Diseño de controladores analógicos por métodos de espacio de estado

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1 Unidad Nº7 7 Diseñ de cnrladres analógics pr méds de espaci de esad El bje de ese capíul es el diseñ de sisemas de cnrl usand la realimenación del vecr de esad. La écnica de ubicación de pls permie siuar ls pls del sisema en laz cerrad en la psición deseada pr el diseñadr, de md que su cmpramien se adecue a l que ése desee. Se demuesra que la cndición necesaria y suficiene para que el sisema admia que sus pls en laz cerrad se ubiquen en cualquier psición del plan s, es que el sisema sea cmpleamene cnrlable. Cuand n es psible medir ds ls esads de la plana para uilizarls en el vecr de realimenación, se esiman ls esads necesaris a parir de la infrmación dispnible de la plana. Se demuesra que la cndición necesaria y suficiene para que el vecr de esad se pueda esimar es que el sisema sea cmpleamene bservable. En el capíul se abrda an el diseñ de sisemas sin enrada cn enrada cnsane (reguladres) cm el de sisemas que han de seguir una señal de referencia (seguidres). Se realizan numerss ejempls de lápiz y papel así cm mediane una cmpuadra uilizand MATLAB. La úlima pare del capíul se dedica al esudi de un cas prácic, el péndul inverid mnad sbre una base móvil. A parir de la bención de las ecuacines de la plana y de su mdel de esad, se diseña un reguladr y un seguidr para cnrlar un péndul inverid. Es imprane hacer la cnsideración preliminar que a l larg de d el capíul, ls mdels de esad uilizads serán de sisemas LTI, es es, sisemas Lineales e Invarianes cn el Tiemp. 7. Inrducción La écnica de diseñ de cnrladres mediane la realimenación de esad cnsise en realimenar las variables de esad a la enrada mediane una mariz de ganancia K cuys ceficienes sn cnsanes. En la figura7. se muesra el diagrama de blques de un sisema de cnrl mediane la realimenación de esad. Plana D r() u() () B d x() y() C - A K Figura 7.: Realimenación del vecr de esad a la enrada Para un esudi más general, dnde en la ecuación de esad las marices A y B dependen del iemp, se acnseja al lecr la cnsula del ex de Dmínguez, S.; e al. Cnrl en el Espaci de Esad. Pearsn Educación, S. A., Madrid,.

2 UNIDAD 7: Diseñ de cnrladres analógics pr méds de espaci de esad 7. Asignación de pls mediane la realimenación de esad La realimenación de esad permie el diseñ de sisemas de cnrl vía la ubicación asignación de pls. Es es, ls pls del sisema en laz cerrad se ubican en la psición deseada pr el diseñadr, de md que las cndicines ransirias sean llevadas a cer de frma preesablecida. En primer lugar se va a cnsiderar el diseñ de sisemas de cnrl del ip reguladr. Es es, en el diseñ se asumirá que el sisema n iene enrada de referencia (ver figura 7.), si la iene ésa n varía. El bjeiv del cnrl es pues que, dad un sisema en unas cndicines de funcinamien, se desea manenerl en ellas, de md que las psibles perurbacines a las que se vea smeid n deben sacarl de regulación (el errr que puedan casinar las perurbacines ha de ser llevad a cer en un iemp raznable). Para ell se uiliza la señal de cnrl u(). En la sección 7.7 se verá que esa écnica se puede aplicar ambién a sisemas que han de seguir enradas, ls cuales se cnviene en denminar seguidres. La frma de ubicar ls pls de laz cerrad en la psición deseada es mediane una mariz de realimenación de esad. Inicialmene, las ecuacines de esad se aplican a la plana en vez de al sisema en laz cerrad, de md que las marices A, B, C y D se uilizan para describir un mdel de plana lineal e invariane cn el iemp: () = Ax() Bu() y() = Cx() Du() (7.) Dnde: x( ) = vecr de esad de dimensión n. u( ) = vecr de cnrl de dimensión r p. y( ) = vecr de salida de dimensión m q. A = mariz de esad de n n. B = mariz de enrada de n r. C = mariz de salida de m n. D = mariz de ransición direca de m r. La señal de cnrl u() es un vecr que se realimena negaivamene a la enrada de la plana a ravés de una mariz de ganancia K que realimena al esad: k k k n x () () () = () = k k k n x u Kx (7.) () kr kr krn xn Ese sisema de cnrl en laz cerrad que se denmina de realimenación de esad se muesra en la figura 7.. Cm se verá en la sección 7.4, las marices C y D n inervienen a la hra de ubicar ls pls mediane la mariz de ganancia K. Nóese que la definición de la señal de cnrl exige la hipóesis resriciva que das las variables de esad puedan ser medidas direcamene. Más adelane en el capíul, en la sección 7.5, se verá cóm superar esa resricción mediane un bservadr de esad. Se demuesra que la cndición necesaria y suficiene para que el sisema admia que sus pls en laz cerrad se puedan ubicar en cualquier psición del plan s, es que el sisema sea cmpleamene cnrlable

3 Sección 7.3 Cnrlabilidad 3 Plana D u() () x() B d C y() A -K Figura 7.: Sisema reguladr pr realimenación de esad 7.3 Cnrlabilidad Dad un sisema siuad en un esad inicial arbirari x( ), se dice que es cmpleamene cnrlable si puede ser llevad a r esad x( f ) mediane un vecr de enrada (señal de cnrl) sin resriccines en un iemp fini. El cncep de cnrlabilidad y el que se raa pserirmene en el capíul de bservabilidad fuern inrducids pr Rber E. Kalman en el añ 96 [7], y su imprancia radica en que permien deerminar la exisencia de una slución cmplea para la implemenación de un sisema de cnrl. Dad el sisema definid en (7.) se cmenzará pues pr reslver la ecuación de esad a parir de un insane inicial x( ) = x(), de frma que la slución, si exise, ha de ser válida para cualquier. Aplicand pues la ransfrmada de Laplace a la primera ecuación del sisema (7.) se iene que [9]: ambién es es, cn l cual, sx() s x() = AX() s BU() s ( si A) X() s = x() BU () s ( ) ( ) X() s = si A x() si A BU() s ( ) ( ) = x() L si A x() L si A BU() s (7.3) ( ) La mariz L si A se denmina mariz de ransición de esad y se na pr Φ (). Ésa, cm se puede apreciar en la ecuación anerir, represena el pas del sisema del esad inicial x() al final x(). Ennces, eniend en cuena la inegral de cnvlución L [ F() s F () s ] = f( ) f() d τ τ τ la ecuación (7.3) puede ser escria en función de la mariz de ransición de esad cm

