CRISTALOGRAFÍA GEOMÉTRICA. TEMA 3 SIMETRÍA y REDES

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1 CRISTALOGRAFÍA GEOMÉTRICA TEMA 3 SIMETRÍA y REDES ÍNDICE 3.1 Simetría cntenida en las redes 3.2 Cncept de simetría 3.3 Operacines de simetría 3.4 Elements de simetría 3.5 Traslación 3.6 Rtación y eje de rtación 3.7 Inversión 3.8 Reflexión y plan de reflexión 3.9 Rtación inversión y eje de rtación inversión 3.10 Rtación reflexión y eje de rtación reflexión 3.11 Simetría cn traslación asciada: Reflexióntraslación (Deslizamient) 3.12 Simetría cn traslación asciada: Rtación- 1

2 3.1 SIMETRÍA CONTENIDA EN LAS REDES El cristal es simétric prque es periódic. Su simetría se puede deducir cm cnsecuencia de la tería de las redes cristalinas. La traslación es la simetría trivial de las redes. Es la distancia más crta entre ds nuds cntigus en cada una de las tres dimensines del espaci. El centrad es una peración prpia de la red. Resulta de añadir nuevs nuds en el centr de cada paralelgram generadr de la red plana. Sól se cnsidera psible cuand la red resultante es mrflógicamente diferente de la riginal. Sól se pueden centrar las redes rectangulares (Figura 3.1) las rómbicas (Figura 3.2). FIGURA 3.1 FIGURA 3.2 RELACIONES ENTRE ELEMENTOS DE LA RED Y OPERADORES DE SIMETRÍA El númer y tip de peradres que aparecen en una red dependen de la métrica de aquélla. 2

3 El principi de hmgeneidad reticular hace que td element de simetría que pasa pr un nud se repita paralela e indefinidamente en cada nud de la red. Td nud de la red es un centr de simetría. Td eje de simetría es una fila reticular. Td plan de simetría es un plan reticular. Perpendicularmente a td eje de simetría existe una familia de plans reticulares. Td plan reticular que es plan de simetría tiene una familia de filas reticulares perpendicular a él y cada fila reticular de esta familia es un eje de simetría. Tda fila reticular que es un eje de rden par (2, 4 6) tiene perpendicularmente a ella un plan reticular que es un plan de simetría. Una fila reticular que sea eje de simetría de rden 4 ó 6 tiene 4 ó 6 familias de filas perpendiculares a ella que sn ejes binaris y 4 ó 6 familias de plans de simetría que cntienen a dicha fila. La intersección de un eje de rden par sbre un plan de simetría que es perpendicular a dich eje, es un centr de simetría. 3.2 CONCEPTO DE SIMETRÍA Es una prpiedad que hace que ls bjets aparezcan indistinguibles después de haberls smetid a alguna transfrmación en el espaci. Matemáticamente, la simetría crrespnde a un cnjunt de transfrmacines lineales que hacen unas direccines equivalentes a tras. La definición de equivalencia, desde el punt de vista matemátic incluye las cndicines de la: identidad a = a reflexividad si a = b, entnces b = a transitividad si a = b y b = c, entnces a = c 3.3 OPERACIÓN DE SIMETRÍA Es una transfrmación que cuand se smete a un bjet le lleva a una cnfiguración indistinguible de la riginal. 3

4 OPERACIONES DE SIMETRÍA EN EL PLANO Traslación Rtación Inversión Reflexión Reflexión-traslación (deslizamient) Traslación Rtación Inversión Reflexión Rtación-inversión Rtación-reflexión OPERACIONES DE SIMETRÍA EN EL ESPACIO Reflexión-traslación (deslizamient) Rtación-traslación 3.4 ELEMENTO DE SIMETRÍA Es un peradr que permite realizar la peración de simetría. Existen varis tips de elements de simetría. Vectr de traslación Punt de rtación ELEMENTOS DE SIMETRÍA EN EL PLANO Centr Línea de simetría Línea de deslizamient ELEMENTOS DE SIMETRÍA EN EL ESPACIO Vectr de traslación Eje de rtación Centr Plan 4

