Un Modelo de Equilibrio General con Dolarización para la Economía Peruana (Apéndice Técnico)

Transcripción

1 Un odelo de Equilibrio General con Dolarización para la Economía Peruana (Apéndice Técnico) Paul Casillo, Carlos onoro yz y Vicene Tuesa x Banco Cenral de Reserva del Perú Revisa Esudios Económicos N 7 (Junio 2009) A El ODELO En esa sección del apéndice écnico se muesran los dealles del modelo base, al cual se le incorporan los ingredienes de dolarización e inervención cambiaria de la sección 2 del exo principal. El modelo pare de una economía pequeña y abiera con dinero y rigideces nominales de precios, en línea con las conribuciones de Obsfeld y Rogo (995), Chari y oros (2002), Gali y onacelli (2005), Chrisiano y oros (2005), Deveraux y oros (2006) y más auores. Para manener el concepo de equilibrio general, el modelo base pare de una economía de dos países (: domésica y F: exerna). Se obiene la economía pequeña asumiendo que el amaño de la economía domésica iende a cero en el límie de al forma que no pueda afecar a la economía exerna o mundial. Banco Cenral de Reserva del Perú: Jr. Anonio iró Quesada 44, Lima, Perú. Teléfono: Correo elecrónico: paul.casillo@bcrp.gob.pe. y Banco Cenral de Reserva del Perú: Jr. Anonio iró Quesada 44, Lima, Perú. Teléfono: Correo elecrónico: carlos.monoro@bcrp.gob.pe z Auor de conaco. x Deusche Bank y CENTRU-Caólica: Jr. iguel Dasso 04, piso 8, Lima 27, Perú. Teléfono: Correo elecrónico: vicene.uesa@db.com. De Paoli (2009), Casillo, onoro y Tuesa (2006) y Felices y Tuesa (2007) adopan la misma esraegia para analizar emas de políica monearia en economías pequeñas y abieras. Por su pare, Galí y onacelli (2005) modelan la economía pequeña y abiera considerando una economía mundial deerminada por un coninuo de economías pequeñas y abieras.

2 La gura resume el diagrama de ujos del modelo. En él exisen individuos, rmas y empresarios. Los individuos realizan las decisiones de consumo y rabajo, las rmas producen y los empresarios acumulan el capial. También exise un secor nanciero domésico, un secor exerno y el secor gobierno asociado a las políicas scal y monearia. Los individuos o familias consumen dos bienes ransables. Esos bienes son susiuos imperfecos y son producidos domésicamene o imporados. A su vez, ellos reciben ingresos provenienes de las horas rabajadas en las rmas y de la paricipación en los bene cios de las rmas. Asimismo, los individuos ahorran comprando bonos en el sisema nanciero domésico o exerno. Exisen cuaro ipos de rmas que operan en la economía domésica 2 : a) producoras de bienes inermedios (mayorisas), b) producoras de bienes nales (minorisas), c) producoras de capial sin erminar y d) disribuidoras de bienes imporados. Las rmas producoras de bienes inermedios combinan capial y rabajo para producir un bien inermedio que se vende al por mayor a los producores de bienes nales. Las rmas producoras de bienes nales uilizan los bienes inermedios para producir un coninuo de bienes diferenciados para el consumo, inversión y gaso público. Los producores de capial sin erminar uilizan como insumo los bienes nales (inversión) para producir bienes de capial, los cuales son vendidos a los empresarios. Finalmene, los disribuidores de bienes imporados compran un bien homogéneo en el mercado mundial y lo venden domésicamene 3. Los empresarios son agenes económicos que acumulan capial, el cual es nanciado mediane la emisión de deuda. Se incluyen fricciones nancieras considerando una prima por riesgo que es función creciene del raio de apalancamieno de los empresarios. Esos agenes compran el capial de las rmas producoras de capial sin erminar y lo alquilan a las rmas producoras de bienes inermedios. 2 Cabe mencionar que en el crierio para la separación de acividades de cada rma se han considerado las diferenes decisiones económicas que se hacen en un proceso producivo. Por ejemplo, se ha separado enre rmas la decisión de rena de rabajo y capial de los problemas de acumulación de capial y de jación de precios bajo compeencia monopolísica y rigideces de precios. Si bien en la prácica, es una sola rma la que oma odas esas decisiones a la vez, esa separación absraca simpli ca el álgebra sin afecar el resulado nal. 3 Cabe mencionar que las rmas producoras de bienes inermedios operan bajo compeencia perfeca, alquilando el rabajo de los individuos y el capial de los empresarios. En conrase, los producores de bienes nales operan en un ambiene de compeencia monopolísica y jan precios de manera escalonada, es decir, presenan rigideces nominales en precios. Además, ese secor minorisa vende su producción ano inerna como exernamene, ejerciendo discriminación de precios, por lo que pueden jar el precio de las exporaciones en la moneda exerna. De manera similar, los disribuidores de bienes imporados operan ambién en un ambiene de compeencia monopolísica, lo cual genera desviaciones de la ley de un solo precio en los bienes imporados. Es decir, el precio del bien domésico di ere del precio inernacional por la cuña que generan los disribuidores de bienes imporados al operar en un ambiene de compeencia monopolísica. 2

3 Transferencias Demanda de dinero GOBIERNO Políica Fiscal Políica onearia Tasa de inerés Dem. Bs. finales (gaso público) Dem. Bs. Impor. (gaso público) Ofera de rabajo Salarios FIRAS Bs. inermedios Rena capial Dem. Bs. finales (domes.) Beneficios Dem. insumos Bs. finales INDIVIDUOS EPRESARIOS Dem. Bs. finales (inversión) Bs. Capial Dem. Capial sin erminar Dem. Bs. finales (impor.) Beneficios Dem. Bs. impor. (inversión) Imporadores Bonos Bonos exernos Demanda de imporaciones SECTOR ETERNO Dem. Bs. finales (expor.) Deuda SECTOR FINANCIERO DOÉSTICO Figura : Diagrama de ujo del modelo 3