4 UNIDAD 7: Diseñ de cnrladres analógics pr méds de espaci de esad 4 x () = Φ () x () Φ ( τ ) Bu ( τ) dτ (7.4) Se va a ver ahra una slución alernaiva para reslver la ecuación de esad, la cual es muy inuiiva. Si la enrada u() del sisema es cer, la ecuación de esad es hmgénea de la frma y slución según (7.4), () = Ax () (7.5) x() = Φ() x () Es es, la primera derivada de Φ () debe ser igual a AΦ () y Φ() ha de valer la mariz idenidad I. Inmediaamene se deduce que una slución a ensayar es la función expnencial maricial efec, e A. En x() = e A x () (7.6) es una slución de la ecuación hmgénea, ya que para la x() dada en (7.6) se cumple la ecuación (7.5). Se vé pues que la mariz expnencial e A cnsiuye una expresión válida para la mariz de ransición de esad, cn l cual la expresión (7.4) puede ser escria ambién cm ( ) () A A τ () ( τ ) x e x e Bu dτ (7.7) = La cuesión de cnrlabilidad esbzada al principi de esa sección puede resumirse en la siguiene preguna, exise un vecr de cnrl u(τ) que dé slución a la ecuación (7.7)?, es es, un vecr que permia llevar al sisema desde el esad inicial x() a r esad final cualquiera x(). El cncep de cnrlabilidad radica pues en esudiar si exise una enrada u() que permia el cumplimien de la igualdad anerir. Tan la ecuación (7.4) cm la (7.7) sn slución de la ecuación de esad definida en (7.). La slución se cmpne de ds érmins perfecamene definids, un dependiene del vecr de esad inicial y r del vecr de enradas. Supniend, sin pérdida de generalidad ninguna, que el esad inicial curre en =, y que el esad final es el rigen del espaci de esad x( f ) =, la ecuación (7.7) puede ser escria cm ambién, f A = A( f τ ) f e x() e B u( τ ) d τ f Aτ x() = e B u ( τ ) dτ (7.8) Uilizand la fórmula de inerplación de Sylveser se demuesra que n τ n = n = k k = e A k α ( τ) I α ( τ) A α ( τ) A α ( τ) A α ( τ) A (7.9) dnde ls αk ( τ ) ( k =,,, n ) sn ceficienes que se deerminan a parir de la prpia mariz cncida A. Susiuyend pues en (7.8) el valr de dad pr (7.9), se iene que e A n f k = k x() = A B αk ( τ) u ( τ) dτ (7.)

5 Sección 7.3 Cnrlabilidad 5 En general, la inegral endrá un valr diferene para cada α k, cn l cual, designand ese valr pr w k, una vez recrrids ds ls valres de la sumaria, la ecuación (7.) se escribirá cm n ( n ) x() = B. w AB. w A B. w A B. w w w n = ( B AB A B A B) (7.) wn La expresión anerir debe enenderse en su jus érmin, es es, cm el prduc de ds marices dnde cada un de sus n elemens sn marices de n ren el primer parénesis y de r en el segund. Ennces, la dimensión de la primera mariz es n nry la de la segunda nr. Pr supues, la muliplicación enre las ds marices ha de enenderse pr cajas, dnde cada una de ellas esán separadas pr líneas de puns. A parir de ese análisis y de la ecuación (7.), la cndición para la cnrlabilidad cmplea del esad puede esablecerse mediane el siguiene erema: Terema La cndición necesaria y suficiene para que un sisema de rden n definid pr su mdel de esad () = Ax() Bu() y() = Cx() Du() sea cmpleamene cnrlable, es que la siguiene mariz, denminada de cnrlabilidad, enga rang n, (la misma se suele llamar Mc simplemene S ) : Demsración: ( ) S = B AB A B A n B (7.) Cndición necesaria: Si la plana es cmpleamene cnrlable es necesari que exisan n clumnas de la mariz S linealmene independienes. En efec, rescribiend la ecuación (7.), x B w AB w A B w () =.. n. n se bserva, eniend en cuena (7.), que el esad alcanzad pr la plana es cmbinación lineal de las n cajas de la mariz S, pr an, para que la plana pueda evlucinar a cualquier pun del espaci de esad de n dimensines, es necesari que enre las n rclumnas de la mariz S haya n linealmene independienes, ambién, que sus n filas l sean. n mariz es n, exise una mariz de cnrl ( ) Cndición suficiene: Nóese en la ecuación (7.) que ds ls esads que pueden ser alcanzads desde el rigen, esán abarcads pr las cajas de la mariz de cnrlabilidad. Pr l an, si el rang de al w w w que saisface la ecuación (7.). En cnsecuencia, la cndición de que el rang de la mariz de cnrlabilidad sea n da una cndición suficiene para la cnrlabilidad cmplea del esad. El rang de una mariz es el númer máxim de clumnas linealmene independienes, y ambién el máxim númer de filas linealmene independienes.

6 UNIDAD 7: Diseñ de cnrladres analógics pr méds de espaci de esad 6 Dad el sisema: Ejempl 7. x u = x u x x a) Discuir si es n cnrlable. b) Se cumpliría la cndición de cnrlabilidad uilizand una sla de las enradas?. a) A parir de las ecuacines de definición del sisema y de la ecuación (7.) se deduce que 3 AB = y A B = 7 3 pr an, S 3 = Uilizand las res primeras clumnas pr ejempl, se bserva que el rang es 3, cn l cual se infiere que el sisema es cnrlable uilizand las ds enradas dispnibles. Es es, siempre será psible encnrar el vecr de cnrl adecuad u() que lleve al sisema desde un esad inicial a r cualquiera. b) Si se uiliza sól la primera enrada, la nueva mariz B, denminada ahra B, endrá una sla clumna, la primera, cn l cual, la mariz de la cnrlabilidad, S ambién llamada M, sera: AB = y A B =, pr an M c = 3 3 Nóese que la nueva mariz de cnrlabilidad es singular, y pr an, su rang es inferir a 3, cncreamene, cn l cual, mediane la enrada u exclusivamene n es psible llevar al sisema desde un pun cualquiera a r del espaci de esad. Ahra, uilizand sól la segunda enrada se iene que 3 3 AB = y A B =, cn l cual Μ c = cuy rang es 3, pr an, uilizand sól la segunda enrada, el sisema puede ser llevad a cualquier pun del espaci de esad a parir de un inicial dad.

7 Sección 7.4 Prcedimien general de diseñ pr asignación de pls Prcedimien general de diseñ pr asignación de pls Si bien la cndición de cnrlabilidad se ha demsrad para el cas más general, es es, un sisema MIMO en el que an la señal de enrada u() cm la de salida y() sn vecres, el cálcul de la mariz de realimenación K se vuelve much más cmplicad cuand el cnrl es mulivariable que cuand se raa de mnvariable 3. El cnrl mulivariable excede las preensines de ese ex, pr l cual, en ls diseñs que siguen, se cnsiderarán sisemas SISO SIMO exclusivamene. Sea pues el sisema SISO de cnrl pr ubicación de pls mediane la realimenación de esad que se muesra en la figura 7.3 [9], el cual es una simplificación del msrad en la figura 7.. Plana r() - u() x() () = Ax() Bu() C y() Kx() K Figura 7.3: Sisema de cnrl pr realimenación de esad La plana esá mdelada pr las ecuacines de esad siguienes: La señal de cnrl esá dada pr la relación ( ) () = Ax() Bu() (7.3) y () = Cx () (7.4) u () = Kx () r () (7.5) en dnde K = k k k n. Susiuyend en la ecuación (7.3) el valr dad de u() en (7.5), se iene que el mdel de esad del sisema en laz cerrad es: [ ] () = Ax() B Kx() r() (7.6) Ahra, aplicand la ransfrmada de Laplace a las ecuacines (7.6) y (7.4) cn cndicines iniciales nulas: ( s ) X() s = I A BK BR() s (7.7) Y() s = CX () s (7.8) Susiuyend (7.7) en (7.8) se biene la función de ransferencia del sisema en laz cerrad: Es es, Y() s = C( si A BK B Rs () ) (7.9) 3 El diseñ pr ubicación de pls cuand la señal de cnrl es un vecr se puede encnrar pr ejempl en Dmínguez, S.; e al. Cnrl en el Espaci de Esad. Pearsn Educación, S. A., Madrid,.

