VARIACIÓN DE FUNCIONES

Transcripción

1 VARIACIÓN DE FUNCIONES TEOREMA DE WEIERSTRASS Si la función y = f() es cntinua en el interval cerrad [a, b], entnces entre tds ls valres de f() en ese interval, eiste un valr M = f( 1 ) llamad máim abslut, que n es superad pr ningún tr valr de f() en el interval [a, b] y un valr m = f( 2 ), llamad mínim abslut, que n supera a ningun de ls valres de f() en el interval. Est es m = f( 2 ) f() f( 1 ) = M y M M=f( 1) C m m=f( 2) a 1 2 b

2 Para el cas particular de la función cnstante y = k, se tiene que M = m = k. TEOREMA DE BOLZANO Sea y = f() una función cntinua en el interval cerrad [a, b] y sea y un valr de f() tal que m y M. Entnces, cuand mens para un valr de en el interval [a, b] se tiene que y = f( ). y M C y m a 1 b

3 TEOREMA DE ROLLE Sea y = f() una función que cumple cn las siguientes cndicines: 1.- y = f() es cntinua en el interval cerrad [a, b] 2.- y = f() es derivable en el interval abiert (a, b) 3.- f(a) = f(b) Entnces eiste pr l mens un valr 1 en (a, b) para el cual f ( 1 ) = 0 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL TEOREMA DE ROLLE El terema indica que eiste pr l mens un punt de la gráfica de y = f(), en el interval (a, b) en dnde la tangente a ella es paralela al eje de las abscisas, es decir, de pendiente cer. Gráficamente:

4 y f ( 2)=0 f(a)=f(b) f ( 1)=0 b a 1 2 b TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL Sea y = f() una función que cumple cn las siguientes cndicines: 1.- y = f() es cntinua en el interval cerrad [a, b]. 2.- y = f() es derivable en el interval abiert (a, b). Entnces eiste pr l mens un valr 1 en (a, b) para el cual f ( 1 ) = f(b) f(a) b a

5 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL TVMCD El terema establece que eiste cuand mens un punt P 1 ( 1, y 1 ) de la curva entre ls punts A y B en el cual la recta tangente es paralela a la secante que pasa pr ls punts A y B. Este terema puede verificarse en más de un punt del arc AB, cm se muestra en la siguiente figura: y A P 2 P 1 B a 1 2 b Crlari 1.- Una función y = f() cuya derivada es nula en un interval, es necesariamente una función cnstante.

6 Crlari 2.- Si ds funcines y = f 1 () y y = f 2 () tienen sus derivadas iguales en un interval, difieren en una cnstante en dich interval. FUNCIONES CRECIENTES Y FUNCIONES DECRECIENTES Una función y = f() es creciente en un interval cerrad [a, b] si el cciente incremental y es psitiv en el interval. Es decir, si y = f( + ) f( ) > 0 siend y + ds valres cualesquiera de en [a, b]. Nótese que y y > 0 > 0, y > 0, > 0 < 0, y < 0 bien que

7 y y= f() y f( ) f( + ) a + b Una función y = f() es decreciente en un interval [a, b] si el cciente incremental y es negativ en el interval. Est es, si y = f( + ) f( ) < 0 siend y + ds valres cualesquiera de en [a, b]. Se bserva que que y y < 0 > 0, y < 0, < 0 < 0, y > 0 bien

8 y y=f() y f( ) f( + ) a + b Para cndicinar analíticamente la eistencia de una función creciente de una decreciente, se presentan ls siguientes teremas: Sea y = f() una función cntinua en [a, b], derivable en (a, b), y tal que f () > 0 en (a, b). Entnces la función es creciente en [a, b]. Sea y = f() una función cntinua en [a, b], derivable en (a, b), y tal que f () < 0 en (a, b). Entnces la función es decreciente en [a, b].

9 MÁXIMOS Y MÍNIMOS f( ) es un valr máim relativ de la función cntinua y = f(), si eiste un entrn δ < < + δ para el cual f( + ) < f( ) cuand < ξ. f( ) es un valr mínim relativ de la función cntinua y = f(), si eiste un entrn δ < < + δ para el cual f( + ) > f( ) cuand < ξ. Una misma función puede tener más de un máim relativ y más de un mínim relativ y aún puede suceder que un máim relativ sea menr que un mínim relativ. y

10 f() f( 3) f( 4) f( 1) f( 2) TEOREMA Sea la función cntinua y = f() y un entrn δ < < + δ del valr en el cual se tiene que f ( + ) > 0 si < 0 y f ( + ) < 0 si > 0 Entnces, f( ) es un valr máim relativ de la función f().

11 y f ( 0)=0 f ( 0)>0 f ( 0)<0 f( 0) 0 TEOREMA Sea la función cntinua y = f() y un entrn δ < < + δ del valr en el cual se tiene que f ( + ) < 0 si < 0 y f ( + ) > 0 si > 0 Entnces, f( ) es un valr mínim relativ de la función f().

12 y f ( )>0 f ( )<0 f ( )=0 f( ) Si el cambi de sign de la derivada f () es de (+) a (-) se trata de un máim relativ; si es de (-) a (+) se tiene un mínim relativ. La derivada puede cambiar de sign pasand pr el valr cer cambiand bruscamente de un valr psitiv a un negativ viceversa.

