TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA (Oposiciones de Enseñanza Secundaria) TEMA 4

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1 TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA (Oposiciones de Enseñanza Secundaria) TEMA 4 CINEMÁTICA. ELEMENTOS PARA LA DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIEN- TO. MOVIMIENTOS DE ESPECIAL INTERÉS. MÉTODOS PARA EL ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MOVIMIENTO. Esquema 1. Cinemáica.. Elemenos para la descripción del moimieno..1. Sisemas de referencia.. Vecor de posición de un móil..3. Vecor elocidad..4. Vecor aceleración..5. Componenes inrínsecas de la aceleración..6. Concepo de radio de curaura. 3. Moimienos de especial inerés Moimieno uniforme. 3.. Moimieno recilíneo uniformemene acelerado Moimieno circular uniforma Moimieno circular uniformemene acelerado Moimieno armónico simple Composición de moimienos recilíneos Descripción de casos elemenales Moimieno parabólico de caída Moimieno de proyeciles Composición de moimienos armónicos simples. 4. Méodos para el esudio experimenal del moimieno Méodos radicionales de laboraorio de mecánica. 4.. Méodos de foografía esroboscópica Méodos de laboraorio asisido por ordenador. 1/

2 TEMA 4 CINEMÁTICA. ELEMENTOS PARA LA DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIEN- TO. MOVIMIENTOS DE ESPECIAL INTERÉS. MÉTODOS PARA EL ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MOVIMIENTO. 1. CINEMÁTICA. La cinemáica esudia el moimieno de los cuerpos sin ener en cuena las causas que lo producen que son las fuerzas. El moimieno es el fenómeno físico más familiar y el más frecuene y general de la Nauraleza. Todos los fenómenos básicos que esudia la Física esán originados en su nauraleza ínima, por moimienos de deerminadas enidades, así por ejemplo: - La elecricidad consiuye el moimieno de cargas en conducores. - El Magneismo esá originado por el moimieno de cargas. - El Calor iene su origen en el moimieno molecular, - La Luz, como oda onda elecromagnéica, iene su origen en el moimieno ibraorio de parículas cargadas. - El Sonido, como oda onda mecánica, se origina por el moimieno oscilaorio de parículas en un medio maerial. El esudio del moimieno ano desde el puno de isa cinemáica como del dinámico, consiuye la base fundamenal de la Mecánica y por consiguiene de oda la Física.. ELEMENTOS PARA LA DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO..1. Sisemas de Referencia. Para un esudio correco del moimieno hemos de elegir en primer lugar un sisema de referencia (generalmene esablecido por un sisema de coordenadas) al cual referir la posición de un puno maerial mediane unas coordenadas numéricas. El puno esará en reposo cuando las coordenadas respeco al sisema de referencia, no arían con el iempo y esará en moimieno cuando al menos una coordenada aría con el iempo. Generalizando la definición a un cuerpo formado por muchos punos maeriales, diremos que esá en moimieno cuando al menos una coordenada de cualquiera de sus punos aría con el iempo. En esa definición de moimieno quedan englobados odos los ipos de moimieno que un cuerpo pueda ener: raslación, roación, ibración, deformación, ec. Consideraremos en cinemáica el moimieno del cuerpo más sencillo, el Puno maerial o parícula maerial cuyas dimensiones pueden despreciarse al esudiar el moimieno. La aplicación del concepo del Puno Maerial a los sisemas reales de la nauraleza depende de las condiciones específicas del problema, así por ejemplo, los planeas pueden considerarse punos maeriales cuando se esudian sus moimienos alrededor del Sol referido a un sisema de referencia fijo en ése, pero no pueden consi- /

3 derarse punos maeriales si se esudian los moimienos de roación alrededor de sus propios ejes. El moimieno es un concepo relaio pues debe referirse a un sisema paricular de referencia elegido arbirariamene y considerado fijo. Las obseraciones hechas en la Tierra esán referidas a un sisema referencial siuado en ella y por ende, en moimieno con la propia Tierra. Los asrónomos prefieren referir el moimieno eselar a un sisema de esrellas fijas aunque el sisema adolece del mismo defeco pues esos punos considerados fijos, aunque poco, arían sus posiciones con el iempo. El sisema de referencia fijo absoluo no exise, por imposibilidad de fijar dicho sisema en el espacio, ya que implicaría a su ez ora referencia fija por si misma de manera absolua. Normalmene debe elegirse el sisema de referencia que permia que las obseraciones, medidas y análisis de los daos del sisema físico esudiado, sean lo más sencillos posible. El moimieno iene el mismo carácer, ano si esá referido a un hipoéico sisema fijo absoluo como si esá referido a unos sisemas animados con moimieno uniforme (ce) respeco de los primeros. Por ello, para referir un moimieno, basará considerar como sisema de referencia unos ejes que se desplacen con moimieno de raslación uniforme, que llamaremos sisemas referenciales inerciales o Galileanos. El moimieno referido a sisemas referenciales no-inerciales, o sea, con moimieno de raslación no uniforme (con aceleración) o con moimieno de roación, es un ema de considerable imporancia cuyo esudio resuele imporanes problemas relacionados con el moimieno de gran alcance como el de saélies arificiales, cohees inerconinenales, cápsulas espaciales, masas de aire, corrienes marinas, ec. Pero no se raará en ese ema... Vecor de posición de un Móil. La Posición de un puno móil en el espacio queda fijada por el ecor de posición, r razado desde el origen O de coordenadas hasa la posición del móil P. Las componenes del ecor r (x, y, z) serán las coordenadas del puno móil en ese insane. El móil, en su moimieno describe una cura C llamada rayecoria del puno P, El moimieno de P queda oalmene especificado y deerminado si se conocen las res coordenadas del ecor como funciones del iempo: x x() y y() z z() llamadas ecuaciones paraméricas del moimieno. En cada insane, los alores de x, y, z corresponden a las coordenadas del puno ocupado por el móil en dicho insane. Físicamene equiale a decir que odo moimieno puede considerarse descompueso en res moimienos recilíneos sobre los res ejes coordenados. 3/