8 UNIDAD 7: Diseñ de cnrladres analógics pr méds de espaci de esad 8 Y() s () () = Q s Rs si A BK (7.) dnde Q(s) es un plinmi en s. Se vé pues que ls pls en laz cerrad del sisema se pueden ubicar libremene mediane el ajuse de ls elemens de la mariz de ganancia de realimenación de esad K. Sean pues las psicines de ls pls deseadas s = p, p,, p n cn l cual la ecuación caracerísica del sisema es ( )( ) ( ) si A BK = s p s p s p = (7.) n En esa ecuación hay n incógnias k, k,..., k n y n ceficienes cncids en la pare derecha de la igualdad de plinmis. Para calcular las ganancias descncidas basa cn igualar ls ceficienes en (7.). Nóese que pr medi de la realimenación del vecr de esad se mdifica la ubicación de ls pls de la función de ransferencia del sisema en laz cerrad, sin embarg, ls cers permanecen inalerads. Ejempl 7. Un sisema de cnrl iene una plana dada pr x() = x() u() 6 6 y () = x() u () ( ) Obener la mariz de ganancia necesaria K para ubicar ls pls en laz cerrad en s = j 3, s = j 3 y s3 =. En primer lugar se ha de cmprbar si el sisema es cmpleamene cnrlable, para ell el rang de la mariz de cnrlabilidad Mc = ( B AB A B) ha de ser 3. En efec, = y su rang es 3. Ahra, la ecuación (7.) se escribirá para ese sisema cm es es, s s k k k3 = s j 3 s s ( ) ( )( j )( s ) s 3 s = s 4s 56s 6 6 k k s 6 k 3

9 Sección 7.4 Prcedimien general de diseñ pr asignación de pls 9 lueg, ( ) ( ) s 6 k s k s 6 k = s 4s 56s Igualand ceficienes, 6 k = 4, k = 56, 6 k = 6 3 cn l cual, k =,8 k = 4,5 k = 5, 4 3 Pr an, la mariz de ganancia de realimenación de esad vale K = ( 5,4 4,5,8) Cieramene, el md presenad de cálcul de la mariz K si bien es inuiiv y direc, es basane edis cuand el rden n es elevad. N bsane, cm se verá más adelane, es ampc iene mayr imprancia, ya que MATLAB iene implemenads algrims que resuelven ese prblema de frma aumáica. J. E. Ackermann presenó en 97 [] una fórmula cuy algrim iene implemenad MATLAB, la cual es de us muy exendid para la deerminación de la mariz de ganancia K. Dicha fórmula es dnde Θ( A) ( )( ) K = B AB A n B ( A ) (7.) se deermina del md siguiene: Supuess ls pls en laz cerrad siuads en s = p, s = p,, s = p n, la ecuación caracerísica deseada es n n ( s p)( s p) ( s pn) = s αs αn s αn = (7.3) Calculads ls ceficienes α i, se iene que Θ( A) esá dad pr n n Θ ( A) = A αa αn A α n I (7.4) Cm se puede apreciar, ese algrim esá basad en el erema de Cayley Hamiln que esablece que da mariz es slución de su prpia ecuación caracerísica []. Ejempl 7.3 Reslver el ejempl 7. anerir mediane el us de la fórmula de Ackermann. En el ejempl 7. se encnró que α = 4, α = 56 y α3 = 6. Pr an, 3 Θ ( A) = A 4A 56A 6I 3 = =

10 UNIDAD 7: Diseñ de cnrladres analógics pr méds de espaci de esad También en el ejempl 7. se buv que la mariz de cnrlabilidad era cn l cual, M c = ( B AB A B) K = ( ) = ( 5,4 4,5, ) El méd de ubicación de pls mediane la fórmula de Ackermann puede llegar a ser inclus más edis que el direc para cálculs de lápiz y papel, sin embarg, su desarrll cmpleamene maricial permie diseñar algrims para su implemenación mediane prgramas de cmpuación. Aunque en ería pueda parecer que ls pls de laz cerrad de un sisema se pdrían ubicar en cualquier lugar del plan s, se ha de ener en cuena que el sisema ha de ser físicamene realizable, es es, si se inena frzar al sisema a respnder de frma demasiad rápida, se generarían señales excesivamene grandes, l cual llevaría al sisema a funcinar de frma n lineal (enraría en sauración) y el méd de diseñ ya n sería de aplicación, ya que slamene l es para sisemas lineales e invarianes cn el iemp. En cualquier cas, siempre es cnveniene simular pr cmpuadr el sisema para diferenes marices K (una pr cada ubicación de pls elegida), l cual permiirá decidir sbre el mejr md de funcinamien. 7.5 Observabilidad La écnica de diseñ de cnrladres pr ubicación de pls que se ha desarrllad en la sección anerir requiere que sean medids ds ls esads de la plana. Esa exigencia hace inaplicable esa écnica en la mayría de ls sisemas prácics, ya que aún en ls sisemas más simples, la medición de ds sus esads suele ser inviable pr ser las variables de esad variables inernas al sisema. El cncep de bservabilidad se fundamena en la psibilidad de cncer el esad de un sisema a parir del cncimien de la evlución de su enrada y de su salida. La bservabilidad en érmins generales se define del siguiene md: Un pun del espaci de esad x( ) es bservable, si exise un inerval de iemp fini [, f ] al que si se cnce la enrada u() y la salida y() en ese inerval,, es psible deerminar que el esad inicial era x( ). Es mism aplicad a un sisema de cnrl se puede enunciar del md siguiene: Dada una plana definid pr su mdel de esad: f () = Ax() Bu() y() = Cx() Du() (7.5) se dice que es cmpleamene bservable si el esad x( ) = x() se deermina a parir del cncimien de la enrada u() y de la bservación de la salida y() durane un iemp fini,. Es se ilusra de frma esquemáica en la figura 7.4. f

