UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA FÍSICA MECÁNICA MÓDULO #2: FUNDAMENTOS SOBRE VECTORES

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA FÍSICA MECÁNICA MÓDULO #2: FUNDAMENTOS SOBRE VECTORES Dieg Luis Aristizábal R., Rbert Restrep A., Tatiana Muñz H. Prfesres, Escuela de Física de la Universidad Nacinal de Clmbia Sede Medellín Última revisión en juni 09 de Temas Magnitudes vectriales escalares. Clasificación de vectres. Suma de vectres pr ls métds: paralelgram, triángul, plígn. Cmpnentes rectangulares de un vectr: en el plan en el espaci. Suma de vectres pr el métd de las cmpnentes rectangulares. Prduct escalar pr vectr. Prduct escalar de vectres. Prduct vectrial de vectres. Derivada de un vectr Nta: En el desarrll de este módul se asume que ls estudiantes a cursarn Gemetría Vectrial. Es decir, el módul cnsidera sól un breve REPASO. I. Qué es un vectr? Las magnitudes físicas se pueden clasificar en escalares vectriales. Las magnitudes escalares tienen sól tamañ (que de ahra en adelante se denminará módul simplemente magnitud). Sn ejempls de estas: el tiemp, la masa, la rapidez, la lngitud de un recrrid, la energía, el trabaj, el vltaje, la ptencia. Las magnitudes vectriales pseen además de módul, dirección sentid. Se representan mediante un segment rientad (flecha), cm l indica la figura 1. Figura 1 La dirección de la cantidad vectrial, está dada pr el valr del ángul que define la pendiente de la recta sbre la cual se "apa" la "flecha" que la representa. El sentid queda definid pr la "cabeza" "punta" de la misma. El tamañ (módul magnitud) del vectr l da el tamañ de dicha "flecha". Así pr ejempl, si la cantidad vectrial se duplica, la "flecha" que la representa se deberá dibujar de dble tamañ.

2 Sn ejempls de magnitudes vectriales: la psición, el desplazamient, la velcidad, la aceleración, la fuerza, la cantidad de mvimient (mmentum), la elngación, el pes, el camp eléctric, el camp magnétic. Algebraicamente ls vectres se representan cn letras del alfabet castellan, maúsculas minúsculas; usualmente en un text impres se utiliza la letra en negrita, pr ejempl b, que significa ambas prpiedades del vectr, magnitud dirección (incluend el sentid dentr de la dirección). En la escritura manual se suele pner una flecha sbre la letra, b. 2 La magnitud lngitud de un vectr se representa clcand el vectr entre barras simplemente la letra, b = b. II. Clasificación de vectres Línea de acción de un vectr es la recta a la que pertenece el vectr, Figura 2. Vectres paralels Figura 2 Sn aquells que tienen sus líneas de acción paralelas e igual sentid, Figura 3. Figura 3 Vectres antiparalels Sn aquells que tienen sus líneas de acción paralelas sentid puest, Figura 4.

3 Figura 4 3 Vectres iguales Sn aquells vectres que tienen la misma magnitud, dirección sentid aunque n tengan el mism punt de aplicación, Figura 5. Vectr puest de un vectr Figura 5 Es aquel que tiene la misma magnitud del vectr, per está rtad 180 respect a éste, Figura 6. Figura 6 Vectres fijs Sn aquells vectres que n pueden deslizarse sbre su línea de acción. Su rigen está anclad al punt de aplicación. Ejempls sn: el vectr psición (Figura 7), la velcidad (Figura 7), el camp eléctric.

4 4 Figura 7 Vectres deslizantes Sn aquells vectres que pueden mverse sbre su línea de acción sin cambiar su magnitud dirección. Ejempl. Las fuerza que actúan sbre ls cuerps rígids, Figura 8. Figura 8 Vectres libres Sn aquells vectres que pueden mverse libremente en el espaci cn sus líneas de acción paralelas. Ejempl. El trque de una cupla (también denminad par de fuerzas), Figura 9. Figura 9