4 De las ecuaciones paraméricas x x(), y y(), z z() se deduce la ecuación de la rayecoria del puno móil con sólo eliminar enre ellas la ariable independiene. El ecor de posición endrá dado por la expresión ecorial: r r( ) x( ) i + y( ) j + z( ) k expresión que deermina r para cualquier insane y se puede escribir de modo genérico como: r r() que es la ecuación ecorial del moimieno. La disancia recorrida por el móil es la suma de odas las longiudes recorridas en los sucesios ineralos de iempo desde el insane inicial ( o ) al insane final (). Esa disancia consiuye la rayecoria definida aneriormene y sobre ella, el problema cinemáico consise en deerminar el camino recorrido en función del iempo, es decir: s s() Vemos pues dos aspecos en el raamieno de los problemas cinemáicos. El primero de ellos y más general, pariendo del ecor de posición r r() del que se deriarán odas las ecuaciones ecoriales del moimieno, álidas cualquiera que sea la rayecoria e independiene del sisema de referencia. Un segundo aspeco, más limiado, deermina únicamene el camino recorrido sobre la rayecoria mediane la expresión ss(), de la que se deducen las ecuaciones escalares del moimieno sobre la rayecoria, para lo cual es necesario fijar un puno inicial de origen en la rayecoria: s para referir a él las disancias recorridas y demás ariables cinemáicas..3. Vecor elocidad. Para el esudio del moimieno es necesario conocer la posición del móil en cada insane, que endrá dada por el ecor de posición y la ariación de esa posición con el iempo, que endrá dada por el ecor elocidad. Si un móil se encuenra en un insane dado, en la posición P (dada por el ecor de posición r ) y un ineralo después se encuenra en Q (dada por el ecor de posición r + r ) el móil ha sufrido un desplazamieno ecorial r y ha recorrido un ineralo de rayecoria s son, por definición, diferenes y no coincidenes. Sólo en el caso límie de que el ineralo de iempo sea infiniesimal, ambos concepos serán coincidenes en el gráfico y el módulo de r coincidirá con s. Se define el Vecor Velocidad Media m como r el cociene: m que es un ecor de dirección y senido idénico al ecor desplazamieno r, pues el escalar será siempre posiio. La dirección del ecor desplazamieno y por ello la del ecor elocidad media es la dirección de la cuerda del arco PQ. Análogamene se define la Velocidad Media en la Trayecoria m (magniud escalar) al cociene de la rayecoria recorrida en el iempo empleado: m 4/

5 Ambas elocidades medias, una ecorial y ora escalar, no son generalmene, de igual módulo pues r como puede apreciarse en la Fig.. Si reducimos el ineralo de iempo hasa alores muy pequeños que iendan a cero, el ecor elocidad quedará referido a un ineralo infiniamene pequeño, y se llamará Vecor elocidad insanánea o simplemene Vecor Velocidad: r dr lim (a) d Análogamene se definirá la Velocidad Insanánea sobre la Trayecoria como: ds lim (b) d Ambas expresiones esán relacionadas enre sí como demosraremos a coninuación. Considerando el ecor elocidad insanánea: r r lim. lim. lim El 1 er límie es un ecor de módulo 1 ya que r y ienden a ser iguales cuando, pues el arco () y la cuerda ( r ) se confunden cuando se hacen infiniamene pequeños y iene dirección angene a la rayecoria. La dirección de r (inicialmene secane a la cura) iende hacia una dirección angene cuando se hace infiniamene pequeño. Por ano, el primer límie represena un ecor uniario angene a la rayecoria en el puno: r dr lim u ds PQ (ecor uniario angene) pues lim 1 P Q PQ El º límie es el que hemos definido como elocidad media en la rayecoria, calculada en un ineralo reducido que iende a cero: lim (elocidad insanánea sobre la rayecoria) Finalmene resulará: u (c) el ecor elocidad insanánea es un ecor angene a la rayecoria que iene por módulo la elocidad insanánea calculada sobre la rayecoria y que llamaremos simplemene Celeridad. (Recordemos que odo ecor puede expresarse como el produco de su módulo por un ecor uniario en la dirección del ecor). Teniendo en cuena la expresión de: r x( ) i + y( ) j + z( ) k el ecor elocidad ambién puede expresarse en un sisema caresiano mediane la deriada del ecor de posición: dr dx( ) dy( ) dz( ) i + j + k d d d d y la celeridad, o módulo de la elocidad, será: dx dy dz + + d d d que será una función del iempo, como lo son las componenes dx/d, dy/d y dz/d. 1/ 5/