11 Sección 7.5 Observabilidad u() Sisema bservable () = Ax() Bu() y() = Cx() Du() y() Cncimien de x() Figura 7.4: Esimación del vecr de esad a parir del cncimien de la enrada y la salida del sisema Ennces, susiuyend la ecuación (9.7) en la ecuación de salida del mdel de esad dad en (7.5), se iene que () = C () x C A( τ ) Bu( τ) τ Du () y e e d En la ecuación anerir puede verse que la relación enre x() e y() esá gbernada pr el primer sumand del lad derech, ya que el res de sumands sn canidades dadas y cncidas. Asumiend pues, sin pérdida de generalidad ninguna, que en la expresión anerir la enrada es nula, se puede escribir que ambién, uilizand la expresión (7.9), que A y() = Cx() e (7.6) es es, () = n k y λ () CA x () k = k n y() = λ() C λ() CA λ() CA λ () n CA x () (9.7) ambién, C CA y() = ( λ λ λ λ ) n x() n CA n. CA (7.8) El parénesis del cenr de la expresión anerir ha de enenderse cm una mariz dnde cada un de sus n elemens sn a su vez marices de dimensión m n, ya que la dimensión de C es m n y la de A n n. En cnsecuencia, el parénesis del cenr cniene una mariz de m n filas y n clumnas, es es, de dimensión mn n. Pr supues, la muliplicación enre las res marices anerires ha de cncebirse pr cajas, separadas cada una de ellas pr líneas de puns. El análisis anerir permie inuir el enunciad del erema de bservabilidad:

12 UNIDAD 7: Diseñ de cnrladres analógics pr méds de espaci de esad Terema La cndición necesaria y suficiene para que una plana de rden n definida pr su mdel de esad () = Ax() Bu() y() = Cx() Du() sea cmpleamene bservable, es que la siguiene mariz, denminada de bservabilidad, M V, enga rang n: V C CA = CA CA n (7.9) Demsración Cndición necesaria. Cada fila de la mariz V define un vecr, en cnsecuencia, si su rang es inferir a n exise algún vecr que es rgnal a das las filas de la mariz V 4 [], cn l cual, si ese vecr se denmina x() se cumple que Vx () = Pr an, a parir de (7.8) y (7.7) se puede escribir que n y() = λ() C λ() CA λ() CA λ () n CA x () = l cual iría en cnra de la definición de bservabilidad, ya que el esad (vecr) x() n puede deerminarse a parir de la bservación de y(), pues que el sisema evlucina cn salida nula a parir de x(). Cndición suficiene. Dada la expresión (7.6), si se iene que y() = Cx () e A = ennces, pr derivacines sucesivas respec de, se biene que CA Ce CAe n e A A A x() = x() = x() = cn l cual, eniend en cuena (7.9) se cumple que V e A x () = 4 Es se puede ver de frma clara cnsiderand, sin pérdida de generalidad ninguna, el espaci R 3. Si se supne que en él hay ds vecres dependienes, éss esán siuads sbre una misma reca que pasa pr el rigen, cn l cual, un ercer vecr n dependiene sól puede definir cn éss un plan. Pr an, hay vecres en R 3 que serán rgnales a ese plan y, cm cnsecuencia, a ls res vecres anerires.

13 Sección 7.5 Observabilidad 3 Pr an, n. e A x () es rgnal a das las filas de V, y ell sól es psible si el rang de V n es inferir a Ejempl 7.4 Dad el sisema: x u = x u x x x y 4 = 4 x y x 3 a) Discuir si es n bservable b) Se cumpliría la cndición de bservabilidad uilizand una sla de las salidas?. a) A parir de las ecuacines de definición del sisema y de la ecuación (7.) se deduce que CA = y CA = pr an, la mariz de la bservabilidad, llamada V, M sera: Uilizand las res primeras filas pr ejempl, se bserva que el rang es 3, cn l cual se deduce que el sisema es bservable uilizand las ds salidas dispnibles. Es es, siempre será psible encnrar el vecr de esad x( ) = x() a parir del cncimien del vecr de cnrl u() y de la bservación del vecr de salida y() durane un iemp fini. b) Si se uiliza sól la primera salida, la nueva mariz C, denminada ahra C, endrá una sla fila, la primera, pr an, 4 CA = ( 8 4 ) y CA = ( 4 4 ), pr an M = El rang de la nueva mariz de bservabilidad es, cn l cual, mediane el cncimien del vecr de cnrl u() y la bservación de la salida y () exclusivamene n es psible llegar a cncer el vecr de esad. Ahra, uilizand sól la segunda salida se iene que 4 CA = ( 4 4 ) y CA = ( 54 3 ), pr an M =

14 UNIDAD 7: Diseñ de cnrladres analógics pr méds de espaci de esad 4 cuy rang es 3, pr an, uilizand sól la bservación de la segunda salida, es psible cncer el vecr de esad. 7.6 Esimación del esad En esa sección se va a desarrllar una écnica que permie esimar, en vez de medir, las variables de esad de la plana a parir de la infrmación dispnible de la misma: variables de salida y de enrada. El sisema que esima el esad de r sisema se denmina esimadr de esad u bservadr de esad. Si el bservadr esima das las variables de esad del sisema (aunque ésas pare de ellas se puedan medir), se denmina bservadr de esad de rden cmple. Si n es así, si se bservan mens de las n variables de esad, el bservadr se denmina de rden reducid. La mínima expresión de un bservadr de rden reducid es un bservadr de rden mínim, el cual esima las variables de esad esricamene necesarias para que el sisema de cnrl pr ubicación de pls sea realizable Observadr de esad Tal cm puede verse en la figura 7.5, un bservadr de esad de rden cmple uiliza cm enradas el vecr de cnrl u() y el de salida y() para prprcinar una esima xˆ( ) de das las variables de esad. Nóese que en la figura 7.5 sn cncidas las marices A, B y C, así cm la señal de salida de la plana y(), la cual puede ser medida, y la señal de cnrl u() prque la decide el diseñadr. Plana u() () = Ax() Bu() x() C y() OBSERVADOR xˆ( ) Figura 7.5: Sisema cn bservadr de esad Cuand se desea cncer de frma cninua la evlución de las variables de esad de la plana en cada insane, se implemena un sisema dinámic cm el de la figura 7.5 que iene cm enradas las enradas y salidas de la misma, y que respnde a las cndicines enunciadas pr el siguiene erema [4]: Terema Dada la plana lineal, invariane y bservable: () = Ax() Bu() (7.3) y() = C () (7.3) Se dice que el sisema definid pr las ecuacines:

15 Sección 7.6. Observadr de esad 5 xˆ () = A xˆ() B u() K y () (7.3) y() = Cx () es un bservadr de esad del anerir si verifica las ds cndicines siguienes:. Si ls esads de ambs sisemas cinciden en un insane, xˆ( ) = x( ), ennces ls esads cinciden para d insane pserir xˆ( ) = x() para cualquier enrada u() aplicada sbre el sisema.. xˆ( ) debe ender asinóicamene al esad x() para cualquier enrada u() y para cualesquiera esads iniciales xˆ( ) y x( ). Esas ds cndicines impnen diversas resriccines a las marices del bservadr. Así, si se define el vecr de errr cm la diferencia enre el esad real y el esimad: e() = x() x ˆ() (7.33) Derivand esa expresión y eniend en cuena (7.3) y (7.3), se iene que, llamand: K=L e () = () xˆ () = Ax() A ˆ x() ( B B) u() K y() Susiuyend ahra el valr de y() pr el dad en (7.3), ( ) ˆ ( ) e() = A K C x() A x() B B u() (7.34) La aplicación del erema anerir a la expresión (7.34) implica que:. Para que la enrada sea cual sea n influya en que ls esads cincidan se debe cumplir que: cn l cual, (7.34) se escribirá cm: B = B ( ) ˆ e() = A K C x() A x() (7.35). Dada la ecuación anerir, para que ls esads cincidan en d insane se debe cumplir que: A = A K C pr an, la ecuación (7.35) se escribirá cm ( ) e () = A K C e () (7.36) Cm puede bservarse de esa expresión, la dinámica de la diferencia enre las variables de esad y las variables esimadas esá gbernada pr la mariz A K C Susiuyend ls valres deducids de A y B en la ecuación (7.3) del bservadr se iene que su mdel de esad es: xˆ () = ( A K ) ˆ C x() Bu() K y() (7.37)

16 UNIDAD 7: Diseñ de cnrladres analógics pr méds de espaci de esad 6 Aplicand el principi de superpsición desde cada un de ls vecres de enrada al vecr de salida, y prcediend cm en la sección 7.4 para bener la ecuación (7.), queda clar que la ecuación caracerísica del bservadr es si A K C lueg si ls esads iniciales n cinciden, xˆ( ) x ( ), el esad esimad debe ender asinóicamene al esad del sisema, pr l que ls auvalres de la mariz A K C deben esar siuads en el semiplan izquierd. Pr supues que n basa cn clcar simplemene ls auvalres de la mariz A K C en el semiplan izquierd, ya que la dinámica del bservadr ha de ser más rápida que la de la plana, l cual ha de permiir que las variables de esad se esimen más deprisa que la variación de ésas, es decir, cualquier diferencia enre el esad real y el esimad deberá ender asinóicamene a cer cn una velcidad adecuada. Es acnsejable ubicar ls pls del bservadr en función de ls pls dminanes de laz cerrad del sisema a esimar. Así, cn bje de que el errr decaiga rápidamene, el bservadr se hace de ds a cuar veces más rápid que el sisema en laz cerrad. Cm regla prácica se suele uilizar ubicar ls pls del bservadr enre el dble y el cuádrupl de la disancia al eje imaginari crrespndiene a ls pls dminanes del sisema en laz cerrad. En cualquier cas sigue siend válida la recmendación de simular el sisema para diferenes marices K y par pr la que frece mejr desempeñ. Decidida pues pr el diseñadr la ubicación de pls del bservadr, la igualdad. si A KC = ( s p )( s p ) ( s p ) = (7.38) n permie calcular las n incógnias k, k,..., k n. Escribiend de nuev pr cmdidad las ecuacines (7.3) y (7.3), y rerdenand la (7.37), se iene que el sisema plana bservadr esá definid pr el mdel siguiene, cuy diagrama de blques se muesra en la figura 7.6. () = Ax() Bu() y() = Cx() ˆ() = A K C xˆ() Bu() K y() ( ) Plana u() () B d x() y() C A Observadr de esad de rden cmple B x ˆ( ) d xˆ( ) C - A K Figura 7.6: Sisema plana bservadr de rden cmple

17 Sección 7.6. Observadr de esad 7 También ahra, al igual que curría para la mariz de realimenación de esad, la mariz de ganancia del bservadr de esad se puede bener a parir de la fórmula de Ackermann, la cual se escribe en ese cas cm, K, ambién llamada L y será: K C ( ) CA =Θ A n CA (7.39) Dnde ahra, Θ( A) se deermina del md siguiene: Supuess ls pls del bservadr de esad siuads en el plan s en s = p, s = p,, s = p n, su ecuación caracerísica será: ( s p )( s p ) ( s p ) = s α s α s α = (7.4) n n n n n cn l cual, n Θ ( A) = A α A α A α I n n n Además de la fórmula mencinada, exisen rs méds mariciales para calcular K, sin embarg n se va a reparar en ells, ya que l ineresane es que el lecr cmprenda el cncep y su us, pues que del edi que supne la mecánica de cálcul se encargará MATLAB cm se verá más arde. Ejempl 7.5 Dad el sisema del ejempl 7., diseñar un bservadr de esad de rden cmple cuya mariz de ganancia K enga pr valres caracerísics p j p j p = 4 3, = 4 3, 3 = En primer lugar se ha de cmprbar que el sisema es cmpleamene bservable. Para ell, se iene de las marices de definición del sisema y de la ecuación (7.9) que V = cuy rang es 3. Pr an, el sisema es cmpleamene bservable y admie el diseñ de un bservadr de esad. Aplicand la ecuación (7.38), lueg s k si A K C = s k = 6 6 s k3 ( s 4 j 3)( s 4 j 3)( s ) = ( ) s k k s = s s s 6 k s

18 UNIDAD 7: Diseñ de cnrladres analógics pr méds de espaci de esad 8 cn l cual, k =, k = 36 k = 84 3 pr an, K = Cmpramien del cnjun sisema bservadr Realizada hasa aquí la sínesis del bservadr de esad cm un sisema aislad, se ha de invesigar ahra ls efecs de su adición al sisema de cnrl en laz cerrad. Sea pues la plana cmpleamene cnrlable y bservable mdelada pr () = Ax() Bu() y() = Cx() Cn bje de ubicar sus pls mediane la realimenación de esad se escge la señal de cnrl u() = -Kx(), la cual, supniend que el cncimien del vecr de esad viene dad pr su bservación en vez de pr su medida, se escribe cm pr an, el sisema en laz cerrad se mdela cm u () = Kx ˆ() () = Ax() BKxˆ () (7.4) Nóese que el sisema en cuesión endrá un diagrama de blques semejane al de la figura 7.6, cn el añadid que la señal de cnrl se biene ahra desde el bservadr de esad de rden cmple a ravés de la mariz de ganancia K. Es se muesra en la figura 7.7. Cn bje de inrducir en (7.4) el vecr de errr e() = x xˆ, se le suma y se le resa a esa ecuación el érmin BKx (), cn l cual, es es, ( ) ( ˆ ) () = A BK x() BK x() x() ( ) () = A BK x() BKe() (7.4) Repiiend ahra pr cmdidad la ecuación de esad del errr dada en (7.36): ( ) e () = A K C e () (7.43) se pueden asciar ls vecres de esad dads en (7.4) y (7.43) en un únic: () A BK BK x() = e () A KC e() (7.44) La ecuación carac. es:

19 Sección 7.7 Cmpramien del cnjun sisema - bservadr 9 es es, si A BK BK = si A KC si A BK si A KC = (7.45) La ecuación anerir pne de manifies que el diseñ de la ubicación de pls para la plana es independiene del diseñ del bservadr, l cual permie dividir el prces de diseñ en ds eapas separadas, a saber, primer de deermina la mariz de ganancia de realimenación K para bener la ubicación de pls deseada para la plana, y a cninuación se deermina la mariz K para la ubicación de pls deseada del bservadr. De la ecuación anerir se deduce que el númer al de pls del cnjun plana - bservadr de esad es la suma de ls prducids pr cada un pr separad, cn l cual, si ls crrespndienes al bservadr esán siuads l suficienemene a la izquierda de ls crrespndienes a la plana, su respuesa ransiria decaerá much más rápidamene y, cm cnsecuencia, ls pls dminanes serán ls crrespndienes a la plana. Plana u() () B d x() y() C A - K B x ˆ( ) d xˆ( ) C - A K Observadr de esad de rden cmple Figura 7.7: Sisema plana bservadr cn realimenación de esad 7.8 Observadr de rden reducid (ese ema n esá en el prg.) En general, si se pueden bener medidas precisas de cieras variables de esad, parece más cnveniene uilizar esas medidas direcamene en el vecr de realimenación de esad, de md que ennces sól se han de esimar aquellas variables que n hayan pdid ser medidas. El bservadr resulane se denmina en ese cas bservadr de rden mínim. N bsane l anerir, hay circunsancias que acnsejan esimar el vecr de esad cmple, aunque algún esad pudiera ser medid. Ése es el cas pr ejempl cuand las medidas sn difíciles de realizar sn imprecisas pr cnener gran carga de ruid.

20 UNIDAD 7: Diseñ de cnrladres analógics pr méds de espaci de esad Cnsiderems pues que del vecr de esad x() se pueden medir cn precisión las variables de esad represenadas pr el vecr x () y se han de esimar las agrupadas en el vecr x (). Ennces, la ecuación de esad de la plana puede ser escria cm: () = Ax() Bu() x() A A x() B = u () A A x() B () (7.46) dnde A es una submariz cuadrada cn igual númer de filas y clumnas que la dimensión de x (). En cuan a B es ra submariz cuy númer de filas es igual a la dimensión de x (). Respec a la salida, si se cnsidera que el vecr es cmpleamene medible, la ecuación y() = Cx() se puede escribir cm: () () = ( ) x y I x () (7.47) Desarrlland la ecuación (7.46) es psible escribir las expresines de ls esads medibles, y n medibles () = A x () A x () B u () (7.48) () = A x () A x () B u () (7.49) Reagrupand la ecuación (7.48) para separar l cncid de l que hay que esimar, () A x () B u() = A x () (7.5) Ahra se van a cmparar las ecuacines de parida (ecuacines de la plana) cuand el rden del bservadr ha de ser cmple y cuand es reducid. Para hacer la cmparación se ascia l que hay que esimar de la plana en el cas del diseñ de un bservadr de rden cmple (el vecr de esad x()), cn l que hay que esimar en el cas de un bservadr de rden reducid (la pare a bservar del vecr de esad, x ()). En cuan a l cncid, se ascian ls vecres u() e y() de la plana para el cas del diseñ de un bservadr de rden cmple, cn ls vecres u() y x () crrespndienes al diseñ de un bservadr de rden reducid. En cnsecuencia, las ecuacines crrespndienes al mdel general de la plana, y las crrespndienes al mdel dnde se separan ls esads a esimar y medibles (ecuacines (7.49) y (7.5)) pueden ser cmparadas de la frma siguiene: y () = Ax() Bu() () () [ () ()] = A x A x B u y() = Cx() () Ax() Bu() = Ax() Se vé pues que para efecuar el desarrll del bservadr de esad de rden reducid, en vez de parir de las ecuacines de la plana al cual, se han de realizar las susiucines siguienes:

21 Sección 7.8 Observadr de rden reducid x() x () A A Bu() A x () B u() y() () A x () B u() C A (7.5) Ennces, si el mdel del bservadr de esad de rden al es el dad pr la ecuación (7.37): xˆ () = A K C xˆ() Bu() K y() ( ) el de rden reducid será, haciend las susiucines msradas en (7.5), xˆ () = A K A x () A x () B u() K x () A x () B u() ( ) ˆ [ ] per, al cm esablece (7.47), y() = x(), pr an, la ecuación final del bservadr de rden reducid es xˆ () = ( A KA) ˆ() ( ) () x B KB u Ky () ( A KA ) y (7.5) De la expresión anerir se deduce inmediaamene (véase el md de bener la ecuación caracerísica del bservadr de esad de rden cmple) que la ecuación caracerísica del bservadr de rden reducid, que en ese cas es mínim, es: ( )( ) ( p ) si A K A = s p s p s n m = (7.53) dnde se ha supues que el vecr de salida (medible) es de rden m. En la ecuación (7.53) hay n m incógnias: k, k,..., k (n -m) y n m ceficienes cncids (pls) ubicads pr el diseñadr, cn l cual, para calcular ls elemens de la mariz de ganancia basa cn igualar ls ceficienes. También aquí se puede emplear la fórmula de Ackermann, la cual, eniend en cuena la expresión (7.39) y las susiucines dadas en (7.5), se escribirá en ese cas cm K A =Θ( ) A A A A A n m (7.54) dnde Θ( A ) se deermina a parir de la ecuación caracerísica (7.53): cn l cual, ( )( ) ( ) s p s p s p = s α s α s α n m n m n m n m n m Θ ( A ) = A α A α A α I (7.55) n m n m n m n m Pr úlim, al igual que curría cuand se deduj la ecuación (7.45), ambién ahra, haciend las susiucines perinenes según (7.5), se iene que la ecuación caracerísica del sisema bservadr de rden reducid es: si A BK si A K A = (7.56) Es es, ls pls en laz cerrad del sisema de cnrl mediane la realimenación de esad esán frmads pr el diseñ mediane la ubicación de pls de la plana únicamene, más ls pls riginads

22 UNIDAD 7: Diseñ de cnrladres analógics pr méds de espaci de esad pr el sl diseñ del bservadr de esad de rden reducid. Pr an, ambs diseñs sn independienes. Ejempl 7.6 Sea el sisema cmpleamene cnrlable dad pr Se desea: x() = x() u() y () = x() ( ) a) Deerminar el vecr de realimenación de esad que siúa ds ls pls del sisema en laz cerrad en s = -. b) Asumiend que la salida es medible cn precisión, diseñar un bservadr de rden mínim cn ds sus pls en s = -4. c) Dibujar el diagrama de blques del cnjun sisema bservadr. Pues que cm esablece la expresión (7.56) ls diseñs sliciads en ls aparads a) y b) pueden realizarse pr separad, se prcederá en primer lugar a calcular el vecr de ganancia de realimenación de esad K. a) Aplicand la expresión (7.), s s ( k k k3) = ( s ) s 3 lueg, s s 3 = s 3s 3s k k s k 3 cn l cual, perand en el deerminane e igualand se iene que ( ) ( ) s k s k s k = s 3s 3s Pr an, el vecr de realimenación de esad vale: K = ( ) b) Tal cm puede verse en las ecuacines de definición del sisema, y () = x (), cn l cual, al ser esa variable medible, el númer de variables de esad a esimar es, x () y x 3 (). Uilizand pues la medlgía desarrllada a parir de la ecuación (7.46) se iene que: A =, A =, = ( ), =, = y = A A B B

23 Sección 7.8 Observadr de rden reducid 3 Ahra, pues que la mariz de esad del subsisema a bservar es A, se ha de cmprbar si dich subsisema es almene bservable. Para ell, basa cn aplicar pr ejempl la expresión (7.9), la cual para ese cas (ver susiucines en (7.5)) se escribirá cm: V A = = AA cuy rang es, cn l cual se deduce que el sisema es almene bservable. Para bener el bservadr de rden reducid se aplica (7.53): Es es, cn l cual, s k ( ) = ( s 4) s k ( ) s k s k k = s 8s 6 k = 7 y k = 7 pr an, K 7 = 7 c) Cmbinand la ecuación del bservadr de rden mínim cn la de realimenación de esad (ecuación (7.5)) se llega a que 7 7 xˆ ˆ () = x () u () y () y () 9 7 y y () u () = Kx() = K ˆ x () cn l cual, y () u () = ( ) = ( ) ˆ () ˆ x x () Las expresines benidas permien dibujar el diagrama de blques que se muesra en la página siguiene.

24 UNIDAD 7: Diseñ de cnrladres analógics pr méds de espaci de esad 4 Plana u() x () d x() y() ( ) C B A Observadr de esad de rden mínim 7 7 y() d d x ˆ () d xˆ () K A K A B K B 7 9 A K A -K ( ) 7.9 Diseñ de Sisemas Seguidres Hasa ahra, ls diseñs mediane asignación de pls se han aplicad a un sisema que carecía de enrada, es es, la señal de cnrl u() era prprcinal al vecr de esads slamene. En el prblema del reguladr que ha sid el raad en las seccines anerires, el crieri de diseñ es eliminar las perurbacines y llevar el vecr de esad del sisema a cer en un iemp raznable. Sin embarg, la mayría de ls sisemas de cnrl sn servsisemas, es es, la salida y() ha de seguir a una enrada de referencia r(), lueg el bjeiv de diseñ ahra ha de ser que el vecr de esad y la salida del sisema sigan unas rayecrias deseadas Cas general. La plana n psee inegradr Pr l general, el mdel de la plana mediane realimenación de esad prduce un sisema ip, de md que cm se ya se vi, un sisema de ese ip sería incapaz de seguir sin errr a una señal de enrada. Si ésa fuera pr ejempl una señal escalón, el sisema debería cnar en su función de ransferencia direca cn un inegradr (sisema ip ) para pder seguir sin errr la señal de enrada.

25 Sección 7.9. Cas general. La plana n psee inegradr 5 De l dich anerirmene es fácil deducir que para lgrar que un sisema de cnrl diseñad mediane ubicación de pls pr realimenación de esad pueda seguir una señal de referencia ip escalón, se ha de inserar un inegradr en la rayecria direca enre el cmparadr de errr y la plana [8]. En la figura 7.8 se muesra un sisema de cnrl cn realimenación de esad capaz de seguir sin errr una señal de referencia escalón (errr de psición nul). Plana r() - x () d x () -k u() () B d x() y() C A -K Figura 7.8: Sisema de cnrl cn realimenación de esad de ip un Nóese en la figura 7.8 cm el inegradr aumena en un el rden del sisema. La nueva variable de esad que incrpra el inegradr al sisema se na cm x (). Las ecuacines que mdelan al sisema plana inegradr sn: () = Ax() Bu() (7.57) y () = Cx () (7.58) x () = r() y() (7.59) dnde x() es el vecr de esad de dimensión n, y r() e y() sn la señal de referencia y de salida escalares respecivamene. La señal de cnrl escalar u() depende de la realimenación de esad y de la realimenación inegral mediane u () = Kx () kx() (7.6) dnde ( k k k ) K (7.6) = n es un vecr de ganancia cnsane, y k es la ganancia escalar de la realimenación inegral. Inrduciend la ecuación (7.58) en la (7.59), se puede escribir el mdel de esad de rden n cm () = r() Cx() () = Ax() Bu(), en frma maricial, () C x() = u () r () () A x() B Defínase x() x() () =, () =, C A =, B =, C = ( C ) (7.6) () x() A B

26 UNIDAD 7: Diseñ de cnrladres analógics pr méds de espaci de esad 6 dnde la dimensión de x () es ( n ) ; la de A,( n ) ( n ) ; la de B,( n ) y la de C, (n ). L anerir permie escribir la ecuación de esad cm () = Ax () B u() r() Para bener la ecuación de esad del sisema en laz cerrad basa cn susiuir en la expresión anerir la ecuación (7.6): () = Ax () BKx () B kx() r() es es, () = ( A BK ) () r () dnde, es un vecr de dimensión ( n ). ( k ) ( k k ) = = n K K k (7.64) Respec de la ecuación de salida, eniend en cuena que ahra el vecr de esad es (), pdems escribir, a parir de (7.58) y (7.6), que y () = Cx () (7.65) Pues que la ecuación caracerísica del sisema es si A BK =, queda clar que si la mariz de cnrlabilidad ( = n M B AB A B A B) 7.66) c iene rang n, la ecuación ( )( ) ( ) si A BK = s p s p s pn = (7.67) permie ubicar ls pls del sisema en laz cerrad en el lugar desead. En la ecuación (7.67) hay n incógnias, k, k,..., k n, y n ceficienes cncids (pls) decidids pr el diseñadr, cn l cual, para calcular el vecr de ganancia K basa cn igualar ls ceficienes. Cm siempre, es acnsejable realizar varias simulacines hasa encnrar el vecr K más adecuada. Seleccinand las variables de esad cn cuidad, de md que una de ellas, pr ejempl x () sea igual a la salida y(), se puede prbar la capacidad de seguimien del sisema a la enrada de referencia escalón [5, ], ya que rescribiend para las ecuacines (7.59) y (7.57), se iene que ( ) = = r Cx( ) ( ) = = Ax( ) Bu( ) Esas ds ecuacines pueden ser escrias en la frma maricial cnjuna siguiene: C x( ) r = A B u( )

27 Sección 7.9. Cas general. La plana n psee inegradr 7 Asumiend que el rang de la mariz cuadrada C A B es n, ennces exise su inversa, cn l cual, x( ) C r = u( ) A B (7.68) En cuan al valr esacinari de la variable de esad x () que incrpra el inegradr al sisema, se puede calcular a parir de la ecuación (7.6) cn, ya que u( ) = Kx( ) k x ( ) cn l cual, x ( ) = [ u( ) Kx ( ) ] (7.69) k En muchas casines n esarán dispnibles para su medida precisa das las variables de esad, de md que habrá que uilizar en el sisema de seguimien ip un bservadr de esad del rden necesari. En la figura 7.9 se muesra el sisema de la figura 7.8 cn el bservadr de esad inserad. En el capíul 3 se esudiará es cn dealle. Plana r() - x () x d () -k u() x () B d x() y() C A Observadr -K Figura 7.9: Sisema de cnrl pr realimenación de esad ip un cn bservadr Ejempl 7.7 Dada la plana definida pr () = x() u() 5 y () = x() ( ) Se raa de diseñar un servsisema mediane realimenación de esad que permia el seguimien sin errr de una señal de referencia ip escalón. Aplicand (7.6) se iene en ese cas que

28 UNIDAD 7: Diseñ de cnrladres analógics pr méds de espaci de esad 8 x () () = (), =, x x A B = () 5 x En primer lugar se ha de demsrar la cnrlabilidad del sisema, para l cual se aplica la expresión (7.66): M c = El rang de esa mariz es 3, pr an, ls valres caracerísics de ( ) si A BK se pueden clcar de frma arbiraria. Supóngase que las especificacines de diseñ referidas al iemp de asenamien y al sbreimpuls máxim exigen que las raíces del sisema en laz cerrad se ubiquen en s = 4, s = j y s 3 = j. Ennces, aplicand (7.67): es es, s si A BK = s k k k 5 s ( s )( s j)( s j) = 4 = ( ) s 3 6 s = s s s 8= k k s 5 k Calculand el deerminane y perand se iene que k = 8, k = y k = 9 cn l cual el vecr de ganancia de realimenación de esad vale: K = ( 9) Ahra, a md de cmprbación, se puede verificar si en efec el errr de seguimien es nul. Para ell, se escribe la ecuación (7.68) aplicada a ese ejercici: x ( ) r x ( ) = ( ) 5 u Es es, eniend en cuena de la ecuación de definición de la plana que x () = y(), lueg y( ) r x ( ) = ( ) 5 u

29 Sección 7.9. Cas paricular. La plana psee inegradr 9 y( ) = r, x ( ) = y u ( ) = cn l cual se cmprueba que en efec la salida sigue sin errr a la enrada. Pr úlim, el valr esacinari de x () se puede bener aplicand la ecuación (7.69), la cual se escribirá para ese cas cm r x ( ) = ( 9) = r Cas paricular. La plana psee inegradr Si la plana a cnrlar es ya un sisema ip, ennces, para el cas general, su función de ransferencia es de la frma siguiene [4]: m Y() s s b s bs b Gs () = = n U() s s a s a s m m n n (7.7) dnde n m, y ds ls ceficienes a y b sn númers reales. El mdel de la plana expresad en la ecuación (7.7) endrá la represenación de esad en la frma de variables de fase siguiene: () x() () x() = u () () x () n n () () n a a an xn x () x () y () = ( b b bn bn ) xn () xn () (7.7) Cn bje de n mdificar el ip del sisema y que a la vez ls pls puedan ser ubicads en el sii desead pr el diseñadr, se uiliza la cnfiguración de la figura 7.. En ella, el vecr de ganancia de realimenación de esad vale ahra ( k k k ) K (7.7) = 3 n Prcediend cm hasa ahra en el capíul, es fácil inuir que la ecuación caracerísica del sisema debida a la realimenación de esad (rayecria direca) prcederá de la mariz A BK = 7.73) a k a k3 a n k n

30 UNIDAD 7: Diseñ de cnrladres analógics pr méds de espaci de esad 3 Plana r() - k u() () B d x() y() C A -K Figura 7.: Sisema de cnrl cn realimenación de esad cuand la plana es de ip. lueg el sisema cn la realimenación de esad cninúa siend ip y además, cm se puede cmprbar en la ecuación (7.73), n pls pueden ser mdificads a vlunad pr el diseñadr mediane la mariz K. De la figura (7.) se deduce que la señal de cnrl esá dada pr ( ) u () = Kx() k r () y () (7.74) Nóese que si las variables de esad se escgen de frma que y() = x () el prblema se simplifica much, ya que eniend en cuena (7.7), la ecuación (7.74) puede ser escria cm u () = Kx () kr () (7.75) dnde la mariz de ganancia K esá ahra cmplea: El sisema en laz cerrad endrá pues la expresión Es es, ( k k k ) K (7.76) = n ( ) () = Ax() Bu() = Ax() B Kx() k r() ( ) Cn l cual, la mariz del sisema en laz cerrad será ahra () = A BK x() Bk r() 7.77) A BK = (7.78) k a k a k3 a n k n Se vé pues que en efec, el sisema en su rayecria direca (ecuación 7.73) es de ip, cn l cual, en laz cerrad iene un errr de psición nul. También se puede cmprbar inspeccinand la ecuación (7.78) que mediane la mariz K se pueden cnrlar las psicines de ds ls pls del sisema en laz cerrad.

31 Sección 7.9. Cas paricular. La plana psee inegradr 3 Pr úlim, prcediend cm en la sección 7.9., se va a calcular el valr esacinari del vecr de esad. Así, a parir de la ecuación (7.77) se deduce que Es es, ( ) ( ) = = A BK x( ) B kr ( ) x( ) = A BK B kr (7.79) Ejempl 7.8 Dada la plana mdelada pr la función de ransferencia siguiene Y() s = U() s s( s )( s 5) Diseñar un sisema de cnrl que siúe ls pls de laz cerrad en ± j 4 y, y que pueda seguir sin errr una señal de referencia ip escalón. Cuand cm en ese cas la señal de exciación u() n cniene derivadas, el mdel de esad de la plana se escribe en la frma de variables de fase siguiene: ) () x() () = x () u() 3() 5 6 3() x x () y () = ( ) x () 3() x dnde en efec, x () = y(). La señal de cnrl esá dada pr la expresión (7.75) aplicada a ese cas: x () u () = ( k k k 3) () x kr () x3 () En primer lugar se ha de cmprbar si la plana es cnrlable, para ell el rang de la mariz de cnrlabilidad M = ( B AB A B ha de ser 3. En efec, c M c = y su rang es 3. Cm se dij ambién se suele llamar S.- Aplicand la ecuación (7.78) para la plana dada, se iene que la mariz del sisema de cnrl en laz cerrad es A BK = 5 6 k k k 3

32 UNIDAD 7: Diseñ de cnrladres analógics pr méds de espaci de esad 3 Pr an, ls elemens del vecr de ganancia K = ( k k k ) 3 cerrad del sisema en las psicines dadas, se bienen de la frma siguiene: Es es, ( ) ( )( )( si A BK = s s j4 s j4) que permien ubicar ls pls de laz s 3 s s 4s 6s k s k s 6 k 3 = Reslviend el deerminane e idenificand se iene que k =, k = 55 y k 3 = 8, cn l cual ( 55 8 ) y ( 55 8) K = K = A parir de l calculad y de la ecuación (7.77), se iene que el mdel del sisema en laz cerrad es () x() () = x () r() 3( ) 6 4 3( ) x Pr supues, la ecuación de salida permanece inalerable e igual a x () y () = ( ) x () 3() x Pr úlim, cn bje de cmprbar de frma analíica la capacidad de seguimien del sisema, se aplica la ecuación (7.79), de md que para ese cas se iene que Es es, eniend en cuena que x () = y(), x ( ) x ( ) = r 3( ) 6 4 x y( ),3,7,5 x ( ) = r 3( ) x cn l cual, y( ) = r; x ( ) = ; x ( ) = 3 Pr an, se demuesra que, cm exigía el diseñ, la salida sigue fielmene a la enrada.