MODELIZACIÓN TIPO ARCH APLICADA EN EL CONTEXTO DEL IBEX-35. VISIÓN PRELIMINAR. Rafael de Arce Borda

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1 MODELIZACIÓN TIPO ARCH APLICADA EN EL CONTEXTO DEL IBEX-35. VISIÓN PRELIMINAR Rafael de Arce Borda Deparameno de Economía Aplicada Universidad Auónoma de Madrid Junio RESUMEN En el presene análisis se hace un recorrido sobre la variación de la volailidad del Ibex 35 desde 99 considerando res períodos disinos: anes de la firma de Masrich, después de la firma y a parir de la creación del área de moneda única en Europa. El documeno pare de un breve análisis de las principales caracerísicas descripivas del Ibex-35. En segundo lugar, se hace una reseña meodológica sobre la écnica GJR- Arch y AP-ARCH para el análisis esadísico de la volailidad condicional heerocedásica auorregresiva. En ercer lugar, se esima la volailidad del índice exrayéndose las principales conclusiones fruo de la unión de ambas écnicas.

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3 . INTRODUCCIÓN Y JUSTIFICACIÓN DEL ESTUDIO Desde la creación de la Unión Monearia Europea con once países el de enero de 999, la políica monearia se unifica en manos del Banco Cenral Europeo. En el camino previo de convergencia para los países que inegran el Euro, el descenso de la renabilidad libre de riesgo ha sido el más veriginoso conocido hisóricamene y la pérdida de aracivo de la Deuda Pública, a an bajo nivel de renabilidad, se ransmiió conundenemene a los mercados de rena variable como efeco equilibrador: ane la caída de la renabilidad del mercado sin riesgo, la gran masa de inversionisas se raslada hacia el mercado de rena variable, con el consiguiene sobrepeso de la demanda de acivos sobre su ofera y el noabilísimo "boom" bursáil que venimos viviendo en los úlimos dos o res años. Las bolsas mundiales presenan cifras record de capialización y la nauraleza de los agenes que en ella inervienen no puede ser más diversa. "El mercado se ha popularizado" con lo que ello iene de cambio: Por un lado, la bolsa es más que nunca un juego en el que no sólo inervienen profesionales. Sus vaivenes (o su volailidad) deben ser por ano más frecuenes. La evolución de la bolsa es un fenómeno que ineresa a muliud de observadores que ven como se modifica diariamene el valor de su ahorro y reaccionan ane esímulos diferenes a los que lo haría un agene financiero radicional. Por oro lado y abundando al mismo iempo en lo anerior, el conocimieno de las expecaivas bursáiles y sus mecanismos generarices es una cuesión de exrema relevancia. Los modelos de medición de la volailidad como uno de los elemenos más imporanes en la medición de expecaivas es un puno primordial. Finalmene, la sociedad de la información cenra un imporane número de acividades en la información precisa del movimieno de los acivos financieros que hoy, más que nunca, gozan de los primeros lugares en las noicias, la radio, los eleexos, la elevisión por cable, los paneles publiciarios elecrónicos en la calle y, por supueso, inerne. No sólo la información es consane; la operaividad y acceso rápido a los mercados financieros esá al alcance de cualquier ordenador personal o de cualquier eléfono. El número de operaciones se incremena a rimos inimaginables hace apenas unos años. Tradicionalmene, la volailidad en los mercados financieros se ha venido midiendo con el valor de la varianza del precio de los acivos. Esa variable, la varianza, se conviere en explicaiva de la evolución del propio precio en cuano a información disponible en de -. En cada momeno del iempo, la volailidad conocida hasa el momeno inmediaamene anerior se conviere en un imporane mecanismo para conocer la marcha del acivo por cuano es un "hecho esilizado" suficienemene conrasado que los mercados financieros sufren de "conagio": a períodos muy voláiles les siguen períodos de igual caracerísica y, una vez se "ranquilizan", la endencia se maniene en las observaciones uleriores. Por supueso, medir la imporancia de la volailidad de forma aislada parece que va conra la propia nauraleza de cualquier variable económica, que casi nunca es fruo de una sola causa, sino de varias. En ese conexo, el modelo de Glosen y oros (993) parece indicado para explicar bien la volailidad que luego será explicaiva de la evolución del acivo. Por oro lado, las aporaciones de Ding (993) con su modelo A-PARCH parecen encajar bien con el comporamieno de los índices bursáiles. 3

4 En ese rabajo, se propone el empleo de un modelo mixo fruo de las meodologías del modelo GJR y del modelo AP-ARCH para generar la volailidad (la varianza condicional) que a su vez será pieza fundamenal para deerminar la evolución del Ibex 35, índice bursáil de referencia de Madrid. La esrucura del documeno responde en primer lugar (sección dos) a un análisis descripivo de la serie a modelizar (el Ibex-35). En el aparado res, se ponen de manifieso algunos hechos que hacen oporuno el empleo de un modelo ipo ARCH y en concreo para el valor de la poencia sugerida por Ding (993). En los aparados cuaro y quino se procede a la esimación ipo AP-ARCH y ipo GJR-ARCH respecivamene, obeniendo unos primeros resulados, Poseriormene, el aparado seis, se propone una nueva aproximación compuesa de las dos aneriore En el aparado sépimo se recogen algunos conrases sobre la bondad prediciva de los modelos presenados y, finalmene, la sección ocava recoge algunas conclusiones preliminares.. CARACTERÍSTICAS BÁSICAS DE LA SERIE A MODELIZAR El IBEX-35 es el índice selecivo de la bolsa de Madrid. Su valor (precio) se calcula como media ponderada del precio de cada una de las acciones de las empresas que lo componen que, lógicamene, ha venido cambiando en los diez años de observaciones diarias que se ienen en cuena en esa aplicación debido a desapariciones de empresas, fusiones, cambio de nombre, ec. La variación en las componenes del índice ha sido la que se puede ver en el cuadro adjuno para los úlimos diez años. EVOLUCIÓN DE LA COMPOSICIÓN DEL IBEX-35 COMPOSICIÓN ENERO 99 PERÍODO ENTRAN SALEN PERÍODO ENTRAN SALEN ENE-JUN 9 AGR CUB HHU AZU PSG PMD JUL-SEP 9 MVC CAN PMD ALB CRI ACX ACE: Auopisas Conc. Española ACX: Acerinox ALB: Corporación Fin. Alba ASL: Asland AZU: Azucarera BBV: Banco Bilbao Vizcaya BKT: Bankiner BTO: Baneso CEN: Banco Cenral CEP: Cepsa CRI : Crisalería Española CTG: Caalana de Gas DRC: Dragados y Consrucciones ECR: Ercros ELE: Endesa FEC: Fecsa FOC: Focsa HID: Hidrola HIS: Bco.Hispano IBE: Iberduero MAP: Corporación Mapfre PMD: Peromed POP: Banco Popular PSG: Prosegur REP: Repsol SAN: Banco Sanander SEV: Sevillana de Elecricidad TAB: Tabacalera TEF: Telefónica UNF: Unión Fenosa URA: Uralia URB: Urbis VAL: Vallehermoso VDR: Porland Valderrivas VIS: Viscofán OCT-DIC 9 ENE-JUN 9 ENE-JUN 93 ENE-JUN 94 ENE-JUN 95 ALB CRI SAR EXT AGS BCH ACX CEP HHU AGS ZOT EBA GES ENC CTF HID PMD CEN HIS ECR ALB CRI AGR ARA URB SAR ASL ZOT HHU AGS JUL-DIC 9 PRY ARA ALB AUM EXT HHU AGS CEP JUL-DIC 93 ARG CEP JUL-DIC 94 CTE EBA JUL-DIC 95 AGS AMP AZC CTF GES VDR ENE-JUN 96 GES AZC JUL-DIC AZC ANA SOL ENC JUL-DIC 97 ENE-JUN 97 TUB GES UNI VIS VIS MVC ENE-ABR JUL-DIC 98 ABR-JUN 98 ACS BTO ENE-MZO 99 ALB ANA NHH AZC SEV TUB MZO-JUN 99 SCH RAD Fuene: Sociedad de Bolsas. Madrid BCH SAN JUL-DIC 99 ACR TPZ FER IDR ALB FEC AMP RAD 4