6 Vecor Aceleración. El moimieno de un puno maerial, en su forma más general, iene en cada puno de la rayecoria un ecor de posición y un ecor elocidad diferenes, lo que significa una ariación de la elocidad ano en módulo como en dirección y senido. En el insane la elocidad del puno móil siuado en P es y después de ranscurrido un ineralo de iempo, es decir en el insane +, la elocidad del móil, siuado en Q es +. Definimos el Vecor Aceleración Media al cociene enre la ariación del ecor elocidad y el ineralo de iempo ranscurrido. Es un ecor que iene la misma dirección y senido que : a m Considerando un ineralo de iempo infiniamene pequeño, que ienda a cero, podemos definir el Vecor Aceleración Insanánea o simplemene el Vecor Aceleración como el alor en el límie, de la relación V/ cuando iende a cero, es decir: d d dr d r a lim d d d d El ecor aceleración endrá por componenes: d dy d d x x z d y a i + j + k i + d d d d d y su módulo será: a a d x d d y + d d z + d.5. Componenes Inrínsecas de la Aceleración. d z j + k d De la propia definición del ecor aceleración a se deduce que, en general, no es ni angene a la rayecoria (pues implicaría una dirección consane en V ) ni perpendicular a ella (pues implicaría un módulo consane en V ) y por ello puede ser descompueso en dos componenes, una angene y ora perpendicular a la rayecoria, que se llamarán componenes inrínsecas de la aceleración. Dichas componenes esán siuadas en un sisema de coordenadas inrínseco al móil, con ejes angene y normal a la rayecoria e independiene de cualquier sisema de referencia. Aplicando la definición de a a la expresión del ecor elocidad, resulará: d d d du a ( u ) u + (d) d d d d como emos, a iene dos componenes ecoriales, una de ellas es angene a la rayecoria, de módulo d/d, que llamaremos aceleración angencial. 6/

7 El úlimo érmino de la expresión (d): du /d se ransforma en: du du ds du.. (Vceleridad o módulo de la elocidad) (e) d ds d ds y el facor du / ds es un ecor que represena la deriada del ecor uniario angene (de módulo consane) con respeco al arco. Se demuesra así: como u es un ecor uniario, su deriada du / ds respeco a un escalar es perpendicular a u. Esos ecores esán en el llamado plano osculador, deerminado por dos angenes consecuias a un puno, y el ecor du / ds iene la dirección de la normal principal, (perpendicular a la rayecoria conenida en el plano osculador) y su senido es el de la concaidad, por consiguiene: du ds Calculemos ahora el módulo de du un (f) du / ds ds. Sean dos punos P y Q de la cura de la fig. 4, y sean u y u + u los ecores uniarios angenes sobre dichos punos P y Q, respeciamene. (Por Q se raza el equipolene a u. En el plano osculador se razan las perpendiculares a la cura en P y Q. Consideremos que P y Q son consecuios por ello el arco PQ se confunde con un arco de circunferencia de cenro en O y radio y se puede escribir φ). En el riángulo QRS, que es isósceles por ser u u + u se cumple: φ φ u u sen sen pues u 1 diidiendo por resulará: φ φ φ sen sen sen u φ φ φ φ y pasando al límie para, resulará: φ sen u φ lim lim pues lim 1 φ φ y por ello: du dφ ds ds y considerando que φ ds dφ resulando: d u 1 ds que es la inersa del radio de curaura. 7/

8 Por ano, susiuyendo en (f): du du d lo que demuesra que el ecor aceleración a no iene ni dirección normal ni dirección angene a la rayecoria pues presena dos componenes en esas direcciones. Unicamene se puede asegurar que el senido de la componene normal es hacia el inerior de la concaidad de la rayecoria. Las componenes son: ds 1 un y luego susiuyendo en (e) un y ésa finalmene en (c) resula: a u + un Aceleración angencial: d d d d a u y su módulo d d Aceleración normal (cenrípea): an un y su módulo La aceleración angencial puede ser posiia si esá dirigida en la dirección de a y negaia si esá dirigida en senido conrario a, y la aceleración normal siempre posiia y dirigida hacia la concaidad de la cura. El módulo de la aceleración, en función de sus componenes será: d a a a + + an d y el ángulo que forma la aceleración con la angene a la rayecoria endrá dado por: An An g φ φ arcg A A Las componenes inrínsecas de la aceleración son de gran imporancia en cinemáica pues nos da, cada una de ellas, un aspeco de la ariación de la elocidad con el iempo. La aceleración angencial nos da la ariación del módulo de la elocidad con el iempo y la aceleración normal nos da la ariación de la dirección de la elocidad con el iempo. La clasificación de los moimienos debe hacerse por los alores de dichas componenes y de ellas se deducen sus ecuaciones. El cálculo de las componenes inrínsecas ambién se puede realizar mediane el siguiene mecanismo ecorial: Aceleración angencial.- De la deriada del ecor de posición se obiene el ecor elocidad y deriando por segunda ez se obiene el ecor aceleración y a parir de ambas, se realiza su produco escalar: a a a..cosφ. a y a ( a ) y la dirección del ecor uniario angene será: u luego: a au Aceleración normal.- A parir de los mismos ecores a y, realizamos su produco ecorial: a a a..senφ. a n y a n FIG.5 a n es 8/