5 Vectr unitari (versr de un vectr) Es un vectr de magnitud 1 de igual dirección del vectr dad, Figura 10. dividiend el vectr entre su magnitud, Se btiene a û = [1] a 5 Figura 10 Ejempls de versres sn ls que representan las direccines de ls ejes cartesians (eje x, eje z, ˆk ), Figura 11. î ; eje, ĵ ; Figura 11 III. Suma de vectres pr ls métds: paralelgram, triángul, plígn Para sumar vectres se emplean diferentes métds: el métd del paralelgram, el métd del triángul, el métd del plígn el métd de las cmpnentes rectangulares. A cntinuación se tratarán ls tres primers. Métd del paralelgram En este métd, se desplazan ls vectres para unir sus "clas". Lueg se cmpleta el paralelgram el vectr resultante será la diagnal trazada desde las "clas" de ls vectres a sumar. Este vectr tendrá también la "cla" unida a las clas de ls trs ds su "cabeza" estará al final de la diagnal. En la Figura 12 se ilustra este métd.

6 Figura 12 6 Para realizar ls cálculs se emplear las lees de sen csen. Le de csens: s = a + b - 2abcsφ a = s + b - 2sbcsα b = s + a - 2sacsβ [2-a-] [2-b-] [2-c-] Le de sens: a senα b senβ a senα b = [3-a-] senβ s = [3-b-] senφ s = [3-c-] senφ Simulación: Analizar la simulación de SimulPhsics crrespndiente a la suma de vectres pr el métd del paralelgram. Para acceder a ella hacer clic cn el muse en el ítem señalad en la Figura 12. En ésta hacer las variacines permitidas bservar detenidamente ls resultads.

7 7 Figura 12 Ejempl 1: Dads ds vectres: a de 6,00 unidades haciend un ángul +36,0 cn el eje X; apuntand en la dirección negativa del eje X, Figura 13. Hallar la suma de ls ds vectres. b de 7,00 unidades Figura 13 Slución: En la Figura 14 se ilustra la suma de ls ds vectres empleand el métd del paralelgram. Aplicandla le de csens se btiene, Figura 14

8 2 2 2 s = a + b - 2abcs s = 6,00 u + 7,00 u - 2 6,00 u 7,00 u cs36,0 2 s = 4,13 u La dirección se btiene calculand el ángul que frma cn el eje X. Aplicand le de sens, s sen36,0 b = senφ 8 senφ = b sen36,0 s senφ = 7,00 u sen36,0 4,13 u senφ = 0,996 2 φ = 85,0 Pr l tant el ángul que frma el vectr resultante cn el eje X es igual a, φ = 36,0 + 85,0 121,0 Ejempl 2: Ds vectres frman un ángul de 110,0. Un de ells tiene 20,0 unidades de lngitud hace un ángul de 40,0 cn el vectr resultante (vectr suma) de ls ds. Encntrar la magnitud del segund vectr la del vectr suma. Slución: Figura 15 En la Figura 15 se ilustra la suma de ests ds vectres empleand el métd del paralelgram. Sea b= 20 u, aplicand le de sens,

9 s senφ = b senβ Per φ = 70,0 a que es el suplement de 110,0 (esta es una prpiedad de ls paralelgrams), cm ls ánguls interires de un triángul suman 180, β = 70,0, entnces, s = b senφ senβ 9 s = 0 20,0 u sen70,0 sen70,0 s = 20,0 u Aplicand le de csens, a = s + b - 2sbcs40,0 2 2 a = 20,0 u + 20,0 u ,0 u 20,0 u cs40,0 2 a = 13,7 u Métd del triángul En este métd, ls vectres se deben trasladar (sin cambiarle sus prpiedades) de tal frma que la "cabeza" del un se cnecte cn la "cla" del tr (el rden n interesa, pues la suma es cnmutativa). El vectr resultante se representa pr la "flecha" que une la "cla" que queda libre cn la "cabeza" que también está libre (es decir se cierra un triángul cn un "chque de cabezas"). En la Figura 16 se ilustra el métd. Figura 16 En la Figura 16 el vectr de clr verde es la suma vectrial de ls vectres de clr rj de clr azul.

