RESPUESTA COMPLETA DE UN CIRCUITO RLC EN SERIE EXCITADO CON UNA FUNCIÓN FORZANTE SENOIDAL

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1 RESPUESTA COMPLETA DE UN CIRCUITO RLC EN SERIE EXCITADO CON UNA FUNCIÓN FORZANTE SENOIDAL PROFESOR: LUIS RODOLFO DÁVILA MÁRQUEZ Departamento de Electricidad y Electrónica UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER 4/1/1 Página 1 de 1 Profesor Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 76 UFPS

2 RESPUESTA COMPLETA DE UN CIRCUITO RLC EN SERIE A UNA FUNCIÓN FORZANTE SENOIDAL INTRODUCCIÓN: El propósito de este documento es le de proporcionar a los estudiantes de los cursos de análisis de circuitos eléctricos en general una guía que les sirva de referencia en el estudio de dichos circuitos. Una de las formas utilizadas para determinar las respuestas a las variables de un circuito eléctrico, excitado con cualquier función forzante, es la de utilizar el modelo matemático (ecuación diferencial), el cual, representa el funcionamiento o comportamiento de todos sus elementos constitutivos. Las respuestas para cualquier variable del circuito se obtienen mediante el desarrollo y análisis de resultados del modelo matemático. Por lo anterior, este documento determinará la ecuación diferencial para la carga y corriente del circuito y posteriormente el desarrollo de la misma, mediante un proceso analítico. Adicionalmente se presentarán varios métodos de simulación del funcionamiento del circuito eléctrico, mediante los software de Pspice- OrCad y de Matlab CIRCUITO ELÉCTRICO A ANALIZAR A continuación se presenta el circuito eléctrico RLC en serie excitado por una fuente senoidal, para el cual se pretende determinar la carga, la corriente y los voltajes de cada uno de los elementos del circuito. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA: Para el circuito eléctrico de la figura siguiente, estando el inductor y el capacitor descargados, el interruptor se cierra en t =. Se pretende determinar la carga y la corriente del circuito, como los voltajes de todos los elementos para t. v R(t) v L(t) i (t) v (t) v C(t) DATOS DEL PROBLEMA: R = 5 Ω, L =.5 H, C =.13F v (t) = Eo Sen( w t) v v (t) = 1 Sen(6 t) v Eo = 1 v, w = 6 rad/seg DESARROLLO ANALÍTICO EN LA DETERMINACIÓN DE LA CARGA Y LA CORRIENTE DEL CIRCUITO DESARROLLO ANALÍTICO EN EL DOMINIO DEL TIEMPO: La ecuación diferencial que se presenta para un circuito RLC en serie, viene dada por: d i q (A) v (t) = i R + L + en donde v ( t) = E sen(w t) (corriente alterna) d t C E o = 1 es el valor máximo en voltios y frecuencia en ciclos por segundo, f = Hz. R ( Ω ), L ( H ) y C ( F ) son los parámetros de los componentes y para este caso son constantes. w = 6 = π f es la frecuencia angular en rad/seg, siendo f la q (t) es la carga del condensador, i (t) es la corriente del circuito, son las variables a determinar. Para t =, q () =, el capacitor está descargado. i () =, el inductor está descargado 4/1/1 Página de 1 Profesor Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 76 UFPS

