Resolver. 2. Inecuaciones de segundo grado. La expresión ax bx c puede ser mayor, menor o igual que 0. Esto es, podemos plantearnos: 2

Transcripción

1 1 Inecuacines Una inecuación es una desigualdad en la que aparecen númers y letras ligads mediante las peracines algebraicas. Ls signs de desigualdad sn: <,, >, Las inecuacines se clasifican pr su grad y pr su númer de incógnitas. Slucines de una inecuación sn ls valres de la(s) incógnita(s) que cumplen la desigualdad. En las inecuacines suele hablarse de cnjunt de slucines, pues las slucines se dan mediante intervals. Reslver una inecuación es encntrar sus slucines. Para reslver una inecuación hay que despejar la incógnita. Para ell hay que tener en cuenta las siguientes prpiedades: 1. A < B A + n < B + n. También: A n < B n. A < B A n < B n, si n > 0 También: A/n < B/n, si n, si n 3. A < B A n > B n, si n < 0 También: A/n > B/n, si n, si n OJO: Si se multiplica pr un númer negativ, cambia el sentid de la desigualdad. Observa: 3 < 5 (multiplicand pr 6) 18 < 30 3 < 5 (multiplicand pr 6) 18 > 30 (se cambia < pr >) Igualmente: < 8 dividiend pr, que < < multiplicand pr 1: ( + 1) > < 1 1. Inecuacines de primer grad Para reslverlas se utilizan las tres prpiedades indicadas. Además, en tds ls cass se tendrá en cuenta el rden de priridad de las peracines. Reslver ( + 1) + 3 5( + ) 10 Operams ls paréntesis y traspnems términs: La slución sn ls punts de [5/3, ) Reslver 3 5 1º. Multiplicams ambs miembrs pr 15: 5( ) < 3( 4) º. Operams ls paréntesis: 5 10 < 6 1 3º. Traspnems términs: 5 6 < º. Agrupams: < 5º. Multiplicams pr 1: >. Inecuacines de segund grad La epresión a b c puede ser mayr, menr igual que 0. Est es, pdems plantearns: a b c a b c a b c En ls tres cass cnviene reslver la ecuación de segund grad asciada y escribir el trinmi a b c cm prduct de factres.

2 Dependiend de las raíces de esa ecuación escribirems: a b c a )( ) (si hay ds slucines distintas 1 y ). ( 1 ( 1 ) a b c a 0 (si sól hay una slución, 1 ) si n hay slucines reales, la inecuación n puede descmpnerse en factres. En cada cas, estudiand ls signs de ls factres se encuentran ls intervals slución. Observación. En ls tres cass puede n haber slución slucines. Para reslver 4 6 hallams las slucines de la ecuación asciada; sn: 1 = 3 y = 1. Pr tant, 4 6 ( 3)( 1). Cn est escribims: 4 6 ( 3)( 1). Cm el primer factr,, es psitiv, el sign del prduct dependerá del sign de cada un de ls trs ds factres, ( + 3) y ( 1). (+) ( ) ( + 3 > 0) ( 1 < 0) ( > 3) y ( < 1) 3 < < 1 ( ) (+) ( + 3 < 0) ( 1 > 0) ( < 3) y ( > 1) N hay punts cmunes. Nta: Hems hallad ls punts para ls que 4 6 = 3 y = 1. También hems hallad ls punts para ls que < < 1. En cnsecuencia, para tds ls demás valres de se cumplirá que 4 6. Est es, para < 3 y para > 1. Pr tant, al reslver 4 6 también queda resuelta la inecuación 4 6 Gráficamente, la situación es la siguiente: < 3 > 1 Observación: Puede ser prtun recrdar que la función y 4 6, es una parábla. Si se representa gráficamente, su curva: crta al eje OX en ls punts = 3 y = 1, que sn las slucines de la ecuación 4 6 ; y está pr debaj del eje OX en el interval ( 3, 1), precisamente las slucines de 4 6. Reslvams ahra 4 4. Cm la ecuación 4 4 sól tiene una slución dble, =, se deduce que 4 4 ( ) : Y cm un cuadrad nunca es negativ, la inecuación planteada n tiene < < 1 slución, pues 4 4 ( ), para cualquier númer real de. Observación: Cm puede verse fácilmente, la parábla y 4 4 tiene su vértice (su mínim) en el punt (, 0), de abscisa = ; para ls demás valres de siempre está pr encima del eje OX.