13 y f () f () > 0 f () < 0 f( ) y f () < 0 f () > 0 f( ) f () Para determinar ls máims y mínims relativs de una función se utiliza el siguiente criteri.

14 CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA DETERMINAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN 1) Obtener la derivada f (). 2) Determinar ls valres de que anulan hacen discntinua a la derivada. Ests valres cmúnmente se cncen cm valres crítics de. 3) Investigar el cambi de sign de la derivada para cada valr crític de, deduciend si se trata de un máim relativ de un mínim relativ según sea el cambi de (+) a (-) de (-) a (+), respectivamente. Nta.- Si la derivada n cambia de sign en un punt, la función f() n tiene máim ni mínim relativ. Otra frma de analizar una función para máims y mínims relativs incluye la utilización de la segunda derivada de la función, cm se indica en ls siguientes teremas:

15 Si la función f() es derivable en, además f ( ) = 0, y f ( ) < 0, entnces f() presenta un máim relativ para =. Si la función f() es derivable en, además f ( ) = 0, y f ( ) > 0, entnces f() tiene un mínim relativ para =. Cn base en ls teremas anterires se presenta el siguiente: CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA DETERMINAR LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN 1) Obtener la primera y segunda derivadas de la función. 2) Determinar ls valres crítics que anulan la primera derivada. 3) Calcular el valr de la segunda derivada para cada un de ls valres crítics btenids, deduciend que si para un valr crític = se tiene que f ( ) = 0, entnces f( ) es máim

16 relativ si f ( ) < 0, y es mínim relativ si f ( ) > 0. En el cas en que f ( ) = 0 ó f ( ) n eista, este criteri n es aplicable, teniéndse el recurs de aplicar el criteri de la primera derivada. PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS (OPTIMACIÓN) N hay regla aplicable en la slución de prblemas de máims y mínims, per en la mayría de ells puede seguirse el siguiente rden: 1) Determinar la función cuy máim mínim se desea btener, trazand un crquis cuand cnvenga. 2) Si la epresión resultante cntiene más de una variable, las cndicines del prblema prprcinarán suficientes relacines entre las variables para que la función pueda epresarse en términs de una sla variable. 3) A la función resultante se le aplican ls criteris vists anterirmente para el cálcul de máims y mínims.

17 4) En ls prblemas práctics, muchas veces se ve cn facilidad cuáles de ls valres crítics darán un máim un mínim, pr l que n siempre es necesari aplicar cmplet el pas anterir. 5) Cnviene cnstruir la gráfica de la función para cmprbar el resultad btenid CONCAVIDAD DE UNA CURVA La curva y = f() que es cntinua en el punt P(, y ) es cóncava hacia arriba en el punt P si eiste un entrn de P en el cual tds ls punts de la curva, ecept el punt P se encuentran en la región superir de la tangente a la misma en P. y y = f() p T y

18 La curva y = f() que es cntinua en el punt P(, y ) es cóncava hacia abaj en este punt P si eiste un entrn de P en el cual tds ls punts de la curva, cn ecepción del punt P, se encuentran en la región inferir de la tangente a la curva en dich punt. y P T y y= f() Si la ecuación de la curva es y = f(), tiene segunda derivada y se cumple que f () > 0, entnces la curva es cóncava hacia arriba en el punt P(, y ). Si la curva tiene ecuación y = f(), esta función tiene segunda derivada y se cumple que f () < 0, entnces la curva tiene su cncavidad hacia abaj en el punt P(, y ).

19 PUNTOS DE INFLEXIÓN El punt de infleión de una curva es aquel en el cual cambia el sentid de la cncavidad de la misma. y T y=f() y PI y T PI y y=() En el punt de infleión la segunda derivada cambia de sign.

20 Para encntrar ls punts de infleión de una curva y = f() siguen ls siguientes pass: 1.- Calcular la segunda derivada f (). 2.- Determinar ls valres que anulen hagan discntinua a f (). 3.- Si al pasar pr dichs valres hay un cambi de sign de f (), entnces la curva tiene un punt de infleión para el valr de cnsiderad. 4.- Si el cambi de sign es de (+) a (-), la curva cambia su cncavidad de hacia arriba a hacia abaj. 5.- Si el cambi es de (-) a (+), la cncavidad cambia de hacia abaj a hacia arriba. Otra frma más rápida de calcular un punt de infleión se infiere del siguiente terema: Sea y = f() la ecuación de una curva, para = se tiene que f ( ) = 0 y f ( ) 0, entnces el punt P(, y ) de la curva es un punt de infleión.

21 ESTUDIO DE LA VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN En gemetría analítica, el análisis discusión de la ecuación de una curva incluye la btención de: 1) Interseccines cn ls ejes crdenads. 2) Simetría cn ls ejes crdenads y al rigen. 3) Determinación de asínttas verticales y hrizntales. 4) Etensión de la curva (valres reales de para ls cuales y es real y valres reales de y para ls cuales es real). Cn ls cncepts vists en este capítul, se tienen elements para determinar, además: 5) Intervals de la función dnde es creciente decreciente. 6) Máims y mínims relativs y absluts. 7) Cncavidad y punts de infleión en la gráfica.