4 Además, se incluyen oras fricciones reales, nominales y nancieras para que el modelo se ajuse a la dinámica de los daos peruanos. En paricular, el modelo coniene las siguienes caracerísicas: hábios en consumo, coso de ajuses en la inversión, uilización variable del capial, ajuse gradual en los salarios reales, indexación de precios, raspaso imperfeco del ipo de cambio al precio de los bienes imporados y de las exporaciones. El modelo base es exendido en la sección 2 del exo principal para cuani car los efecos de la dolarización, modelando res ipos de dolarización. Se modela dolarización de ransacciones (DT) considerando que ano la moneda domésica como exerna oorga uilidad a los consumidores. Se inroduce dolarización de precios (DP) asumiendo exógenamene con un sub-grupo de rmas jan sus precios en moneda exranjera (dólar). Finalmene, la dolarización nanciera (DF) se modela a ravés de un acelerador nanciero en dos monedas. La fuene de inceridumbre en el modelo esá dada por los siguienes 7 choques: a las preferencias, a la paridad descubiera de la asa de inerés, a la producividad domésica, a los márgenes de los secores de producción domésica, exporación e imporación, a la asa de inerés de políica monearia. Además, se consideran 4 procesos exógenos para el gaso público y las variables exernas: el produco, la in ación y asa de inerés. A. Individuos A.. Preferencias La economía mundial esá poblada por un coninuo de individuos de densidad. Donde una fracción n vive en la economía domésica y la diferencia, n reside en el reso del mundo. Cada individuo j en la economía domésica recibe uilidad por consumir una canasa de bienes, C j, por manener saldos monearios, Z j ; y recibe desuilidad por rabajar, Lj. Las preferencias del individuo esán represenadas por la siguiene función de uilidad " U = E +s U s=0 C j +s ; Cfam +s ; Zj +s ; Lj +s ; +s # ; (A.) donde E es la expecaiva condicional sobre el conjuno de información en el período y es el facor de descueno ineremporal, con 0 < < : Z j = j =P es el saldo de dinero real del agene j en el periodo. Por lo prono se asume que el individuo sólo recibe uilidad por manener moneda domésica (soles). Adicionalmene, las preferencias sobre el consumo exhiben hábios exernos, es decir, el nivel de la uilidad marginal por consumir es decreciene en la diferencia relaiva de C j con relación al nivel del consumo agregado en el período anerior, Cfam. Por lo ano, los individuos disfruan de mayor uilidad en ano sus niveles de consumo aumenan 4

5 con relación a sus hábios 4. La forma funcional de la uilidad será de nida en la sección 4 donde se describe la paramerización y formas funcionales del modelo base. Finalmene se puede inerprear como un choque de preferencias de con anza que exhibe un proceso auoregresivo de primer orden en logarimos. A su vez, la canasa de consumo esá compuesa de bienes domésicos y de bienes imporados del exerior. Esos bienes se agregan uilizando el siguiene índice de consumo: C ( ) =" C " " + ( ) =" C " " " " ; (A.2) donde " es la elasicidad de susiución ano para los bienes producidos domésicamene (C ) y bienes imporados (C ), y represena la fracción de bienes producidos domésicamene que coniene la canasa oal de consumo en la economía pequeña. A su vez, C y C son índices de un coninuo de bienes diferenciados producidos domésicamene y en el exerior, respecivamene. Esos índices de consumo se de nen a coninuación: C " n " Z n 0 # " " C (z) " " " dz ; C n " Z n # " C (z) " " " dz ; (A.3) donde " > es la elasicidad de susiución ano para los bienes producidos domésicamene, C (z); como para aquellos producidos en el exerior, C (z). Las demandas ópimas de los individuos por bienes domésicos y exernos esán dadas por: C (z) = n C (z) = P P " (z) P P n ( ) P F P (z) " C ; " P P " C : (A.4) (A.5) Ambas demandas se obienen de minimizar el gaso oal en consumo P C ; donde P es el índice de precios al consumidor 5. Es de resalar, que el consumo de cada ipo de bien es creciene en el consumo agregado y decreciene en su correspondiene precio relaivo. También es fácil mosrar que el índice de precios al consumidor, bajo el supueso de las preferencias descrias líneas arriba, 4 La presencia de hábios en los modelos Nuevos Keynesianos ayudan a explicar la dinámica del consumo y produco que se observa en la daa luego de un choque moneario, pueso que agregan persisencia en las variables reales. 5 Ver apéndice B para el dealle de la obención de las demandas. 5

6 esá deerminado por la siguiene condición: P h P " + ( ) P " i " ; (A.6) donde P y P represenan los niveles de precios de los bienes producidos domésicamene y bienes imporados, respecivamene. Cada uno de esos índices a su vez es de nido de la siguiene manera, P n Z n 0 P (z) " " dz ; P n Z n P (z) " " dz ; (A.7) donde P (z) y P (z) represenan los precios de la variedad z expresados en moneda domésica ano para bienes producidos domésicamene como para bienes imporados. A..2 Esrucura de Acivos Por simplicidad, se asume una esrucura de mercado de acivos en la que exisen dos bonos nominales de un período libres de riesgo, los mismos que esán denominados en moneda domésica (sol) y moneda exranjera (dólares), respecivamene. Una caracerísica paricular es que para el individuo de la economía pequeña es cososo inercambiar bonos denominados en moneda exranjera. Ese supueso permie hacer que el modelo sea esacionario ano para la rayecoria del consumo como para la deuda. Asimismo, ese supueso es consisene con la exisencia de fricciones nancieras para inermediar inernacionalmene 6. Bajo esa esrucura de acivos, la resricción presupuesaria del agene represenaivo (j) de nida en unidades de moneda domésica viene dada por: B j + S B j + j = ( + i ) B j + + i B B S P S B j + W L j P C j + P (A.8) j + j + T j ; donde j es la enencia de dinero nominal, W es el salario nominal, S el ipo de cambio nominal, i la asa de inerés nominal domésica, i ; la asa de inerés nominal exerna, j son los bene cios reales en érminos de unidades de consumo que son disribuidos de odas las rmas de la economía al agene j y T j son ransferencias del gobierno. Se asume que cada individuo es dueño de una fracción n de odas las rmas de la economía y no exise un mercado para las acciones de las rmas. Ese supueso permie rabajar con la economía agregada como un modelo de agene represenaivo, de lo conrario se endría que hacer seguimieno de la riqueza 6 Se sigue a Benigno (2009) Schmi-Grohe y Uribe (2003) y Kollmann (2002) quienes consideran el mismo coso para obener esacionariedad. 6

