Aplicación de la teoría de Opciones Reales al Análisis de Inversiones en Nuevas Tecnologías * Sevilla,

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1 ƒ Índice Aplicación de la eoría de Opciones Reales al Análisis de Inversiones en Nuevas ecnologías *. José Miguel León Blanco 1, José Manuel Framiñán orres 2, Rafael Ruiz Usano 3, Pedro Luis González Rodríguez 4 1 Ingeniero Indusrial, scuela Superior de Ingenieros de Sevilla, Cº de los Descubrimienos s/n Sevilla Sevilla, miguel@esi.us.es 2 Docor Ingeniero Indusrial, scuela Superior de Ingenieros de Sevilla, Cº de los Descubrimienos s/n Sevilla Sevilla, jose@esi.us.es 3 Docor Ingeniero Indusrial, scuela Superior de Ingenieros de Sevilla, Cº de los Descubrimienos s/n Sevilla Sevilla, usano@us.es 4 Ingeniero en Organización Indusrial, scuela Superior de Ingenieros de Sevilla, Cº de los Descubrimienos s/n Sevilla, pedroluis@esi.us.es RSUMN n los úlimos años ha crecido la inquieud en la empresa por formas fiables de evaluar las inversiones en nuevas ecnologías. Uno de los méodos que más popularidad esá alcanzando enre los consulores es el análisis de opciones reales. Muchos de los problemas de inversión en nuevas ecnologías son similares a problemas de inversión en opciones financieras. La necesidad de cuanificar la volailidad inherene a proyecos que implican opciones es clave en el éxio de esa meodología. Palabras clave: Análisis de Inversiones, Opciones Reales, Black-Scholes. 1. Inroducción. La inceridumbre que rodea a las variables que inervienen en la oma de decisiones sobre una inversión en ecnologías de comercio elecrónico es an ala que lleva a muchos de los responsables a omarlas sin un esudio deallado de los más que posibles cambios que inroducirán el mercado, las nuevas ecnologías y los nuevos compeidores. Por oro lado, es frecuene que no se realice un análisis poserior del resulado de las previsiones. n muchos casos se prefiere rerasar la inversión, pero sin una cuanificación de si la inversión será más renable o no en un fuuro. La eoría de opciones reales es adecuada para el análisis de la inversión precisamene porque ayuda a valorar de forma cuaniaiva esa inceridumbre. 2. Méodos de valoración de opciones financieras. n la valoración de proyecos de inversión en los que se ven implicadas disinas opciones se pueden emplear diferenes méodos. Los más radicionales como el cálculo del valor acual neo, el reorno de inversión y similares requieren el pronósico a-priori de los flujos de caja, omando además como conocida y consane la asa de descueno equivalene. n el mercado de las ecnologías de la información, como sucede en los secores económicos más dinámicos, no dejan de ser unas suposiciones algo arriesgadas. Los cambios consanes hacen difícil el * se rabajo se deriva de la paricipación de sus auores en un proyeco de invesigación financiado por CICY con referencia DPI iulado Sisemas Híbridos para un conrol Inegrado de la Producción