9 y la dirección del ecor uniario normal será: como puede demosrarse fácilmene en la figura Concepo de Radio de curaura. u n ( a ) ( a ) Si omamos res punos muy próximo sobre una cura, P, P' y P", de las circunferencias angenes a la cura en P, la que iene en dicho puno un conaco al que P' y P" perenezcan a ella cuando ésos ienden a confundirse con P, la llamamos circunferencia o círculo osculador. E1 radio de ese círculo lo llamamos radio de curaura y al cenro, cenro de curaura. El círculo osculador perenece al plano deerminado por dos angenes sucesias a la cura, en P y P', por ejemplo cuando ambos punos ienden a confundirse uno sobre oro. A ese plano se le denomina plano osculador. FIG.6 3. MOVIMIENTOS DE ESPECIAL INTERÉS 3.1. Moimieno uniforme. El moimieno uniforme es aquel en el que las componenes inrínsecas de la aceleración son ambas nulas, es decir: a y De la primera se deduce: a n y por ser y el moimieno es de radio de curaura infinio, o sea, moimieno recilíneo. d De la segunda se deduce: a o sea: ce d y el moimieno iene módulo de elocidad consane, es decir, es uniforme. n a σ De ambas condiciones se deduce que el ecor elocidad es consane en módulo, dirección y senido ( ce ) y como esá definido por: dr luego d r. d d que inegrando: d r. d r + r donde r es la consane de inegración (ecorial) y represena el ecor de posición inicial, para el insane inicial,. (Fig. 6). FIG.7 Si omamos como origen de coordenadas un puno siuado en la propia rayecoria C del moimieno, odos los ecores implicados en la ecuación, r, r y endrán la 9/

10 misma dirección y se podrá escribir: de los ecores correspondienes. s s + o, donde s, s y serán los módulos 3.. Moimieno recilíneo uniformemene acelerado. Ese moimieno se caraceriza por que sus componenes inrínsecas de la aceleración oman los alores: a n y a ce De la primera se deduce como en el caso anerior, que el radio es infinio: r y por consiguiene el moimieno iene rayecoria recilínea. De la segunda se obiene: d/da (consane) siendo ésa además la aceleración oal (por ser la única) pues: a a + a a a n y como la aceleración angencial iene dirección angene a la rayecoria igual que la elocidad, se podrá escribir: d / d a a o bien: d a. d e inegrando: d a. d resula: a. + siendo la consane de inegración que corresponde con la elocidad inicial o elocidad para. Si susiuimos esa expresión en la ecuación de definición de resula: dr + a. o bien: d r d a.. d d. + 1 e inegrando: d r. d + a.. d r r +. + a. donde r es la consane de inegración que represena el ecor de posición en el insane inicial. Si elegimos como origen de coordenadas un puno siuado en la propia rayecoria reca C del moimieno, resularán r, r,, a, ecores odos ellos de la misma dirección y podrán escribirse las ecuaciones aneriores sólo con sus módulos, es decir: FIG. 8 1 s s +. + a. y a. + Enre ambas ecuaciones podemos eliminar el iempo para obener una ecuación de la elocidad en función del espacio y la aceleración f(s,a).: o despejando de la segunda ecuación: a y susiuyendo en la ecuación del espacio resula: s s s + + a + a a a a... 1/

11 s de donde: s + a a s s resulando + a( s s) a En el caso de que el origen de coordenadas sea arbirario y esé fuera de la rayecoria, la expresión ecorial anerior: 1 1 r r + + a puede ponerse: r r + a resulando que los ecores r r, y a ienen odos la misma dirección como puede apreciarse en la figura 8, y pueden escribirse por sus módulos llamando s r r resulando: s 1 + a Si se raa de un moimieno uniformemene reardado (decelerado), la aceleración será negaia y si el moimieno se debe a la acción graiaoria en recorridos coros muy próximos a la superficie de la Tierra, la aceleración se puede considerar consane e igual a ag 9 8 m/s 98 cm/s y se denomina moimieno de caída libre Moimieno circular uniforme. Para ese moimieno las componenes inrínsecas de la aceleración oman los siguienes alores: a n ce y a De la segunda condición a d/d se deduce que ce y como la primera condición implica: a n /ce, de odo ello se deduce que ce y la rayecoria ha de ser circular de radio. La aceleración oal del moimieno será: a a + an an y la elocidad será consane en módulo pero no en dirección, en consecuencia, la ecuación que nos dará el espacio recorrido por el móil a lo largo de su rayecoria circular es la misma que la correspondiene al moimieno uniforme y recilíneo, midiendo los espacios sobre la circunferencia: s s. + En ese ipo de moimieno ineresa conocer el ángulo girado por el radio-ecor que une el cenro con el móil. Recordando que: Arco(m)Radio(m).Angulo(rad) resula: S φ y deriando respeco al iempo, resulará: ds dφ dφ o sea. d d d esa úlima deriada represena la ariación del ángulo girado por el ecor de posición en la unidad de iempo, a lo que se le llama elocidad angular y se represena por ω: ωdφ/d, resulando: ω. (ω rad/s) Por conenio se represena la elocidad angular por un ecor axial normal al plano de la circunferencia (plano de r y ) de senido el correspondiene a la regla del sacacorchos (regla de Maxwell) y de módulo proporcional a su alor, por ello puede escribirse: ω expresión que ambién puede escribirse así: 11/

12 ω AO ω es decir, la elocidad angencial es el momeno del ecor elocidad angular ω con respeco al puno A 3.4. Moimieno Circular Uniformemene Acelerado En él, las componenes inrínsecas de la aceleración oman los siguienes alores: a n / ce y a d/dce endrá como rayecoria una circunferencia de radio y sobre ella el moimieno endrá descrio por las ecuaciones del moimieno uniformemene acelerado: 1 s s + + a + a + ` a ( s s) Como la elocidad no es consane, ampoco lo será la elocidad angular relacionada con aquella mediane el radio : Vω. y por ello deriando con respeco al iempo, resulará: d d d ( ω. ) ω. o sea a α d d d donde αdω/d es la aceleración angular o ariación de la elocidad angular con respeco al iempo. Se mide en rad/s en el sisema Inernacional (S.I.). Las ecuaciones aneriores pueden deducirse en función de las magniudes angulares a parir de: ω dθ/d y α dω/d e inegrando, o sea: 1 θ θ + ω + α ω ω + α ω ω + αθ 3.5. Moimieno Armónico Simple. Llamamos moimieno periódico a cualquier moimieno que se repie a ineralos iguales de iempo. Por ejemplo, el moimieno de una masa sujea a un muelle, el moimieno de un péndulo, las ibraciones de los áomos de una molécula, ec. Cuando una parícula que realiza un moimieno periódico se muee alernaiamene en un senido y oro sobre una misma rayecoria, recibe el nombre de moimieno oscilaorio. El moimieno oscilaorio más imporane es el moimieno armónico simple, por ser el más fácil de describir maemáicamene y consiuye un modelo exaco o aproximado para muchos sisemas físicos. Decimos que una parícula que se muee a lo largo del eje X realiza un M.A.S. cenrado en el origen O de dicho sisema coordenado, cuando su desplazamieno X con respeco al origen iene expresado en función del iempo en la forma: x A. sen( ω +ψ) donde A, ω y ψ son consanes propias del moimieno armónico. La disancia X que separa la parícula del origen O recibe el nombre de elongación. El alor absoluo de la elongación máxima A se denomina ampliud. La canidad 1/

13 ω+ψ (argumeno del seno) se denomina fase del moimieno y ψ es la consane de fase o fase inicial para. Durane el iempo en que la fase aumena en π, la parícula complea una oscilación, luego el periodo es Tπ/ω. La frecuencia ν del moimieno es el número de osci-laciones que se complean en la unidad de iempo [ν1/t (ciclos/sherzios (Hz))]. La consane ω es la frecuencia angular o pulsación (ωπνs -1 ). La elocidad de la parícula que realiza un Moimieno Armónico simple iene dada por la deriada de la Elongación respeco del iempo: dx ( ) π ω. A.cos ω + ψ ω. A.sen ω + ψ + d La aceleración de la parícula se deermina haciendo la deriada de la elocidad respeco del iempo: d a ω. A.sen( ω + ψ) ω. X d Considerando af/m la fuerza que deberá acuar sobre una parícula para que realice un Moimieno Armónico Simple debe ser ambién proporcional a la Elongación de la parícula y de signo conrario a ésa: F m a -m ω x -k.x donde k m ω llamada consane armónica Composición de Moimienos Recilíneos. Si un cuerpo se halla someido a dos moimienos simuláneos independienes, realiza un moimieno compueso que resula de la combinación de aquellos. La composición de dos o más moimienos se realiza calculando el ecor de posición del moimieno resulane como suma de los ecores de posición de los moimienos componenes. Eso se apoya en el Principio de Galileo o de independencia de los moimienos: Si un puno esá doado, por dos causas diferenes, de dos moimienos simuláneos, su cambio de posición es independiene de que los dos moimienos acúen sucesia o simuláneamene. De lo anerior se deduce que el ecor de posición r es la suma de los ecores de posición de los moimienos indiiduales: r r1 + r + r3 + r y deriando: o sea, la elocidad de un moimieno compueso es, en odo momeno, la suma ecorial de las elocidades de los moimienos componenes Descripción de Casos Elemenales. A) Un nadador que aanza en la dirección y senido de la corriene (dos moimienos recilíneos y uniformes en la misma dirección y senido): 1 + a s s 1 + s ( 1 + ) 13/

14 B) Nadador que aanza en senido conrario a la corriene (moimienos recilíneos y uniformes de la misma dirección y de senidos conrarios): 1 - a s s 1 - s ( 1 - ) ( 1 > ) C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmene a la corriene (moimienos recilíneos y uniformes de direcciones perpendiculares): cosα si α 9º 1 + el espacio recorrido será: s s + s s [ 1 + ] 1 y el ángulo de dirección resulane: s g θ 1 s1 D) Dos moimienos recilíneos uniformemene acelerados en la misma dirección: 1 s1 s a1 sumando: 1 s + + s a 1 s s1 + s ( s1 + s) + ( 1 + o ). + ( a1 + a ) ds ( 1 + ) + ( a1 + a) d d a ( a 1 + a) d E) Un moimieno uniforme y oro moimieno uniformemene acelerado en la misma dirección, dados por: s1 s sumando : s s + + a 1 s s1 + s ( s1 + s) + ( 1 + ). + a ds d ( 1 + ) + a a a d d la aceleración es la misma del moimieno acelerado Moimieno parabólico de caída. Por ejemplo, el lanzamieno de una bomba desde un aión que posee un moimieno recilíneo y uniforme de elocidad consane x (la del aión) y un moimieno recilíneo y uniformemene acelerado perpendicular al anerior con elocidad ariable y g. En el insane inicial, lógicamene y y el móil sólo posee x ce. En cualquier insane de su rayecoria, las elocidades componenes son: x ce x + y x + g y g 14/