7 de cada individuo. B j es la enencia de bonos denominados en moneda local por pare del agene domésico y B j es la enencia de bonos exernos por pare del agene domésico. La función B (:) represena el coso real asociado a comprar o inercambiar bonos exernos denominados en dólares, la misma que depende del nivel agregado de bonos exernos en érminos reales que manienen los residenes locales. 7. Por simplicidad, se asume que la fricción nanciera por omar posición de bonos exernos se aplica sólo a los agenes domésicos y que los agenes exernos sólo pueden comprar bonos exernos denominados en dólares. El individuo maximiza (A:) sujeo a (A:8) : A..3 Decisiones de Consumo/Ahorro, Ofera de Trabajo y Demanda de Dinero Las condiciones que caracerizan las asignaciones ópimas de enencias de bonos domésicos y exernos esán dadas por las siguienes dos ecuaciones: U C; = E U C;+ ( + i ) U C; = ( + i S B ) B P P P + ; (A.9) : (A.0) E S+ P S P + U C;+ Eliminamos el índice j por el supueso de agene represenaivo. U C; represena la uilidad marginal por consumir y dependerá de la forma funcional que se asuma en la calibración (ver sección 4). La ecuación (A:9) es la ecuación de Euler que deermina la rayecoria ópima del consumo al igualar los bene cios marginales de ahorrar con sus cosos marginales. A su vez, la ecuación (A.0) es la condición de equilibrio que deermina la enencia de bonos exernos por pare del agene domésico. De esas dos condiciones se puede obener una versión no-lineal de la relación de paridad descubiera de asas de inerés (PDI), dicha relación vincula la depreciación esperada del ipo de cambio nominal con el diferencial nominal de asas de inerés, n o SB ( + i ) ( + i ) = B P E S+ P S P + U C;+ (P DI ) o ; (A.) P E nu C;+ P + Adicionalmene, para evaluar posibles desviaciones de esa relación se agrega un choque PDI, el mismo que sigue un proceso auoregresivo de orden uno en logarimos. El individuo elige ambién la canidad de dinero que desea manener. La condición de primer 7 B Algunas resricciones para B (:) son necesarias: S B = ; es decir, oma el valor de si B S P P = B S ; P B es diferenciable y decreciene alrededor del valor de esado esacionario, eso es = b < 0. 0 B B S P 7

8 orden que deermina la demanda real de dinero esá dada por: U Z; = i + i U C; : (A.2) Finalmene, la condición de primer orden que deermina la ofera de rabajo esá dada por, U L; U C; = RS = W P ; (A.3) donde W P es el salario real, RS es la asa marginal de susiución enre consumo y horas rabajadas. En un mercado compeiivo de rabajo RS debería ser igual al salario real como en la ecuación (A:3). Sin embargo, para incluir fricciones en el mercado laboral presenes en la economía peruana, se relaja la condición de e ciencia esándar asumiendo que los salarios reales se ajusan lenamene ane cambios en la asa marginal de susiución, RS 8. La siguiene ecuación considera las fricciones en el mercado laboral: W P = W P wp RS wp : (A.4) En (A.4 ) wp mide el grado de persisencia en los salarios reales y por lo ano es un índice de las fricciones en el mercado laboral 9. A.2 Economía Exerna La canasa de consumo de la economía exerna iene una forma funcional similar a la de la economía domésica y esá dada por, C ( F ) =" F C " F " F + ( F ) =" F C F " F " F " F " F ; (A.5) donde " F es la elasicidad de susiución enre bienes producidos en el país domésico (C ) y en la economía exerna (C F ), respecivamene, y F es la fracción de bienes producidos domésicamene que coniene la canasa oal de consumo de la economía exerna. A su vez, C y C F son índices de un coninuo de bienes diferenciados similares a C y C de nidos en la ecuación (A.3). Así 8 Ver Blanchard y Gali (2007) para una descripción de rigideces reales de ese ipo en un modelo de equilibrio general. 9 Adicionalmene, es posible obener la asa de desempleo de equilibrio al comparar el nivel de horas empleadas cuando no exise rigideces, wp = 0; con aquellas cuando las rigideces reales esán presenes wp > 0. 8

9 se obienen las siguienes demandas por consumo para cada ipo de bien C (z) = n F C F (z) = P P " (z) P P F n ( F ) P F P (z) " C ; " P F P " C ; (A.6) (A.7) donde P y P F corresponden a los índices de precios de las exporaciones y de los bienes producidos en el exerior y P es el índice de precios al consumidor de la economía exerna, de nido por: P h F P "F + ( F ) P F "F i " F : (A.8) A.2. El Supueso de la Economía Pequeña y Abiera Tal y como lo hace Suherland (2005) se asume que el parámero que deermina las preferencias domésicas por bienes imporados, ( ), depende ano del amaño relaivo de la economía exerna, ( n), así como del grado de aperura, : ( ) = ( n) ( ). De la misma manera, para la economía exerna se asume que la preferencias de los consumidores exernos por bienes domésicos depende del amaño relaivo de la economía domésica y del grado de aperura de la economía mundial, ( ), eso es F = n ( ). Esa paramerización implica que cuando la economía se vuelve más abiera, la fracción de bienes imporados en la canasa de consumo aumena. Por oro lado, cuando la economía se hace más grande, esa fracción cae. La paramerización de nida previamene permie obener la economía pequeña y abiera como un caso límie de un modelo de dos países. Eso se logra haciendo que el amaño de la economía ienda a cero, n 0: En ese caso, se iene que y F 0: Por lo ano, en el caso límie la economía exerna no uiliza bienes domésicos en su canasa de bienes nales, y las condiciones de demanda para bienes domésicos pueden escribirse de la siguiene forma P C = P " C ; (A.9) P C = ( ) P P C = ( ) P " C ; "F C : (A.20) (A.2) Asimismo, en el límie el índice de precios al consumidor domésico y exerno ienen la siguiene 9

10 forma funcional: P h P " + ( ) P " i " ; (A.22) P = P F : (A.23) Por simplicidad se asume que las canasas de inversión y de gaso público, ano domésicas como exernas, adopan la misma forma funcional que la del consumo (ecuaciones A.2 y A.5). Dado lo anerior, la agregación de los res componenes del gaso facilia obener la demanda por bienes de producción domésica, imporada y por bienes de exporación: P Y = P " ABS ; (A.24) P Y = ( ) P P Y = ( ) P " ABS ; "F Y ; (A.25) (A.26) donde ABS corresponde a la absorción inerna, de nida como la suma de las demandas de bienes de consumo, inversión y gaso público domésicas y Y al produco exerno 0. Dado el supueso de economía pequeña, las variables de la economía exerna que afecan la dinámica de la economía domésica son el produco exerno, Y, la asa de inerés exerna, i, y la in ación exerna,. Para simpli car el análisis, se asume que esas res variables siguen un proceso auoregresivo en logarimos cuyo orden es deerminado por el proceso generador de los daos (ver sección 4.). A.3 Firmas A.3. Producores de Bienes Inermedios Exise un coninuo de rmas inermedias cuya masa es n. Cada rma z produce un bien inermedio uilizando capial y rabajo. Esas rmas operan en un mercado de compeencia perfeca y uilizan una ecnología con reornos consanes de escala que adopa la siguiene forma funcional, Y in h (z) = A K g (z)i [L (z)] ; (A.27) 0 Es imporane mencionar que en el caso límie cuando n 0 la economía exerna funciona como una economía cerrada. Enonces, el produco oal de la economía exerna es igual a la suma de sus demandas de consumo, inversión y gaso público. 0