2 suponer que la asa de descueno pueda considerarse consane. Los proyecos de inversión que implican alguna inceridumbre por variaciones que pueden producirse a lo largo de su desarrollo, o por la presencia de facores que implican disinas opciones una vez emprendidos, se asemejan en gran medida a las inversiones en acivos financieros, al menos en cuano a los flujos económicos se refiere. Un ejemplo son los proyecos cuya inversión puede rerasarse. n ese caso, el flujo de caja inicial no va a producirse hasa más arde, momeno en el que se dispondrá de mayores elemenos de juicio. Por oro lado ampoco se producirán los flujos de caja relaivos a la enrada económica que supone el funcionamieno normal del proyeco. Las opciones financieras se pueden separar en dos ipos: call y pu. Con una opción ipo call se adquiere el derecho de comprar al final de un plazo un bien por un precio V esablecido en la opción. Si el valor de mercado X del bien al final del plazo es mayor que el pacado, se puede ejercer la opción de compra, que supondrá un gaso menor que el de mercado si la diferencia enre el precio pacado y el valor de mercado es mayor que el precio de la opción O. Una opción pu se refiere a la vena por un precio pacado. n ese caso, si el valor X al final del plazo más el precio de la opción O es menor que el precio de vena acordado V, se ejercerá la opción. Se disinguen además dos ipos adicionales; el europeo es el comenado, y el americano permie ejercer el derecho de compra o vena anes de que finalice el plazo. La similiud enre una opción real, de posponer una inversión, por ejemplo, y una opción financiera se basa en los flujos de caja. Si se paga por comprar un bien de valor V a un precio pacado X al cabo de un iempo de maduración es parecido a la posibilidad de inverir X denro de un iempo, siendo V el valor acual esperado de los ingresos. La volailidad σ de los ingresos esperados se asemeja a la volailidad del precio del acivo por cuya compra se puja. Si se oma X como el precio de ejercicio de la opción, el valor de una opción call europea es C = max( 0, V X ) y si se raa de una opción pu el valor es P = max( 0, X V ) n la acualidad, se emplean dos méodos principales para la valoración de opciones financieras que se pueden aplicar al análisis de inversiones que implican opciones. l más conocido es el modelo de Black y Scholes, del que exisen versiones corregidas, que ienen en cuena el caso en el que el responsable de la decisión se encuenre con opciones que claramene no presenan el mismo riesgo o el caso de que se enreguen dividendos. Por oro lado, el méodo binomial se basa en una represenación de la evolución del valor del acivo [1]. l valor V del acivo flucúa siguiendo una disribución binomial. A parir de un insane 0, el acivo puede omar dos valores al final de cada periodo ; u V con probabilidad q y d V con probabilidad 1-q, siendo q,d < 1, u > 1 y r = 1 + r f al que d < r < u. r f es la asa de inerés libre de riesgo, la que se emplearía en el caso de considerar que las dos opciones presenan un riesgo similar. Una versión corregida del méodo binomial es el méodo rinomial, que apora mayor flexibilidad al considerar que un acivo puede cambiar su valor a res esados (mayor, igual o menor).

3 V q 1 - q u V u > 1 d < r < 1; r = 1 + r f d V d < Figura 1: volución del valor de un acivo según el méodo binomial. Mediane el méodo binomial, el valor de una opción call europea es C u = max( 0, uv X ) q, C = max(0, uv X ) (1 q) (1) d ras n periodos de igual duración, en oal o iempo de maduración, el valor de la opción call europea es n C = V B( a; n, p' ) Xr B( a; n, p) (2) que converge, cuando n se hace muy grande, a la expresión de Black y Scholes: donde d r f C = VN( d1) e IN( d 2 ) + r V ln X f =, d 2 = d1 σ 2 σ σ (3) (4) n el caso de Black-Scholes, la versión corregida, en que se iene en cuena que una de las opciones puede ser claramene más arriesgada que la ora, oma la forma: C= Ve δ rf N( d1 ) Xe N( d 2 ) (5) donde d + r V ln X f δ =, d 2 1 σ 2 σ = d σ (6) siendo δ el coeficiene que corrige la asa r f de inerés indiferene ane el riesgo. 3. ipos de opciones reales. n general las opciones sobre decisiones de inversión son de unos pocos ipos [2]: Aumenar la inversión, Rerasar la inversión, hasa ener más información o hasa que la ecnología sea