5 Eje de rtación-inversión Eje de rtación-reflexión Plan de deslizamient Eje helicidal 3.5 TRASLACIÓN Es la simetría trivial de las redes. Es la distancia más crta entre ds nuds cntigus en cada una de las tres dimensines del espaci. FIGURA Element decrativ de la mezquita de Córdba 3.6 ROTACIÓN y EJE DE ROTACIÓN EN EL ESPACIO Operación de simetría que cnsiste en un gir de 360º/n alrededr de un eje de simetría ó eje de rtación (que es su crrespndiente element de simetría). El rden de ese eje es n, pudiend ser 1, 2, 3, 4 y 6. Para simblizar ls ejes de rtación se usan diversas ntacines, aunque las más utilizadas sn la de Hermann Mauguin ntación internacinal y la de Schenflies (Tabla 3.1). Hermann Mauguin Schenflies eje gir grads (º) 1 C 1 mnari(identidad) C 2 binari C 3 ternari C 4 cuaternari 90 6 C 6 senari 60 TABLA 3.1 En el plan ls peradres de la peración rtación sn punts de rtación y el rden, n, pude ser 1, 2, 3, 4 y 6. A esta peración se la denmina peración prpia y a ls peradres ejes de rtación prpia. Un eje de rtación de rden n genera un ttal de n peracines. 5

6 Un eje de rtación que implica girs de 360º/n también implica girs de mx(360º/n), dnde m puede valer 1, 2, 3, 4, 5 y 6, es decir: girs que implica: 360º/1 1x(360º/1) 360º/2 1x(360º/2) 2x(360º/2) 360º/3 1x(360º/3) 2x(360º/3) 3x(360º/3) 360º/4 1x(360º/4) 2x(360º/4) 3x(360º/4) 4x(360º/4) 360º/6 1x(360º/6) 2x(360º/6) 3x(360º/6) 4x(360º/6) 5x(360º/6) 6x(360º/6) TABLA 3.2 EN EL PLANO Operación de simetría que cnsiste en un gir de 360º/n alrededr de un punt de simetría ó punt de rtación (que es su crrespndiente element de simetría). El rden de ese punt es n, pudiend ser 1, 2, 3, 4 y 6. En la Tabla 3.3 se muestra la ntación de Hermann-Mauguin para ls punts de Punt de rtación mnari rtación. Hermann Mauguin Figura eje gir grads (º) 1 mnari(identidad) binari ternari cuaternari 90 6 senari 60 TABLA 3.3 Punt de rtación Figura cuaternari 6

7 Punt de rtación Figura Punt de rtación Figura binari senari ternari TABLA Punts de rtación 3.7 INVERSIÓN Es la peración que hace que un bjet cn crdenadas iniciales x, y z se transfrme en tr cn crdenadas -x -y -z. El element es el centr de simetría. Equivale a la rtación inversión de rden 1, cuy símbl, según la ntación de Hermann-Mauguin es:. Una imagen estática de la actuación de la inversión puede bservarse en la Figura 3.3. FIGURA Inversión 7