11 donde g K (z) = u K (z) ; (A.28) 0 < < represena la paricipación del capial en el oal de la producción, K g (z) es el servicio de capial alquilado a los empresarios al nal del período para la producción, el cual depende de la asa de uilización del capial u y del sock del capial sico K (z), L (z) es la canidad de rabajo demandada a los individuos, A es un choque ransiorio de ecnología que, según las esimaciones de la sección 4., sigue el siguiene proceso auorregresivo de segundo orden en logarimos. Esas rmas oman como dados el salario real, W =P ; que se paga a los individuos y la asa de alquiler del capial, R ; que se paga a los empresarios. Las rmas inermedias minimizan cosos dada la ecnología para escoger el nivel ópimo de rabajo y de capial. Así, las demandas por los facores de producción esán deerminadas por : C (z) L (z) = ( ) W =P K g C (z) (z) = R Y in (z) ; (A.29) Y in (z) : (A.30) Luego de reemplazar la demanda de cada facor en la función de producción se obiene el coso marginal, C (z) = A R W =P : (A.3) Dado que odas las rmas cuenan con la misma ecnología de reornos consanes a escala, el coso marginal real de cada rma inermedia z es el mismo, es decir C (z) = C. A su vez, dado que las rmas se encuenran en un enorno de compeencia perfeca, el precio de cada bien inermedio es igual al coso marginal nominal. Por lo ano el precio relaivo P (z) =P es igual a los cosos marginales reales en érminos de unidades de consumo (C ). A.3.2 Fijación de Precios de Producores de Bienes Finales Bienes Vendidos Domésicamene Los producores de bienes nales compran bienes inermedios y los ransforman en bienes diferenciados para consumo nal. Es decir, esos producores funcionan como empaqueadores de bienes inermedios. Por lo ano, el coso nominal marginal de esas rmas empaqueadoras es igual al precio del bien inermedio. Esas rmas operan en un ambiene de compeencia monopolísica, donde cada rma enfrena una demanda de pendiene negaiva, especi cada líneas abajo. Adicionalmene, se asume que en cada periodo los producores de bienes nales enfrenan una probabilidad exógena dada por ( ) de volver a jar

12 precios. Siguiendo a Calvo (983), se asume que esa probabilidad es independiene del nivel de precio seleccionado por la rma en el período previo así como del iempo ranscurrido desde la úlima vez en que la rma haya cambiado sus precios. Finalmene, ambién se asume que el precio de cada rma z que no reopimiza se ajusa siguiendo la siguiene regla de indexación: P (z) P (z) = ; donde 0 < es el grado de indexación. Así, condicionado a un precio jo en el periodo, el valor presene desconado de los bene cios de la rma z viene dado por E 8 2 < ( : ) k +k 4 P ;o (z) k=0 donde +k = k U C;+k U C; P +k P +k P C +k 3 5 Y +kj (z) es el facor de descueno esocásico, C +k = C +k P +k P +k 9 = ; ; (A.32) es el coso marginal real expresado en unidades de bienes producidos domésicamene, y Y+kj (z) es la demanda por el bien z en + k condicionado a que el precio ha sido jado desde el periodo, la cual esá dada por Y +kj (z) = 2 4 P ;o P +k (z) P +k P 3 5 " Y +k : Cada rma z elige P ;o (z) para maximizar (A:32). La condición de primer orden del problema anerior es la siguiene: E ( k=0 ( ) k P ;o +k P (z) ;+k UP +k C +k ) " ;+k Y +k = 0; donde " " ; ;+k F ;+k, F ;+k P y UP +k P+k +k es un choque a los margenes que es cambiane en el iempo y evoluciona según un proceso auorregresivo de primer orden. Siguiendo a Benigno y Woodford (2005), la anerior condición de primer orden puede ser reescria recursivamene uilizando dos variables auxiliares, V D de la siguiene manera P ;o (z) P = V N V D ; y V N, las mismas que se relacionan 2

13 donde n V N = UP U C; Y C + E V+ N V D = U C; Y + E V+ D + + " " o ; (A.33) : (A.34) En la sección 3:2 del exo principal se desarrolla la inuición de la curva de ofera agregada uilizando la aproximación log-lineal de las ecuaciones aneriores. Asimismo, dado que en cada periodo sólo una fracción ( ) de las rmas cambian sus precios, y el reso de rmas acualizan sus precios en función a la asa de in ación pasada, la asa brua de in ación domésica esá deerminada por la siguiene condición: h i " V N " = ( ) V D : (A.35) Las ecuaciones (A.33), (A.34) y (A.35) deerminan la ecuación de ofera agregada (curva de Phillips) de la producción domésica. Bienes Vendidos en el Exerior Se asume que las rmas producoras de bienes nales pueden discriminar precios enre el mercado domésico y el exerno, por esa razón pueden jar el precio de sus exporaciones en la moneda exranjera. Asimismo, al vender al exerior enfrenan ambién un ambiene de compeencia monopolísica con rigideces nominales, en el cual ienen una probabilidad de poder reajusar sus precios y un grado de indexación 0 x <. El problema de los minorisas que venden en el exerior es muy similar al de las empresas que venden en el mercado domésico, el cual se resume en las siguienes res ecuaciones que deerminan la curva de ofera de los exporadores para precios en moneda exranjera: V N; = Y h U C; UP C + E V N; + V D; = Y U C; + E V D; + + " " i ; (A.36) ; (A.37) + " = ( ) V N; " V D; ; (A.38) 3

14 donde los cosos marginales reales de los bienes producidos para exporación esán dados por: C = P C S P C = P ; (A.39) RER P los cuales dependen inversamene del ipo de cambio real (RER = SP P ) y del precio relaivo de las exporaciones sobre los precios exernos. UP represena un choque a los márgenes P P cambiane en el iempo, el mismo que evoluciona según un proceso auoregresivo de primer orden. A.3.3 Firmas Producoras de Capial sin Terminar Exisen un coninuo de rmas de masa que producen bienes de capial sin erminar indexados por z K : Esas rmas operan en un mercado de compeencia perfeca y compran bienes nales en forma de inversión para producir capial nuevo. El capial producido es vendido a los empresarios al precio Q en érminos de unidades de consumo. La ecnología de producción viene dada por la siguiene expresión: K nuevo (z K ) = F [INV (z K ) ; INV (z K )] : (A.40) Esa ecnología considera el hecho de que exisen cosos de ajuse de insalar nuevas inversiones en el capial, los cuales dependen del cambio del nivel de inversión respeco a la del periodo anerior. La condición de primer orden del problema ineremporal de las rmas producoras de capial sin erminar es: Q F ; + E + Q + F 2;+ = ; (A.4) donde + es el facor esocásico de descueno de nido previamene. Esa condición deermina el nivel ópimo de inversión mediane una relación que iguala el valor marginal de la inversión con el precio del capial presene y fuuro. Además, como se mencionó aneriormene, para hacer el modelo más raable se asume que la producción de bienes de capial sin erminar uiliza un compueso de bienes nales igual al de los bienes de consumo. Por lo ano, el índice de precios de la inversión y del consumidor coinciden. Por simplicidad se asume h lasiguiene iforma funcional: INV F (INV ; INV ) = I INV INV, donde I () = 0 I () = 0. 4

