= 80, luego el modelo matemático quedará: f

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1 PROBLEMAS RESUELTOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN CA PRIMERA PARTE: Prblemas sbre determinación de las características de la nda senidal y fasres. CARACTERÍSTICAS DE LA ONDA SENOIDAL 1º. (Prblema Bylestad) Sí la frecuencia es 60 Hz, determine cuánt tiemp se requerirá para que la frma de nda senidal, cn un ángul de fase igual a cer, pase pr un ángul de 45º. Escriba el mdel matemátic para la frma de nda. La expresión para el mdel matemátic es: f (t) = A Sen(w t), Sí f = 60Hz, entnces, w = rad./seg. Sí α = w t = 45º = rad Entnces, t = = 2.08 mseg. Lueg para que la nda pase pr un ángul de 45º se requiere un tiemp de 2.08 mseg, a partir de t = 0. El mdel matemátic quedará: f (t) = A Sen(377.7 t), para t = 0, f (0) = 0 y para t = 2.08mseg, f (2.08ms) = 22 A = ª 2º. (Prblema Bylestad) Sí una frma de nda senidal, cn ángul de fase igual a cer, pasa pr un ángul de 30º en t = 5 mseg., determine la velcidad angular de la frma de nda Sí α = w t = 30º = rad, entnces, w = 3 = rad/seg. 5x10 3º. (Prblema Bylestad) Sí una frma de nda f (t) = A Sen(w t ), es igual a 40 en α = 30º y en t = 1 mseg., determine la expresión del mdel matemátic que describe la nda en función del tiemp Sí α = w t = 30º = rad, entnces, w = 3 = rad/seg. 1x10 Lueg f (t) = A Sen(523.5 t ) y sí f (t) = 40, para t = 1 x 10-3 seg., entnces: 40 A = = 80, lueg el mdel matemátic quedará: f 1-3 (t) = 80 Sen(523.5 t ) Sen (523.5 x1x 10 ) 4º. (Prblema Bylestad) Dada la expresión analítica f (t) = 0.5 Sen(104.7 t + 60º), la nda está adelantada 60º de la nda nrmal a) indique la expresión cn el ángul de fase en radianes. f (t) = 0.5 Sen(104.7 t rad.), la nda está adelantada radianes de la nda nrmal. b) indique la expresión cn la abscisa del tiemp en segunds. f (t) = 0.5 Sen(104.7( t + 10 x 10-3 )), la nda está adelantada 10 mseg. de la nda nrmal. c) indique la expresión cn la función csen y ángul de fase en grads. f (t) = 0.5 Cs(104.7 t - 30º), la nda está atrasada 30º de la nda nrmal. d) indique la expresión cn la función csen y ángul de fase en radianes. f (t) = 0.5 Cs(104.7 t rad), la nda está atrasada radianes de la nda nrmal. e) indique la expresión cn la abscisa del tiemp en segunds. f (t) = 0.5 Cs(104.7( t - 5 x 10-3 )), la nda está atrasada 5 mseg. de la nda nrmal. 5º. Determine el ángul y el tiemp psitiv más pequeñ, en la cual la magnitud de la nda senidal f (t) = 10Sen(377 t + 30º), es igual a 4. Cuál es el valr de la nda para t = 0?. Para, t =? f (?) = 4 ; 4 =10Sen (377 t + 30º) ; 377 t + 30º = Sen - 1 (0.4) = rad., Cambiand la expresión a radianes: 377 t rad. = rad., pr l tant, t = 377 = x 10-3 seg. El cálcul arrja el tiemp negativ para el cual la magnitud de la función es 4, per cm la pregunta es acerca del tiemp psitiv más pequeñ, entnces, avanzams hacia la derecha un tiemp igual a un perid de la función, para encntrar este tiemp. 27/08/2009 Página 1 de 14 Prfesr: Luis Rdlf Dávila Márquez CÓDIGO: UFPS