8 RESUMEN DE LAS OPERACIONES DE SIMETRÍA Operación de simetría Rtacines prpias Rtacines imprpias Girs Ejes de rtación Ntas 360º/n 1, 2, 3, 4 y 6 1 es la identidad 360º/n e inversión simultánea 1 equivalente a centr de simetría 2 equivalente a plan de simetría 3 equivalente a eje ternari + centr 1, 2, 3, 4 y 6 de simetría 6 equivalente a eje ternari más plan perpendicular TABLA REFLEXIÓN y PLANO DE REFLEXIÓN ó de SIMETRÍA EN EL ESPACIO La reflexión es la peración de simetría que hace que td mtiv u bjet que aparece a un lad del element de simetría, denminad plan de simetría de reflexión, aparezca al tr lad de dich plan y a la misma distancia. Actuación del plan de reflexión. Símbl del plan de simetría ntación de Hermann Mauguin es m. ntación de Schenflies es s, s h plan hrizntal perpendicular al eje de rtación principal (que es el que tiene el mayr rden) s n plan vertical que incluye al eje de rtación s d plan diagnal que incluye al eje de rtación principal y divide en ds al ángul entre ds ejes C 2 que sn nrmales al eje de rtación principal. EN EL PLANO La reflexión es la peración de simetría que hace que td mtiv u bjet que aparece a un lad del element de simetría, denminad línea de simetría de reflexión, aparezca al tr lad de dicha línea y a la misma distancia. Actuación de la línea de simetría de reflexión. Símbl de la línea de simetría es m 8

9 3.9 ROTACIÓN INVERSIÓN y EJES DE ROTACIÓN INVERSIÓN Es una peración de simetría que cnsiste en un gir de 360º/n y una inversión alrededr de un element de simetría denminad eje de rtación inversión. El rden de ese eje es n, pudiend ser 1, 2, 3, 4 y 6. El símbl de ests ejes para la ntación más usada, Hermann-Mauguin internacinal, es el siguiente: 1 que se lee un cn raya 2 que se lee ds cn raya 3 que se lee tres cn raya 4 que se lee cuatr cn raya 6 que se lee seis cn raya En la Tabla 3.6 puede bservarse la ntación de Hermann-Mauguin de ests ejes, así cm la de Schenflies, su denminación y el númer de grads de gir de ls misms Hermann Mauguin Schenflies eje gir grads (º) 1 C 1 mnari(identidad) C 2 binari C 3 ternari C 4 cuaternari 90 6 C 6 senari 60 TABLA Tabla resumen Nta: debid a las dificultades de utilizar ls símbls anterires cn lenguaje html que es el usad nrmalmente en internet se utilizan nrmalmente trs que ls sustituyen: -1, -2, -3, -4, -6 La equivalencia cn la rtación reflexión, que n existe en la ntación de Hermann- Mauguin, es la que se muestra en la Tabla 3.7 Rtación-inversión Hermann-Mauguin Rtación-reflexión Schenflies 1 S 2 2 σ 3 S 6 4 S 4 6 S 3 TABLA 3.7 9

10 El eje 1 es el centr de simetría El eje 2 equivale al plan de simetría, m Ejes Mnari 1 FIGURA Plans de simetría verticales y hrizntales El eje 3 equivale al eje 3 y al centr de simetría El eje 6 equivale al eje 3 y a un plan m perpendicular a él (3/m). de Figura Ejes de rtacióninversión rtacióninversión Figura Cuaternari (-4) 10

11 Ejes de Ejes de rtación- Figura rtación- Figura inversión inversión Binari 2 Ternari 3 Senari (- 6) TABLA Ejes de rtación-inversión 3.10 ROTACIÓN REFLEXIÓN y EJES DE ROTACIÓN REFLEXIÓN Cnsiste en girs de 360º/n y reflexión n es el rden de gir y su valr puede ser 1, 2, 3, 4 y 6. Ejes de rtación reflexión sn ls elements de simetría que permiten realizar esta peración. Su símbl, según la ntación de Schenflies es, S 2, σ, S 6, S 4, S 3 N se utiliza en la ntación de Hermann Mauguin, pués se usa la rtación inversión y ls ejes de rtación inversión. 11