15 A.3.4 Firmas que Venden Bienes Imporados al por enor Las rmas que venden bienes imporados compran un bien homogéneo en el mercado mundial y lo diferencian en un bien nal imporado Y (z). Esas rmas operan en un ambiene de compeencia monopolísica con rigideces nominales, en el cual ienen una probabilidad de poder reajusar sus precios y un grado de indexación 0 <. El problema de los minorisas ambién es muy similar al de los producores de bienes nales que venden en el mercado domésico. La curva de Phillips de los imporadores viene dada por: V N; = Y h U C; UP C + E V N; + V D; = Y U C; + E V D; " " i ; (A.42) ; (A.43) " = ( ) V N; " V D; ; (A.44) donde el coso marginal real de los imporadores esa dado por el coso de adquirir los bienes en el exerior (S P ) sobre el precio de las imporaciones (P ): C = S P P LOP ; (A.45) donde LOP mide las desviaciones de la ley un sólo precio 2 y iene la siguiene ley de movimieno LOP LOP = DS : (A.46) Asimismo, UP represena un choque a los márgenes cambianes en el iempo que evoluciona según un siguiene proceso auoregresivo de primer orden. A.4 Empresarios Los empresarios son agenes que se dedican a inverir en bienes de capial a ravés de las empresas producoras de capial sin erminar. Ellos nancian la inversión empleando su propia riqueza nea y a ravés de la emisión de deuda. Como resulado, el balance del empresario esá deerminado por 2 Ver onacelli (2005) para una formulación similar. N + D P = Q K ; (A.47) 5

16 donde N es el valor real del parimonio del empresario y D la deuda emiida por los empresarios denominada en unidades de moneda domésica. Para modelar imperfecciones en el mercado de crédios se oma como referencia el esudio de Bernanke y oros (999). En dicho esudio la prima por riesgo esá relacionada inversamene con el parimonio neo del empresario. En el modelo, el valor esperado de los cosos de quiebra son pequeños cuando la proporción de inversión en capial es auo nanciada. Por lo ano, cuano menor sea la deuda relaiva al parimonio neo, menor será el valor esperado de la prima. Los empresarios se endeudan domésicamene, pagando una prima por riesgo, RP ; sobre el nivel de la asa nominal libre de riesgo denominada en moneda domésica. Se asume que la prima por riesgo es una función del raio deuda/parimonio neo D RP = ; (A.48) P N donde (:) es una función creciene y cóncava. En equilibrio, el reorno esperado del capial debe ser igual al coso de endeudamieno para nanciar capial para la inversión E R K + = ( + RP ) E ( + i ) P ; (A.49) P + La ecuación (A:49) muesra que el nivel ópimo de inversión en bienes de capial se obiene cuando el reorno esperado de inverir en capial, E R+ K ; es igual al coso marginal por nanciar la inversión, el mismo que consise en la asa de inerés esperada real (libre de riesgo), E ( + i ) P P + ; y una prima por riesgo, ( + RP ). Los empresarios compran cada periodo capial nuevo de las rmas producoras de capial sin erminar al precio Q y alquilan una proporción u del capial físico insalado a los producores de bienes inermedios. En la uilización del capial incurren en un coso U (u ), donde U es una función creciene que mide el desgase acelerado del capial por su uso más inensivo. El reorno de inverir en capial esa dado por: R K = Q u R U (u ) + ( ) Q ; (A.50) el cual esá compueso por dos facores: el pago recibido de los producores de bienes inermedios neo del coso de uilización, u R U (u ), y las ganancias por aumenos en el precio del capial neo de depreciación, ( ) Q, odo dividido por el precio inicial del capial, Q. Para maximizar el reorno del capial, la condición de primer orden de la asa de uilización de capial esa dada por: 0 U (u ) = R ; (A.5) 6

17 El valor del capial de los empresarios neo del coso de endeudamieno del periodo anerior esa dado por V : + V = R K i D Q K ( + RP ) ; (A.52) P donde el primer y segundo érmino corresponden, respecivamene, al reorno real ex-pos del capial y al coso ex-pos de endeudamieno. Se asume además, al igual que en Bernanke y oros (999), que una proporción v de empresas desaparece cada periodo y los empresarios que salen del negocio consumen sus recursos remanenes. Enonces, la dinámica de la evolución del parimonio neo esa dado por y el consumo de los empresarios viene dado por A.5 Políica onearia y Fiscal N = ( v) V ; (A.53) C emp = vv : (A.54) El banco cenral implemena su políica monearia jando su asa de inerés nominal, i ; siguiendo una regla de asa de inerés ipo Taylor 3. Esa regla re eja la conduca sisemáica del banco cenral. La regla depende de la in ación al consumidor, ; la depreciación nominal, DS y la asa de crecimieno del produco, siguiene forma, ( + i ) + i = + i + i 'i S S ; Y Y. La forma genérica de la regla de Taylor adopa la ' 's 'y 'i DS Y exp (ON ) ; (A.55) DS Y donde, ' i, ' y, ' s > 0 y ' > :, i y DS son los niveles de esado esacionario de la in ación, asa de inerés nominal y del cambio en el ipo de cambio. El érmino ON es un choque moneario aleaorio que se disribuye de acuerdo con N 0; 2 ON. Se asume que exise suavizamieno de asa de inerés, i ; cuya sensibilidad esá dada por el parámero ' i. La resricción presupuesaria del gobierno esá dada por: = + T + P G ; (A.56) donde es el saldo de dinero a n del periodo, T son ransferencias del gobierno y G es el gaso de gobierno en érminos reales. Por simplicidad, se asume que el gaso del gobierno esa compueso 3 Ver Clarida, Gali y Gerler Clarida (2000) para un recueno del uso de ese ipo de reglas para USA. Casillo, onoro y Tuesa (2006a) esiman reglas similares uilizando méodos bayesianos y daa peruana. 7