2 Pr l tant, sí w = 377 rad/seg. el perid es : T = mseg. O sea que, el tiemp psitiv más pequeñ es: t 1 = x 10-3 seg x 10-3 = x 10-3 seg. L anterir significa que la función tiene ls siguientes pares de crdenadas: t = mseg., f (-0.297ms ) = 4 y t = mseg., f ( ms ) = 4 Pr tr lad, f (0) = 10 Sen(377(0) rad) = 5 6º. (Prblema Kemmerly) Una nda sen, es cer y aumenta en t = 2.1 mseg., además, el máxim psitiv siguiente de 8.5 curre en t = 7.5 mseg. Expresar la nda de la frma f (t) igual a A) C 1 Sen(w t + θ), en dnde θ es psitiv, l más pequeñ psible, y se mide en grads; B) C 2 Cs(w t + β), en dnde β es psitiv, l más pequeñ psible, y se mide en grads; C) C 3 Sen(w t ) + C 4 Cs(w t) A) f (t) = C 1 Sen(w t + θ) = 8.5 Sen(w t + θ), Sí para t = 2.1 mseg. f (2.1ms) = 0, entnces: 0 = 8.5 Sen(w (2.1 x 10-3 ) + θ), (w (2.1 x 10-3 ) + θ) = Sen -1 (0) = 0, pr l tant, θ = -2.1 x 10-3 w Pr tr lad, sí para t = 7.5 mseg. f (7.5ms) = 8.5, entnces: 8.5 = 8.5 Sen(w (7.5 x 10-3 ) + θ), (w (7.5 x 10-3 ) + θ) = Sen -1 (1) = , pr l tant, θ = x 10-3 w Desarrlland simultáneamente las ds ecuacines resulta que w = rad./seg. y θ = rad. θ = - 35º. Pr l tant, la nda sen quedará expresada pr: f (t) = 8.5 Sen( t - 35º), f (t) = 8.5 Sen( t rad), B) f (t) = 8.5 Sen( t - 35º) = 8.5 Cs( t - 125º) = 8.5 Cs( t 2.181rad) C) Utilizand la frmula: Cs(a+b) = Cs(a) Cs(b) - Sen(a) Sen(b), la expresión del csen se puede cnvertir a Cs( t - 125º) = Cs( t) Cs(-125º) - Sen( t) Sen(-125º) Cs( t - 125º) = Sen( t) Cs( t) Lueg: 8.5 Cs( t - 125º) = Sen( t) Cs( t) 7º. (Prblema Kemmerly) Una nda sen, es 5 y aumenta en t = 0, además, el máxim psitiv siguiente de 10 curre en t = 2.77 mseg. Expresar la nda de la frma f (t) igual a A) C 1 Sen(w t + θ), en dnde θ es psitiv, l más pequeñ psible, y se mide en grads; B) C 2 Cs(w t + β), en dnde β es psitiv, l más pequeñ psible, y se mide en grads; C) C 3 Sen(w t ) + C 4 Cs(w t) A) f (t) = C 1 Sen(w t + θ) = 10 Sen(w t + θ), Sí para t = 0, f (0) = 5, entnces: 5 = 10 Sen(w (0) + θ), (θ) = Sen -1 (0.5) = , θ = rad. = 30º, pr l tant, f (t) = 10 Sen(w t + 30º) Pr tr lad, sí para t = 2.77 mseg. f (2.77ms) = 10, entnces: 10 = 10 Sen(w (2.77 x 10-3 ) + 30º), (w (2.77 x 10-3 ) ) = Sen (1) = , pr l tant, w = - 3 = 378 rad./seg., 2.77 x 10 y la nda sen quedará expresada pr: f (t) = 10 Sen(378 t + 30º), f (t) = 10 Sen(378 t rad), B) f (t) = 10 Sen(378 t + 30º) = 8.5 Cs(378 t - 60º) = 8.5 Cs(378 t rad) C) Utilizand la frmula: Sen(a+b) = Sen(a) Cs(b) + Cs(a) Sen(b), la expresión del sen se puede cnvertir a Sen(378 t + 30º) = Sen(378 t) Cs(30º) + Cs(378 t) Sen(30º) Sen(378 t + 30º) = Sen(378 t) Cs(378 t) Lueg: 10 Sen(378 t + 30º) = 8.66 Sen(378 t) Cs(378 t) 27/08/2009 Página 2 de 14 Prfesr: Luis Rdlf Dávila Márquez CÓDIGO: UFPS

3 FASORES: 8º. (Prblema Drf) Un vltaje senidal tiene 100 v de amplitud máxima, y cuand t = 0 su magnitud es 10 v. Determine v (t) cuand el perid es: T = 1 mseg. Determine el crrespndiente fasr V El mdel matemátic del vltaje puede estar representad pr: v (t) = 100 Sen(w t + θ) Sí T = 1 mseg., entnces w = 6,28 rad./seg., y el mdel quedará: v (t) = 100 Sen(6.28 t + θ) Sí para t = 0, v (0) = 10 v, entnces: 10 = 100 Sen(6.28 (0) + θ), y pr l tant, θ = Sen -1 (0.1) = rad. Lueg θ = rad. = 5.73º, y el mdel matemátic quedará: v (t) = 100 Sen(w t º) = 100 Sen(w t rad.) = 100 Cs(w t 84.27º) Finalmente el fasr quedará: V max = º V efic = º 9º. (Prblema Drf) Exprese las siguientes sumas de senides en la frma general A Sen(w t + θ) pr medi de identidades trignmétricas y utilizand fasres. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS: i (t) = 2 Cs(6t + 120º) + 4 Sen(6t 60º) Utilizand la fórmula: Cs(a+b) = Cs(a) Cs(b) - Sen(a) Sen(b), la expresión del csen se puede cnvertir a Cs(6 t + 120º) = Cs(6 t) Cs(120º) - Sen(6 t) Sen(120º), pr l tant: 2 Cs(6 t + 120º) = - Cs(6 t) Sen(6 t) Utilizand la frmula: Sen(a+b) = Sen(a) Cs(b) + Cs(a) Sen(b), la expresión del sen se puede cnvertir a Sen(6 t - 60º) = Sen(6 t) Cs(-60º) + Cs(6 t) Sen(-60º), pr l tant: 4 Sen(6 t - 60º) = 2 Sen(6 t) Cs(6 t), reemplazand en la primera expresión, ésta quedará: i (t) = - Cs(6 t) Sen(6 t) + 2 Sen(6 t) Cs(6 t) = Cs(6 t) Sen(6 t) 2 2 i (t) = ( 4.464) + (0.268) Cs(6 t [tan ( )+180º]) = Cs(6 t º) i (t) = Cs(6 t) Sen(6 t) = Cs(6 t º) = Sen(6 t 86.56º) FASORES: Expresand las funcines riginales en términs de csen tendrems: i (t) = 2 Cs(6t + 120º) + 4 Sen(6t 60º) = 2 Cs(6t + 120º) + 4 Cs(6t 150º), Obteniend ls respectivs fasres: I = 2-60º º = º Pasand al dmini del tiemp: i (t) = Cs(6 t º) = Sen(6 t 86.56º) 10º. (Prblema Drf) Se cuenta cn la señal: i (t) = 72 3 Cs(8 t) Sen(8 t + 140º) Cs(8 t + 210º) + 25 Cs(8 t + βº), para qué valr de β la crriente alcanza su valr máxim? Pasand al análisis fasrial: I = º º º + 25 βº Sumand ls tres primers vectres: I = º + 25 βº, de la suma presentada, se puede bservar que para que esta suma sea máxima, se requiere que ls vectres estén en fase, sea que, βº = º y de esta frma I = º ; i (t) = Cs(8 t 31.86º) 11º. (Prblema Kemmerly) a) Sí -10 Cs(w t) + 4 Sen(w t) = A Cs(w t + φ), dnde A > 0 y -180º < φ 180º, determine A y φ IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Cs(w t) + 4 Sen(w t) = ( 10) + (4) Cs(w t [tan -1 4 ( 10 )+180º]) = Cs(w t º) lueg: A = y φ = º 27/08/2009 Página 3 de 14 Prfesr: Luis Rdlf Dávila Márquez CÓDIGO: UFPS

4 FASORES: -10 Cs(w t) + 4 Sen(w t) = -10 Cs(w t) + 4 Cs(w t 90º) en fasres º º = º en el dmini del tiemp: -10 Cs(w t) + 4 Sen(w t) = Cs(w t º) b) Sí 200 Cs(5 t + 130º) = F Cs(5 t) + G Sen(5 t), determine F y G IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Utilizand la fórmula: Cs(a+b) = Cs(a) Cs(b) - Sen(a) Sen(b), la expresión del csen se puede cnvertir: Cs(5 t + 130º) = Cs(5 t) Cs(130º) - Sen(5 t) Sen(130º), pr l tant: 200 Cs(5 t + 130º) = Cs(5 t) Sen(5 t); lueg: F = y G = c) Encntrar tres valres de t, 0 t 1 seg.,para ls cuales i (t) = 5 Cs(10 t) 3 Sen(10 t) = 0. Utilizand identidades trignmétricas pdrems expresar la crriente cm una sla función: 2 2 i (t) = 5 Cs(10 t) 3 Sen(10 t) = ( 5) + (-3) Cs(10 t [tan -1 ( 3 5 )]) = 5.83 Cs(10 t º) = 5.83 Cs(10 t rad). Características de la función: w = 10 rad/seg., F = Hz, T = seg., T/2 = seg. Para i (0) = 0 = 5.83 Cs(10 t º), entnces: 10 t º = Cs -1 (0) = π/2 = t = rad rad. ; pr l tant, t = seg. Lueg para t 1 = seg., la función pasa pr cer. Ls tiemps, menres a 1 seg., en dnde la función ha pasad pr cer sn: t 2 = t 1 - T/2 = seg. ; t 3 = t 2 - T/2 = seg. ; t 4 = t 3 - T/2 = seg. Prueba: i (0.0897s) = 5 Cs(10 (0.0897)) 3 Sen(10 (0.0897) ) = 0.77 i (0.4021s) = 5 Cs(10 (0.4021)) 3 Sen(10 (0.4021) ) = i (0.7162s) = 5 Cs(10 (0.7162)) 3 Sen(10 (0.7162) ) = 0.88 d) En qué interval de tiemp entre t = 0 y t = 10 mseg. es 10 Cs(100πt) 12 Sen(100πt)? Características de la función: w = 100π rad/seg., F = 50 Hz, T = 0.02 seg., T/2 = 0.01 seg. Determinand el tiemp para la cual presentan igual valr, tendrems: Sen(100πt) Cs(100πt) = 12 Sen(100πt) ; = Tan(100 π t) = Cs(100πt) tan ( 12) t = = 100π = mseg. 100π 12 Sen(100π t) Respuesta: La desigualdad presentada se cumple para: 0 t mseg. t (ms) 10 Cs(100π t) ms 5 ms 10 ms 27/08/2009 Página 4 de 14 Prfesr: Luis Rdlf Dávila Márquez CÓDIGO: UFPS

