DE POTENCIA I. Pablo Medina Cofré

Transcripción

1 EL57A SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA I Pablo Medina Cofré

2 Herramientas matemáticas. En general, en ingeniería podemos separar el estudio de los fenómenos en: Régimen permanente. Transitorios. Un buen conocimiento del régimen permanente es necesario, ya que la mayor parte del tiempo los sistemas operan ahí. Herramientas de cálculo simples, que permitan aprovechar el hecho de que d/dt=0 o que se tienen sistemas harmónicos, son muy necesarias.

3 El root mean square. Para una función f(t) en el intervalo [to,to+t], se define el valor medio cuadrático (RMS) como: f 0 1 t + T t 0 = f t dt T Para una función sinusoidal de amplitud A y período T=1/(πf) 1 π 1 f A cos ft dt f = 1 π = 0 πf A ( u) = + sen( u) 1 1 cos 4 En electricidad, a la amplitud se le llama valor efectivo. Luego: ef RMS =

4 El root mean square. Si se calcula la energía disipada por la resistencia del circuito en un ciclo: ef cos( ωt) i t ( ω ) ( ω ) ef cos t ef cos t = p( t) = v( t) i( t) = R R 1 πf 1 πf 1 1 ef E( t) = p( t) dt= ef cos ( ωt) dt R = = R 0 0 = RMS R El RMS de la fuente alterna es el voltaje de una fuente continua que entrega la misma energía a la resistencia durante un ciclo. RMS ef

5 Transformada fasorial. Motivación: calcular la tensión del condensador: ef cos( ωt) ( ω + ϕ) = ( ω ) ( ϕ) ( ω ) ( ϕ) cos t cos t cos sin t sin / L L s ω s + ω s + ω { cos( ωt+ ϕ) } = cos( ϕ) sin( ϕ) d dt cos( ωt+ ϕ) = RC v ( t) + v ( t) RMS c c ( ϕ) ωsin( ϕ) scos ef 1 0 = + c c s + ω s + ω ( src ) ( s) RCv c ( s) = ( ϕ) 1 ef scos ϕ ωsin vc 0 + RC s+ 1 ( s + ω ) ( s + ω ) RC + RC ( s 1 )

6 Transformada fasorial. c ( s) = ( ϕ) 1 ef scos ϕ ωsin vc 0 + RC s+ 1 ( s + ω ) ( s + ω ) RC + RC ( s 1 ) En sistemas de potencia, interesa mucho saber el comportamiento en régimen permanente sinusoidal. En el caso del condensador, si t es grande, el término en verde (respuesta a entrada cero) desaparece. El término en rojo, en el dominio del tiempo, tiene una componente transiente y otra harmónica. Por lo tanto, sería conveniente contar con una herramienta que permita calcular la respuesta de régimen permanente, despreciando los términos transitorios.

7 Transformada fasorial. = cos( ωt+ ϕ) v t ef { RMS } jωt jϕ { RMSe e } = Re cos( ω + ϕ) + sin( ω + ϕ) v t t j t = Re { } { } efcos( ω ϕ) jϕ jωt jωt F v t F t RMSe e e = + = = & En una ecuación diferencial, si la función forzante es de frecuencia angular ω, las soluciones de estado estable también. La transformada fasorial de una función (o fasor) es única para todo t. También se puede ver que es lineal. El factor e jωt está siempre presente, razón por la cual suele omitirse. Lo mismo ocurre con el factor raíz de dos.

8 Transformada fasorial. Transformada de la derivada: { ef } d F ef cos t F sin t dt π sen( ωt+ ϕ) = cos ωt+ ϕ+ ( ω + ϕ) = ω ( ω + ϕ) t 1 F ef cos( ωt+ ϕ) = & jω 0 π j jϕ jωt jϕ jωt RMSe e e jωrmse e = ω = La derivada giró al fasor en 90 y lo multiplicó por ω. En términos prácticos, el operador derivada se reemplaza por el operador jω. Se propone demostrar que: { } = jωf v t = jω&

9 Transformada fasorial. olviendo a nuestro ejemplo: d dt cos( ωt+ ϕ) = RC v ( t) + v ( t) ef c c & ( ω ) { } { } e = j RC F v t + F v t jϕ RMS c c ( 1 ω ) j c + j RC = RMSe ϕ & c = 1+ 1 ( ωrc) 1 vc( t) = cos tan ef + RC 1+ ( ωrc) e RMS j 1 ( ϕ+ tan ( ωrc) ) 1 ( ϕ ( ω ))