18 por una canasa de bienes domésicos e imporados similares a las del consumo (ecuaciones A.2 y A.3), razón por la cual compare el mismo índice de precios que el consumo. Además, se considera que el gaso público se compora según un proceso auoregresivo en logarimos. Cabe mencionar que la ecuación (A.56) implica que el dé ci del gobierno se encuenra balanceado en cada periodo 4. Además, debido a que el manejo moneario se realiza a ravés del conrol de la asa de inerés, la ofera de dinero se acomoda a la demanda por dinero de manera consisene a la regla de Taylor. A.6 Condiciones de Equilibrio de ercado La demanda inerna o absorción se deermina por la suma oal del consumo, inversión y gaso público: ABS = C + INV + G ; donde el consumo oal viene dado por la suma del consumo de las familias y los empresarios: C = C fam (A.57) + C emp : (A.58) De forma similar, la demanda oal por producción domésica y exerna (imporaciones) esa dada por la suma oal de sus respecivos componenes: La suma oal de la producción domésica esa dada por: Y = C + INV + G ; (A.59) Y = C + INV + G : (A.60) P def Y = P Y + S P Y : (A.6) Luego de uilizar las ecuaciones (A.24) y (A.25) y la de nición del índice de precios (A.22), la ecuación (A.6) puede ser descompuesa de la siguiene forma: P def Y = P ABS + S P Y P Y : (A.62) Para poder ideni car el produco bruo inerno de la economía, Y, es necesario de nir el de- acor del PBI, P def, el cual es una suma ponderada de los índices de precio al consumidor, de 4 El supueso de dé ci cero en cada periodo es simplemene para simpli car el análisis, en ese caso el gaso público se deermina de manera exógena por un proceso AR. Una posibilidad de exender el análisis es incorporar ambién reglas scales sobre el gaso público. Para un ejemplo del uso de reglas scales para Perú en un modelo de equilibrio general ver onoro y oreno (2007). 8

19 exporaciones y de imporaciones y el ipo de cambio: P def = ABS P + S P P ; (A.63) donde ABS ; y corresponden a los valores en esado esacionario del raio de la absorción, exporaciones e imporaciones sobre el PBI. La demanda por bienes inermedios se obiene de agregar aquella que se uiliza para la producción domésica y para la exporación: Y in (z) = Y (z) + Y (z) (A.64) P " = (z) P Y " + (z) Y : P Agregando (A.64) respeco a z, se obiene Y in = n Z n 0 P Y in (z) dz = Y + Y ; (A.65) donde = R n P (z) " n 0 P dz y = R n P (z) " n 0 P dz son medidas de dispersión relaiva de precios, las mismas que ienen un impaco nulo en la dinámica si se oma una aproximación de primer orden respeco al esado esacionario 5. Similarmene, las demandas agregadas por servicios de capial y rabajo son: C L = ( ) W =P C g K (z) = R Y Y + Y : + Y ; (A.66) (A.67) Asimismo, el sock de capial es igual a la producción de capial sin erminar que los empresarios compran de las rmas más el sock de capial del periodo anerior neo de depreciación: K = F (INV ; INV ) + ( ) K : (A.68) Luego de agregar la resricción presupuesaria de los individuos, reemplazar la resricción presupuesaria del gobierno, los bene cios de las rmas, la ecuación del balance de las empresas y la ecuación de la dinámica del parimonio neo, e incluir la condición de equilibrio del mercado nanciero que iguala la deuda domésica de las empresas (D ) con los bonos domésicos en manos 5 Ver Casillo, onoro y Tuesa (2007b) para el caso de una aproximación de segundo orden para explicar la prima de in ación. Los auores muesran que el componene de dispersión de precios explica una pare imporane de la prima sobre la in ación. 9

20 de los individuos, obenemos la resricción agregada de recursos de la economía: S B S B = P def Y ABS (A.69) P P P ( + i + S =S B ) S S B B + REST : P La ecuación (A.69) consiuye la balanza de pagos de la economía. El érmino de la izquierda es el cambio en la posición de acivos neos en érminos de unidades de consumo. Por oro lado, el primer érmino de la derecha es la balanza comercial, que es la diferencia enre el PBI y la demanda domésica, que es igual a las exporaciones neas. El segundo érmino es la rena de facores que incluye los inereses generados por la posición de acivos neos, efecos valuación del ipo de cambio y los cosos de inermediación en el exerior. El ercer érmino, REST ; es basane pequeño y considera los cosos de monioreo de las empresas, el gaso por uilización del capial y los bene cios de las rmas imporadoras: P + i D REST = RP (u ) K + P Y C P P : (A.70) B Derivaciones del ODELO B. Esado Esacionario Se uiliza la noación de variables sin sub-índices de iempo para nombrar a las variables en esado esacionario. Dado que odas las variables son esacionarias, de la ecuación de Euler se obiene la asa de inerés nominal en esado esacionario: ( + i) = : (B.) Similarmene, bajo el supueso de que las fricciones en los mercados nancieros exernos son nulas en esado esacionario, se iene que B (SB =P ) =. A su vez, la ecuación (A.) implica que en esado esacionario el ipo de cambio es consane: De la curva de Phillips en el secor domésico se obiene que: De las ecuaciones (A.49) y (A.50) se iene C = = " " : (B.2) ( + i) = R K = ; (B.3) 20

21 R = ( ) + U (u) ; (B.4) donde el valor en esado esacionario del coso de ajusar la uilización de capial ( U (u)) se asume como dado. Usando la ecuación de ley de movimieno del capial, (A.68), y el supueso de que I () = 0, se obiene: INV = K: De la ecuación de la demanda de capial, (A.67), se obiene el raio capial-produco: K Y = C R ; (B.5) después de reemplazar los valores de esado esacionario de C y R, la ecuación anerior se puede re-escribir como 6 : K K Y = ( ) + U (u) ; (B.6) Reemplazando la ecuación (B.6) en la ecuación (B.5), se obiene el raio de inversión sobre el PBI: INV INV Y = ( ) + U (u) : (B.7) Se consideran como dados el raio de acivos exernos neos sobre produco y el raio de gaso público sobre produco: SB =P Y G Y B ; (B.8) G ; (B.9) De la resricción agregada de recursos, el raio de exporaciones neas viene dado por: a su vez el raio de absorción inerna / PBI es: N N Y = B ( ) res ; (B.0) ABS ABS Y = N ; (B.) 6 Se calibran los niveles de producividad domésica y exerna para que los precios relaivos sean igual a uno en esado esacionario. Es decir, RER = T = T = T = : 2

22 y el raio consumo produco: C C Y = ABS INV G : (B.2) Por oro lado, el raio de imporaciones respeco al produco es: Y Y = ( ) ABS: (B.3) Además, se considera como dado el raio enre capial y riqueza nea: K N KN: (B.4) Enonces, el raio de deuda sobre riqueza nea viene dado por: D N = KN : (B.5) El consumo de los empresarios y de las familias en érminos del produco es: C emp Cemp Y C fam Cfam Y = v N K v K Y = v v K KN ; (B.6) = C C emp: (B.7) El esado esacionario del reso de variables son función de esos raios. Los cálculos son direcos y pueden ser soliciados a los auores. B.2 Derivación de la Canasa Opima de Consumo B.2. Derivación de las Canasas C y C El problema del consumidor es elegir la canasa de consumo C y C que minimice el gaso en esos bienes, dados los precios P y P, sujeo al índice del consumo de C : min P C = P C + P C sujeo a : C () =" C " " + ( ) =" C " " " " : 22

23 El lagrangeano de ese problema es: L = P C C ( C =" C " " + =" C ) " " " " donde C es el muliplicador lagrangeano de ese problema. Las condiciones de primer orden son respeco al consumo domésico (C ): P = C (C ) =" =" C =" ; (B.8) respeco al consumo imporado (C ): P = C (C ) =" =" C =" ; (B.9) y respeco al consumo oal (C ): P = C : (B.20) Se reemplaza C y se resuelve para C y C : C = P P " C ; C = P P " C ; (B.2) (B.22) También, se reemplazan la funciones de demanda en el índice de consumo y se obiene el índice de precios al consumidor: P h P " + ( ) P " i " ; (B.23) la misma que es la ecuación (A.6) del exo principal. B.2.2 Derivación de las Canasas de C (z) y C (z) (ecuaciones A.4 y A.5) El problema del consumidor es elegir la canasa de los bienes C (z) para z 2 [0; n] al que minimice el gaso en esos bienes, dados los precios P (z), sujeo al índice del consumo C : min P C = Z n P 0 sujeo a : C (z) C (z)dz; " n " Z n 0 # " C (z) " " " dz : 23

24 El lagrangeano de ese problema es: L = P C C 8 < : C " n " Z n 0 C (z) " " dz # " 9 " = ; ; donde C es el muliplicador lagrangeano de ese problema. Las condiciones de primer orden son, respeco a cada bien C (z) : P (z) = C C =" n =" C (z) =" : (B.24) Asimismo, la condición de primer orden respeco al índice de consumo de bienes domésicos (C ): Se reemplaza C en (B.24) y se resuelve para C (z) : P = C : (B.25) C (z) = n P P (z) " C : (B.26) Se reemplaza (B.26) en el índice de consumo C domésicos (ecuación A.7 del exo principal): para obener el índice de precios de bienes P = Z n n 0 P (z) " dz " : (B.27) Se resuelve un problema similar para C (z), y se obiene la función de demanda de C (z) : y el índice de precios a la imporación: C (z) = P n P (z) " C ; (B.28) P = Z n n P (z) " dz " : (B.29) 24

25 Reemplazando (B.26) y (B.28) en (B.2) y (B.22), respecivamene, se obienen las ecuaciones (A.4) y (A.5) del exo principal: C (z) = P " (z) P n P P C P (z) = n P (z) " C ; " P P " C : (B.30) (B.3) B.3 Derivación de las Condiciones de Primer Orden de los Individuos El problema del consumidor es maximizar la uilidad " max E +s U s=0 sujeo a la resricción presupuesaria de los individuos: C j +s ; Cfam +s ; Zj +s ; Lj +s ; +s # ; B j + S B j + j = ( + i ) B j + + i B B S P S B j + W L j P C j + P j + j + T j : El lagrangeano de ese problema es: E U;+s 0 B j +s P +s + i +s P s=0 +s U +s + S +sb j +s P +s + j +s P +s S+s B+s S+s B j +s B P +s P +s +C j +s j +s P +s (+i +s )B j +s j +s P +s T j +s P +s W +s P +s L j +s C A 3 ; 7 5 donde U;+s es el muliplicador lagrangeano correspondiene a la resricción presupuesaria en el periodo + s. Las condiciones de primer orden en el periodo son: respeco al consumo (C j j = ; (B.32) al rabajo (L j j = W P ; (B.33) 25

26 a los bonos domésicos B j : a los bonos exernos B j y a los saldos monearios : S P = E j : ( + i ) = E + ; (B.34) P P + ( + i S B S+ ) B + ; (B.35) P P j =P P = P E + P + : (B.36) Se reemplaza la ecuación (B.32) evaluada en y en + en (B.34) y se obiene la ecuación de j + = ( + i ) E P + j : (B.37) + Similarmene, se reemplaza (B.32) en j = ( + i ) B S B P E S + =S P + j j + : (B.38) Las ecuaciones (B.37) y (B.38) sirven para derivar la paridad descubiera de asas de inerés (ecuación A. del exo principal). Se reemplaza la ecuación (B.32) en (B.33) y se obiene la ecuación de la ofera de rabajo, la misma que iguala la asa marginal de susiución enre consumo y rabajo con el salario j = RS = W P : (B.39) Se reemplazan las ecuaciones (B.34) y (B.32) en (B.36) y se obiene la condición de la demanda de j =P j = + j : (B.40) 26

27 B.4 Solución del Problema de las Firmas Producoras de Bienes Inermedios Exise una masa de rmas que produce bajo compeencia perfeca n bienes indexados por z. Esas rmas alquilan capial de los empresarios y rabajo de los individuos a los precios en érminos de unidades de consumo R y W P, respecivamene. El problema de la rma que produce el bien z es elegir K g (z) y L (z) al que minimice el gaso alquiler de facores de producción sujeo a su resricción de ecnología: El lagrangeano de ese problema es: L = R min R K g (z) + W L (z) ; P sujeo a : Y in (z) = A g K (z) L (z) : K g (z) + W L (z) + W L (z) + in Y in (z) A Kg (z) L (z) ; P P donde in es el muliplicador lagrangeano. La condición de primer orden respeco a los servicios de capial es ( K g (z)): R = in Y in (z) K g (z) ; (B.4) y respeco al rabajo (L (z)): W = in ( ) Y in (z) P L (z) : Además, la derivada del lagrangeano respeco a la producción es igual al coso in (z) = in = C (z) ; (B.43) el cual, por el supueso de compeencia perfeca, es igual al precio del bien z en érminos de unidades de consumo: C (z) = P in (z) : (B.44) P Se reemplazan K g (z) y L (z) de las ecuaciones (B.4) y (B.42) en la función de producción y se resuelve por el coso marginal: in = C (z) = A R W =P : (B.45) 27

28 Dado que odas las rmas que producen cada bien z ienen la misma ecnología de reornos a escala consanes, el coso marginal de odas las rmas producoras de bienes inermedios es el mismo, eso es: C (z) = C para cada z. Luego, se reemplaza (B.45) en (B.4) y (B.42) y se obiene la demanda de cada facor de producción: g K (z) = C R Y in C L (z) = ( ) W =P las mismas que corresponden a las ecuaciones (A.29) y (A.30). (z) ; (B.46) Y in (z) ; (B.47) B.5 Solución del Problema de las Firmas Producoras de Bienes Finales La condición de primer orden del problema de las rmas producuras de bienes nales es la siguiene: E ( k=0 ( ) k P ;o +k P (z) ;+k C +k ) " ;+k Y +k = 0: (B.48) donde " " ; ;+k F ;+k, F ;+k P. Siguiendo a Benigno y Woodford (2004), la anerior condición de primer orden puede ser re-escria recursivamene +k P+k uilizando dos variables auxiliares, V D y V N, las mismas que se relacionan de la siguiene manera: P ;o (z) P = V N V D ; (B.49) donde ( = E ( ) k V N V D k=0 = E ( k=0 ( ) k ;+k " ;+k Y +k U C;+k C+k ) ; (B.50) " Y +k U C;+k ) : (B.5) 28