5 PROBLEMAS RESUELTOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN CA SEGUNDA PARTE. Prblemas sbre cálcul de impedancias, vltajes, crrientes y ptencias en frma cmpleja, utilizand las leyes básicas de ls circuits. 1º. CIRCUITO RL EN SERIE: (Prblema Nº 8, Unidad 2, guías del prfesr) Una bbina cuya resistencia e inductancia sn 60 Ω y 0.20 H respectivamente, se alimenta de un generadr que presenta entre sus terminales un vltaje de Cs (377 t) V. Determine: a) la reactancia inductiva; b) la impedancia equivalente del circuit; c) la crriente RMS y en el dmini del tiemp; d) ls vltajes RMS y en el dmini del tiemp a través de la resistencia y de la inductancia. R = 60 Ω, L = 0.20 H, v A = Cs ( 377 t ) v. v A i (t) v R(t) v L(t) DESARROLLO ANALÍTICO EN EL DOMINIO DEL TIEMPO: d i (t) v R(t) = 60 i (t) v L(t) = 0.2 v A = v R(t) + v L(t) d t d i (t) i (t) = Cs(377 t) d t La slución de la ecuación diferencial arrja: i (t) = K e t Cs(377 t) Sen(377 t) A i (t) = K e t Cs(377 t 51.5º) A, pr l tant, ls vltajes a través de la resistencia e inductancia serán: v R(t) = K 1 e t Cs(377 t 51.5º) v = K 1 e t Sen(377 t 38.5º) v v L(t) = K 2 e t Sen(377 t 51.5º) v = K 2 e t Sen(377 t º) v v L(t) = K 2 e t Cs(377 t º) v DESARROLLO ANALÍTICO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA: Dats del prblema en el dmini del tiemp: R = 60 Ω, L = 0.20H, v A = Cs ( 377 t ) v, w = 377 rad/seg, f = 60 Hz, Valres encntrads en el dmini de la frecuencia: V A = 120 0º v, Z R = 60 0º Ω, Z L = 75.4 j Ω = º Ω Z R V A V R Z T = 60 + j 75.4 Ω = º Ω V A 120 0º I = = = º A ZT º Z L V L V R = I * Z R = º * 60 0º = º v I V L = I * Z L = º * º = º v Ls resultads en el dmini del tiemp serán: i (t) = Cs(377 t 51.48º) A = 1.76 Cs(377 t 51.48º) A v R(t) Cs(377 t 51.48º) v = Cs(377 t 51.48º) A v L(t) = Cs(377 t º) v = Cs(377 t º) v SIMULACIÓN CON EL PROGRAMA DE OrCAD Pspice: SIMULACIÓN EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA - ANALÍSIS FASORIAL (AC Sweep/Nise) (Barrid de frecuencia) 27/08/2009 Página 5 de 14 Prfesr: Luis Rdlf Dávila Márquez CÓDIGO: UFPS

6 V A I V R V L Librería y element utilizad cm fuente: SOURCE VAC: 120 V, 0º, F inici 59hz, F final 61 hz Ttal punts 3 RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN: V (1) = V A = 120 0º v I (R) = I (L) = I = º A V (1,2) = V R = º v V (2) = V L = º v SIMULACIÓN EN EL DOMINIO DEL TIEMPO: (Time Dmain (Transient)) Librería y element utilizad cm fuente: SOURCE VSIN: VAMP V, FREQ 60Hz, PHASE 0º Run t time 70 ms, Maximum step size 0.1ms RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN: V (1) : V A max = ; t A max = ms V (1) - V (2) : V R max = ; t R max = ms V (2) : V L max = ; t L max = ms Ls resultads se pueden bservar en la figura siguiente, en dnde está dibujad el segund cicl después de t = 0 y pr ell ls valres de vltajes y crrientes n han adquirid su valr máxim real. Ls valres mstrads indican ls valres máxims de las ndas y sus crrespndientes valres del tiemp. INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS Y DETERMINACIÓN DE MODELOS: Seleccinand la nda más adelantada V (2), cm la referencia, determinams las diferencias de tiemp de las tras ndas cn respect 3 al tiemp de la nda V (2). Est es: t A max - t L max = 1.8 mseg. θ VA-VL = 1.8x10 x 377 x 180 t R max - t L max = 4.2 mseg. θ VR-VL = 4.2x10 3 π = º x377 x 180 = 90.72º π 27/08/2009 Página 6 de 14 Prfesr: Luis Rdlf Dávila Márquez CÓDIGO: UFPS