15 El ángulo φ de con la horizonal será: y φ arcg x El ecor elocidad es: xi gj e inegrando y eniendo en cuena que para el móil esá en el origen r resula: 1 r x. i g. j por lo ano, los desplazamienos horizonal y erical para un insane dado endrán dados por las ecuaciones paraméricas del moimieno: x x 1 y g Eliminando el iempo en ambas expresiones, se obiene la ecuación yf(x) de la rayecoria: 1 x k. x x x y g x g Moimieno de proyeciles. ( parábola) Es decir, el moimieno de un proyecil lanzado por un cañón con un ángulo φ de inclinación con la horizonal y una elocidad inicial de salida. Las componenes de la elocidad inicial sobre el sisema de coordenadas XY serán: V x V cos φ V y V sen φ El moimieno horizonal del proyecil es uniforme con elocidad consane: V x V x ce y el moimieno erical es uniformemene acelerado de aceleración g y la elocidad para cualquier insane será: y y g ( y Velocidad inicial erical) y por ello las componenes del ecor elocidad serán: x. cosφ y y. sen φ -g. y el ecor elocidad se escribirá:. osφ i +. enφ g. ( ) ( ) j 15/

16 Inegrando, considerando que para es r r, resulará el ecor de posición del moimieno parabólico del proyecil: r ( ) i 1 g..cosφ +..sen φ.. j de donde, los desplazamienos horizonal y erical endrán dados por las ecuaciones: x cosφ 1 y senφ g que son las ecuaciones paraméricas del ecor de posición: r xi + yj La ALTURA MÁXIMA se alcanzará en el insane 1 en el que la componene erical de la elocidad se hace nula y o sea: y sen φ y g 1 de donde 1 y susiuye ndo en y resula: g g o sea: h y senφ 1 sen senφ g g g.sen h g φ φ sen g φ 1. sen g φ El DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL o ALCANCE se producirá en el insane en que el móil uele a su alura inicial, es decir, cuando y lo que dará como resulado una ecuación de segundo grado: 1 senφ g con dos soluciones: y sen φ g La primera solución corresponde al insane de salida en el que se cumple y y la segunda solución corresponde al iempo empleado en alcanzar el desplazamieno horizonal A y puede obserarse que es el doble del empleado en alcanzar su alura máxima, o sea: 1. La expresión del alcance A se obendrá susiuyendo en la ecuación xv cosφ el alor de, resulando: senφ senφcosφ sen φ a x cosφ g a g g El alcance horizonal será máximo cuando la función sinusoidal de A sea máxima, es decir, cuando sen(φ)1 lo que ocurre cuando φ9º, o sea, cuando φ45º. Por ora pare, como los ángulos suplemenarios ienen el mismo seno pueden considerarse dos ángulos φ suplemenarios, que den el mismo alcance, los cuales se obendrán a parir de dos ángulos φ complemenarios. Por ejemplo, para φ 1 15º y φ 75º se obiene el mismo alcance, en el primer caso se endría un iro rasane y en el segundo se endría un iro por eleación.. 16/

17 La elocidad oal del proyecil en un insane dado endrá dada por: x + y cos φ + ( senφ g )... cos φ + sen φ g.senφ + g (sen φ + cos φ) g(.senφ g ) gy y y el ángulo que forma con la horizonal será: gθ x Sólo nos resa deerminar la ecuación de la rayecoria descria por el proyecil, es decir, la ecuación yf(x) obenida al eliminar el iempo en las ecuaciones paraméricas: x x cosφ 1 y senφ g cosφ y susiuyendo en la segunda resula x 1 x g y sen ( g ) x g x cos φ cos φ cos φ φ φ ecuación de segundo grado del ipo yax +bx+c donde los coeficienes son: g a cos bg φ y c φ por consiguiene la ecuación de la rayecoria corresponde a una parábola con la concaidad hacia abajo por ser a negaio, y que pasa por el origen por ser c Composición de Moimienos Armónicos Simples. El caso más sencillo es la composición de moimienos armónicos simples de la misma dirección y de la misma frecuencia. Sean las ecuaciones de dichos moimienos, las siguienes: s1 A1 sen( ω + ψ1) donde ψ 1 y ψ son las fases iniciales. s A sen( ω + ψ ) como los desplazamienos ienen lugar en la misma dirección, por suma de las aneriores ecuaciones, resula: s s1 + s A1 sen( ω + ψ1 ) + A sen( ω + ψ ) Teniendo en cuena las relaciones rigonoméricas que nos dan el seno de una suma de ángulos y reordenando érminos, resula: s ( A1 cosψ1 + A cosψ ) senω + ( A1 senψ1 + A senψ ) cosω (#) Sabiendo que el moimieno resulane ha de ener la misma dirección y la misma frecuencia que las componenes, su ecuación será del ipo: s A. sen( ω +ψ) que desarrollando: s S. sen ω. cosψ + A cosω. senψ e igualando a la anerior (#), las dos ecuaciones que resulan son: A. cosψ A1 cosψ1 + A cosψ (##) A. senψ A1 senψ1 + A senψ Diidiendo ambas ecuaciones, endremos:. 17/

18 A1 senψ1 + A senψ gψ A1 cosψ1 + A cosψ que nos da la fase inicial del moimieno armónico resulane. Por ora pare, si eleamos al cuadrado las aneriores ecuaciones (##) y las sumamos miembro a miembro, obenemos: A A + A + A A (cosψ cosψ + senψ senψ ) A1 cos( ψ1 ψ o sea: A A + A + A ) que nos da el alor de la ampliud del moimieno armónico resulane. Casos Pariculares a) Si la diferencia de fase enre los dos moimienos es un múliplo par de π, o sea: ψ 1 -ψ kπ resula enonces: cos(ψ 1 -ψ ) 1 y por ano A (A 1 +A ) o sea A A 1 +A b) Si la diferencia de fase enre los dos moimienos es un múliplo impar de π, es decir: ψ 1 -ψ (k+1)π resula enonces: cos(ψ 1 -ψ ) -1 y por ano A (A 1 -A ) o sea A A 1 -A 4. MÉTODOS PARA EL ESTUDIO EXPERIMENTAL DE LOS MOVI- MIENTO Esán odos basados en la deerminación de la elocidad del móil en punos singulares de su moimieno, al objeo de deerminar la aceleración. Mediane múliples ensayos se obienen ablas de alores de las ariables calculadas y se rasladan a gráficos diersos, mediane los cuales se demosrarán las ecuaciones de los moimienos. Aunque exisen múliples méodos de esudiar el moimieno, podemos reagruparlos en res bloques: 4.1. Méodos radicionales de laboraorio de mecánica.. En el primer grupo, podemos incluir los méodos más uilizados en el laboraorio y radicionalmene heredados de los experimenos realizados por Galileo, enre los que desacamos los experimenos de caída de los cuerpos a raés de planos inclinados. En una rápida descripción, desacamos el esquema de laboraorio represenado en la Fig.14. Para el esudio del moimieno en el plano inclinado un ángulo α con la horizonal, necesiamos deerminar la elocidad en el puno final del plano (puno ) y. 18/

19 con ella y las magniudes geoméricas del plano (longiud del plano, ángulo de inclinación), puede deerminarse la aceleración mediane la expresión cinemáica: as donde en el caso de un cuerpo que para del reposo desde el puno de origen (puno 1). Mediane el ángulo de inclinación del plano α, podemos relacionar la aceleración del moimieno con la aceleración de la graedad, resulando: a g sen α y aumenando o disminuyendo la longiud del plano y/o la inclinación del plano, pueden obenerse disinos alores de la aceleración y a parir de ellos, obener el alor de la aceleración de la graedad. El problema de deerminar experimenalmene la elocidad del puno final del plano inclinado (puno ) queda resuelo midiendo las disancias: horizonal (x) y erical (y) de caída del cuerpo en el plano-suelo y mediane las ecuaciones del moimieno de caída parabólica: x cosα y senα + g se deerminan ano como (iempo en la caída parabólica). El experimeno, una ez monado y realizado, permie medir las magniudes lineales s, x e y, y a parir de ellas, se medirán y y de ellas se medirá a. Núm. De ensayo 1 s x y a s s Deben rasladarse los daos numéricos a gráficas adecuadas y hacerse un esudio de los errores comeidos. 4.. Méodos de Foografía esroboscópica. Son méodos écnicamene más aanzados y precisos que los aneriores que requieren ecnología e insalaciones de mayor niel que el habiual en los cenros de enseñanza secundaria. Se obiene resulados muy precisos y permien una comprobación muy exaca de las leyes de la cinemáica. El méodo consise en foografiar sobre el mismo negaio, la imagen de un objeo en moimieno, anas eces como sea preciso, con ineralos muy reducidos de iempo enre imagen e imagen. Se llea a cabo en una sala-laboraorio oscura, en donde un cuerpo realiza un moimieno (caída libre, moimieno de proyecil, iro oblicuo, moimieno de roación, moimieno armónico, choque de cuerpos, ec.). Una cámara foográfica, adecuadamene enfocada sobre el objeo, se maniene con el oburador abiero y mienras se realiza el moimieno se ilumina con una luz de flash inermiene, al que enre desello y desello ranscurra una fracción de segundo siempre consane.. 19/

20 T(seg) S(m) a(m/s ) Se obiene así, en el mismo negaio, una serie de imágenes superpuesas correspondienes a ineralos de iempo igualmene separados a lo largo del ineralo oal de iempo. El esudio de esos foogramas, midiendo las disancias enre los cuerpos, permie obener ablas de daos de disancias y de iempos que rasladados a gráficos permien la comprobación de las leyes de la Cinemáica. Muliud de foografías obenidas con ese méodo aparecen en los exos de Física, demosraios de los moimienos diersos de los cuerpos Méodos de Laboraorio Asisido por Ordenador. (L.A.O.) Son los méodos acuales más aanzados y exacos, fáciles de realizar y con equipos y maeriales al alcance de los cenros de enseñanza secundaria. Requieren, no obsane, aparaos muy modernos y sofisicados, enre los que desacamos: - Un ordenador personal y odo el equipo que le acompaña. - Programa de Sofware de Laboraorio Asisido por Ordenador, (L.A.O.). - Inerface de ransformación y ransformación de daos. - Maeriales de laboraorio específicos para cada prácica. Se requiere además conocimienos aanzados en el manejo de sisema operaio del ordenador, bases de daos, hojas de cálculo y manejo de programas de usuario. El monaje, represenado en la figura 16, incluye un plano inclinado, donde a a ener lugar el moimieno objeo de esudio. En punos adecuados (1 y ) y a disancias. /

21 conocidas, se monan las llamadas pueras elecrónicas, aparaos en forma de U inerida, en las que mediane un rayo de luz y una célula fooelécrica se deeca el paso de cualquier cuerpo que las franquee. Las pueras esán conecadas a unos conroladores de señales y a raés de un inerface adecuado, se coneca a un ordenador, el cual, con el adecuado programa de L.A.O. (Laboraorio Asisido por Ordenador) deeca los iempos que ranscurren desde un origen hasa que las pueras son franqueadas. FIG.16 El aparao mide con gran precisión los ineralos de iempo enre las pueras y esos daos son rasladados a la hoja de calculo del programa L.A.O. que permie oda clase de manipulación y cálculo, así como represenaciones gráficas oales y parciales, únicas y superpuesas, así como su escriura en una impresora. El mismo programa esa preparado para que al inroducir las ecuaciones adecuadas al fenómeno esudiado, permia efecuar con gran precisión los cálculos a parir de los daos obenidos por el ordenador. La uilización de ese méodo sólo depende de la imaginación del experimenador. BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA Raymond A. SERWAY. Física. Nuea Ediorial Ineramericana. México. Marcelo ALONSO Y Edward J. FINN. Física. Vol. 1. Mecánica. Addison-Wesley Iberoamericana. México. Mamuel R ORTEGA GIRON. Lecciones de FISICA. Mecánica 1. Deparameno de Física Aplicada. Uniersidad de Córdoba. Córdoba. Rober M. EISBERG y Lawrence S. LERNER. Física: Fundamenos y Aplicaciones. Ed. McGraw-Hill. Madrid. Jesús RUIZ VÁZQUEZ. Física. Ediorial. Selecciones Cieníficas. Madrid. Mario GUERRA, Juan CORREA, Ismael NUÑEZ Y Juan MIGUEL SCARON. Física. Elemenos Fundamenales. Mecánica y Termodinámica Clásica. Tomo 1. Ed. Reeré Barcelona.. 1/

22 Traamieno Didácico OBJETIVOS Esudio sisemáico del moimieno como fenómeno más imporane de la Física. Esablecer los concepos básicos del moimieno (posición, elocidad, aceleración) senándolos sobre sólidos razonamienos maemáicos. Iniciar al alumno en las écnicas experimenales, aplicándolas al esudio del moimieno y enrenarlo en el rabajo de laboraorio. UBICACIÓN El ema puede iniciarse en 3º curso de ESO de una manera sisemáica, aunque elemenal (en los nieles aneriores sólo se inroducen unas nociones muy básicas) y con más profundidad en el 4º de la E.S.O. En 1º curso de Bachillerao, el ema se expondrá con rigor concepual, ya plenamene apoyado en el lenguaje maemáico y ecorial y uilizando las bases del cálculo diferencial. TEMPORALIZACIÓN En el niel de mayor exensión se dedicarán ocho horas de clase al ema del moimieno compleado con resolución de problemas numéricos. Dos horas dedicadas a la realización de prácicas de laboraorio. En los nieles inferiores los iempos de dedicación al ema serán menores. METODOLOGÍA Explicación de los concepos del moimieno mediane meodología acia, basándonos en moimienos de la ida real y adapándolos a siuaciones eóricas para su esudio maemáico. Deberá complearse con la resolución de problemas numéricos diersos, con uilización exclusia del Sisema Inernacional de unidades. Debe inculcarse a los alumnos la idea del rabajo personal en la resolución de problemas, imprescindible para la comprensión y el razonamieno de los concepos físicos. CONTENIDOS MÍNIMOS Concepo de relaiidad del moimieno. Concepo de Posición, Velocidad y Aceleración. Caracerísicas de los moimienos fundamenales y sus ecuaciones. Sisema Inernacional de unidades cinemáicas. MATERIALES Y RECURSOS DIDÁCTICOS Libro de Texo, complemenado con apunes omados en clase de las explicaciones del profesor, subrayando los concepos y ecuaciones más imporanes. Maerial de laboraorio sencillo y adecuado a prácicas de moimieno uilizando planos inclinados, bolas de acero, cronómeros, reglas, nonius, ec. Hojas de problemas que consiuyan una colección de problemas escogidos, de dificulad creciene, adapados al niel del curso y referenes al ema. EVALUACIÓN Pruebas objeias sobre los concepos fundamenales del ema, alorando comprensión, memorización y aplicación de esos concepos. Pruebas prácicas sobre resolución de problemas. Valoración de las prácicas realizadas en el aula o en el laboraorio. Pruebas de opción múliple. El ema es idóneo para confeccionar pruebas de arias respuesas (3 falsas y 1 erdadera) que obligará al alumno al razonamieno de las siuaciones planeadas. La corrección debe ajusarse a las normas radicionales de ese ipo de pruebas.. /