10 Si la peración se hace gráficamente cn el debid cuidad, sól bastaría medir cn una regla el tamañ del vectr de clr verde utilizand la misma escala que se utilizó para dibujar ls vectres sumands (el rj el azul). Esa sería la magnitud de la suma. La dirección se pdría averiguar midiend cn un transprtadr el ángul que frma la resultante cn una línea hrizntal. Per n basta cn saberl hacer gráficamente. Se debe aprender a realizar analíticamente. Para ell se deben utilizar ls teremas del sen del csen, si es un triángul rectángul se utilizará el terema de Pitágras las definicines de las funcines sen csen. 10 Ejempl 3: Reslver el ejempl 1 usand el métd del triángul. Slución: Figura 17 En la Figura 17 se ilustra la suma de ls ds vectres empleand el métd del triángul. Aplicand le de csens, s = a + b - 2abcs s = 6,00 u + 7,00 u - 2 6,00 u 7,00 u cs36,0 2 s = 4,13 u La dirección se btiene calculand el ángul que frma cn el eje X. Aplicand le de sens, s sen36,0 = a senβ senβ = a sen36,0 s senβ= 6,00 u sen36,0 4,13 u senφ = 0,854

11 φ = 58,6 Pr l tant el ángul que frma el vectr resultante cn el eje X es igual a, φ = ,6 121 Métd del plígn 11 Cuand se van a sumar más de ds vectres, se puede sumar ds de ells pr el métd del triángul. Lueg el vectr resultante sumarl cn tr vectr también pr el métd del triángul, así sucesivamente hasta llegar a btener la resultante final: la suma de vectres es cnmutativa asciativa. Otra frma de hacer la suma, es utilizand el llamad métd del plígn. Este métd es simplemente la extensión del métd del triángul. Es decir, se van desplazand ls vectres para clcarls la "cabeza" del un cn la "cla" del tr (un "trencit") la resultante final es el vectr que cierra el plígn desde la "cla" que qued libre hasta la "cabeza" que qued también libre (cerrar cn un "chque de cabezas"). Nuevamente el rden en que se realice la suma n interesa, pues aunque el plígn resultante tiene frma diferente en cada cas, la resultante final cnserva su magnitud, su dirección su sentid. Este métd sól es eficiente desde punt de vista gráfic, n cm un métd analític. En la Figura 18 se ilustra la suma de cuatr vectres. Figura 18 Simulación: Analizar la simulación de SimulPhsics crrespndiente a la suma de vectres pr el métd del plígn. Para acceder a ella hacer clic cn el muse en el ítem señalad en la Figura 19. En ésta hacer las variacines permitidas bservar detenidamente ls resultads.

12 12 Figura 19 IV. Cmpnentes de un vectr Td vectr se puede expresar cm la suma de trs ds vectres a ls cuales se les denmina cmpnentes. En la Figura 20 se ilustra est. Figura 20 En esta figura el vectr verde tiene cm cmpnentes ls vectres azul rj. Ests últims sumads cmpnen al vectr verde. Cmpnentes rectangulares de un vectr en el plan Cuand las cmpnentes frman un ángul rect, se les llama cmpnentes rectangulares. En la Figura 21 se ilustran las cmpnentes rectangulares del vectr verde. Figura 21 Las cmpnentes rectangulares cumplen las siguientes relacines:

13 a x = a csα a = a senα [4-a] [4-b] a = a +a [5] 2 2 x a tanα = [6] a x 13 Estas cmpnentes se pueden escribir en función de ls versres crrespndientes a ls ejes cartesians, a = a ˆi + a ˆj [7] x Cmpnentes rectangulares de un vectr en el espaci Cmpnentes rectangulares Figura 22 Ánguls directres De la Figura 22 se puede cncluir que, a = a ˆ ˆ ˆ xi + a j + azk [8] a = a csθ x x [9-a] a = a csθ [9-b] a = a csθ z z [9-c] En dnde csθ x, csθ csθ z se denminan csens directres cumplen,

14 2 2 2 cs θ x + cs θ + cs θz 1 [10] es decir ls csens directres n sn independientes. Ejempl 4: Una fuerza F tiene magnitud igual a 10,0 N dirección igual a 240,0º. Encntrar las cmpnentes rectangulares representarlas en un plan cartesian. 14 Slución: Calcular las respectivas cmpnentes: x F = 10,0N cs240,0 = -5,00 N F = 10,0N sen240,0 = -8,66 N El resultad lleva a cncluir que la cmpnente de la fuerza en X tiene módul igual a 5,00 N apunta en dirección negativa del eje X. La cmpnente en Y tiene módul igual a 8,66 N apunta en el sentid negativ del eje Y. Est se ilustra en la Figura 23. Figura 23 Adicinalmente el vectr se puede escribir en función de sus cmpnentes rectangulares, F = -5,00 ˆi - 8,66 ˆj N