4 menos cososa, descarar la inversión, para aprovechar los recursos en oros usos y arrendar o subconraar el proyeco, con lo que ambién se elude pare del riesgo del mismo. Ora clasificación de los ipos de opciones es separarlas en opciones de exploación, mienras se uiliza el acivo, de inversión y desinversión para modificar susancialmene el acivo y opciones conracuales [1]. l caso de esudio que se propone enra en ese úlimo grupo. 4. Aplicación al caso de inversiones en equipamieno para comercio elecrónico. l comercio elecrónico presena una problemáica en cuano a la rápida evolución de la ecnología que lo hace especialmene sensible al análisis mediane opciones reales. n ese rabajo se analiza un conrao por el que se preende alquilar un servicio de hosing para poner en marcha un negocio de comercio elecrónico con un proveedor de acceso. Las opciones que se analizan, permiirán enconrar una regla de decisión mediane el méodo Black y Scholes sobre la coninuidad o no del conrao de hosing con el mismo proveedor según vayan cambiando los precios del mercado. se ipo de conraos se espera que comience a cambiar en un fuuro hacia conraos en los que la única alernaiva para mejorar las condiciones económicas del mismo, desde el puno de visa del cliene, sea cambiar de proveedor de acceso [3]. La regla de decisión obenida será poseriormene conrasada mediane un análisis de sensibilidad que ponga de manifieso si el resulado obenido es robuso frene a variaciones en las suposiciones realizadas, sobre odo en cuano a la volailidad de la inversión. 5. Descripción del caso de esudio. Nuesra empresa necesia para su presencia en Inerne el hosing de sus aplicaciones en un proveedor de acceso. l precio semesral del alquiler de los equipos es de 50 u.m., y debe hacerse efecivo al comienzo de cada semesre. l conrao de hosing con el proveedor ofrece la posibilidad de anularlo al comienzo de cada semesre de forma inmediaa. n ese caso, se ha esablecido una fianza de 7.5 u.m. por cada semesre resane hasa la fecha de vencimieno que se pacó en un principio. No debe descararse el hecho de que al rescindir el conrao, se deberá pasar a oro proveedor a su precio de mercado. Por simplicidad, se ha supueso que el cose asociado a la ransición de uno a oro proveedor es nulo. Ora posibilidad que ofrece ese conrao de hosing es la de prorrogarlo durane un año al mismo precio anerior. l problema consise en calcular las opciones que presena el conrao ano de forma separada como conjuna. Poseriormene se diseñará una regla de decisión que enga en cuena la flexibilidad de ese conrao, que será úil en la comparación de conraos similares. Una opción que puede enerse en cuena es la posibilidad de conraar el hosing semesralmene en un proveedor diferene cada vez, en una esraegia conocida como Roll-Over. n la acualidad, el precio medio del mercado es de 48 u.m. semesrales. Las esimaciones efecuadas sobre la variabilidad anual de esos precios lleva a obener un valor de σ = 0.22 anual. La aplicabilidad de la eoría de opciones reales a ese ipo de siuaciones se basa en la

5 asimería de la esrucura de los reornos del conrao. n concreo, se raa de una opción americana de coberura frene a la inceridumbre y una opción europea Call para cuando la inceridumbre se haya resuelo. Los valores de las opciones no son adiivos, ya que cuando se ejerce la opción de rescisión es imposible ejercer la opción de prórroga. Al final de la exposición numérica se deallará ese exremo. 6. Regla de decisión. La regla de decisión que planearemos para el caso concreo que nos ocupa es manener el acual conrao de hosing hasa el insane *, enre 0 y, en el cual el valor de la opción C * es posiivo y oma el valor máximo: C δ r * d f = max C = V e N( d' 1 ) Xe N( ' 2 ) (7) Los valores de d son los mosrados en la expresión (6) 7.1. Cálculo de opciones. Prórroga del conrao. Para el cálculo del valor de esa opción, se empleará la expresión de Black y Scholes. n el caso de la opción de prórroga del conrao al final del periodo, nos enconramos con una opción europea ipo call. Los daos de enrada son el precio semesral del conrao, 50 u.m./semesre, y la volailidad anual del precio de mercado, σ = 22 %. l precio acual es 48 u.m./semesre. l úlimo dao es el plazo de maduración, = 6 semesres. La asa de inerés libre de riesgo semesral es r f = 4 % (que se corresponde con una asa anual del 8,16 %). La opción resulará ineresane siempre que los precios de mercado esén por encima de las 50 u.m./semesre. l cose oal del conrao, omando los flujos de caja desconados es: 5 C = = 0 50 (1 + r f ) = u. m. (8) Mediane la expresión de Black y Scholes (3), resula d 1 = 1,177, d 2 = 0,876, C = 6,69 u.m. se es el valor hoy de ejercer la posibilidad de prorrogar el conrao. Se observa que, para el caso de una opción europea, el cálculo es mucho más inmediao que el necesario si se hubiera empleado el méodo binomial. No sucede así cuando se raa de evaluar una opción americana, como se verá a coninuación Cálculo de opciones. Rescisión del conrao. Para analizar la flexibilidad del conrao, consisene en la posibilidad de rescindirlo en alguno de los insanes inermedios, se empleará la aproximación de Black, para considerar que se raa ahora de una opción americana, con flujos de caja adicionales. La versión corregida, se calcula suponiendo una opción europea que madura en, C, y ora que madura en el insane anerior (0 < < ), C,. Deben considerarse el ahorro de los alquileres hasa el final de los res años, la penalización de 7,5 u.m. por cada semesre hasa complear los res años y