7 Lueg ls mdels matemátics cn referencia v L quedarán: v L(t) = Cs(377 t ) v v A = Cs(377 t 38.88º) v v R(t) = Cs(377 t 90.72º) v Referencia Ls mdels matemátics cn referencia v A quedarán: v A = Cs(377 t ) v Referencia v L(t) = Cs(377 t º) v v R(t) = Cs(377 t 51.84º) v 2º. CIRCUITO RLC EN SERIE: (Prblema, Unidad 3, guía del prfesr)un circuit RLC en serie, en dnde R = 3Ω, L = mh, C = uf, está cnectad a un generadr cuy vltaje en ls terminales es v = 70.7 Cs(377 t) V. Determine tdas las impedancias, crrientes y vltajes RMS y en el dmini del tiemp. v R(t) v L(t) v A i (t) v C(t) DESARROLLO ANALÍTICO EN EL DOMINIO DEL TIEMPO: d i v R(t) = 3 i (t) v L(t) = 18.56x10-3 (t) d t v C(t) = t x10 dt 0 (t) i + v C(0) ; v A = v R(t) + v L(t) + v C(t) 2 d (t) d i (t) d t i (t) = x 10 6 Sen(377 t) 2 d t La slución de la ecuación diferencial arrja: i (t) = e t [ k 1 Cs(233.2 t) + k 2 Sen(233.2 t) ] Cs(377 t) Sen(377 t) A i (t) = e t [ k 1 Cs(233.2 t) + k 2 Sen(233.2 t) ] Cs(377 t 53.2º) A Ls vltajes a través de ls elements serán: v R(t) = e t [ k 3 Cs(233.2 t) + k 4 Sen(233.2 t) ] Cs(377 t 53.2º) V v L(t) = e t [ k 5 Cs(233.2 t) + k 6 Sen(233.2 t) ] Cs(377 t º) V v C(t) = e t [ k 7 Cs(233.2 t) + k 8 Sen(233.2 t) ] Cs(377 t 143.2º) V DESARROLLO ANALÍTICO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA: Dats del prblema en el dmini del tiemp: R = 3 Ω, L = 1856 mh, C = 884 uf, v A = 70.7 Cs ( 377 t ) v, w = 377 rad/seg, f = 60 Hz, Valres encntrads en el dmini de la frecuencia: V A = 50 0º v, Z R = 3 0º Ω, Z L = 7 j Ω = 7 90º Ω Z C = - 3 j Ω = 3-90º Ω Z R Z L Z T = (3 + j 7 j 3) Ω = (3+j4) Ω = º Ω V A V R V L Z C V C I = V A 50 0º = ZT º = º A I V R = I * Z R = º *3 0º = º v V L = I * Z L = º * 7 90º = º v V C = I * Z L = º * 3-90º = º v Ls resultads en el dmini del tiemp serán: i (t) = 10 2 Cs(377 t 53.1º) A = Cs(377 t 53.1º) A v R(t) 30 2 Cs(377 t 53.1º) v = Cs(377 t 53.1º) A v L(t) = 70 2 Cs(377 t º) v = Cs(377 t º) v v C(t) = 30 2 Cs(377 t 143.1º) v = Cs(377 t 143.1º) v 27/08/2009 Página 7 de 14 Prfesr: Luis Rdlf Dávila Márquez CÓDIGO: UFPS

8 SIMULACIÓN CON EL PROGRAMA DE OrCAD Pspice: SIMULACIÓN EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA - ANALÍSIS FASORIAL (AC Sweep/Nise) (Barrid de frecuencia) Librería y element utilizad cm fuente: SOURCE VAC: 50 V, 0º, F inici 59hz, F final 61 hz, Ttal punts 3 V R1 V L1 V C1 VA RESULTADOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA V (1) = VA = 50 0º v I (L1) = I T = º A V (1) -V (2) = V (R1) = º v V (2) -V (3) = V (L1) = º v V (3) = V (C1) = º v RESULTADOS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO: v A = º v = 70.7 Cs ( 377 t ) v i T = º A = Cs ( 377 t 53.1º) A v R1 = º v = Cs ( 377 t 53.1º) v v L1 = º v = 98.9 Cs ( 377 t º) v v C1 = º v = Cs ( 377 t 143.1º) v SIMULACIÓN EN EL DOMINIO DEL TIEMPO: (Time Dmain (Transient)) Librería y element utilizad cm fuente: SOURCE VSIN: VAMP 70.7 V, FREQ 60Hz, PHASE 0º Run t time 70 ms, Maximum step size 0.1ms RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN: V (1) : V A max = ; t A max = ms V (1) - V (2) : V R max = ; t R max = ms V (2) - V (3) : V L max = ; t L max = ms V (3) : V C max = ; t C max = ms Ls resultads se pueden bservar en la figura siguiente, en dnde está dibujad el segund cicl después de t = 0 y pr ell ls valres de vltajes y crrientes n han adquirid su valr máxim real. Ls valres mstrads indican ls valres máxims de las ndas y sus crrespndientes valres del tiemp. 27/08/2009 Página 8 de 14 Prfesr: Luis Rdlf Dávila Márquez CÓDIGO: UFPS