5 La serie empleada es el precio de cierre diario del IBEX-35 enre el de enero de 99 y el 5 de junio de para los días en los que la bolsa de Madrid uvo acividad, con lo que será frecuene enconrar diferencias en el número de días ranscurridos enre dos observaciones consecuivas (fin de semana, fesivos, circunsancias especiales,...). También es imporane reseñar que el número de días hábiles de cada año es variable y enre 48 y 5 según el período elegido. Para aproximar el valor del rendimieno diario se emplea la diferencia de logarimos del siguiene modo: LNPRECIO LN PRECIO ) LN( PRECIO ) = ( Con las 65 observaciones disponibles, se puede represenar, a modo de resumen, los principales esadísicos descripivos, que serían los siguienes: Series: LNPRECIO Sample 66 Observaions 65 Mean.497 Median.579 Maximum Minimum Sd. Dev..53 Skewness Kurosis Jarque-Bera Probabiliy. De la represenación del hisograma de frecuencias se deduce sencillamene la presencia de una serie con un fuere nivel de apunamieno (curosis) que supera con creces el valor de la normal: 6.87 frene al ípico 3. Sin embargo, el valor de asimería es muy próximo a cero (-.5), lo que da lugar a una represenación muy similar a la de la Normal, aunque mucho más apunada. Las caracerísicas de esa serie esán en línea con las que describieran Maldebro y Fama (965 y 963) como comunes para las series de ipo financiero, que serían las siguienes: - Carácer lepocúrico de las observaciones - Gruesas colas de simería, - Fuere concenración en orno a la media 3. JUSTIFICACIÓN DE LA MODELIZACIÓN A-PARCH EN ESTE CASO El gráfico siguiene muesra la evolución de las series del precio diario, del rendimieno diario calculado al y como se expresaba en la ecuación anerior y del valor absoluo de ese úlimo. Ane esas represenaciones, se puede concluir los mismos hechos que comena Ding (993) para el caso del índice S&P-5: - El precio del índice (PRECIO) manifiesa una clara endencia creciene si se observa en odo el recorrido presenado. 5

6 - Observando la represenación del rendimieno (LNPRECIO), dicha endencia no exise o el valor se disribuye de manera esable en orno a la media cero (.7) - En el úlimo gráfico, el valor absoluo del rendimieno (ABPRECIO), pone de manifieso las ya haramene ciadas conclusiones de Fama (965) y Maldelbro (963) sobre el carácer de conagio en la inensidad de los movimienos: a períodos alamene voláiles le suceden períodos de iguales caracerísicas y viceversa PRECIO LNPRECIO ABPRECIO Tal y como se ha venido poniendo de manifieso eóricamene, los valores absoluos de los rendimienos manifiesan una mayor auocorrelación que los valores normales. Ese hecho ambién se repie para reardos superiores a res en el caso de los cuadrados de las series. Los resulados que figuran en la abla siguiene parecen concordar con el esudiado proceso de auocorrelación de orden uno que diversos auores esiman en los rendimienos financieros (Fama (976), Taylor (986), Hamao (99), enre oros muchos). En palabras de Ding (993), el valor del primer reardo (.7) represena ese valor del auorregresivo de orden uno. El valor negaivo de la auocorrelación de segundo orden podría represenar el comporamieno de 6

7 recuperación de beneficios ípico de las variables financieras llamado, en diversos esudios, reversión a la media (mean reversión). El primero de esos punos es significaivamene disino de cero a juzgar por la bandas de confianza para el 95% de probabilidad calculadas como ±.96/ T. En el segundo, el hecho no es an claro. Auocorrelaciones del rendimieno, su valor absoluo y su cuadrado LNPRECIO,7 -,43 -,43 -,3 -,,46 -,67,3,3 -,34 ABPRECIO,9,,9,99,94,98,8,77,99,74 LNPRECIO,4,99,5,9 -,8 -,3,45,49,96 -,47,3,5,,5,,5 -,5 -, Para el caso de las auocorrelaciones en los valores absoluos y cuadrados de las serie de rendimienos, se cumplen las dos circunsancias señaladas por Ding (993): no solo son claramene significaivos disinos de cero sino, además, casi siempre en valores posiivos. El hecho que no concuerda con la presunción de Ding es el de que la serie de rendimienos absoluos es siempre mayor que el de la serie de rendimienos al cuadrado. En nuesro caso, exisen muchos momenos en los que ocurre lo conrario, aunque hay que señalar que, en general, o bien son coincidenes o bien esá ligeramene por encima la serie de valores absoluos. La siuación conrasada hasa el momeno parece poner de manifieso la "memoria larga" de la serie considerada, por lo menos hasa el reardo. El hecho se produce ambién para los rendimienos absoluos elevados a diferenes poencias. En la abla adjuna se muesran para poencias enre.5 y 3, y las conclusiones observadas hasa el momeno se manienen. Según Barle (946), el proceso de auocorrelación ρ se disribuye aproximadamene como una normal N(,; T). En el caso expueso, las bandas serían +/-.465 y se represenan gráficamene en líneas disconinuas. 7