6 el pago a un nuevo proveedor a los precios de mercado del momeno de la rescisión (su valor esperado es 48 u.m./semesre). n la abla 1, se presena el resulado de rescindir el conrao al comienzo de cada uno de los semesres, acualizando los flujos al insane presene. l ahorro en alquileres, acualizado es: 50 AA( ) = (9) i i= 0 (1 + r f ) l pago de la penalización acualizado al insane presene es: 7,5( ) PP( ) = (10) (1 + ) r f l pago esperado a precios de mercado acualizado es: 48 M ( ) = (11) i i= 0 (1 + r f ) n cada comienzo de semesre se puede rescindir el conrao, con lo que se precisa una inversión mínima del pago de la penalización más el pago al nuevo proveedor, para obener un ahorro del pago de alquileres desde ese semesre hasa el final consisene en la diferencia enre el precio de conrao y el precio de mercado. Aeniéndonos al valor acual neo del conrao en las condiciones acuales, no ineresa la rescisión del conrao, dado que en ninguno de los insanes inermedios son menores los flujos de caja desconados ,5( ) VAN( ) = + (12) i i= 0 (1 + r f ) (1 + r f ) l inerés esá en saber si la volailidad del precio de mercado oorga mayor valor a la opción de rescisión. n la abla 1 se muesra el flujo de caja desconado al insane presene al rescindir el conrao en cualquiera de los comienzos de semesre: = 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 VAN() 319, , , , , ,654 V()=AA(..) 272,59 222,59 174,51 128,29 83,84 41,10 X()=AA(0..)+PP()+M(..) 306,69 299,75 293,35 287,46 282,06 277,11 d 1 () 0,59-0,08-0,90-1,97-3,48-6,06 d 2 () 0,32-0,38-0,90-1,97-3,48-6,06 C 5,07 2,95-17,67-3,10-0,04 0,00 C 0 A C 5,07 abla 1: Valores de la opción de rescisión l máximo valor posiivo de la opción europea es el correspondiene a la rescisión del

7 conrao en el insane inicial: la volailidad de los precios de mercado hace más ineresane la opción de rescisión anes incluso del primer pago. n insanes poseriores, la volailidad deja de ener influencia, aunque en los úlimos periodos se observan valores muy próximos a cero, que indican que en las condiciones acuales, es indiferene el cambio de proveedor de acceso Cálculo de opciones. Rescisión o prórroga del conrao. Se pueden considerar simuláneamene las opciones de rescisión y de prórroga. La opción de rescisión anula la de prórroga, con lo que al valor de la opción de rescisión se le resará el valor de la opción de prórroga para obener la valoración conjuna una vez acualizados al momeno presene: = 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 VAN() 319,25 313,01 307,04 301,33 295,87 290,65 330,96 V()=AA(..) 312,11 262,11 214,03 167,80 123,35 80,61 39,52 X()=AA(0..)+PP()+M(..) 344,62 337,68 331,28 325,40 319,99 315,05 310,53 d 1 () 0,66 0,09-0,60-1,43-2,51-4,03-6,63 d 2 () 0,39-0,22-0,60-1,43-2,51-4,03-6,63 C 8,03 5,48-25,30-9,18-0,90 0,00 0,00 C 0 A C 8,03 abla 2: Valores para la opción de rescisión juno con prórroga. n ese caso la opción de rescisión ha disminuido más de la miad el valor de la opción de prórroga del conrao, y sigue apareciendo como más ineresane la opción de rescindirlo inmediaamene. n resumen, el cose del conrao son u.m., pero si se consideran las opciones presenes, es de 251,00. Ya se han comenado los casos en los que se rescindiría o prorrogaría el conrao (se ejercerían las opciones presenes en el mismo). Se debe noar ambién que la mayor aporación a esa venaja esá en la opción de prórroga, y que la opción de rescisión no iene la suficiene enidad como para considerarla, pero el caso es que, apare de la consideración conable inicial, consigue eviar subidas y bajadas en los precios y permie hacer previsiones de gasos con mayor eficiencia. 8. Análisis de sensibilidad. Para confirmar o rebair la robusez de los resulados obenidos, se realizará un análisis de sensibilidad ane la variación de los parámeros que se eligieron con un mayor grado de arbirariedad, como son la volailidad y la asa de inerés neura ane el riesgo Sensibilidad frene a la volailidad. La volailidad del precio de mercado de los alquileres de los equipos es lo que da senido al análisis mediane opciones reales del problema planeado. Se supondrán dos valores arriba, 30 %, y abajo, 15 %, del supueso 22 %. sos valores influirán en d 1 y d 2, además de en el valor de cada opción. Para σ = 0,30 la opción de prórroga oma el valor C = 35,91 La opción de rescisión cambia a:

8 = 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 V()=AA(..) 272,59 222,59 174,51 128,29 83,84 41,10 X()=AA(0..)+PP()+M(..) 306,69 299,75 293,35 287,46 282,06 277,11 d 1 () 0,52 0,03-0,58-1,36-2,47-4,36 d 2 () 0,15-0,38-0,58-1,36-2,47-4,36 C 18,56 12,73-27,16-11,03-1,07 0,00 C 0 A Y la opción conjuna oma el valor: C 18,56 abla 3: Valores de la opción de rescisión con σ = 0,30 = 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 V()=AA(..) 312,11 262,11 214,03 167,80 123,35 80,61 X()=AA(0..)+PP()+M(..) 344,62 337,68 331,28 325,40 319,99 315,05 d 1 () 0,57 0,15-0,35-0,97-1,76-2,87 d 2 () 0,20-0,26-0,35-0,97-1,76-2,87 C 23,47 17,89-33,26-20,19-5,89-0,36 C 0 A C 23,47 abla 4: Valores de la opción de conjuna para σ = 0,30 Se observa un mayor valor de las opciones para una mayor variabilidad, ya que esa premia los reornos mayores. n caso de una variabilidad menor, σ = 15 % anual, enemos los valores siguienes: Para la opción de prórroga: 8,66 Para la opción de rescisión: 0 Para la conjuna: 0 Nuevamene, la opción de prórroga es la más valorada, y las oras dos son indiferenes en los úlimos periodos Sensibilidad frene a la asa de inerés indiferene ane el riesgo. ambién es necesario un análisis de sensibilidad respeco al segundo de los parámeros esimados de anemano: la asa de inerés indiferene ane el riesgo. La suposición realizada es el 4% semesral, que se corresponde con un 8,16 % anual. sa es una media de los coses financieros en los que incurre la empresa, que depende indirecamene de los ipos fijados por el Banco Cenral uropeo. Si los ipos varían, cambian los valores acualizados de la inversión, lo que puede hacer más o menos ineresane alguna de las opciones. Se van a conemplar dos enornos; uno al alza, con r1 = 0,045 semesral (correspondiene a un 9,2% anual) y oro a la baja, con r2 = 0,035 semesral (7,12% anual) que ambién podría corresponder a un inversor no indiferene ane el riesgo. r Prórroga Rescisión Conjuna 0,045 19,07 2,01 (=0) 4,62 (=0) 0,035 24,12 7,97 (=0) 11,31 (=0) abla 5: Valores de las opciones con r variable Se observa que no han cambiado las reglas de decisión con respeco al caso original.

9 9. Conclusiones Las decisiones que oman los responsables de las inversiones esraégicas de las empresas suelen omarse de forma más o menos inuiiva, basándose en su propia experiencia. La eoría de opciones ofrece un valor numérico a esas inuiciones llegando a conclusiones muy similares a las de analisas experos. n ese rabajo se han plasmado de forma concrea las decisiones descomponiéndolas en varios ipos según caegorías económicas. De esa forma se deja en manos del responsable de la oma de decisiones el realizar un modelo lo más cercano posible al caso concreo. Oras cuesiones que ayuda a cuanificar la eoría de opciones son las venajes de la compeiividad, la capacidad de oma de decisiones conforme avanza el desarrollo del proyeco. Las opciones reales ambién deben ser omadas con cuidado, ya que una valoración excesivamene opimisa de la volailidad sólo debe ser enida en cuena en los casos en que la gesión vaya a sacar parido de esa inceridumbre, y eso sólo se realiza gracias a la experiencia del gesor. l méodo empleado se ha revelado como basane menos inuiivo que el méodo binomial para ese ipo de opciones conracuales, ya que no ofrece una visión an clara como aquel de los disinos valores que puede omar el acivo y cómo influyen esos en las disinas opciones. Referencias [1] Amram, M.; Kulailaka, N., (1999). Opciones Reales, Harvard Business School Press. [2] Benaroch, M.; Kauffman, R.J., (1999). A Case for Using Real Opions Pricing Analysis o valuae Informaion echnology Projec Invesmens, Informaion Sysems Research, 10,1, pp [3] Galbi, D.A., (2001). Regulaing prices for shifing beween service providers, Informaion conomics and Policy, 13, pp [4] Mascareñas, J. (1999). Las decisiones de inversión como opciones reales: Un enfoque concepual, Documenos de rabajo de la faculad de Ciencias conómicas y mpresariales. UCM,