15 Ejempl 5: En la Figura 24 se ilustra un pste vertical AE que está sujetad pr cables (tensres) AB, AC AD. Si la fuerza de tensión F en el cable AD tiene una magnitud igual a N, escribir esta fuerza en frma vectrial. 15 Figura 24 Slución: A: (0,0 m, 0,0 m, 3,6 m) D: (1,2 m, 1,8 m, 0,0 m) Nta: Dad un sistema de crdenadas, a cada punt del espaci se le puede asignar un vectr psición sl un (es decir un vectr cua cla está anclada en el rigen del sistema de crdenadas elegid cua cabeza está ubicada en dich punt). Pr l tant al punt A se le asigna el vectr psición A al punt D se le asigna el vectr psición D. Las cmpnentes rectangulares de ests vectres crrespnden a las respectivas crdenadas de ls punts, A = 3,6 k ˆ m D = 1,2 ˆi + 1,8 ˆj m El vectr AD es igual a la diferencia de ls vectres psición D A (FINAL mens INICIAL), AD D-A= 1, 2 0,0 ˆi 1,8 0,0 ˆj 0 3,6 k ˆ m AD = 1,2 ˆi + 1,8 ˆj - 3,6 k ˆ m

16 La fuerza de tensión en el cable AD se escribe, AD ˆ ˆ ˆ 1,2 i + 1,8 j - 3,6 k F = Fu ˆ F= F = N AD ,2 + 1,8 + -3,6 F = 342,86 ˆi + 514,29 ˆj ,57 kˆ N 16 ˆ ˆ ˆ F = 3,4x10 i + 5,1x10 j - 1,0x10 k N V. Suma de vectres empleand el métd de las Cmpnentes Rectangulares Cuand se suman vectres, se puede ptar pr descmpnerls en sus cmpnentes rectangulares lueg realizar la suma vectrial de estas. El vectr resultante se lgrará cmpniéndl a partir de las resultantes en las direccines x e. A cntinuación se ilustra este métd mediante un ejempl. Este será en la mar parte de ls cass el métd que se usará a través del curs. Ejempl 6: Sumar ls vectres de la Figura 25 mediante el métd de las cmpnentes rectangulares: a=8,00 u, b=7,50 u, c= 4,30 u, d=7,80 u. Figura 25 L primer que se debe hacer es llevarls a un plan cartesian para de esta frma rientarse mejr (las clas deben anclarse al rigen). Est se ilustra en la Figura 26.

17 17 Figura 26 Calcular las cmpnentes rectangulares: x a = 8,00 u cs50,0 = 5,14 u x b = 7,50 u cs 0 = 7,50 u c = 4,30 u cs120,0 = -2,15 u x d = 7,80 u cs200,0 = -7,33 u x a = 8,00 u sen50,0 = 6,13 u b = 7,50 u sen0 = 0 u c = 4,30 u sen120,0 = 3,72 u d = 7,80 u sen200,0 = -2,67 u A cntinuación se realiza la suma de las cmpnentes en X de las cmpnentes en Y: S x = 5,14 u + 7,50 u - 2,15 u - 7,33 u = 3,16 u S = 6,13 u + 0 u + 3,72 u - 2,67 u = 7,18 u Se representa ests ds vectres en el plan cartesian de una vez se hace la cmpsición (suma vectrial de las cmpnentes S x S ), Figura 27 Figura 27

18 Se calcula ahra el módul de la resultante su dirección: 2 2 x 2 2 S = S +S = 3,16 u + 7,18 u = 7,84 u S 7,18 u α = tan = tan = 66,2 S x 3,16 u Simulación: Analizar la simulación de SimulPhsics crrespndiente a la suma de vectres pr el métd de las cmpnentes rectangulares. Para acceder a ella hacer clic cn el muse en el ítem señalad en la Figura 28. En ésta hacer las variacines permitidas bservar detenidamente ls resultads. Figura 28 Resta de Vectres Para restar vectres se aprvecha del element invers de la suma. Así la resta de ds vectres se puede ver cm una suma: a - b = a + -b El negativ de un vectr es tr vectr cn sentid cntrari. De ahí en adelante la peración sigue cm una suma de vectres. En la Figura 29 se ilustra un ejempl de una resta.