3 d q(t) La carga y la corriente se relacionan por i (t) = (B). Derivando a ambos lados de la ecuación (A), d t d i d i 1 d q d v tendremos: R + L + = reemplazando el valor del voltaje y dejando solamente la variable i, la d t d t C d t d t d i R d i 1 E o w ecuación se puede expresar como: + + i = cos(w t) (1) que presentada en otra notación d t L d t L C L R 1 E o w quedará: i + i + i = cos(w t), reemplazando los valores de los parámetros, la ecuación L L C L d i d i quedará: i = 1 cos(6 t) () d t d t Por otro lado, reemplazando la ecuación (B) en la ecuación (A), esta quedará definida por: d q R d q 1 E o + + q = Sen(w t) (3), reemplazando los valores de los parámetros, la ecuación quedará: d t L d t L C L d q d q q = Sen(6 t) (4) d t d t DESARROLLO DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CARGA Se trata de desarrollar analíticamente una de las dos ecuaciones anteriormente presentadas considerando las condiciones iniciales siguientes: v c () = ; q c () = ; i () = o d qc i () = = = q c () ; v () = 1 Sen() = ; v L () = ; v R () = d t t = De la ecuación (4) podremos obtener: i () di d q dq = = = Sen(6x) q c() = dt dt dt Estas condiciones iniciales, se pueden obtener a partir de un análisis de corriente continua que se efectúa en t = La solución general de la ecuación diferencial (4), la cual presenta la carga como función, estará expresada por: q (t) = q h(t) + q p(t), en donde, q h(t) es la solución general a la homogénea correspondiente y q p(t), es la solución particular de la ecuación diferencial a resolver. Determinando la ecuación característica correspondiente: λ + 1 λ =, las raíces de esta ecuación quedarán: λ 1- = - 5 ± 4.1 j, por lo tanto, la solución general de la homogénea quedará expresada por: q h(t) = e - 5 t (A Cos(4 t) + B Sen(4 t)) La solución particular o específica de la ecuación diferencial se puede obtener utilizando el método de coeficientes indeterminados: Se asume para la solución particular de la carga un término similar al término independiente de la ecuación diferencial a resolver q p(t) = M Cos(6 t) +N Sen(6 t), derivando la expresión con respecto al tiempo q p(t) = -6 M Sen(6 t) + 6N Cos(6 t), derivando nuevamente la última expresión q p(t) = -36 M Cos(6 t) - 36 N Sen(6 t) Reemplazando las expresiones en la ecuación diferencial a resolver (4) y agrupando los términos similares para compararlos con los términos del lado derecho de la ecuación, se generan las siguientes ecuaciones algebraicas: (-1974 M + 6 N ) Cos(6 t) = ; (-1974 N - 6 M ) Sen(6 t) = Sen(6 t), de donde se puede determinar los valores para los coeficientes M y N, desarrollando las ecuaciones simultáneas siguientes: (-1974 M + 6 N ) = ; (-1974 N - 6 M ) = 4/1/1 Página 3 de 1 Profesor Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 76 UFPS

4 El resultado será: q p(t) = Cos(6 t) Sen(6 t) Por lo tanto, la solución general quedará expresada por: q (t) = e - 5 t (A Cos(4 t) + B Sen(4 t)) Cos(6 t) Sen(6 t) Reemplazando las condiciones iniciales en la ecuación anterior y en la ecuación de la derivada, se pueden obtener los valores de A y B, de tal forma que la solución general de la ecuación diferencial quedará expresada por: q (t) = e - 5 t (.819 Cos(4 t) Sen(4 t)) Cos(6 t) Sen(6 t) DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA CORRIENTE A PARTIR DE LA CARGA Derivando la expresión anterior, y agrupando términos, la expresión para la corriente del circuito resultará: d q i (t) = = e - 5 t (5.564 Cos(4 t) Sen(4 t)) Cos(6 t) Sen(6 t) d t Simplificando la respuesta natural, la corriente quedará: i (t) = e - 5 t Cos(4 t) e - 5 t Sen(4 t) Cos(6 t) Sen(6 t) (4) la cual se puede transformar a: i (t) = e - 5 t Sen(4 t + 9 ) e - 5 t Sen(4 t) Sen(6 t + 9 ) Sen(6 t) la corriente de salida del circuito está compuesta por cuatro clases de corrientes, dos senoidales amortiguadas y dos no amortiguadas. Estas corrientes individuales, se pueden simular con un circuito en PSPICE, en donde cada una de las corrientes estará representada por una fuente independiente de corriente alterna, por lo tanto, el circuito contendrá cuatro fuentes independientes de corriente alterna conectadas en paralelo a una carga de resistencia igual un ohmio, luego, i (t) = i 1 + i + i 3 + i 4, en donde: i 1 = Sen(6 t + 9 ) ; i = Sen(6 t) i 3 = e - 5 t Sen(4 t + 9 ) ; i 4 = e - 5 t Sen(4 t) SIMULACIÓN DE LAS CORRIENTES EN PSPICE DE OrCAD A continuación se encuentra el dibujo del circuito eléctrico que se ingresa en la ventana del Schematic de OrCAD, con el fin de simular todas las corrientes presentadas en la solución de la ecuación diferencial desarrollada analíticamente en el paso inmediatamente anterior. i (t) = i P + i N = i 1 + i + i 3 + i 4 DATOS DE ENTRADA i P = i 1 + i i N = i 3 + i 4 i 1 = Sen(6 t + 9 ) i 1 i i 3 i 4 i = Sen(6 t) i 3 = e - 5 t Sen(4 t + 9 ) i 4 = e - 5 t Sen(4 t) DATOS DE LA SIMULACIÓN: Time domain(transient) Run to time = 1.5 seg. Start Saving data after = Maximun step size =.1mseg. Habilitar SKIPBP Library: Source: ISIN 4/1/1 Página 4 de 1 Profesor Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 76 UFPS