8 Auocorrelaciones del rendimieno absoluo elevado a "d" D ,5,8,99,34,9,89,64,88,33,6,3,5,5,,54,,,89,8,45,39,4,5,47,6,88,46,47,35,4,64,64,57,75,8,9,4,76,75,7,66,74,85,69,9,,9,99,94,98,8,77,99,74,5,4,,35,3,3,6,83,75,6,73,5,9,,33,9,,6,77,68,7,66,75,5,3,6,7,94,3,63,59,3,57,4,99,5,9,8,3,45,49,96,47 3,45,3,68,53,7,3,7,6,65,4 Además de lo dicho hasa ahora, la auocorrelación presena los valores más elevados cuando la poencia es uno o valores muy cercanos a uno. Auocorrelación del rendimieno absoluo elevado a "d",5,5,,,5,5,,,5,5,5,5,5,75,5,5, ,5,5,5,75,5,5, Reardo uno Reardo dos,5,5,,,5,5,,,5,5,5,5,5,75,5,5, ,5,5,5,75,5,5, Reardo cinco Reardo diez En eje de ordenadas esán represenados los valores de auocorrelación y en el de abcisas la poencia que se ha aplicado (el valor de "d"). En esos gráficos queda perfecamene ilusrada la conclusión anerior: la auocorrelación de las poencias del valor absoluo del rendimieno muesran el valor mayor cuando dichas poencias son uno o valores muy próximos a uno. La función es, en ambas colas desde uno, casi monoónicamene decreciene. Eso es así para cualquier reardo analizado, aunque en el caso del 8

9 reardo diez, la función no esá an claramene cenrada en uno y los resulados no son an especaculares como los logrados por Ding para el índice S&P-5. En el caso del IBEX-35, las auocorrelaciones del valor absoluo del proceso muesran algunos valores negaivos en períodos mucho más cercanos a los referidos por dicho auor. En su caso, dichas observaciones negaivas no se producían más que de forma casual cada diez años (como érmino medio). En el caso del índice español, se producen algunos punos con correlación negaiva cada año, aunque dichos punos se pueden considerar anormales, dada su escasísima exisencia (en las primeras auocorrelaciones, sólo el valor de auocorrelación con el puno -74 presena un valor negaivo). Según ese mismo auor, para conrasar una caída lena al principio y cada vez más acelerada en momenos subsiguienes en la auocorrelación de las series financieras (hecho palpable en los cálculos muesrales realizados), se puede modelizar dicha auocorrelación según la siguiene función : αρ β β ρ = β3 en la que endencia auorregresiva de la correlación se reduce a parir de la expresión exponencial que aparece en el denominador a medida que rascurre el iempo. Operaivamene, se ransforma en una función lineal omando logarimos: ln( ρ ) = ln( α) + β ln( ρ ) + ln( β ) β 3 ln( Realizando esa esimación con MCO, los resulados para el caso que nos ocupa son los siguienes: LOG( ) = *LOG( -) -.9* -.6*LOG() (3.) (4.79) (.7) R =,7 DW=,65 En ese caso, los resulados obenidos son menos sorprendenes que en de Ding, en el que la capacidad de esimación del modelo con esa función resulaba mucho más exaca. ) 4. ESTIMACIÓN DEL MODELO A-PARCH La ala correlación enre los valores desplazados del valor absoluo de la perurbación y cieras poencias en orno a uno de esa serie jusifican plenamene el empleo de un modelo ipo A- PARCH a la hora de especificar la evolución de la varianza heerocedásica de la serie de rendimienos del IBEX-35. Para la esimación de ese modelo se planea la maximización de la función de verosimiliud de los residuos. Ding (993) rechaza uilizar direcamene los méodos empleados por Granger y Joyeux (98) de inegración fraccionada o el ípico de un proceso ARMA porque, en ambas siuaciones, el resulado esá en conra de la realidad empírica expuesa: lena caída al comienzo y, progresivamene, cada vez más rápida. El auor propone una función que es mezcla de las dos aneriores comenadas. 9

10 Para la esimación se ha creado un programa ad-hoc sobre el paquee esadísico E-Views dado que esa formulación no exise enre los objeos de esimación ya prediseñados en dicho paquee. Las caracerísicas de los valores empleados son los siguienes: Modelo esimado LNPRECIO = µ + ϑ ε h δ = ω + α + ε δ δ ( ε + γε ) + β h Período 4 de enero de 99-6 de junio de Valores iniciales de los parámeros Proceso GARCH(,) Función de disribución de los residuos Normal (gausiana) Algorimo de resolución Bernd-Hall-Hall-Haussman Esimación de la mariz de varianzascovarianzas Cuasi-máxima verosimiliud de Bollerslev y Woodridge (99) Los resulados de esimación son los siguienes: Parámeros Desv Típica Parámeros z-esadísica Prob. MU() THETA() OMEGA().8E E ALPHA() GAMMA() DELTA() BETA() Log máximaverosimiliud Akaike info crierion -6.4 Media log Schwarz crierion -6.6 máximaverosimiliud En ese modelo odos los coeficienes calculados son significaivamene disinos de cero, salvo el érmino consane de la especificación de la desviación ípica elevada a dela. El conrase de resricción de coeficienes de Wald no acepa la hipóesis nula de valor nulo de ese érmino omega salvo para el 5% de las ocasiones, valor que, si bien esá muy por debajo del 5% deseable, nos inclina a manener el érmino por su significación económica. Para el reso de los coeficienes, la resricción de nulidad es inacepable para valores de probabilidad superiores al 99%. (según el mismo ipo de conrase). El valor obenido del coeficiene añadido en el modelo A-PARCH resula basane más próximo al cuadrado que el resulane en la experiencia de Ding (99); pero aún así, su valor de.57 y su clara significación son una llamada de aención sobre la dudosa idoneidad de realizar una especificación direcamene en érminos al cuadrado de la varianza. Parece que los resulados son concluyenes de lo conrario, ya que el máximo de la función de verosimiliud se logra con un valor de ese parámero disino a dos. La consaación previa de la no normalidad de la serie modelizada hace necesario comprobar cuál sería el valor de la esimación empleando la forma, en principio, más adecuada; es decir, la disribución -suden para la deerminación de los parámeros como maximización de la función verosímil.