9 INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS Y DETERMINACIÓN DE MODELOS: Seleccinand la nda más adelantada V A, cm la referencia, determinams las diferencias de tiemp de las tras ndas cn respect 3 al tiemp de la nda V A. Est es: t R max - t A max = mseg. θ VA-VL = 2.561x10 x 377 x 180 t L max - t A max = 15 mseg. θ VR-VL = t C max - t A max = mseg. θ VR-VL = 3 15x10 x377 x 180 = 324.0º π π = º x10 x 377 x 180 = º π Lueg ls mdels matemátics cn referencia v A quedarán: v A = Cs(377 t ) v Referencia v R(t) = Cs(377 t 57.6º) v v L(t) = Cs(377 t 324º) v v C(t) = Cs(377 t 144.8º) v v R(t) = Cs(377 t 57.6º) v v L(t) = Cs(377 t + 36º) v v C(t) = Cs(377 t 144.8º) v Se puede bservar que ls resultads pr cualquiera de las simulacines sn muy iguales a ls btenids pr ls métds analítics. CIRCUITO EQUIVALENTE DE CARGA: El circuit de carga RLC en serie, analizad en este punt, se puede cnvertir en circuit RL en serie, agrupand ls elements LC en un sl element L, para este cas, prque la impedancia inductiva es mayr que la capacitiva. Al analizar el circuit equivalente, encntrarems que la crriente que circula pr la fuente es igual a la crriente pr la fuente cn el circuit riginal RLC en serie. Elements riginales: R = 3 Ω, L = mh, C = 884 uf, v = 70.7 Cs ( 377 t ) v, w = 377 rad/seg. Impedancias riginales: Z R = 3 0º Ω, Z L = 7 j Ω = 7 90º Ω, Z C = - 3 j Ω = 3-90º Ω Z T = (3 + j 7 j 3) Ω = (3+j4) Ω = º Ω 27/08/2009 Página 9 de 14 Prfesr: Luis Rdlf Dávila Márquez CÓDIGO: UFPS

10 Impedancias equivalentes: Z R = 3 0º Ω, Z L = 4 j Ω = 3 90º Ω, Z T = (3 + 4j ) Ω = º Ω 4 Lueg, la inductancia equivalente será: L e = 377 = mh L e RESULTADOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA VA = 50 0º v I T = º A V (R1) = º v V (L1) = º v RESULTADOS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO: v A = º v = 70.7 Cs ( 377 t ) v i T = º A = Cs ( 377 t 53.1º) A v R1 = º v = Cs (377 t 53.1º) v v L1 = º v = Cs (377 t º) v 3º. CIRCUITO RLC EN SERIE Y PARALELO (MIXTO): (Prblema Nº 18, Unidad 2, guía del prfesr) Un cndensadr de 350 uf, una resistencia de 10Ω y una bbina cuya inductancia y resistencia sn 0,030H y 5Ω respectivamente, están cnectadas en paralel y alimentadas pr un generadr de 169.7Sen(377 t) V. Determine: a) La crriente RMS y en el dmini del tiemp a través de cada rama ; b) la crriente RMS y en el dmini del tiemp del generadr ; c) la impedancia equivalente de entrada ; d) la crriente ttal del circuit si el generadr se reemplaza pr una batería de 120 V. i g i C i R v R1 v g v C v R i B v B v L Características en las variables del circuit pr aplicación de las leyes de Kirchhff, en el dmini del tiemp: v g = v C = v R = v B, pr estar en paralel ; v B = v R1 + v L, pr estar en serie (LVK) i g = i C + i R + i B, pr estar cnectads al mism nd (LCK) Características del generadr en el dmini del tiemp: v g = 169.7Sen(377 t) V. = 169.7Cs (377 t 90º) V. w = 377 rad/seg., f = 60 Hz, T = mseg. Características en ls elements de carga del circuit en el dmini del tiemp: C = 350 uf, R = 10 hm, Bbina( R 1 = 5 hm, L = 0.03 H) CARACTERÍSTICAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA: Impedancia de ls elements: Z C = j = º Ω, Z R = 10 0º Ω, Z R1 = 5 0º Ω, Z L = j = º Ω, Z B = Z R1 + Z L = j = º Ω, 27/08/2009 Página 10 de 14 Prfesr: Luis Rdlf Dávila Márquez CÓDIGO: UFPS