29 Noar que V D y V N pueden ser expandidos de la siguiene forma: V N = Y U C; C V D = Y + ( ) E ( + U C; + ( ) E ( + " ( ) k " k=0 k=0 (B.52) ) " +;++k Y ++k U C;++k C++k ( ) k +;++k " Y ++k U C;++k ) ; ; (B.53) donde se ha uilizado la de nición de ;+k : Dados (B.50) y (B.5), V D expresados recursivamene de la siguiene forma: n V N = U C; Y C + E V+ N V D = U C; Y + E V+ D + Asimismo, dado que en cada periodo sólo una fracción ( + y V N pueden ser " o ; (B.54) " : (B.55) ) de rmas cambian sus precios, y el reso de rmas cambian sus precios, y el reso de rmas acualizan sus precios en función a la asa de in ación pasada, la asa brua de in ación domésica esá deerminada por la siguiene condición: h i " V N " = ( ) V D : (B.56) Las ecuaciones (B.54), (B.55) y (B.56) deerminan la ecuación de ofera agregada de la producción domésica. B.6 Solución del Problema de las Firmas Producoras de Bienes de Capial sin Terminar Exise una masa de rmas de índice z K que operan en un enorno de compeencia perfeca. Esas rmas producen capial nuevo sin erminar uilizando bienes de inversión. Compran bienes de inversión a los producores de bienes nales y venden el capial sin erminar a los empresarios al precio Q. El problema de esas rmas es maximizar el valor presene de sus bene cios: ( ) max E +k [Q +k F (INV (z K ) ; INV (z K )) INV (z K )] ; (B.57) k=0 donde F () es la función de producción del capial nuevo. 29

30 La condición de primero orden del problema es: Q F ; + E + Q + F 2;+ = ; (B.58) donde F j; es la derivada parcial de la función de producción del periodo respeco al ermino j = f; 2g. B.7 Resricción agregada de recursos de la economía Agregación y Gobierno Se agrega la resricción presupuesaria de los individuos (ecuación A.8): B + S B + ( + i ) B + i = W L P C fam + P + + T ; B B S P S B (B.59) de esa forma se eliminan los super-índices j de la ecuación. Se reemplaza la resricción presupuesaria del gobierno (ecuación A.56): B + S B ( + i ) B + i = W L P C fam + P P G ; B B S P S B (B.60) así se eliminan las ransferencias y los saldos monearios y se incluye el gaso de gobierno en la resricción. Bene cios de las Firmas Los bene cios agregados son la suma de los bene cios de los producores de bienes nales, los exporadores y los imporadores: P = P + S P + P : (B.6) Los bene cios de los producores de bienes nales son: P Z n = 0 P (z) C P Y (z) ; (B.62) después de uilizar la de nición del índice de precios de la producción domésica y de la dispersión de precios, la ecuación (B.62) se escribe como: P = P C Y : (B.63) 30

31 Similarmene, los bene cios de los exporadores y de los imporadores son: S P P = S P C Y ; (B.64) = P C Y ; (B.65) Uilizando la ecuación de la suma oal de la producción domésica (A.6), los bene cios oales son: P = P def Y P C Y + Y + P C Y : (B.66) Uilizando las demandas agregadas por servicios de capial y rabajo (ecuaciones A.66 y A.67), los cosos oales de las rmas producoras de bienes nales son: C Y + Y = R u K + W P L ; (B.67) donde se ha reemplazado la de nición del capial alquilado por los empresarios g K = u K : Se reemplaza (B.67) en (B.66) y se obiene: P = P def Y P R u K W L + P C Y : (B.68) Luego, se reemplazan los bene cios oales (ecuación B.68) en la ecuación (B.60) y se obiene: Empresarios B + S B ( + i ) B + i B B S P = P def Y P C fam P G P R u K + P C Uilizando la de nición del reorno de inverir en capial (ecuación A.50): S B (B.69) Y : R u K = Q R K + U (u ) ( ) Q K : (B.70) El sock oal de capial erminado (ecuación A.68) es igual a: K = F (INV ; INV ) + ( ) K : (B.7) Reemplazamos K de la ecuación (B.7) en el úlimo érmino de la ecuación (B.70): R u K = Q R K + U (u ) K Q (K F (INV ; INV )) : (B.72) Los bene cios de los producores de capial sin erminar son: Q F (INV ; INV ) INV, debido 3

32 a que dichas empresas operan bajo compeencia perfeca, sus bene cios son cero en equilibrio. Reemplazando esa condición en (B.72) se obiene: R u K = Q R K + U (u ) K Q K + INV : (B.73) Se reemplaza Q K de la de nición del balance de las empresas (ecuación A.47) en (B.73): R u K = Q R K + U (u ) K N D P + INV : (B.74) De la ecuación de la evolución del parimonio neo y del consumo de los empresario (ecuaciones A.53 y A.54): N = V De la ecuación de V (ecuación 3:63) se obiene: Reemplazando (B.75) y (B.76) en (B.74): C emp : (B.75) + Q R K i D K = V + ( + RP ) : (B.76) P + R i D D u K = ( + RP ) + C emp + INV (B.77) P P + U (u ) K : Se reemplaza R u K de la ecuación (B.77) en (B.69) y se considera la condición de equilibrio del mercado de deuda domésica: B = D : S B + i = P def Y P C fam Balanza de Pagos +P C B B S P S B (B.78) + C emp + G + INV Y P U (u ) K RP ( + i ) D : Se uiliza la de nición de absorción inerna (ecuación A.57) y la del consumo oal (ecuación 32

33 A.58). Después de dividir enre P ; la balanza de pagos de la economía esá dada por: S B S B = P def Y ABS (B.79) P P P ( + i + S =S B ) S S B B + REST ; P donde se ha de nido la variable REST como: P REST = P P C Y + i D U (u ) K RP ; (B.80) P que equivale a la ecuación en el exo principal. Cabe mencionar que si incluimos los res ipos de dolarización en el modelo, la variable REST se re-escribiría de la siguiene forma: REST = P P C Y U (u ) K RP + i S + i + ( + RP ) P D P " D (B.8) P # DF + i + i S S a la cual se le han añadido dos érminos, el primero relacionado a la demanda de moneda exranjera de los consumidores y el segundo asociado a un efeco por la disina denominación de las deudas de las familias (sólo en soles) y de las empresas (ano en soles como en dólares). B.8 Derivación de algunas Ecuaciones en forma Log-lineal B.8. La Uilidad arginal del Consumo con Dinero en Dos onedas Considerando el agregado moneario que afeca la función de uilidad (ecuación 2.3 del exo principal): Z j = S;j DT P D;j S P La condición de primer orden con respeco al saldo de dinero en soles: DT : j DT Z j S;j = + E : =P P P P + (B.83) 33