11 Parámeros Desv Típica Parámeros z-esadísica Prob. MU() THETA() OMEGA() 4.6E-5 6.3E ALPHA() GAMMA() DELTA() BETA() TDF() Log máximaverosimiliud Akaike info crierion Media log Schwarz crierion máximaverosimiliud Se puede observar direcamene que la diferencia de esimación considerando la disribución normal (auque empleando la esimación eficiene de la mariz de varianzas covarianzas de Bolerslev y Woodrigde -99-) y la disribución -suden es prácicamene nula en los valores de los parámeros calculados aunque, el valor del logarimo máximo verosímil obenido es algo mayor. Donde sí se aprecia un valor noablemene más parecido al que obenían oros auores para índices americanos o de oros países europeos es el valor del parámero dela o de la poencia simérica a aplicar. Ahora esaríamos hablando de un valor de.43 frene al.58 previo. 5. APLICACIÓN DEL MODELO GJR-ARCH A LA SERIE DIARIA DE RENDIMIENTOS DEL IBEX-35 Como ya se ha comenado sobradamene en la sección correspondiene al modelo propuesos por Glosen, Jagannahan y Runkle (993), esos auores proponen conrasar las siguienes especificaciones: Modelos propuesos en Glosen y oros (993) Modelos Especificación Comenario Modelo I z = a + ah + ε Modelo radicional de Bollerslev GARCH-M Modelo II GARCH-M Ampliado z z h h = a = a = α = α + a h + a h + α ε + α ε + ε + ε + β h + β h + β Modelo III Shocks Asiméricos h = α + αε + α ε I + βh Modelo IV Facores Esacionales z h = a = α Modelo V log( h Esrucura ) = α E-GARCH + log( ) z = a β + a h + α η + ε ( + λ EST + λ + α η I r f + β h ε = EST ) η + a h h + ε + α η / h + α η I / h Inroducción de más variables explicaivas en la varianza condicional (por ejemplo, inerés sin riesgo) Diferenciación del impaco de innovaciones pasadas negaivas o posiivas Incorporación de los efecos esacionales ípicos de los mercados bursáiles Forma logarímica (forzar valores posiivos) y érmino EGARCH (romper la proporcionalidad en el impaco de innovaciones anormalemene alas)

12 La aporación más original del modelo GJR-ARCH se refiere a la incorporación de la perurbación desesacionalizada en la esimación de la varianza condicional. Efecivamene, es común en los análisis de ipo financiero hacer referencia a volailidades con una paricular esacionalidad, ano en la frecuencia mensual, como en la frecuencia semanal. Para comprobar las posibles diferencias debidas al día de la semana o al mes al que se refiera el dao, se ha calculado la volailidad media (varianza) en el rendimieno sobre el día anerior ano para cada día de la semana como para mes del año. Los resulados, que aparecen en las gráficas poseriores, se resumen en lo siguiene: - en el espacio de los cinco días hábiles normales de la semana (de lunes a viernes, ambos inclusive, en la bolsa de Madrid), los valores de la varianza más significaivos se producen los lunes y los jueves, aunque las diferencias con el reso de los días son apenas impercepibles. Más aún, cuando se eliminan de la serie de cálculo odos aquellos días que han enido un crecimieno especialmene alejado del comporamieno normal (aípicos) 3, las diferencias enre los diferenes días de la semana aún son menos percepibles, aunque sí es verdad que el lunes sigue figurando como el día más voláil. Diversos analisas dicen de esa realidad empírica que no es más que un reflejo lógico del día que, en odos los casos, iene un período de maduración de los acivos no inferior a los res días (desde, por lo menos, el viernes, hasa el lunes, con dos días inermedios sin acividad bursáil en Madrid).,,5,,5, LUN MAR MIE JUE VIE VOLATILIDAD,7,4,6,7,3 sin Aípicos,,9,,9,8 - Para el caso de los meses (realizando nuevamene el esudio anerior sobre varianzas y aípicos) las diferencias en la volailidad de cada mes sí son mucho más represenaivas. Tano en érminos absoluos, como desconados los aípicos habidos durane esos diez años, parece clara la observación de que los meses de sepiembre y ocubre son los más voláiles del año. Comparando con los valores previos y poseriores, ambién es imporane la volailidad regisrada en el mes de enero respeco a diciembre o a febrero., aunque, en ningún caso, la volailidad de ese mes es an grande como la observada en los dos casos aneriormene descrios. 3 De cara a ese análisis, se han considerado aípicos odos aquellos punos de crecimieno Iner-día que esuvieran por encima o por debajo de ± veces la desviación ípica de la serie de crecimienos correspondienes a ese día de la semana o a ese mes.

13 3,5 3,,5,,5,,5, ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC VOLATILIDAD,9,9,4,4,,9,,6,8 3,,,4 sin Aípicos,,7,,75,7,7,8,,46,57,7,9 Hay que desacar que, en la abla de la gráfica superior, se puede apreciar claramene como los meses de febrero y de noviembre represenan la mayor diferencia en volailidad respeco a cualquier oro. En el primer caso, de una varianza en el valor del rendimieno de casi dos punos, se pasa a un puno (de.9 a.9) y, en el mes de noviembre, de una varianza de más de res punos a casi uno (de 3. a.). De los modelos propuesos por Glosen y oros (993) de cara a la especificación que aquí hacemos iene senido hablar del cuaro y del quino, ya que los primeros son planeamienos de conrase más eóricos que aplicados. Es imporane enonces especificar la forma que se esima y, poseriormene, se conrasa. El modelo elegido es el siguiene: LNPRECIO = µ + ϑε + γ h + ε h = ω + α η + α η I + γ LNleras + β h ε = Noviembre ) η ( + λ Febrero + λjunio + λ donde: Febrero, junio y noviembre son variables ficicias que oman valor uno si esamos ane una observación del mes que les da nombre y cero en el reso de los casos. Algo más arriba ya se comenaba la paricularidad que suponen los meses de febrero y noviembre respeco a sus inmediaamene aneriores, hecho que marca en esos períodos esacionales un valor diferencial que la esimación esadísica refrenda. Añadir ambién la variable junio es un hecho meramene empírico. Derás de ese hecho ambién hay que decir que se puede enconrar en esos res meses los valores de volailidad sin aípicos más cercanos enre sí. Por supueso, mayo ambién esá próximo al valor de.7 que regisra la volailidad calculada para los elegidos, pero el parámero no es significaivo cuando se realiza la esimación, por lo que se ha suprimido. La variable "I" es especialmene imporane, siendo una ficicia creada poseriormene a la esimación del modelo en media con valor uno cuando el error del período precedene a un "" genérico fue posiivo y cero en el reso de los casos. Esa variable es básica en el conexo de los mercados financieros, donde la recepción de una "noicia" sobre una infravaloración del rendimieno en el período anerior produce un efeco diferene a la sobrevaloración. Sin duda, es un hecho plenamene conrasado que los mercados financieros son asiméricos ane subidas y bajadas: 3