11 Cálcul de impedancias: ZR * ZB ZC * (ZR // ZB ) Z R //Z B = = º Ω, Z T = = º = j Ω ZR + ZB ZC + (ZR // ZB ) Nta: La impedancia ttal está cmpuesta pr resistencia y reactancia inductiva, quiere decir que el circuit se cmprta cm inductiv. Vltaje eficaz del generadr: V g = º v = V C = V R = V B Cálcul de crrientes y vltajes en el dmini de la frecuencia y presentads en el dmini del tiemp: Crriente del generadr: I g = = º A i g = Cs(377 t º) A = Sen(377 t -26.4º) A Crriente del capacitr: I C = = º A i C = 1.286Cs(377 t ) A = 1.286Sen(377 t + 90º) A Crriente del resistr: I R = = 12-90º A 10 0 i R = 16.97Cs(377 t -90º) A = 16.97Sen(377 t ) A Crriente de la bbina: I B = = º A i B = Cs(377 t º) A = Sen(377 t º) A Prueba : pr LCK, I g = I C + I R + I B = º º º = º A La crriente a través del generadr tiene un valr muy similar al valr btenid al principi del cálcul. Vltajes interns en la bbina: Vltaje en la resistencia de la bbina: V R1 = I B * Z R1 = º * 5 0º = º v v R1 = 68.64Cs(377 t 156.1º) v = 68.64Sen(377 t 66.1º) v Vltaje en la inductancia de la bbina: V L = I B * Z L = º * º = º v v L = Cs(377 t 66.1º) v = Sen(377 t º) v Cálcul de ptencias en tds ls elements: FUENTE: Generadr: S g = V g * I g * = º * º = º = j El generadr suministra: w y var CARGA: Capacitr: S C = V C * I C * = º * º = º = j El capacitr n absrbe ni suministra ptencia activa, 0 w, y suministra VAR Resistr: S R = V R * I R * = º * 12 90º = º El resistr cnsume 1440 w Bbina: S B = V B * I B * = º * º = º = j La bbina absrbe w y 1065 VAR Ptencias en la bbina: Resistr S R1 = V R1 * I B * = º * º = º w Inductancia: S L = V L * I L * = º * º = º = VAR 27/08/2009 Página 11 de 14 Prfesr: Luis Rdlf Dávila Márquez CÓDIGO: UFPS

12 4º. CIRCUITO CON CARGAS ELÉCTRICAS EN GENERAL (Prblema Nº 29, Unidad 2, guía del prfesr) Un generadr de 70.71Cs (377 t + 30 ) v, alimenta a un sistema cmpuest de cuatr cargas cnectadas cm se indica en la figura abaj. Determine: a) las ptencias aparente, activa y reactiva del sistema; b) el factr de ptencia del sistema; c) la crriente RMS y en el dmini del tiemp a través del generadr; d) las crrientes y vltajes RMS y en el dmini del tiemp de tdas y cada una de las cargas. Calcule ls valres de ls elements individuales que representan las respectivas cargas, cn el fin de pder simular el circuit cn algun de ls prgramas de simulación existentes. Carga 2 v g i g Carga VAR L 200 w i 2 v VAR L 200 w v 2 Carga VAR C 0 w v 3 i 4 Carga VAR C 100 w v 4 i 1 i 3 DATOS DEL PROBLEMA: Ptencias de cada una de las cargas: Carga 1: P 1 = 200 w, Q 1 = 100 VARL, S 1 = j = º VA Carga 2: P 2 = 200 w, Q 2 = 100 VARL, S 2 = j = º VA Carga 3: P 3 = 0 w, Q 3 = 200 VARC, S 3 = 0-200j = º VA Carga 4: P 4 = 100 w, Q 4 = 200 VARC, S 4 = j = º VA Sistema de cargas: P T = 500 w, Q T = 200 VARC, S T = j = º VA Pr tr lad: S T = º º º º = º VA Ptencia aparente = VA, cn un FP = en adelant Ptencia activa = 500 w, Ptencia reactiva capacitiva = 200 VARC Vltaje del generadr: 70.71Cs (377 t + 30 ) v ; V g = 50 30º v Crriente del generadr: I * º g = = º A ; I g = º A 50 30º i g = 15.23Cs(377 t º) A = 15.23Sen(377 t º) A