5 Los resultados del programa son llevados al archivo.probe, mediante el cual podremos dibujar las diferentes corrientes, esto es: Corriente de respuesta Natural: i N = i 3 + i 4 Corriente de respuesta Forzada o Permanente: i P = i 1 + i Corriente Total del Circuito : i (t) = i P + i N = i 1 + i + i 3 + i 4 4/1/1 Página 5 de 1 Profesor Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 76 UFPS

6 La expresión obtenida para la corriente total del circuito, ecuación N 4, puede ser transformada a: i (t) = e - 5 t Cos(4 t [tg ( )]) Cos(6 t [tg ( ) ± 18 )]) o i (t) = e - 5 t Cos(4 t ) Cos(6 t 163 ) o i (t) = e - 5 t Sen(4 t ) Sen(6 t 73 ) En donde, la onda senoidal amortiguada es la respuesta Natural o Homogénea o Transitoria y la No Amortiguada es la respuesta Forzada o Permanente o Particular o Estable. DESARROLLO DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CORRIENTE Se trata de desarrollar analíticamente la ecuación diferencial de corriente presentada anteriormente d i d i i =1 cos(6 t) d t d t Considerando las condiciones iniciales siguientes: d qc i () = = = q c () ; i () = d t t = i () d i d q dq = = = Sen(6x) q c() = ; i () = dt dt dt La solución general de la ecuación diferencial, la cual presenta la corriente como función, estará expresada por: i (t) = i h(t) + i p(t), en donde, i h(t) es la solución general a la homogénea correspondiente y i p(t), es la solución particular de la ecuación diferencial a resolver. Determinando la ecuación característica correspondiente, la solución general de la homogénea quedará expresada por: i h(t) = e - 5 t (A Cos(4 t) + B Sen(4 t)) 4/1/1 Página 6 de 1 Profesor Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 76 UFPS

7 La solución particular o específica de la ecuación diferencial se puede obtener utilizando el método de coeficientes indeterminados: Se asume para la solución particular de la corriente un término similar al término independiente de la ecuación diferencial a resolver i p(t) = M Cos(6 t) +N Sen(6 t), derivando la expresión con respecto al tiempo i p(t) = -6 M Sen(6 t) + 6N Cos(6 t), derivando nuevamente la última expresión i p(t) = -36 M Cos(6 t) - 36 N Sen(6 t) Reemplazando las expresiones en la ecuación diferencial a resolver y agrupando los términos similares para compararlos con los términos del lado derecho de la ecuación, se generan las siguientes ecuaciones algebraicas: (-1974 M + 6 N ) Cos(6 t) = 1 Cos(6 t) ; (-1974 N - 6 M ) Sen(6 t) =, de donde se puede determinar los valores para los coeficientes M y N, desarrollando las ecuaciones simultáneas siguientes: (-1974 M + 6 N ) = 1 ; (-6 M N ) = El resultado será: i p(t) = Cos(6 t) Sen(6 t) = Cos(6 t 163 ) = Sen(6 t 73 ) Por lo tanto, la solución general quedará expresada por: i (t) = e - 5 t (A Cos(4 t) + B Sen(4 t)) Cos(6 t) Sen(6 t) Reemplazando las condiciones iniciales en la ecuación anterior y en la ecuación de la derivada, se pueden obtener los valores de A y B, de tal forma que la solución general de la ecuación diferencial quedará expresada por: i (t) = e - 5 t Cos(4 t) e - 5 t Sen(4 t) Cos(6 t) Sen(6 t) o i (t) = e - 5 t Cos(4 t ) Cos(6 t 163 ) o i (t) = e - 5 t Sen(4 t ) Sen(6 t 73 ) La expresión es idéntica a la ecuación de corriente obtenida a partir de la ecuación de carga, por lo tanto el procedimiento en adelante ya es conocido. DESARROLLO ANALÍTICO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA En lo que corresponde a la respuesta Forzada o Particular de la corriente, podremos utilizar la transformación fasorial para determinar esta clase de respuesta del circuito RLC en serie. Luego sí v =1 Sen(6 t) v = 1 Cos(6 t 9 ), el correspondiente fasor de voltaje es: (t) V = 1-9.La impedancia equivalente total es Z T = 5 + j ( ) = , por lo tanto, el fasor 1-9 de corriente será: I T = = y su correspondiente respuesta en el dominio del tiempo estará dada por: i (t) = Cos(6 t 163 ) = Sen(6 t 73 ) la cual se corresponde con la respuesta obtenida en el paso inmediatamente anterior. SIMULACIÓN MEDIANTE PSPICE (OrCad) ANÁLISIS TRANSITORIO A través del Software PSPICE OrCad, podremos simular el comportamiento del circuito RLC en serie presentado anteriormente, utilizando el análisis transitorio y con la ayuda de la herramienta Shematic.dat se puede dibujar la corriente total del circuito en función del tiempo, o sea, el lugar geométrico de la ecuación obtenida en el desarrollo analítico del proceso anterior. Para lo anterior se ingresa en la ventana de OrCad Capture el circuito eléctrico siguiente: 4/1/1 Página 7 de 1 Profesor Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 76 UFPS

8 Se utiliza un Análisis transitorio (Time Domain (transient), con las siguientes características: Run to time: 1.5s seconds (TSTOP) ; start saving data after: seconds Maximun step size: seconds.1s Al correr el programa (simular el circuito) aparece una ventana en donde se encuentra dibujada la corriente del circuito eléctrico entre y 1.5 segundos, o sea que, aparecen dibujados aproximadamente 13 a 14 ciclos, cuyos últimos periodos son más estables. ANÁLISIS EN CORRIENTE ALTERNA- BARRIDO EN CA PARA UN SOLO VALOR DE LA FRECUENCIA Los resultados del desarrollo analítico obtenidos en el dominio de la frecuencia se pueden determinar mediante un análisis en CA para un solo valor de frecuencia. En el software Pspice-OrCad podremos ingresar el circuito eléctrico como en el caso anterior (Análisis transitorio) cambiando la fuente de voltaje VSIN por VAC. 4/1/1 Página 8 de 1 Profesor Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 76 UFPS

9 El valor ingresado para el fasor de voltaje de la fuente es el valor máximo, luego los resultados al correr el programa serán fasores con el valor máximo Se utiliza un barrido de CA para un solo valor de frecuencia ( AC Sweep / Noise) AC Sweep Type: Linear Start Frecuency : End Frecuency : Total Points : 1 Al correr el programa (simular el circuito) aparece una ventana en donde se pueden determinar todos los valores de voltajes y corrientes (magnitud y ángulo de fase) Para la corriente del circuito se obtiene el valor siguiente: I = A, la cual corresponde a una respuesta en el dominio del tiempo de : i (t) = Cos( 377 t 73 ) A DESARROLLO DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CORRIENTE UTILIZANDO EL SOFTWARE DE MATLAB Se trata de desarrollar la ecuación diferencial de corriente presentada anteriormente, utilizando el software de d i d i matlab: i d t d t =1 cos(6 t) Considerando las condiciones iniciales siguientes: i () = d qc = = q c () ; d t t = i () = i () d i d q dq = = = Sen(6x) q c() = ; dt dt dt i () = El programa utilizado es el siguiente: % el programa resuelve la ecuación diferencial dydt+166y+1dyd1cos(6t) % y()= dydt()= y = dsolve('dy+166.*y + 1.*Dy = 1.*cos(6.*t),y()=, Dy()= ','t');pretty(y); subplot(11); ezplot(y,[,1]),grid, pause; RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN: 871 ½ ½ 658 ½ exp(-5 t) sin(161 t) exp(-5 t) cos(161 t) sin(6 t) cos(6 t) /1/1 Página 9 de 1 Profesor Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 76 UFPS

10 871 i (t) = e - 5 t 658 Sen( 161 t) e - 5 t 658 Sen( 161 t) Sen(6 t) Cos(6 t) i (t) = -.46 e - 5 t Sen(4 t) e - 5 t Sen(4 t) Sen(6 t) Cos(6 t) i (t) = e - 5 t Sen(4 t) e - 5 t Sen(4 t) Sen(6 t) Cos(6 t) 4/1/1 Página 1 de 1 Profesor Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 76 UFPS