12 Existe equivalencia entre ambas ntacines, cm se muestra en la Tabla 3.9. Rtación-inversión Hermann-Mauguin Rtación-reflexión Schenflies 1 S 2 2 σ 3 S 6 4 S 4 6 S 3 TABLA REFLEXIÓN-TRASLACIÓN (DESLIZAMIENTO) EN EL ESPACIO El deslizamient es una peración de simetría que cnsiste en una reflexión y una traslación. El peradr de simetría es el plan de deslizamient. La traslación tiene que estar cntenida en el plan de deslizamient. La distancia de la traslación tiene que ser la mitad de la traslación unidad en dicha dirección (Figura 3.6). FIGURA Plan de deslizamient En la ntación de Hermann-Mauguin se distinguen ls siguientes plans de deslizamient: axial diagnal diamante Nta: Las figuras reflejan pryeccines, pr l que el plan de deslizamient se bserva cm una línea, que es l que se bserva cuand se pryecta sbre el plan clread en amarill. 12

13 EN EL PLANO El deslizamient es una peración de simetría que cnsiste en una reflexión y una traslación. El peradr de simetría es la línea de deslizamient. La traslación tiene que estar cntenida en la línea de deslizamient. La distancia de la traslación tiene que ser la mitad de la traslación unidad en dicha dirección. axial diagnal diamante PLANO DE DESLIZAMIENTO AXIAL EN EL ESPACIO Plan cuya cmpnente de deslizamient es paralela a un eje cristalgráfic. Su lngitud es la mitad del perid de la traslación a l larg de este eje. Se simbliza cm a, b c, según que el deslizamient sea a l larg de ls ejes cristalgráfics a, b c, respectivamente. En las Figuras 3.8 a 3.10 se muestra el efect del plan de deslizamient axial según sea de un tip u tr y en relación a distints plans cristalins de una celda rómbica (Figura 3.7). FIGURA Plans cristalins de una celda rómbica 13

14 FIGURA Plan axial a perpendicular a plan cristalin (001) y (010) respectivamente de una celda rómbica FIGURA Plan axial b perpendicular a plan cristalin (001) y (100) respectivamente de una celda rómbica FIGURA Plan axial c perpendicular a plan cristalin (100) y (010) respectivamente de una celda rómbica 14

15 EN EL PLANO Línea cuya cmpnente de deslizamient es paralela a un de ls ds ejes cristalgráfics. Su lngitud es la mitad del perid de la traslación a l larg de este eje. Se simbliza cm g. Actuación de la línea de deslizamient PLANO DE DESLIZAMIENTO DIAGONAL Plan cuya cmpnente de deslizamient es: (a+b)/2 (a+c)/2 (b+c)/2 Su símbl es n. FIGURA Plan de deslizamient diagnal perpendicular a plan cristalin (001) y (100), respectivamente de celda rómbica 3.12 ROTACIÓN-TRASLACIÓN Operación que implica rtación de rden 2, 3, 4 6 y traslación cnstante a l larg del eje de rtación. 15

16 La rtación se tma en el sentid cntrari a las agujas del relj y la traslación en sentid ascendente. El peradr que permite realizar la peración es el eje helicidal. El númer de ejes helicidales existentes es n-1, siend n el rden del eje. Así, ls ejes helicidales existentes sn ls que se muestran en la Tabla Orden del eje Ejes helicidales TABLA 3.10 Ejes helicidales enantimrfs (cada un es la imagen especular del tr) 3 1 y y y y 6 4 En la Tabla 3.11 se muestra el símbl de ls diferentes ejes helicidales en la ntación de Hermann-Mauguin, ls grads de gir y la traslación que implican Tip de eje helicidal Símbl Rtación (º) Traslación Binari /2[uvw] Ternari Cuaternari /3[uvw] 2/3[uvw] 1/4[uvw] 3/4[uvw] 1/2[uvw] Senari TABLA /6[uvw] 5/6[uvw] 1/3[uvw] 2/3[uvw] 1/2[uvw] 16

17 Ejes Figura Ejes Figura Binari 2 1 Ternari 3 1 Ternari 3 2 TABLA Ejes helicidales. 17