ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA SUPERFICIES CUÁDRICAS SUPERFICIES

Transcripción

1 SUPERFICIES En el área de estudi del electrmagnetism ns encntrams cn la guiente tuación: Ds superficies cilíndricas caxiales cuys radis sn de cm y de 3 cm respectivamente, llevan cargas eléctricas iguales y puestas pr unidad de lngitud de cul/m. Un electrón gira en una trayectria circular de radi r, clcada entre ells y cncéntrica cn la sección de ambs cilindrs. Se neceta cncer su energía cinética? En el enunciad del mism se hace referencia a términs tales cm superficie, cilindr y circular. A partir de ells ns surgen algunas dudas tales cm: Cncems realmente el gnificad matemátic de ests términs y su alcance dentr del marc de este prblema?, existirán tras superficies que n sean cilíndricas?, qué gnifica seccinar a una superficie, y cn qué elements se realiza?, empre será pble realizar una sección?, qué resultads gemétrics y analítics se btienen?? Te invitams a que junts desde este material pdams despejar ests y trs interrgantes que ns vayan surgiend. Para est retmems el títul que planteams al principi de la página. SUPERFICIES 1. DEFINICIÓN Se llama superficie al lugar gemétric de tds ls punts P (x,y, z) pertenecientes a R 3 cuyas crdenadas satisfacen una sla ecuación de la frma: f (x, y, z) = 0 Recuerdas alguna de las ecuacines que ya hems estudiad que crrespnda a esta clase de expreón? Sí, efectivamente: la ecuación del plan, ya que la misma es de la frma: Ax + By +Cz + D = 0. Esta es la superficie más sencilla, pues es de grad un. Prfesres: Lic. Walter Berta - Lic. Nrma del Puert Lic. María de ls Ángeles Ferré

2 Alguns ejempls: x + y 5 = 0 representa un plan paralel al eje z z = representa un plan paralel al plan x y Otras superficies satisfacen ecuacines de grad ds, cm pr ejempl: 3x - y + 3z 5 = 0 representa un hiperblide de una hja x + 3 y + z = 0 representa un elipde z + xy 5xz 1y + 3z 1 = 0 representa un hiperblide de ds hjas rtad Se denminan cuádricas y cuy estudi será el mtiv del presente material. También existen superficies de grad superir a ds, cm pr ejempl: x 3 3xy + 8z +3 = 0 Nta Aunque estas ecuacines cntengan tres variables, la ecuación de una superficie puede cntener slamente una ds. Ejempl: x + y = 1 representa un cilindr circular rect. VOLVER PÁGINA PRINCIPAL. DISCUSION DE LA ECUACIÓN DE UNA SUPERFICIE Para la cnstrucción de una superficie, es ventajs realizar previamente una discuón de su ecuación Limitarems dicha discuón a ls guientes pass: 1) Intersección cn ls ejes crdenads. ) Trazas sbre ls plans crdenads. 3) Seccines pr plans paralels a ls plans crdenads. ) Simetría 5) Extenón de la superficie. Prfesres: Lic. Walter Berta - Lic. Nrma del Puert Lic. María de ls Ángeles Ferré 5

3 Vams ahra a aplicar esta secuencia a la guiente ecuación: Discutir la superficie definida pr: y x + = 1 1) Interseccines cn ls ejes crdenads Recrdems que un punt tiene tres crdenadas y que cuand pertenece a un eje, las crdenadas crrespndientes a ls trs ds ejes valen cer Cn el eje x: la intersección de una superficie cn el eje x, de existir, sn punts de la superficie que están sbre el dich eje. haciend y=z=0 en la ecuación y despejand x hallams dicha intersección: x =1 x =1 A(1,0,0) y A'(-1,0,0) 1.. Cn el eje y: análgamente debems anular las variables x= z=0, lueg: y = y = B(0,,0) y B'(0,-,0) 1.3. Cn el eje z: debe cumplirse x= y =0, entnces: 0 = ; l cual es impble, n hay intersección cn este eje ) Trazas cn ls plans crdenads La traza de una superficie cn un plan crdenad es la curva intersección de la superficie cn el plan crdenad..1. Traza sbre el plan xy: y z=0, x + = 1es una elipse cn centr (0,0,0) y eje fcal cincidente cn el eje y.. Traza sbre el plan xz: y=0, x = 1 x = 1 x = -1 sn ds rectas paralelas al eje z..3. Traza sbre el plan yz: x=0, y = 1 y = y = 1 y = -1ds rectas paralelas al eje z. Prfesres: Lic. Walter Berta - Lic. Nrma del Puert Lic. María de ls Ángeles Ferré 6

4 3) Seccines cn plans paralels a ls plans crdenads. 3.1 Cn plan // plan xy: y z = k ; x + = 1 elipse C(0,0,0) y eje fcal cincidente cn el eje y. 3. Cn plan // plan xz k < ds rectas //al eje z k k y = k, x = 1- y = k, x = 1- para k = ds rectas cincidentes k > n existe lugar gemétric Cn plan // plan yz k <1ds rectas //al eje z x = k,y = (1- k ) x = k, y = (1- k ) para k =1ds rectas cincidentes k >1 n existe lugar gemétric ) Simetrías Estudiar la metría de una superficie, implica analizar que sucede cn su ecuación cuand se cambia el gn de una, de ds de las tres variables.1 Si la ecuación de una superficie n se altera cuand se cambia el gn de:.1.1 una de las variables, La superficie es métrica cn respect al plan crdenad a partir del cual se evalúa esa variable Es decir: Si se cambia x pr x, es métrica respect al plan yz Si se cambia y pr y, es métrica respect al plan xz Si se cambia z pr z, es métrica respect al plan xz Prfesres: Lic. Walter Berta - Lic. Nrma del Puert Lic. María de ls Ángeles Ferré 7

5 .1. ds de las variables, La superficie es métrica respect al eje crdenad a l larg del cual n se evalúa esa variable. Es decir: Si se cambia x, y pr x, -y, es métrica respect al eje z Si se cambia x, z pr x, -z es métrica respect al eje y Si se cambia y, z pr y, z, es métrica respect al eje x.1.3 las tres variables, La superficie es métrica cn respect al rigen de crdenadas. En este cas, se cumplen tdas las metrías. 5) Extenón de la superficie Cnste en determinar ls intervals de variación para ls cuales ls valres de x,y,z sn tds reales. Para ell es expresa cada variable en función de las tras ds. En este cas, se ve que la variable z puede tmar cualquier valr real, la superficie se extiende a l larg del eje z. Cn tds ls cncepts que estudiams estams ahra en cndicines de realizar la gráfica de dicha superficie: cilindr elíptic rect A cntinuación vams a estudiar algunas superficies cuádricas ntables. CONTINUAR VOLVER PÁGINA PRINCIPAL Prfesres: Lic. Walter Berta - Lic. Nrma del Puert Lic. María de ls Ángeles Ferré 8