después de ser disparado. b) La disancia verical por encima del puno de parida en el mismo insane c) Las componenes horizonal y verical de su velocidad en dicho momeno max,95 se X X 3 se 4 m/se Y Y 3,38 m 53 T UELO max X X X X 53 X 44,33 m Y Daos Θ 53 4 m/se. Inicialmene se halla el iempo máximo, para saber si los 3 se esán subiendo o bajando en la rafica. Y sen Θ Y 4 sen 53 Y 9,6 m/se. Y 9,6 max,95 se 9,8 max,95 se sinifica que a los 3 se. el proyecil esa bajando, ver rafica. a) La disancia horizonal a que se encuenra del puno de parida 3 se después de ser disparado. OX X cosθ OX X 4 cos 53 OX X m 4,44 se 8

29 X X * X 4,44 * 3 X 44,33 m b) La disancia verical por encima del puno de parida en el mismo insane En la fiura se puede observar la posición del pose. A los 3 se. el balón va bajando. Pero: * 9,8 * 3 Y OY * 9,6 * 3 Y 57,48 44, Y 3,38 meros c) Las componenes horizonal y verical de su velocidad en dicho momeno OX X 4,44 Y sen Θ Y 4 sen 53 9,8 * 3 Y 9,6 9,4 Y -,4 m/se m se Problema Un morero de rinchera dispara un proyecil con un ánulo de 53 por encima de la horizonal y una velocidad inicial 6 m/se. Un anque avanza direcamene hacia el morero, sobre un erreno horizonal, a la velocidad de 3 m/se. Cual deberá ser la disancia desde el morero al anque en el insane en que el morero es disparado para lorar hacer blanco. Disancia horizonal recorrida 6 m/ se 53 X X R? X? OX X cosθ OX X 6 cos 53 OX X m 36, se Se halla el alcance horizonal del morero R sen θ ( ) 9

30 sen R 9,8 R 353, km ( 53) ( 6) sen 6*36 9,8 346,54 353,m 9,8 Se halla el iempo de vuelo del morero R X * R 353, 36, v X v 9,78 se 9,78 se El iempo de vuelo del morero es el mismo iempo que necesia el anque para llear al objeivo. Se halla el desplazamieno del anque X v * X 3 * 9,78 X 9,34 meros PROBLEMA 3 Se lanza un proyecil con una velocidad de 6 m/se. y un ánulo de 6 sobre la horizonal. Calcular: Posición a los se. Y X X Y 6 m/se Y φ X X Y - () Y MAX ( ) Y Y X X T UELO MAX 6 X X 6 X X vuelo Disancia horizonal recorrida Y a) Cuano vale la componene verical de la velocidad inicial ( OY ) Daos del problema O 6 m/se. θ 6 3

31 OY O sen θ OY 6 sen 6 6 (,866) OY 5,8 m/se. b) Cuano vale la componene horizonal de la velocidad inicial ( OX ) Daos del problema O 6 m/se. θ 6 OX O cos θ OX 6 cos 6 6 (,5) OX 3,5 m/se. c) Cual es la velocidad verical al cabo de se. ( - ) Y OY pero: OY 5,8 m/se. Y 5,8 m/se. m/se * se. Y 5,8 m/se. m/se. Y 3,8 m/se. d) Cual es la velocidad horizonal al cabo de se. La velocidad horizonal ( X ) al cabo de se. es la misma que OX 3,5 m/se. Es decir la velocidad en eje horizonal permanece consane a ravés de odo el recorrido. X OX 3,5 m/se. e) Cual es la maniud de la velocidad al cabo de se. Pero: X OX 3,5 m/se. Y 3,8 m/se. ( ) ( ) ( 3,5) ( 3,8) X + Y + 44,8 m se 44,8 m/se. f) En que insane el proyecil alcanza el puno mas alo de su rayecoria. OY 5,8 m se max 5,8 se. m se ) Cual es el alcance del proyecil (Disancia horizonal recorrida) X X * vuelo pero: vuelo * max X 3,5 *,564 vuelo * 5,8 se. X 3, meros vuelo,564 se. h) Cual es la velocidad del proyecil al llear al suelo Es iual a la velocidad con que pare el proyecil. O 6 m/se. X OX 3,5 m/se. Es decir la velocidad en eje horizonal permanece consane a ravés de odo el recorrido. OY 5,8 m/se. O 6 m/se. 3

32 PROBLEMA 4 Se lanza un objeo con velocidad verical de 4 m/se. y horizonal de 3 m/se. a) Cual es la alura alcanzada. b) El alcance horizonal. max ( Y ) X X Y Y 4 X X Y MAX ( ) Y Y X X T UELO MAX X X X 3 m/se X X vuelo Disancia horizonal recorrida Y a) Cual es la alura alcanzada. ( 4) 6 m se 6 Ymax OY 8 * m se meros b) El alcance horizonal. El iempo para alcanzar el puno más alo. OY 4 m se max 4 se. m se Pero: OY 4 m/se. pero: vuelo * max vuelo * 4 se. vuelo 8 se. X X * vuelo pero: X OX 3 m/se. X 3 m/se. * 8 se. X 4 meros Problema 5 Un proyecil iene una velocidad inicial de 4 m /se que forma un ánulo de 53 por encima de la horizonal calcular: a) La disancia horizonal a que se encuenra del puno de parida 3 se después de ser disparado. b) La disancia verical por encima del puno de parida en el mismo insane c) Las componenes horizonal y verical de su velocidad en dicho momeno 3

33 max,95 se X X 3 se 4 m/se Y Y 3,38 m 53 T UELO max X X X X 53 X 44,33 m Daos Θ 53 4 m/se. Y Inicialmene se halla el iempo máximo, para saber si los 3 se esán subiendo o bajando en la rafica. Y sen Θ Y 4 sen 53 Y 9,6 m/se. Y 9,6 max,95 se 9,8 max,95 se sinifica que a los 3 se. el proyecil esa bajando, ver rafica. a) La disancia horizonal a que se encuenra del puno de parida 3 se después de ser disparado. OX X cosθ OX X 4 cos 53 m OX X 4,44 se X X * X 4,44 * 3 X 44,33 m b) La disancia verical por encima del puno de parida en el mismo insane En la fiura se puede observar la posición del pose. A los 3 se. el balón va bajando. Pero: * 9,8 * 3 Y OY * 9,6 * 3 Y 57,48 44, Y 3,38 meros c) Las componenes horizonal y verical de su velocidad en dicho momeno m OX X 4,44 se Y sen Θ Y 4 sen 53 9,8 * 3 Y 9,6 9,4 Y -,4 m/se 33

34 Problema 6 Un morero de rinchera dispara un proyecil con un ánulo de 53 por encima de la horizonal y una velocidad inicial 6 m/se. Un anque avanza direcamene hacia el morero, sobre un erreno horizonal, a la velocidad de 3 m/se. Cual deberá ser la disancia desde el morero al anque en el insane en que el morero es disparado para lorar hacer blanco. Disancia horizonal recorrida 6 m/ se 53 X X R? X? OX X cosθ OX X 6 cos 53 OX X m 36, se Se halla el alcance horizonal del morero sen θ ( ) R sen ( 53) ( 6) sen 6*36 346,54 R 353,m 9,8 9,8 9,8 R 353, km Se halla el iempo de vuelo del morero R X * R 353, v 9,78 se X 36, v 9,78 se El iempo de vuelo del morero es el mismo iempo que necesia el anque para llear al objeivo. Se halla el desplazamieno del anque X v * X 3 * 9,78 X 9,34 meros Problema 7 Un juador lanza una peloa formando un ánulo de 37 con la horizonal y con una velocidad inicial de 48 pies/se. Un seundo juador, que se encuenra a una disancia de pies del primero en la dirección del lanzamieno inicia una carrera para enconrar la peloa, en el momeno de ser lanzada. Con que velocidad ha de correr para coer la peloa 34