19 19 Figura 29 Ejempl 7: Para ls vectres del ejempl 1 encntrar b - a. Slución: En la Figura 30 se ilustra la peración R = b - a = b + -a usand el métd del triángul. Figura 30 Aplicand la le de csens, R = a + b - 2abcs144,0 2 2 R = 6,00 u + 7,00 u - 2 6,00 u 7,00 u cs144,0 2 R = 12,37 u Aplicand le de sens, R sen144,0 b = senβ

20 senβ = 0 b sen144,0 R senβ = 7,00 u 0,588 12,37 u β = 19,44 20 φ = 196,56 Pr l tant R mide 12,4 u frma un ángul igual a 197 cn el eje X. VI. Prduct de un Escalar pr un Vectr El prduct de un escalar pr un vectr da cm resultad tr vectr que tiene la misma dirección que el vectr factr. Si el númer que multiplica al vectr es psitiv, cnservará el sentid si es negativ invertirá su sentid. Si el númer además es mar que un el vectr resultante será prprcinalmente mar que el vectr factr. Si el númer es menr que un el vectr resultante será prprcinalmente menr que el vectr factr. En la Figura 31 ilustrams varis ejempls de prduct de escalares pr vectres. Figura 31 VII. Prduct Escalar de ds Vectres Al prduct escalar entre ds vectres a b se denta cm ab. Pr definición es el resultad de la magnitud del vectr a pr la magnitud del vectr b pr el csen del ángul que frman entre ells, a b abcsφ [11] El resultad de este prduct es una cantidad escalar. Si se bserva la Figura 32 se puede interpretar esta peración vectrial cm el prduct de la prección del vectr a sbre el vectr b pr la magnitud de b viceversa. Muchas relacines físicas se pueden expresar cm este prduct (pr ejempl, el cncept de trabaj). Para perar, se llevan ls ds vectres a un rigen cmún, siend el ángul que frman entre sí ls vectres a b.

21 Figura 32 El prduct escalar es un númer, n es un vectr puede ser psitiv, negativ nul. 21 Si el ángul entre ls vectres es menr que 90º el prduct escalar es psitiv, si es mar que 90º per menr que 180º el prduct es negativ si es igual a 90 el prduct escalar es nul. Atención: El prduct escalar de ds vectres perpendiculares es cer. Prduct escalar de ls versres que dan las direccines de ls ejes cartesians, ˆi ˆi = 1 ˆj ˆi = 0 k ˆ ˆi = 0 ˆi ˆj = 0 ˆj ˆj = 1 k ˆ ˆj = 0 ˆi k ˆ = 0 ˆj k ˆ = 0 k ˆ k ˆ = 1 Ejempl 8: a Ds vectres b cuas magnitudes sn iguales a 20,4 unidades (u) 30,6 unidades (u) frman un ángul de 60,0º, calcular su prduct escalar. Slución: Según la definición, a b abcsφ [11] pr l tant: 2 a b 20,4 u 30,6 u cs60,0 = 312 u Prduct escalar en cmpnentes rectangulares Sean,

22 a = a ˆ ˆ ˆ xi + a j + azk b = b ˆ ˆ ˆ xi + b j + bzk entnces, a b = a ˆ i + a ˆ j + a k ˆ b ˆ i + b ˆ j + b k ˆ x z x z 22 a b = a b ˆi ˆi + a b ˆi ˆj + a b ˆi k ˆ + a b ˆj ˆi + a b ˆj ˆj + a b ˆj k ˆ + x x x x z x + a b k ˆ ˆi + a b k ˆ ˆj + a b k ˆ k ˆ z x z z z z a b = a b + a b + a b [12] x x z z El ángul entre ds vectres se puede calcular empleand el prduct escalar, a b = a b + a b + a b = abcs x x z z a b ab a b + a b + a b x x z z csφ = [13] ab en dnde, a = a x +a +a z b = b x +b +bz Ejempl 8: Calcular el ángul que frman las cuerdas AC AD de la Figura 33.