Vltaje de la carga 1: pr LVK a la malla de la izquierda, V 1 = V g = 50 30º v Crriente de la carga 1: I * S º 1 = = = º A ; I 1 = º A V º i 1 = 6.324Cs(377 t + 3.5º) A = 6.324Sen(377 t º) A Crriente de la carga 2: pr LCK al nd superir izquierd, I 2 = I g I 1 I 2 = º º = º A i 2 = 11.99Cs(377 t º) A = 11.99Sen(377 t º) A S º Vltaje de la carga 2: V 2 = * = = º I º 2 v 2 = 37.27Cs(377 t º) v = 37.27Sen(377 t 168.6º) v Vltaje de la carga 3 y 4: pr LVK a la malla del centr, V 3 = V 1 V 2 = V 4 V 3 = V 4 = 50 30º = º v 3 = v 4 = 68.6Cs(377 t 0.99º) v = 68.6Sen(377 t º) v 27/08/2009 Página 12 de 14 Prfesr: Luis Rdlf Dávila Márquez CÓDIGO: UFPS

13 Crriente de la carga 3: I 3 * = S º = V º = º A ; I 3 = º A i 3 = 5.82Cs(377 t + 89º) A = 5.82Sen(377 t + 179º) A Crriente de la carga 4: I * S º 4 = = = º A ; I 4 = º A V º i 4 = 6.51Cs(377 t º) A = 6.51Sen(377 t º) A PRUEBA: pr LCK I g = I 1 + I 2 ; I 2 = I 3 + I 4 I 2 = º º = º I g = º º = º, las respuestas, cumplen cn las leyes de Kirchhff y cinciden cn las btenidas al principi de ls cálculs de las crrientes en este prblema. Cálcul de ls valres en ls elements individuales: V º CARGA 1: Z 1 = = = j ; R 1 = 10 Ω ; L 1 = 13.2 mh I º CARGA 2: Z 2 = CARGA 3: Z 3 = CARGA 4: Z 4 = 1 V º = I º V º = I ,01º V º = I º = j R 2 = Ω ; L 2 = 3.67 mh = j ; R 3 = 0 Ω ; C 3 = mf = j ; R 4 = Ω ; C 4 = mf SIMULACION EN EL PROGRAMA DE OrCAD Pspice Cn ls valres de ls elements btenids y ls dats de la fuente suministrads pr el prblema, pdrems simular el circuit, efectuand un análisis fasrial barrid de frecuencia (AC Sweep/Nise) Resultads de la simulación: V g = V 1 = 50 30º, V 2 = V (1,3) = º, V 3 = V 4 = º I g = º, I 1 = º, I 2 = º, I 3 = º, I 4 = º Ls resultads sn muy aprximads a ls btenids en el desarrll analític. Resultads adicinales: V R1 = º, V R2 = º, V R4 = º V L1 = º, V L2 = º, V L3 = º, V L4 = º 27/08/2009 Página 13 de 14 Prfesr: Luis Rdlf Dávila Márquez CÓDIGO: UFPS

14 5º. PROBLEMA CON AMPLIFICADOR OPERACIONAL (p Drf y Svbda 6ª Edición) Para el circuit de la figura siguiente calcular v sal(t) cuand el vltaje de entrada es: v ent (t) = 5 Cs( w t) mv Para F = 10 Khz. I 1 I 1 v ent (t) I 2 0 A 0 V 0 A I 2 + v sal(t) - DESARROLLO ANALÍTICO: Sí el amplificadr es ideal, para efects de cálcul de vltajes y crrientes externas, pdrems cnsiderar, que la crriente de entrada al amplificadr es igual a cer y que el vltaje entre ls nds 2 y 3 también es igual a cer. Aplicand LCK a ls nds centrales superir e inferir, determinams que pr las resistencias de 1K y la de 10K circula la misma crriente I 1 y pr la resistencia de 175 Ω y el capacitr circula la misma crriente I 2 Cn base en l anterirmente expuest, pdrems aplicar LVK en el dmini de la frecuencia a tres camins cerrads diferentes, ests sn: A) V sal + 10K I 1 + 1K I 1 = 0 ; V sal = - 11K I 1 B) V ent 175 I 2 - Z c I 2 = 0 ; Vent 1 I 2 =, siend Z C = ZC j *10x10 = º C) V sal + 10K I 1 Z C I 2 = 0 ; ZC I 2 - Vsal I 1 = 10 K Reemplazand B) en C) y el resultad en A), la ecuación quedará: Vent ZC ( 175+ Z ) - Vsal Z C C * Vent V sal = - 11 K [ ], la cual despejand el vltaje de salida quedará: V sal = 11 [ ] 10 K Z Lueg sí Zc = º y V ent = 5 0º, entnces, º *5 0º V sal = 11 [ ] = 0.5x º, pr l tant, el vltaje de salida quedará: º v sal(t) = 0.5 Cs( w t 89.5º) mv ; Respuesta. c 27/08/2009 Página 14 de 14 Prfesr: Luis Rdlf Dávila Márquez CÓDIGO: UFPS