35 48 m/ se 37 Disancia horizonal recorrida X X R? X? OX X cosθ OX X 48 cos 37 OX X pies 38,33 se Se halla el alcance horizonal de la peloa 3 pies/se R sen θ ( ) ( 37) sen R 3 R 69, pies 48 sen 74 * 34 3 Se halla el iempo de vuelo de la peloa R X * R 69, v,8 se X 38,33 v,8 se 4,74 69, pies 3 Para el seundo juador, el iempo de vuelo de la peloa es el mismo iempo que el juador necesia para llear hasa la peloa. X pies R 69, pies X R + X X X R X 69, X 3,79 pies X pies se halla la velocidad del juador para arapar la peloa PROBLEMA 8 Una bala se dispara con un ánulo de iro de 3 y una velocidad de m/se. Calcular: a) Alura alcanzada en 8 se. b) A los cuanos se. reresa a la ierra. c) Disancia horizonal recorrida en 5 se. 35

36 Posición a los 8 se. Y X X Posición a los 5 se. Y 6 m/se Y 3 X X Y - () Y MAX ( ) Y Y X X T UELO MAX 3 X X X X vuelo 3 Disancia horizonal recorrida en 8 se. Disancia horizonal recorrida en 5 se. a) Alura alcanzada en 8 se. Daos del problema O m/se. θ 3 OY O sen θ OY sen 3 OY * (,5) OY m/se. Y Es necesario hallar el iempo máximo ( max ), para deerminar si a los 8 se. del movimieno la bala va bajando o subiendo. OY m se max se. m se El iempo máximo es de se. (er la rafica) se puede decir que a los 8 se. la bala esa subiendo. * Y OY * - pero 8 se. m/se OY m/se. * (8) * 64 Y * Y 48 meros. b) A los cuanos se. reresa a la ierra. vuelo * max vuelo * se. vuelo se. c) Disancia horizonal recorrida en 5 se. Daos del problema O m/se. θ 3 OX O cos θ 36

37 OX * cos 3 OX * (,866) OX 73, m/se. X X * pero: X OX 73, m/se. X 73, m/se. * 5 se. X 598 meros El alcance horizonal para 5 se. es X 598 meros. PROBLEMA 9 De arriba de una orre se lanza una piedra con una velocidad de m/se y un ánulo de 37. La piedra alcanza el suelo a una disancia de 6 meros con respeco a la base de la orre. Cual es la alura de la orre. Daos del problema O m/se. θ 37 OY O sen θ OY sen 37 OY * (,68) OY m/se. OY m se max, m se se. vuelo * max vuelo *, se. vuelo,4 se. Daos del problema O m/se. θ 37 OX O cos θ OX * cos 37 OX * (,798) 37

38 X OX 5,97 m/se. X X * vuelo pero: X OX 5,97 m/se. vuelo,4 se. X 5,97 m/se. *,4 se. X 38,3 meros. (Ese es el alcance horizonal del iro parabólico, ver rafica) Pero: 6 X + X X 6 - X X 6-38,3 X,67 meros (ER LA GRAFICA) X X * Pero: X OX 5,97 m/se. X,67 X 5,97 7,6se. (+ ) * Y OY * + * Y OY * + * (7,6) + * ( 7,6) Y 9,3 + 89,56 38 meros La alura de la orre es de 38 meros. PROBLEMA De lo alo de un edificio se lanza un proyecil con una inclinación de 4 por encima de la horizonal. Al cabo de 5 se. el proyecil encuenra el plano horizonal que pasa por el pie del edificio, a una disancia de ese pie iual a la alura del edificio. Calcular la velocidad inicial del proyecil y la alura del edificio. Se sabe que la máxima alura de rayecoria del proyecil respeco a la pare superior del edificio es de meros. Daos del problema: θ 4 5 se. (para X H) (Es decir el proyecil demora en el aire 5 se.) h max meros. m/se 38