14 las "noicias negaivas" producen descensos mucho más rápidos y profundos que las "noicias posiivas". La variable Lnleras recoge la variación logarímica de un período a oro del ipo de inerés de las leras del Tesoro a un año. Esa variable es básica en un modelo de renabilidades por ser enendida como el "valor suelo" o la renabilidad mínima exigible por ser la "sin riesgo". Esadísicamene, la disponibilidad de esa variable es media mensual, por lo que aquí se ha uilizado igual que lo hiciera primeramene Engle y Lillien (986) y muliud de auores poseriormene: se ha omado el valor de la media mensual para odas las observaciones del rendimieno de bolsa correspondienes a cada mes. Los resulados de la esimación se muesran en el cuadro adjuno: Modelo Varianza Modelo de la media Modelo del error desesacionalizado Parámeros Desv. Típica Parámeros z-eadísica Probab. Par. nulos OMEGA() 9.7E E ALPHA() BETA() GAMMA() -4.8E-5 8.4E ALPHA() MU() THETA() GAMMA() LAMBDA() LAMBDA(3) LAMBDA(4) Log. Máximaverosimiliud Crierio info Akaike Media Log. Máximav Crierio Schwarz Gráfico de daos esandarizados de varianza real y varianza condicional esimada AGO SEP OCT NOV DIC ENE FEB MAR ABR MAYO REAL CONDICIONAL La nauraleza de los modelos financieros observada por Nelson (99) deermina en muchas ocasiones la necesidad de incluir de forma expresa un sisema de especificación logarímica que reproduzaca fielmene el comporamieno asimérico a la par que asegure la generación de una 4

15 varianza siempre posiiva. La modificación al modelo anerior para incluir esa circunsancia se indica del siguiene modo: LNPRECIO = ωµ + γ h log( h + γ ) = α + α η LNleras + β / log( h ( + λ Febrero + λjunio + λ h ) + ε + α η I / h ε = Noviembre ) η donde se ha inroducido como variable a esimar el logarimo de la varianza condicional en vez de su valor naural. Las variables accesorias son las mismas que anes, obeniendo los siguienes resulados: Modelo Varianza Modelo de la media Modelo del error desesacionalizado Parámeros Desv. Típica Parámeros z-eadísica Probab. Par. nulos OMEGA() ALPHA() BETA() GAMMA() ALPHA() MU() THETA() GAMMA() LAMBDA() LAMBDA(3) LAMBDA(4) Log Akaike info crierion Máximaverosimiliud Media Log. Máximav Schwarz crierion En el aparado de comparación y capacidad prediciva enre modelos quedará paene la escasa ganancia que supone la esimación considerando el logarimo por lo que, por la complejidad de su convergencia, se opará por la primera especificación. 6. UNA PROPUESTA ALTERNATIVA: MODELO GJR INTRODUCIENDO EL ÓPTIMO DE DESFASE DE CORRELACIÓN TIPO APARCH Los resulado de esimar ambos modelos nos llevan a una conclusión difícil: Por un lado, el modelo GJR da lugar a un mayor ajuse y el seguimieno del fenómeno que nos ocupa (la volailidad condicional) parece esar mucho más en consonancia con la volailidad observada. Por oro lado, el modelo sugerido por Ding (993) iene buena lógica en el conexo de la serie del Ibex-35, donde la evidencia de correlación sobre valores con poencias asiméricas esán plenamene jusificados. No se puede sosener una poencia cuadrada cuando la que es esadísicamene ópima esá en orno a,5 o algo por debajo. En ese conexo, se planea la esimación de un nuevo modelo que se formularía del siguiene modo: 5

16 LNPRECIO h δ = ω + α = µ + ϑε + γ h δ + ε δ δ η + α η I + γ LNleras + β h + γ ( + λ Febrero + λjunio + λ ε = Noviembre ) η Respeco a los aneriores ha sido necesario inroducir una variable ficicia para corregir res cambios exraordinarios de endencia y de cuanía que se produjeron el 3 mayo de 993 (reunión de los Jefes de Esado y de Gobierno en Masrich con acuerdo sobre el Traado de la Unión Europea), 5 de abril de 994 y 9 de ocubre de 997 (puno culmen de la crisis asiáica). En las res jornadas se produjo un cambio radical de la endencia de valores coninuados de caída en dos semanas seguidas a subidas de más del 5% en un solo día. La variable inroducida es uno en esas observaciones y cero para el reso. Además del fuere diferencial que suponen sobre el día anerior, es imporane señalar que el crecimieno sobre la sesión anerior de cada una de esas res sesiones se siúa enre los cinco mayores de los nueve años recogidos en el esudio (en cambio de negaivo a posiivo). Parámeros Desv. Típica Param. 3 FIC z-eadísica Prob. MU() Modelo de la media THETA() GAMMA() Poencia asimérica DELTA() LAMBDA() Desacionalización LAMBDA(3) del error LAMBDA(4) OMEGA() ALPHA() Modelo de la varianza BETA() GAMMA/() PARFIC() Log máximaverosimiliud Crierio info Akaike Media log máximaverosimiliud Crierio Schwarz REAL CONDICIONAL Nóese que en el modelo propueso el valor del logarimo de máxima verosimiliud es el mayor de cuanos se hayan presenado. Aún así, hay que indicar que alguna de las variables imporanes hasa el momeno deja de ser significaiva (Lnleras) 6