23 23 Figura 33 Slución: A = 3,6 k ˆ m C = 0,9 ˆi - 1,2 ˆj m D = 1,2 ˆi + 1,8 ˆj m Si α es el ángul entre ambas cuerdas, según la ecuación [13] se btiene, csα = AC AD AC AD cm, AC = C - A = 0,9 ˆi - 1,2 ˆj - 3,6 k ˆ m

24 AD = D - A = 1,2 ˆi + 1,8 ˆj - 3,6 k ˆ m AC 0,9 m 1,2 m 3,6 m 3,9 m AD 1,2 m 1,8 m 3,6 m 4,2 m Pr l tant, 24 csα = 0,9 m1,2 m + -1,2 m1,8 m + -3,6 m-3,6 m 3,9 m4,2 m α = 43,5 α = 44 VIII. Prduct Vectrial de ds Vectres Al prduct vectrial entre ds vectres a b se denta cm a b. Ejempls de la física que emplean esta peración sn el trque la fuerza magnética. Para definirl se lleva ambs vectres a un rigen cmún. A diferencia cn el prduct escalar, el resultad de este prduct es un vectr, cua dirección es perpendicular al plan que cntiene a ls vectres a b, cu sentid se btiene aplicand la denminada regla de la man derecha cu módul (magnitud) es igual al prduct entre las magnitudes de ls vectres pr el sen del ángul que frman, Figura 34, a b absenφ [14] Regla de la man derecha: El sentid del prduct vectrial a b se btiene aplicand la regla de la man derecha: se clca la palma de la man derecha en la dirección del vectr a se envuelven ls deds en el sentid de rtación hacia el vectr b eligiend siempre el menr ángul psible manteniend erect el pulgar. El sentid en que apunta el pulgar, es el sentid del prduct vectrial a b, Figura 34. Cm se puede bservar n es l mism hacer el prduct vectrial de a b que el de b a. Un vectr se define pr: el módul, la dirección el sentid. En ls ds cass tant el módul cm la dirección n cambian per el sentid es puest, Figura 34. El prduct vectrial es anticnmutativ. Es decir que: a b = - b a

25 25 Figura 34 Atención: Si ls vectres a b sn paralels (ángul entre ells igual a 0º) antiparalels (ángul entre ells igual a 180º) el prduct vectrial será nul. En particular, el prduct vectrial de un vectr pr sí mism es cer. Prduct escalar de ls versres que dan las direccines de ls ejes cartesians, ˆi ˆi = 0 ˆ ˆ ˆ j i = - k ˆ ˆ ˆ k i = j ˆ ˆ ˆ i j = k ˆj ˆj = 0 ˆ ˆ ˆ k j = - i ˆ ˆ ˆ i k = - j ˆ ˆ ˆ j k = i k ˆ k ˆ = 0 Regla nemtécnica: El prduct de ds de ls vectres da cm resultad el tr, cn sign psitiv si es en el sentid indicad pr la Figura 35 negativ en el sentid cntrari.

26 Figura 35 Prduct vectrial de ds vectres en cmpnentes rectangulares Sean, a = a ˆ ˆ ˆ xi + a j + azk b = b ˆ ˆ ˆ xi + b j + bzk 26 entnces, ˆ ˆ ˆ x z ˆ ˆ ˆ x z a b = a i + a j + a k b i + b j + b k a b = a b ˆi ˆi + a b ˆi ˆj + a b ˆi k ˆ + a b ˆj ˆi + a b ˆj ˆj + a b ˆj k ˆ + a b k ˆ ˆi + x x x x z x z z x + a b k ˆ ˆj + a b k ˆ k ˆ z z z ˆi j kˆ a b = a a a = a b - a b ˆi - a b - a b ˆj + a b - a b k ˆ [15] x z z z x z z x x x b b b x z Ejempl 9: Calcular un versr rtgnal saliente al plan al cual pertenecen las cuerdas AD AB de la Figura 35. Calcular ahra el versr rtgnal a ese plan per entrante.