10 Cálculo en p.u. I L Esta materia se estudió en los cursos anteriores. Sin embargo, el trabajo en este curso se hace con esta metodología, razón por la cual se analizará al menos el uso de base trifásica. Motivación: Analizar el circuito de la figura: S b b ff = = 3S 3 b 3φ 1φ b fn S Z 3φ b1φ = 3 I I = b b b b ff L L 3φ 1φ 1φ 3φ S 3 b ff bfn 3 = = = S S S b b b b b ff b ff fn fn fn ff I L Z Z [ ] = [ ] [ ] Z Ohm I A [..] = [..] [..] pu Z pu I pu L

11 Cálculo en p.u. Definiendo dos cantidades bases, se tienen las restantes. En el curso, y S serán las bases principales. El cálculo en p.u. se utiliza porque: Evita complicaciones con las unidades Permite la rápida detección de errores (ej.: en los SEP s, las tensiones son valores cercanos a uno). El trabajo en sistemas con diferentes niveles de tensión se simplifica no es necesario incorporar transformadores ideales a la representación. Para que el método funcione, la base trifásica de potencia debe ser común para todo el sistema.

12 Cálculo en p.u. & = ZI & & ideal & = ZI & & + 1 ideal & ZI & & & Z& I& 1ideal 1ideal 1= ideal ideal & I& Z& Z& & ideal ideal & 1ideal 1ideal 1= I& Z& & = + 3I ideal 3I { b1 tot 1fn 1 1 1ideal fn b b1 b1 b1 b b1 S b3φ 1ideal I & = I & * * 1 1 ideal ideal Z Z 1 Si se eligen los voltajes bases de ambos sectores iguales a la relación de vueltas, todo se simplifica! tot & [ pu] = I& [ pu] Z& [ pu] + & [ pu] b 1ideal 1ff ff.. b1 ideal ideal

13 Potencia activa y reactiva monofásica. La potencia instantánea consumida por una carga es: rms ( ω ) rms ( ω ϕ) ( ω ) ( ω ϕ) ( ϕ) ( ω ϕ) pt () = vt ()() it = cos t I cos t+ = I cos t cos t+ rms rms = rmsirms cos + rmsirms cos t Constante... Conocido? Oscilaaldobledeω Expandiendo el término oscilante: ( ϕ) ( ϕ) ( ω ) ( ϕ) ( ω ) pt () = I cos + I cos cos t I sin sin t rms rms rms rms rms rms P( ( ω )) Q ( ω ) pt () = 1+ cos t sin t Potencia Activa Potencia Reactiva Bautizo!

14 Potencia activa y reactiva monofásica. Al integrar en un periodo la potencia instantánea: El primer término nunca es cero, pero oscila. El segundo término es cero, por lo que no produce trabajo útil. P( ( ω )) Q ( ω ) pt () = 1+ cos t sin t Para probar lo anterior, analizaremos el sistema físico de la derecha. Calcularemos cuál es el trabajo que desarrolla en un ciclo cada componente de la potencia instantánea. I ω

15 Potencia activa y reactiva monofásica. Concepto de potencia compleja: & && { } { rmscos ω ϕ } { } rmscos( ω ) & = F v t = F t = & { } j I = F i t = F I t+ = Irmse ϕ ϕ * S = I = rmsirmscos + jrmsirmssin = P+ jq ϕ rms La forma de la expresión anterior se debe en parte al uso de valores efectivos en la definición de fasores.

16 Potencia activa y reactiva trifásica. La potencia instantánea en un sistema trifásico es: p t = v 3 a t ia t + vb t ib t + vc t ic t φ Si el sistema es equilibrado: p t 3φ ( ωt) ( ωt ϕ) ( ωt ) ( ωt ϕ ) ( ωt+ ) ( ωt ϕ+ ) cos cos + cos 10 cos 10 + = rmsirms cos 10 cos 10 p( t) = 3cos cos( ) cos( 40 ) cos( 40 ) 3 rmsi rms ϕ + ωt+ ϕ + ωt+ ϕ + ωt ϕ+ φ = 3 I cos p t φ rms rms ϕ

17 Potencia activa y reactiva trifásica. La potencia activa es constante y genera trabajo neto no nulo en un ciclo. A diferencia del caso monofásico, no tiene componente reactiva, pero existe componente reactiva en cada una de las fases. Por un asunto de uniformidad, se asume que existe una potencia reactiva trifásica y Q 3f =3Q 1f Qué potencia es esta si no existe la potencia reactiva trifásica? Fuente: ABB