17 Es ineresane reseñar que el parámero dela (la poencia asimérica que enunciaba Ding) se presena en el valor., ya en valores similares a los que se han esudiado para el caso del S&P 5 y oros índices. El modelo presena un grado de ajuse enre volailidad real y volailidad condicional mucho más preciso que el de los modelos aneriores. En el gráfico se presenan las úlimas cien observaciones de ese índice, quedando paene como la volailidad condicional replica la observada con un ciero adelano más o menos consane; es decir, la variable varianza condicional, raducida como volailidad que conoce el inversor en el día que opera y que, por ano, aplica para deerminar su riesgo como una explicaiva más, esá replicando en ciera forma la volailidad observable previamene pero ahora de forma exaca, no aleaoria. 7. CONTRASTES SOBRE LA CAPACIDAD PREDICTIVA DE LOS MODELOS (BÁSICOS DEL ERROR) Para deerminar diferencias significaivas enre los diversos modelos ARCH posibles, algunos auores recogen disinas funciones de pérdida que evalúan la gravedad del error comeido. De enre ellos, los más comunes son los que desarrollaran Hamilon y Susmel (994) i y que se resumen en las siguienes cuaro propuesas: Errores Logarimo de errores LMSE MSE Direco T = = T = = Donde h es la varianza condicional de (ε ( Ln( ε ε T h ) T ) ln( h )) LMAE Valores Absoluos MAE T = = T = = ( ε ( Ln( ε T T h ) ) Ln( h )) Obviamene, el méodo de esimación hace especialmene relevane el valor obenido del logarimo de verosimiliud para comprobar la bondad relaiva del modelo elegido. P ara los modelos que se han presenado, los resulados son los siguienes Modelo MSE MAE LMSE LMAE LOG MÁX- VEROSIM AP-Arch.6* AP-Arch (-suden).6* -7.55* ,97 GJR - Arch.5* -7.5* ,66 GJR-Arch logaríimico.39* -7.76* GRJ-APARCH.6* -7.39* A la visa de los resulados, se pueden desacar las siguienes conclusiones: El error por empleo de una función de disribución normal en vez de una, quizá más apropiada, de Suden no parece afecar de un modo imporane a esos esadísicos, 7

18 siendo muy similares los resulados obenidos con los dos primeros modelos y habiendo una escasa ganancia en la función máximo verosímil obenida. Los modelos ipos AP-ARCH generan un buen ajuse del modelo en media, lo que deemina sus buenos resulados en érminos de logarimos de los errores. Nóese que el combinado de GJR-ARCH y AP-ARCH es el que muesra un mayor número de conrases favorables, aunque el logarimo del valor absoluo favorece más al AP- ARCH. La función máximo verosímil mayor obenida se corresponde con el modelo que se propone de "forma novedosa", siendo ese crierio el que odos los auores enienden como más relevane para la elección de un modelo u oro de ese ipo. Gráficos de ajuse enre varianza condicional y la observada RESMA^ SIG^ AP-ARCH con disribución normal (poencia asimérica.55) RESMA^ SIG GJR- Arch con efeco asimérico sobre los errores (ficicia de impaco en valores negaivos) y escalado logarímico RESMA^ SIG GJR- Arch con efeco asimérico sobre los errores (ficicia de impaco en valores negaivos) REAL CONDICIONAL Modelo GJR-APARCH con disribución normal (poencia asimérica.) A la luz de la poco fiable comparación gráfica, pero ineresane de cara a la predicción, la diferencia en mejoría del úlimo modelo presenado frene a los previos es evidene. 8

19 8. CONCLUSIONES PRELIMINARES A fala de realizar un esquema de conrasación más esrico, del presene ejercicio de invesigación se pueden exraer algunas conclusiones: La venaja de los modelos ipo ARCH para recoger elemenos económicos recurrenes en las series financieras (silized facs) es evidene. Facores haramene esudiados como la imporancia de la volailidad en la medición del riesgo y las implicaciones de ese a la hora de deerminar el diferencial de renabilidad que se le exige a un acivo no seguro sobre el acivo público libre de riesgo, encuenran claro reflejo en ese ipo de modelos. Los facores de "conagio financiero" (períodos voláiles vienen precedidos de oros del mismo modo y períodos ranquilos de períodos del mismo ipo) quedan perfecamene descrio con esos modelos no lineales. Por oro lado, el carácer asimérico de la respuesa ane movimienos a la baja y a la subida ambién queda plenamene modelizado. A lo largo de los ya dieciocho años de vigencia de esos modelos, las diferenes aporaciones y desarrollos sobre el modelo original de Engle (98) han sido muchas, ano en el campo de las caracerísicas esadísicas y su buena esimación como en el campo de la aplicación prácica de ese ipo de modelos. En esa invesigación se presa especial aención a la aproximación hecha por Glosen,L. Jagannaahan, R. Runkle D. (993), que incorporan al modelo habiual el carácer de los facores esacionales cuya evidencia empírica es innegable, así como los avances en la écnica logrados hasa el momeno. En ese arículo, se ha pueso de manifieso la imporancia del mes en el que nos enconramos para deerminar un comporamieno más o menos voláil. Con el análisis descripivo y el análisis esadísico, se enconró claramene significaivo ener en cuena los meses de febrero, junio y noviembre por su hecho diferencial en cuano a la volailidad (son más ranquilos en modo absoluo y relaivo). Tal y como señalaba Ding (993) decidir apriorísicamene el emplear una poencia dos en el esudio de la heerocedasicidad condicional auorregresiva no deja de ser incongruene con la realidad. Empíricamene, el valor que muesra mayores correlaciones en la serie de poencias del residuo esimado se encuenra enre.5 y.6, y no en, como se presupone por hablar de la varianza. El paso obvio es emplear enonces esa poencia y no la cuadrada y los resulados son favorables (el modelo converge y muesra valores alamene significaivos en los esadísicos de acepación del parámero no nulo ipo es de Wald). De cara a la predicción, sin embargo, su nivel de ajuse no es ópimo, por su carácer fueremene "aplanador". Los resulados del modelo ipo GJR-ARCH aplicado nos han permiido observar un buen seguimieno de las punas y valles de la volailidad observada y el modelo AP-ARCH la correlación poencial asimérica. Con el fin de unir las buenas caracerísicas de ambos modelos, se ha procedido a la esimación de un modelo GJR-APARCH que da lugar a resulados mejores que con cualquiera de los dos aneriores de modo separado. El modelo propueso es ópimo comparando con una poencia de valor. sobre el valor absoluo del error observado en la modelización de la media. 9

20 ANEXO: Programas E-views creados para las esimaciones ulizadas en el esudio MODELO GJR-APARCH ' SE LE INCORPORAN LAS VARIANTES GJR-ARCH (DESESTACIONALIZACIÓN DEL ERROR E INTRODUCCIÓN DE LA VARIABLE DEL RENDIMIENTO DE LAS LETRAS DEL TESORO COMO EXPLICATIVA DE LA VARIANZA CONDICIONAL (LA VOLATILIDAD) ' ge daa load "c:\eviews3\ibex35.wf " series y = lnprecio series i= ' Se esablecen dos submuesras: una primera observación para dar los valores iniciales ' y el reso para la esimación sample s sample s 3 8 smpl s ' Declaración de los vecores de coeficienes que se usan en el ARCH likelihood coef() mu =. coef() hea =. coef() omega =. coef() alpha alpha() =. alpha()=. coef() bea =. coef() gamma=. coef() chi= ' Inicialización de los parámeros con un ma() equaion eq_emp.ls y c ma() mu() = eq_emp.c() hea() = eq_emp.c() omega() = eq_emp.@se^ genr res=resid ' Inicialización de los parámeros para desesacionalización del error con MCO equaion eq_emp.ls res c febrero junio noviembre coef(4) lambda lambda()=eq_emp.c() lambda()=eq_emp.c() lambda(3)=eq_emp.c(3) lambda(4)=eq_emp.c(4)