27 27 Figura 35 Slución: A = 3,6 k ˆ m B = - 2,7 ˆi m D = 1,2 ˆi + 1,8 ˆj m El versr rtgnal saliente es, AD AB û s = AD AB per, AD = D - A = 1,2 ˆi + 1,8 ˆj - 3,6 k ˆ m

28 AB = B - A = - 2,7 ˆi - 3,6 k ˆ m AD 1,2 m 1,8 m 3,6 m 4,2 m 2 2 AB 2,7 m + 3,6 m 4,5 m 28 El versr rtgnal entrante es, û = s û = s 1,2 ˆi + 1,8 ˆj - 3,6 k ˆ - 2,7 ˆi -3,6 k ˆ m 4,2 m4,5 m - 6,48 ˆi +14,04 ˆj + 4,86 kˆ m 4,2 m4,5 m 2 2 û = - 0,34 ˆi + 0,74 ˆj + 0,26 kˆ s Este resultad se ilustra en la Figura 36 Figura 36 El versr rtgnal entrante,

29 u ˆ = - u ˆ s s 0,36 ˆi - 0,74 ˆj - 0,026 kˆ IX. Derivada de un vectr Casi en la ttalidad de ls cass, en física, ls vectres van a variar cn respect al tiemp, en tras palabras sn vectres que dependen del tiemp. Antes de cntinuar es mu imprtante recrdar que un vectr se cmpne de módul dirección (incluend el sentid dentr de esta), que pr l tant éste puede variar, en módul en dirección en ambas csas a la vez, que en tds ls cass admitiría derivada. 29 Figura 37 Teniend en cuenta que un vectr puede expresarse en función de su vectr unitari de la frma, Figura 37: a = auˆ a si se deriva esa expresión, da da duˆ = u ˆ a + a dt dt dt a Cm, a ˆ û = csφ i + senφ ˆj Entnces, ˆ a du dφ dφ ˆ = -senφ i + csφ ˆ j dt dt dt duˆ a dt dφ = -senφ ˆi + csφ ˆ j dt

30 Observar que, n ˆ û = -senφ i + csφ ˆj En dnde û n es rtgnal a û a, Figura 38, 30 Figura 38 Pr l tant, ˆ dua dφ ˆ n dt = u [16] dt Obteniéndse, da da dφ = u ˆ ˆ a + a u n [17] dt dt dt Cm se bserva, la derivada de un vectr puede descmpnerse en ds vectres: El primer sumand es un vectr en la dirección sentid de a, a que tiene la dirección sentid de su vectr unitari. El segund sumand es un vectr nrmal al vectr a. Si sól cambia la dirección del vectr sl permanece la segunda cmpnente si sól cambia la magnitud permanece la primera cmpnente. Ejempl 10:

31 El vectr V rtgnal a V. tiene su módul cnstante per su dirección cambia cn el tiemp. Demstrar que dv dt es Slución: Según la ecuación [17], 31 dv dv dφ = u ˆ ˆ V + V u dt dt dt n En dnde φ se reduce a, es el ángul que frma V. Cm este vectr mantiene su magnitud cnstante, esta expresión dv dφ = V u ˆ n dt dt que crrespnde a un vectr rtgnal a V. Taller 1. Ds vectres de 6 9 unidades de lngitud, frman un ángul entre ells de (a) 0, (b) 60, (c) 90, (d) 150 (e) 180. Encntrar la magnitud de su resultante su dirección respect al vectr más pequeñ. Rp: (a) 15 unidades, 0 ; (b) 13,1 unidades, ; (c) 10,8 unidades, ; (d) 4,8 unidades, ; (e) 3 unidades 180. (Tmad de Alns, M., Finn, E., Física Vlumen I, Fnd Educativ Interamerican, S.A., 1976.) 2. Ds vectres frman un ángul de 110. Un de ells tiene 20 unidades de lngitud hace un ángul de 40 cn el vectr suma de ambs. Encntrar la magnitud del segund vectr la del vectr suma. Rp: 13,7 unidades; 20 unidades. (Tmad de Alns, M., Finn, E., Física Vlumen I, Fnd Educativ Interamerican, S.A., 1976.) 3. Ds vectres de 10 8 unidades de lngitud, frman entre sí un ángul de (a) 60, (b) 90 0 (c) 120. Encntrar la magnitud de su diferencia el ángul cn respect al vectr mar. Rp: 9,2 unidades, -49 ; (b) 12,8 unidades, ; 15,6 unidades, -26.

32 (Tmad de Alns, M., Finn, E., Física Vlumen I, Fnd Educativ Interamerican, S.A., 1976.) 4. Tres vectres situads en un plan, tienen 6, 5 4 unidades de lngitud. El primer el segund frman un ángul de 50, mientras que el segund tercer frman un ángul de 75. Encntrar la magnitud del vectr resultante su dirección cn respect al vectr mar (emplear el métd de las cmpnentes rectangulares). Rp: 9,92 unidades, (Tmad de Alns, M., Finn, E., Física Vlumen I, Fnd Educativ Interamerican, S.A., 1976.) 5. Cnsiderar ls vectres: V 1 î ĵ V 2 î - ĵ Calcular: (a) 10V 5 1 V 2 (b) V 1 V 2 (c) V 1 V 2 6. Cnsiderar el vectr velcidad (a) Calcular la lngitud del vectr V V 2î ĵ- kˆ s m (b) Hallar el vectr unitari en la dirección de V 7. Sean r 1 2î 2ĵ kˆ m (a) Encntrar la prección del vectr (b) Encntrar la prección del vectr r 2 2î 10ĵ 11kˆ m r 1 r 2 sbre el vectr sbre el vectr r 2 r 1. Ilustrarla gráficamente.. Ilustrarla gráficamente. (c) Encntrar las preccines del vectr r1 sbre ls versres gráficamente. î, ĵ kˆ. Ilustrar ls resultads 8. Sin evaluar cada cantidad en detalle, demstrar que cada una de las siguientes cantidades es igual a cer al vectr nul: (a) V 1 V2 10V1 (b) V V V (c) 10î - 5ĵ î 5ĵ V2 9. Encntrar el área del paralelgram cus lads sn ls vectres: V 1 2î 2ĵ kˆ cm V 2 2î 10ĵ 11kˆ cm

33 Ilustrar est gráficamente. 10. Encntrar el vlumen de un paralelepíped cuas aristas sn ls vectres: V 1 10î ĵ cm V 2 2î 10ĵ cm V 3 12kˆ cm Ilustrar est gráficamente Cnsiderar el vectr V î cs 10t ĵsen10t s m en dnde t es tiemp: (a) Mstrar que V (b) Calcular dv a dt tiene lngitud cnstante. dv (c) Verificar que es rtgnal a V. dt (d) A qué magnitudes físicas se refieren V dv dt? 12. Calcular ls csens directres del vectr fuerza: F 2î 2ĵ kˆ N 13. Dads ls punts A (3 m, 0 m, -2 m); B (1 m, -1 m, 3 m); C(-2 m, 3m, -4 m) btener: (a) el módul del vectr (b) el módul del vectr S AB BC D CB CA (c) el ángul entre ls vectres S D. Nta: AB en negrillas significa el vectr que va desde el punt A hasta el punt B (análgamente BC, CB, CA ). Rp. (a) 6,16 m (b) 5,48 m (c) 95, En la cuña de la Figura 39 btener un vectr unitari saliente nrmal al rectángul ABCD.

34 34 Figura 39 Rp: 0,6î 0,8kˆ 15. En la Figura 40 las lngitudes están expresadas en m. Calcular: (a) la lngitud de la viga, (b) el ángul entre ls cables AB AC, (c) un versr rtgnal al plan dnde se encuentran ls cables AB AC (discutir psibles slucines), (d) si la magnitud de la fuerza que ejerce el cable AC sbre la barra PA es igual a 100 N, expresar esta fuerza vectrialmente (auda: calcular el versr que expresa la rientación AC multiplicarl pr la magnitud de la fuerza). Figura 40

35 FIN REFERENCIAS: Lndñ M., Intrducción a la Mecánica, Universidad Nacinal de Clmbia, Medellín, Singer F., Mecánica para Ingeniers, Estática, Ed Harla, Méxic, Finn E., Alns M., Física, Vl. I: Mecánica, Fnd Educativ Interamerican, S.A.,