3 3 Pr cntra, la inecuación 4 6 es cierta para td valr de, pues 4 6 n tiene slucines reales. Pr tant, sól hay ds psibilidades: siempre es mayr que cer; siempre es menr que cer. Cm para = 0 vale 6, siempre será negativa; est es, 4 6 es cierta para td valr de. Observación: Para este cas, también puede verse que la gráfica de la parábla y 4 6 siempre queda pr debaj del eje OX. Menr que 0 y mayr que 0 en prducts y ccientes Muchas veces interesa cncer sól el sign de una epresión algebraica. Est es, saber cuánd es menr que cer (negativa) y cuánd es mayr que cer (psitiva). El mejr prcedimient, salv en cass inmediats, es descmpner dicha en factres y, después, tener en cuenta las reglas de ls signs: (+) ( ) = ( ) < 0 (+) (+) = (+) > 0 ( ) (+) = ( ) < 0 ( ) ( ) = (+) > 0 (+) : ( ) = ( ) < 0 (+) : (+) = (+) > 0 ( ) : (+) = ( ) < 0 ( ) : ( ) = (+) > 0 Pueden presentarse ls siguientes cass: y B, Prduct A B < 0 y B y B, Prduct A B > 0 y B (Un factr es psitiv y tr negativ.) (Ls ds factres tienen el mism sign) La epresión > 0 cuand > 0. Análgamente, < 0 si < 0. siempre es negativa, pues > 0 para td. ( 1) será psitiva cuand 1 > 0; est es, cuand > 1. A Cciente B A y B, A y B A Cciente B A y B, A y B (Ls ds términs cn distint sign) (Ls ds términs cn el mism sign) El sign de las epresines, 3 sól depende del denminadr. Así: < 0 si < 0; > 0 si > 0. Obsérvese que nunca vale 0. 1 > 0 siempre, pues el denminadr siempre es psitiv < 0 si > 0 [( ) : (+) = ( )]. 3 > 0 si < 0 [( ) : ( ) = (+)]. 1 cuand 1 > 0 y + > 0: [(+) : (+) = (+)] > 1. También, cuand 1 < 0 y + < 0: [( ) : ( ) = (+)] <

4 4 3 1 El sign de las epresines de sól depende del numeradr, pues el ( ) denminadr siempre es psitiv, salv en = 0 y =, respectivamente, en dnde dichas epresines n están definidas. Así: 3 3 = 0 si 3 = 0 = 3; 3 > 0 si > 3; < 0 si < 3. 1 = 0 si 1 = 0 = 1; ( ) 1 ( ) > 0 si < 1 > 1; 1 ( ) < 0 si 1 < < Inecuacines de grad superir Para reslver una inecuación de la frma P() < 0 P() > 0, dnde P() es un plinmi de grad 3 mayr, se prcede cm sigue: 1º. Se descmpne P() en factres; para ell habrá que hallar las raíces de P() = 0. Si estas raíces fuesen 1,, 3, supuest P() de tercer grad, se tendría: 3 P() < 0 a b c d a ( 1 )( )( 3) º. Representar las raíces sbre la recta y determinar ls intervals que se btienen. 3º. Estudiar el sign de a ( 1 )( )( 3) en cada un de ess intervals. 4º. Dar la slución. Ejempl: La inecuación ( + 1)( 5) < 0 Representadas las raíces = 1, = 0 y = 5 se btiene ls intervals: < 1, 1 < < 0, 0 < < 5 > 5 Ls signs de ls factres de ( + 1)( 5) sn: ( )( )( ) ( ) ( )(+)( ) (+) (+)(+)( ) ( ) (+)(+)(+) (+) En cnsecuencia, las slucines de la inecuación sn: < 1 0 < < 5 4. Inecuacines cn valr abslut La epresión A < n significa que n < A < n. < 4 4 < < 4 Análgamente, la inecuación 1 indica que 1 < < 1. Est es: 1 < < 3. Para btener ese resultad hems sumad a ls tres miembrs de las desigualdades: 1 < < < + < < < 3 De igual md, la inecuación 1 3 indica que 3 > > 3. Est es: < 4 que >. Para btener ess resultads hay que reslver las inecuacines pr separad: 3 > > > < > > 3 1 >. Observación: Nótese que en la slución de la primera inecuación, 1, interviene el cuantificadr y : > 1 y < 3, interval (1, 3); bien, cnjunt (1, + ) (, 3). En cambi, en las slucines de la segunda inecuación, 1 3, hay que utilizar el cuantificadr : < 4 > ; cnjunt (, 4) (, + )

5 5 5. Inecuacines cn epresines radicales Pdems plantearns las ds siguientes inecuacines: A n ; A n dnde A es una epresión cn una incógnita y n es un númer psitiv. A n A n 0 A n. Ejempl: 3 < 9 n A Ejempl: 5 > 5 Si intervienen trs términs se prcederá utilizand ls criteris generales ya estudiads. Además, se tendrá en cuenta que al elevar al cuadrad una desigualdad se pueden intrducir errres (ganar perder slucines). También habrá que tener en cuenta si el sign + de la raíz puede afectar al resultad. Cm en cnsecuencia de est, es acnsejable cmprbar ls resultads. De 3 ( 3) > 9. El resultad n es fals, per es incmplet, pues la desigualdad se cumple siempre que. 3 (multiplicand pr 1) 3 > pdría deducirse que Para reslver la inecuación hay que aplicar las reglas del cciente y tener en cuenta el valr del radicand. Observa: ESTÁ MAL: >. El mtiv es que n está definid si 1 < < 0. ESTÁ BIEN: (, 1) (0, + ). Est es: { > } { 1 < < 0}. Para reslver 6, l nrmal es hacer l siguiente: < < 9. (Ls valres 4 y 9 sn las slucines de ). Sin embarg, la inecuación dada admite tras slucines, pr ejempl =. Qué ha sucedid para que n salga directamente? El errr se ha generad al hacer el cuadrad. Fijémns ahra en tra psibilidad: 6 6 (hacems el cambi t ) t t 6. Reslvems ahra la ecuación t t 6, cuyas slucines sn: t 3 y t. Si cnsiderams sól el sign psitiv de la raíz, que es l habitual, y bservams que la n puede tmar valres negativs, la slución es: 0 t 3 < 9 que es la slución crrecta. Oj: Si A < B n es ciert que A < B. Observa: < 1, per ( ) > 1. Inecuacines cn ds incógnitas Sn desigualdades de la frma: a by c, a by c El cnjunt de slucines de cuáquera de ellas es un de ls ds semiplans en ls que divide la recta a by c al plan cartesian. Si a > 0, la slución de a by c es el semiplan situad a la izquierda; la slución de a by c sería el semiplan de la derecha.

6 6 Si se cnsideran las desigualdades a by c a by c, el cnjunt de slucines cntiene, además del semiplan crrespndiente, a ls punts de la recta a by c. Las slucines de la inecuación + 3y < 1 sn tds ls punts del semiplan situad a la izquierda de la recta + 3y = 1. (Ver figura) Las slucines de la inecuación y 4 sn tds ls punts del semiplan situad a la derecha de la recta y = 4. (Ver figura)