21 ' Generación de la serie "i", ficicia con valor uno si la innovación es negaiva y cero en el reso. for!cou= o 7 smpl +!cou +!cou scalar a=resid(+!cou) if a< hen i= endif nex ' valores premuesrales para iniciar el logarimo smpl s series sig = omega() series resma = ' Modelo ARCH logl ll logl ' Especificación de la varianza ll.append sig = omega()+alpha()*resma(-)^ +bea()*sig(- )+chi()*lnleras+alpha()*resma(-)^*i(-) 'Especificación del error ll.append res =y-mu() - hea()*resma(-)-gamma()*sig(-) ' Desesacionalización del error ll.append resma =res*(+lambda()*febrero+lambda(3)*junio+lambda(4)*noviembre) ' Error esandarizado (dividido por la desv ípica) ll.append z = resma/@sqr(sig) ' Logarimo de la función normal ll.append logl = log(@dnorm(z)) - log(sig)/ ' Esimación y resulados smpl s ll.ml(m=5,d) show ll.oupu ' Deerminación de algunos esadísicos sobre el error genr difer=resma^ - sig scalar mse=/8*@sumsq(difer) scalar mae=/8*@sum(@abs(difer)) genr diferp=(resma^ - sig)/sig

22 scalar genr difer=log(resma^) - log(sig) scalar lmse=/8*@sumsq(difer) scalar lmae=/8*@sum(@abs(difer)) smpl 8 8 plo resma^ sig

23 MODELO A-PARCH ' Modelo a-parch sobre la serie lnprecio al que se le aplicó un ma() en la media ' Carga de daos load "c:\eviews3\ibex35.wf " series y = lnprecio ' Se esablecen dos submuesras: una primera observación para dar los valores iniciales y el reso para la esimación sample s sample s smpl s ' Declaración de los vecores de coeficienes que se usan en el ARCH likelihood coef() mu =. coef() hea =. coef() omega =. coef() alpha =. coef() gamma=. coef() bea =. coef() dela= ' Valores iniciales recogidos del modelo sobre la GARCH(,) equaion eq_emp.arch y c ma() mu() = eq_emp.c() hea() = eq_emp.c() omega() = eq_emp.@se^ alpha() = eq_emp.c(4) bea() = eq_emp.c(5) ' Valores iniciales de la series (período premuesral) al logarimo de verosimiliud (logl) smpl s series sig series resma = ' Especificación del logarimo y del A-PARCH logl ll logl ' Residuo del modelo MA() debido al érmino consane ll.append res = y-mu() ' Residuo del MA() compleo (el de la consane y el del érmino ma) 3

24 ll.append resma = res - hea()*resma(-) ' Modelo A-PARCH(,) ll.append sig = (omega()+alpha()*(@abs(resma(-)) -gamma()*resma(-))^dela() +bea()*(sig(-))^dela())^(/dela()) ' Error esandarizado (dividido por la desviación ípica muesral) ll.append z = resma/(sig) ' Logarimo de la función normal ll.append logl = log(@dnorm(z)) - log(sig^)/ ' Esimación y resulados en panalla. Con la "b" se emplea el BHHH ' y con la "d" se muesra el oupu smpl s ll.ml(b,d) show ll.oupu 4

25 MODELO GJR-APARCH ' Carga de daos load "c:\eviews3\ibex35.wf " series y = lnprecio series i= series res= ' Se esablecen dos submuesras: una primera observación para dar los valores iniciales ' y el reso para la esimación sample s sample s 3 8 smpl s ' Declaración de los vecores de coeficienes que se usan en el ARCH likelihood coef() mu =. coef() hea =. coef() omega =. coef() alpha alpha() =. alpha()=. coef() bea =. coef() gamma=. coef() chi= coef() dela= coef() parfic= ' Valores iniciales recogidos del modelo sobre la GARCH(,) equaion eq_emp.arch y c ma() mu() = eq_emp.c() hea() = eq_emp.c() omega() = eq_emp.@se^ alpha() = eq_emp.c(4) bea() = eq_emp.c(5) ' Valores iniciales de los coeficienes de desacionalización del error MCO equaion eq_emp.ls res c febrero junio noviembre coef(4) lambda lambda()=eq_emp.c() lambda()=eq_emp.c() lambda(3)=eq_emp.c(3) lambda(4)=eq_emp.c(4) ' Generación de la serie "i", ficicia con valor uno si la innovación es negaiva y cero en el reso. for!cou= o 7 smpl +!cou +!cou scalar a=resid(+!cou) if a< hen 5

26 i= endif nex ' Valores premuesrales para inciar el logarimo de verosimiliud smpl s 'series sig = omega() series sig series resma = ' MODELO ARCH logl ll logl ' Modelo ' Especificación del error ll.append res =y-mu() - hea()*resma(-)-gamma()*sig(-)^dela() ' Desesacionalización del error ll.append resma =res*(+lambda()*febrero+lambda(3)*junio+lambda(4)*noviembre) ' Especificación de la ecuación de la desviación ípica elevada a dela ll.append sig =(omega()+alpha()*@abs(resma(-))+bea()*sig(- )^dela()+chi()*lnleras)^(/dela())+parfic()*fic336 ' Error esandarizado (dividido por la desv ípica) ll.append z = resma/sig ' Logarimo de la función normal ll.append logl = log(@dnorm(z)) - log(sig^)/ ' Esimación y resulados smpl s ll.ml(5,c=.,d) show ll.oupu ' Deerminación de algunos esadísicos sobre el error genr difer=resma^ - sig^ scalar mse=/8*@sumsq(difer) scalar mae=/8*@sum(@abs(difer)) genr diferp=(resma^ - sig^)/sig^ scalar pmae=/8*@sum(@abs(diferp))* genr difer=log(resma^) - log(sig^) scalar lmse=/8*@sumsq(difer) scalar lmae=/8*@sum(@abs(difer)) smpl 8 8 plo resma^ sig^ 6

27 9. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS BAILLIE, R.T. y BOLLERSLEV,T (99): Predicion in Dynamic Models wih Time-Dependen Condiional Variances. Journal of Economerics, 58, Pgs: ENGLE, R. Y GONZALEZ-RIVERA,G. (99): Semiparameric ARCH Models. Journal of Business and Economic Sisics, 9. Pgs: BELSLEY, D. (979) "On he efficien Compuaion of Non-linear Full-Informaion Maximum Likelihood Esimaor Paper presenado en en Hallazgos Economéricos de la Sociedad Economérica, Aenas. BERA, A.K.; HIGGINS, M.L. y LEE, S. (99): Ineracion beween Auocorrelaion and condiional Heerokedasiciy: a Random Coefficien Approach Journal of Business and Economic Saisics,, Pgs.:33-4. BERNDT, HALL, HALL, HAUSMAN (974): Esimaion and Inference in Nonlinear Srucural Models. Annals of Economic and Social Measuremen, 4. Pgs: BERNDT, E. HALL B., HALL R. y HAUSMAN, JA (974):Esimaion Inference in nonlinear Srucural Models Annals of he Economic and Social Measuremen, 4. Pgs: BOLLERSLEV, T. ENGLE, R. y NELSON, D (994): ARCH Models.. Rober Engle y D. McFadden ediores. Handbook of Economerics, Vol IV. Elservier, Amserdam. BOLLERSLEV, T, CHOU, R y KRONNER, K (99): Arch Modelling in Finance: A review of he Theory and Empirical Evidence. Journal of Economerics, 5. Pgs: BOLLERSLEV, T. Y WOOLDRIDGE,J.M. (99): Quasi maximun Likelihood Esimaion and Inference in Dynamic Models wih Time Varying Covariances Economeric Reviews,, Pgs: BOLLERSLEV, T. (986): Generalized Auorregresive Condiional Heerocedasiciy, Journal of Economerics, 5. Pgs: DICKEY, D y FULLER (979): Disribuion and Esimaors for Auoregressive Time Series wih an Uni Roo. Journal of he American Saisical Associaion, 77. Pgs: DING, Z. GRANGER, W.J. y ENGLE,R (993): A long Memory Propery of Sock Marke Reurns and a New Model. Journal of Empirical Finance,. Pgs: DROST, F y KLAASSEN, C. (997): Efficien Esimaion in Semiparameric GARCH Models. Journal of Economerics, 8. Pgs: 93-. ENGLE,R. Y NG,V. (993): Measuring and Tesing he Impac of News on Volailiy. Journal of Fiannce, 48. Pgs: ENGLE,R. NG, V. Y ROTHSCHILD, M. (99): Asse Pricing wih a FACTOR-ARCH Covariance Srucure: Empirical Esimaes for Treasury Bills. Journal of Economerics, 45. Pgs:

28 ENGLE, R.F., LILIEN D.M y ROBINS, (986): Esimaing he Time Varying Risk Premia in he Term Srucure" Economerica, 55, Pgs.: ENGLE, R y BOLLERSLEV, T. (986): Modelling he Persisence of Condiional Variance Economeric Reviews 5, -5 y ENGLE, LILIEN Y ROBINS (986): Esimaing he Varying Risk Premium in he Term Srucure: he ARCH-M Model. Economerica, 55.II, pgs: ENGLE, R y BOLLERSLEV, T. (986): Modelling he Persisence of Condiional Variance Economeric Reviews 5, -5 y ENGLE, R.F. (98): Auorregresive Condiional Heerocedasiciy wih Esimaes of he Variance of he U.K. Inflaion Economérica, 5. Pgs: GEWEKE, J. Y PANTULA, S.(986): Modelling he Persisence of Condiional Variances: a commen. Economeric Review, 5. Pgs: 57-6 y 7-74 GLOSTEN, L. JAGANNATAHAN, R. RUNKLE D. (993): Relaionship beween he Expeced Vaue and he Volailiy of he Nominal Excess Reurn on Socks. Journal of Finance, 48. Pgs: GOURIEROUX, C. (99): Qualiaive Threshold ARCH Models Journal of Economerics, 5, Vol -. Pgs: HAMILTON, J. Y SUSMEL, R. (994): Auorregresive Codniional Heroskedasiciy and Changes in Regime. Journal of Economerics, 64. Pgs HANSEN, L. (98): Large Sample Properies of Generalized Mehod of Momens Esimaors. Economerica, 5. Pgs: KRAFT, D. Y ENGLE,R. (98): Auoregresive Condiional Heeroskedasiciy in Muliple Time Series Models. USCD, Discussion Paper Núm MARCK, N. (988): Time Varying Beasand Risk Premia in he Pricing of Forward Foreign Exchange Conracs. Journal of Financial Economics,. Pgs: NELSON, D.B. (99): Condiional Heerocedasiciy in asse reurns: a New Approach" Economerica, 59, Pgs: PAGAN, A SCHWERT, G (99): Alernaive Models for Condiional Sock Volailiy. Journal of Economerics, 45. Pgs: TAYLOR, S.J. (986): Modelling Financial Time Series, John Wiley, Chicheser, U.K.. MILHOJ, A. (984): The Momen Srucure of ARCH Processes, Research repor 94. Insiue of Saisics of Copenhagen, Copenhagen. WEIS, A (98); Asympoic Theory for ARCH Models: Sabiliy, Esimaion and Tesing. Discussion Paper 8-36 (Universidad de California, San Diego, CA). 8

29 NELSON, D.B. (99): Condiional Heerocedasiciy in asse reurns: a New Approach" Economerica, 59, Pgs: GOURIEROUX, C. y MONTFOR, A. (99): Qualiaive Threshold ARCH Models. Journal of Economerics, 5. Pgs: PANTULA,S (984): Auoregresive Condiionally Heerocedasgic Models. Manuscrio no publicado. Universidad de Carolina del Nore, Dpo. de Esadísica. RICH, R., RAYMOND, J. y BUTLER, J (99): Generalized Insrumenal Variables Esimaion of Auoregressive Condiional Heeroskedasic Models.. Economic Leers, 35. Pgs: RUÍZ, E. (993): Modelos para series emporales heerocedäsicas Cuadernos Económicos ICE, 56, Pgs: 73-8 SCHWERT, GW. (989): Why does Sock Marke Volailiy Change over Time? Journal of Finance, 44. Pgs: TAYLOR, S (986).: Modelling Financial Time Series Wiley. New York. TSAY, S.J. (987): Condiional Heerokesdasic Time Series Models Journal of he American Saisical Associaion, 8. Pgs: ZAKONIAN, J.M.(994): Threshold Heeroskedasic Models. Journal of Economic, Dynamics and Conrol, 8. Pgs: i HAMILTON, JD y SUSMEL,R. (99): Auoregressive Condiional Heerocedasiciy and Changes in Regime Journal of Economerics, 64. Pgs: