CRISTALOGRAFÍA GEOMÉTRICA TEMA 4 SIMETRÍA PUNTUAL

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1 CRISTALOGRAFÍA GEOMÉTRICA TEMA 4 SIMETRÍA PUNTUAL ÍNDICE 4.1 Intrducción 4.2 Grups puntuales y clases cristalinas 4.3 Reglas que cndicinan la presencia de varis elements de simetría en un mism grup puntual 4.4 Sistemas cristalins 4.5 Símbl de ls grups puntuales 4.6 Operacines de simetría de ls grups puntuales 4.7 Grups puntuales plans y grups puntuales de las redes planas 4.8 Grups puntuales tridimensinales y grups puntuales de las redes tridimensinales 4.9 Frmas cristalinas 4.10 Cncept de zna y eje de zna 4.11 Haz de nrmales Pryeccines cristalgráficas 4.12 Esfera de pls 4.13 Pryección esteregráfica 4.14 Pryección esteregráfica de ls ejes cristalgráfics, las znas y pls de las caras de ls distints sistemas cristalins 4.15 Cálculs cristalgráfics 1

2 4.1 INTRODUCCIÓN La mrflgía cristalina ha prprcinad ls dats experimentales para el desarrll de la Cristalgrafía matemática hasta el descubrimient en 1912 de la difracción de ls rays X pr ls cristales. LEY DE LOS ÁNGULOS DIEDROS (Rmé de l Isle, ) Ls ánguls diedrs que frman las caras equivalentes de diverss cristales de una sustancia sn iguales y característics de ella, sea cual sea la frma del cristal (ver Figura 4.1). n a Figura Crindón mstrand diferentes hábits en ls que se cumple que el ángul entre las caras r y n de las figuras del centr y de la derecha sn iguales. También sn iguales el ángul entre las caras r y ω de ls cristales de la derecha y del centr. LEY DE LA SIMETRÍA (Haüy, 1803): Tds ls cristales de una misma sustancia pseen la misma simetría, sean cuales sean las caras que presenten (ver Figura 4.2). n r n c a n r n a n ω ω n n c r n ω ω n ω ω r n ω ω r c ω ω r ω ω Figura Cristales de la misma especie cristalina mstrand diferentes hábits per cn la misma simetría cúbica. 2

3 LEY DE LA RACIONALIDAD DE LOS ÍNDICES (Haüy, 1781): Las aristas intersección de tres caras de un cristal permiten definir un sistema de ejes de crdenadas. La distancia a la que una cuarta cara crta a cada eje se le cnsidera la unidad de medida sbre este eje. Tdas las restantes caras del cristal crtan a dichs ejes a unas distancias cuya razón cn las lngitudes definidas cm unidades sn númers racinales y en general sencills (ver Figura 4.3). Figura Cara cristalina (111) crtand a las traslacines fundamentales a, b y c a la distancia unidad. 4.2 GRUPOS PUNTUALES Y CLASES CRISTALINAS Un grup puntual se define cm el cnjunt de peracines de simetría existentes en una red cristalina. Tiene tdas las características de un grup matemátic. Existe un punt en el espaci que es equivalente a sí mism, el cual se tma, nrmalmente, cm rigen de crdenadas. A ls grups puntuales se les llama muchas veces clases cristalinas. Se les da diverss nmbres: a alguns derivan de las frmas gemétricas que pseen la simetría del grup puntual c b c a b trs nmbres describen las características del grup. en la actualidad se usa, cada vez más, un símbl en vez de un nmbre para referirse a ls distints grups puntuales. Grups puntuales plans Grups puntuales tridimensinales 3

4 Orden del grup es el númer de elements que l cnstituyen. Si el grup tiene n elements, el grup es de rden n. Un subgup se define cm el cnjunt de elements de un grup que pr sí sls cumplen las cndicines de grup. CARACTERÍSTICAS QUE DEBE CUMPLIR UN GRUPO MATEMÁTICO Cualquier cmbinación de ds más elements (u peracines) debe ser equivalente a un element que pertenezca también al grup. La cmbinación es una multiplicación, es decir, la realización sucesiva de peracines de simetría. Esta peración puede expresarse así: AB = C Dnde: A, B y C sn elements del grup, al que cnsiderams finit, pués el númer de elements de simetría es finit. En el grup puntual 2/m, 2 y m sn elements que pertenecen al grup y su cmbinación es equivalente a tr element 1, que también pertenece al grup. En la figura 4.4 A el punt 2 se btiene aplicand al punt 1 la reflexión y a cntinuación el eje 2. 2 m2 Figura 4.4 A.- La cmbinación de la reflexión (aplicada al punt 1) y después la rtación binaria (aplicada al punt 1 reflejad) rigina el punt 2. El mism resultad se btiene si se aplica al punt 1 la inversión. Pr l tant la línea de simetría, la rtación binaria y el punt 1 de rtación- inversión mnaria pertenecen al grup. En la figura 4.4 B, el punt 2 se btiene aplicand al punt 1 el centr de simetría. La cmbinación del plan m y el eje 2 sbre el punt 1 es 4

5 equivalente a la actuación del centr de simetría sbre el punt 1. 2 Figura 4.4 B En el grup debe existir un element tal que pueda cmbinarse cn tds ls demás elements del grup, dejándls a tds inalterads. AE = A Dnde: Se trata del eje mnari la identidad. Esta prpiedad puede expresarse así: A es cualquier element del grup E es la identidad el eje mnari. La cmbinación del element identidad cn tds ls demás elements debe ser cnmutativa, es decir: AE = EA = A 1 B 1 2 Figura La cmbinación de la reflexión cn la rtación mnaria rigina la reflexión y la cmbinación de la rtación mnaria y la reflexión rigina, igualmente, la reflexión. La cmbinación de elements debe ser asciativa. Significa que debe cumplirse la siguiente relación: A(BC) = (AB)C Dnde: A, B y C sn elements del grup. 1 m1=1m=m 5

6 Cada un de ls elements del grup psee el element invers, de frma que el prduct del element pr su invers es igual al element identidad. AX = E Dnde: A es un element del grup, X es su element invers E es la identidad. Además, si X es el invers de A, A debe ser el invers de X: AX = XA = E Cuadr 4.1 CLASES CRISTALINAS Haciend clic en el crrespndiente sistema cristalin: Sistema cristalin Triclínic Mnclínic Rómbic Rmbédric Tetragnal Cúbic Hexagnal Tabla 4.1 Se pdrán bservar ds tablas (Tabla 4.2 y Tabla 4.3). En la primera (Tabla 4.2) aparece el siguiente cntenid: Clase cristalina Ejes de simetría Plans simetría Tabla 4.2 Centr simetría Símbl Hermann-Maugin haciend clic en cada clase cristalina accedes a un applet JCrystal que muestra un ejempl. Puedes hacer us de la ayuda para manejarl haciend clic en el siguiente btón de ayuda que se muestra a cntinuación y que también se encuentra en cada applet En la segunda (Tabla 4.3) pdrás bservar las frmas generales, especiales y la pryección esteregráfica de la frma general de cada una de las clases cristalinas del crrespndiente sistema cristalin, cm aparecen en las Tablas Internacinales de Cristalgrafía. 6

7 Clase Símbl abreviad Símbl cmplet Frmas especiales Nmbre y ntación de las frmas Frmas generales Nmbre de las frmas y ntación de tdas Tabla 4.3 Cuadr 4.2 Pryección esteregráfica Punt: cara hemisferi superir Círcul: cara hemisferi inferir Pryección elements de simetría: Centr: Plans: líneas gruesas Rtación prpia: Rtación imprpia: REGLAS QUE CONDICIONAN LA PRESENCIA DE VARIOS ELEMENTOS DE SIMETRÍA EN UN MISMO GRUPO PUNTUAL 1. Si existe un eje de rtación de rden par y un plan de reflexión perpendicular a él, existe un centr de simetría en su intersección. 2. Si una serie de plans de simetría se crtan en un eje de simetría, existen tants plans cm el rden del eje. 3. Si un eje de rtación de rden n tiene ejes binaris perpendiculares a él, habrá tants ejes binaris cm sea el rden del eje. 4. Si existe un eje binari perpendicular a un eje de rtación inversión, cuy rden n es par, existen n/2 plans que intersectan cn el eje y n/2 ejes binaris perpendiculares a él. 4.4 SISTEMA CRISTALINO Se define cm el cnjunt de grups puntuales cmpatibles cn las redes de Bravais. En el sigl pasad se agrupaban ls grups puntuales en unas clases que la mayría de ls autres denminan sistemas cristalins, aunque también se han usad ls términs de singnía y tip cristalin. 7

8 Se dice que ds más grups puntuales pertenecen al mism sistema cristalin si admiten las mismas redes de Bravais. De esta manera aparecen 7 sistemas cristalins. Sistema cristalin Redes de Bravais Triclínic P Mnclínic P, A (B,C) Rómbic P, I, F, A (B,C) Tetragnal Hexagnal Rmbédric Cúbic Tabla 4.4 CRUZ AXIAL P, I P P P, I, F Sn las cnstantes reticulares características de cada sistema. Sistema cristalin Triclínic Mnclínic Rómbic Tetragnal Hexagnal Rmbédric Cúbic Tabla 4.5 Cruz axial a b c a b c a b c a = b c a = b c a = b c a = b = c ÁNGULOS DE LA CRUZ AXIAL Sn ls ánguls que frman las cnstantes reticulares. Sistema cristalin Ánguls de la cruz axial Triclínic α β γ 90º Mnclínic α = γ = 90º β Rómbic α = β = γ = 90º Tetragnal α = β = γ = 90º Hexagnal α = β = 90º γ = 60º ó 120º Rmbédric α = β = 90º γ = 60º ó 120º Cúbic α = β = γ = 90º Tabla 4.6 8

9 ELECCIÓN DE LA CRUZ AXIAL EN CADA SISTEMA CRISTALINO Las cruces axiales de cada sistema cinciden cn las 7 celdas de Bravais primitivas (P). Se cnstruyen de md que ls ejes de crdenadas cincidan cn ls elements de simetría del material en estad cristalin. Cuand existe un eje de rtación de rden superir al binari, la dirección del eje c se elige según la dirección de dich eje. Las direccines de ls ejes a y b se eligen según ls ejes binaris si existen. En el sistema rómbic, las direccines de a, b y c se eligen según ls ejes binaris cuand existen. En el sistema mnclínic la dirección de b se elige según el únic eje binari si existe. En el sistema triclínic la elección de a, b y c se hace seleccinand las tres aristas más pequeñas y n cplanarias. Cuand se cnsidera la simetría externa de un cristal, se acstumbra a utilizar ls ejes x, y y z. Serían ls ejes de crdenadas sbre ls que se sitúan las cnstantes a, b y c. El eje z se rienta de arriba abaj El eje y de derecha a izquierda El eje x de atrás hacia delante. La elección de dichs ejes sbre el cristal se haría de la misma manera que para la elección de las direccines de a, b y c 4.5 SÍMBOLO DE LOS GRUPOS PUNTUALES Existen ds tips de símbls. 1. Ntación de Schenflies, que es la más antigua de tdas. Cnsiste de una letra mayúscula, característica del tip del grup puntual, Puede ir acmpañada de un más subíndices: Un de ells numéric El tr una letra minúscula cuand existen ambs se escriben en este rden 2. Ntación de Hermann Mauguin ( ntación internacinal) Cnsiste en sucesión de númers y la letra m (plan de reflexión) Crrespnden a ls símbls que representan ls distints elements de simetría. 9

10 Pueden incluir: Barra de quebrad Denminadr es la letra m Numeradr es un númer que hace referencia al rden de un eje de rtación. Pueden simplificarse alguns símbls si n da lugar a cnfusión cn trs símbls OBTENCIÓN DEL SÍMBOLO DE LOS GRUPOS PUNTUALES Para btener el símbl de un grup puntual, de acuerd a la ntación internacinal, hay que tener en cuenta las direccines de simetría de la red plana (Tabla 4.7) tridimensinal (Tabla 4.8), según que el grup puntual sea plan tridimensinal. Oblicua Red Rectangular Cuadrada Hexagnal Sistema cristalin Triclínic Mnclínic Rómbic Direccines de simetría Psición en ntación de Hermann-Mauguin Punt de rtación en el plan Tabla 4.7 Secundarias Terciarias Direccines de simetría Psición en ntación de Hermann-Mauguin Primarias Secundarias Terciarias Ninguna eje únic b eje únic c Tetragnal Hexagnal Rmbédric 10

11 Rmbédric Cúbic Tabla 4.8 Se distinguen tres direccines de simetría: primarias, secundarias y terciarias. En las redes triclínicas n hay ninguna dirección de simetría. En las redes mnclínicas hay una dirección de simetría. En las redes rmbédricas hay ds direccines de simetría, per hay que tener en cuenta que se elijan ejes hexagnales rmbédrics. En las redes rómbicas, tetragnales, hexagnales y cúbicas hay tres direccines. En el símbl de ls grups puntuales de ls sistemas triclínic y mnclínic sól hace falta especificar el element de simetría existente (1-1) en el triclínic y el element de simetría existente en la única dirección de simetría del mnclínic. En el cas de ls grups puntuales del sistema rmbédric hay que especificar ls elements de simetría existentes en las ds direccines de simetría. En el cas de ls grups puntuales de ls sistemas rómbic, tetragnal, hexagnal y cúbic hay que especificar ls elements de simetría existentes en las tres direccines de simetría. En el cas de que en alguna de las direccines de simetría n haya ningún element de simetría n se escribe nada. Nta: Cuand hay más de una dirección de simetría en la clumna de las direccines primarias, secundarias terciarias para un determinad sistema cristalin, significa que sn equivalentes. 11

12 Cuadr GRUPOS PUNTUALES Y CLASES CRISTALINAS OPERACIONES DE SIMETRÍA DE LOS GRUPOS PUNTUALES Rtacines prpias Rtacines de rden 1, 2, 3, 4, 6 Rtacines imprpias Rtacines de rden 1, 2 (reflexión), 3, 4, 6 El númer ttal de grups puntuales es de 32. Se les da diverss nmbres, alguns derivan de las frmas gemétricas que pseen la simetría del grup puntual, mientras que trs nmbres describen las características del grup. CLASES CRISTALINAS A ls grups puntuales se les llama muchas veces clases cristalinas (ver Cuadr 4.2). En función de ls elements de simetría, se distinguen: Hledría Es la clase cristalina que psee el mayr númer de peracines de simetría. Hemiedría Es la clase que psee la mitad de las peracines de simetría. A su vez, puede ser: Paramórfica: Se caracteriza prque cnserva el centr de simetría. Enantimórfica: En ella n hay plans de simetría. Hemimórfica: Se caracteriza prque ls ejes de simetría sn plares. Tetartedría Es la clase cristalina que psee la cuarta parte de las peracines de simetría. En las Tablas 4.9 a 4.15 se presentan, para cada un de ls 7 sistemas cristalins, ls grups puntuales cn la ntación de Hermann Mauguin y la de Schenflies entre paréntesis, las respectivas clases cristalinas, las peracines de simetría y ls elements de simetría expresads mediante la fórmula que se describe en el Cuadr 4.4 FÓRMULA PARA EXPRESAR LOS ELEMENTOS DE SIMETRÍA DE UN DETERMINADO GRUPO PUNTUAL La fórmula cnsta de una serie de caracteres que expresan ls elements de simetría. Ls símbls utilizads sn ls siguientes: C indica centr de simetría 12

13 E indica eje de simetría El númer de ejes de simetría de un determinad tip se expresa clcand dich númer delante de la letra E. El tip de ejes de simetría se expresa clcand el símbl del eje crrespndiente, de acuerd a la ntación de Hermann-Mauguin, en frma de superíndice a la derecha de la letra E. Ejempl: La fórmula para indicar que existen 4 ejes ternaris de rtación inversión sería la siguiente: 4E m indica plan de reflexión 3 Ejempl: La fórmula para indicar que existen 3 ejes binaris y 4 ejes ternaris sería la siguiente: 2 3E, 4E G. PUNTUAL 3 CLASE CRISTALINA Cuadr 4.4 Sistema cristalin triclínic Nº OPERACIONES ELEMENTOS DE SIMETRÍA 1 (C 1 ) HOLOEDRÍA 2 C 1 (C i ) HEMIEDRÍA 1 IDENTIDAD G. PUNTUAL CLASE CRISTALINA Tabla 4.9 Sistema cristalin mnclínic Nº OPERACIONES ELEMENTOS DE SIMETRÍA 2/m (C 2h ) HOLOEDRÍA 4 1E 2, m, C 2 (C 2 ) m (C s ) HEMIEDRÍA ENANTIOMÓRFICA 2 1E 2 HEMIEDRÍA HEMIMÓRFICA 2 m Tabla 4.10 G. CLASE Nº ELEMENTOS DE PUNTUAL CRISTALINA OPERACIONES SIMETRÍA mmm (D 2h ) HOLOEDRÍA 8 3E 2, 3m, C 222 (D 2 ) HEMIEDRÍA 4 3E 2 13

14 mm2 (D 2v ) ENANTIOMÓRFICA HEMIEDRÍA HEMIMÓRFICA 4 2m, 1E 2 G. PUNTUAL 4/mmm (D 4h ) 4mm (C 4v ) 42m (D 2d ) 422 ( D4 ) 4/m (C 4h ) 4 (S 4 ) CLASE CRISTALINA Tabla 4.11 Sistema cristalin tetragnal Nº OPERACIONES ELEMENTOS DE SIMETRÍA HOLOEDRÍA 16 1E 4, 4E 2, 5m, C HEMIEDRÍA ENANTIOMÓRFICA HEMIEDRÍA cn INVERSIÓN HEMIEDRÍA ENANTIOMÓRFICA HEMIEDRÍA PARAMÓRFICA TETARTOEDRÍA cn INVERSIÓN 8 1E 4, 5m 8 4 1E, 2E 2, 2m 8 1E 4, 4E 2 8 1E 4, 1m, C (C 4 ) TETARTOEDRÍA 4 1E 4 G. PUNTUAL CLASE CRISTALINA Tabla 4.12 Sistema cristalin rmbédric Nº OPERACIONES 1E ELEMENTOS DE SIMETRÍA 3 m (D 3d ) HOLOEDRÍA 12 1E 3, 3E 2, 3m, C 3m (C 3v ) 32 (D 3 ) 3 (C 3i ) HEMIEDRÍA HEMIMÓRFICA HEMIEDRÍA ENANTIOMÓRFICA HEMIEDRÍA PARAMÓRFICA 6 1E 3, 3m 6 1E 3, 3E 2 6 1E 3, C 3 (C 3 ) TETARTOEDRÍA 3 1E 3 Tabla 4.13 Sistema cristalin hexagnal 14

15 G. PUNTUAL CLASE CRISTALINA Nº OPERACIONES ELEMENTOS DE SIMETRÍA 6/mmm D 6h ) HOLOEDRÍA 24 1E 6, 6E 2, 7m, C 6 2m (D 3h ) 6mm (C 6v ) 622 (D 6 ) 6/m (C 6h ) HEMIEDRÍA cn INVERSIÓN HEMIEDRÍA HEMIMÓRFICA HEMIEDRÍA ENANTIOMÓRFICA HEMIEDRÍA PARAMÓRFICA 12 1E 3, 3E 2, 4m, C 12 1E 6, 6m 12 1E 6, 6E E 6, 1m, C 6 (C 3h ) TETARTOEDRÍA 6 1E 3, 1m, C 6 (C 6 ) G. PUNTUAL TETARTOEDRÍA cn INVERSIÓN CLASE CRISTALINA Tabla 4.14 Sistema cristalin cúbic 6 1E 6 Nº OPERACIONES ELEMENTOS DE SIMETRÍA m 3 m (O h ) HOLOEDRÍA 48 1E 3, 6E 2, 9m, C 4 3m (T d ) 432 (O) m 3 (T h ) HEMIEDRÍA cn INVERSIÓN HEMIEDRÍA ENANTIOMÓRFICA HEMIEDRÍA PARAMÓRFICA E, 4E 3, 6m 24 3E 4, 4E 3, 6E E 2, 4E 3, 3m, C 23 (T) TETARTOEDRÍA 12 3E 2, 4E 3 Tabla 4.15 En las Tablas 4.16 a 4.22 se presentan ls grups puntuales y las clases cristalinas crrespndientes a cada sistema cristalin según aparecen en las Tablas Internacinales de Cristalgrafía, Vlumen A 15

16 CLASE GRUPO PUNTUAL SISTEMA CRISTALINO TRICLÍNICO FORMAS FORMAS PROYECCIÓN ESPECIALES GENERALES ESTEREOGRÁFICA Pedial (Hemiedría) Pinacidal (Hledría) CLASE Esfenidal (Hemiedría enantimórfica) Dmática (Hemiedría hemimórfica) Prismática (Hledría) GRUPO PUNTUAL 2 m 1 N hay 1 N hay Pedines ( hkl ) Pinacide ( hkl )( hkl ) Tabla 4.16 SISTEMA CRISTALINO MONOCLÍNICO FORMAS ESPECIALES 010 Pedión ( ) ( 010) Pinacides{ h0 l} Pedines ( h0 l) Pinacides{ 010} FORMAS GENERALES Esfenide ( hkl ),( hkl ) Dm ( hkl ), ( hkl) PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA 2 m Pinacides { 010 },{ h0 l} Prisma ( hkl)( hkl )( hkl )( hkl) Tabla

17 SISTEMA CLASE Esfenidal (Hemiedría enantimórfica) Piramidal (Hemiedría hemimórfica) Bipiramidal (Hledría) GRUPO PUNTUAL 222 mm 2 mmm m m m SISTEMA CRISTALINO RÓMBICO R = rómbic FORMAS ESPECIALES Pinacides { 100 }, { 010 }, { 001 } Prismas R { hk 0},{ 0 kl}, { h0 l} 001 Pedines ( ) ( 00 1) Pinacide { 100 } Prisma R { hk 0} Dms { h0 l}, { 0 kl} Pinacides { 100 }, { 010 }, { 001 } Prismas R { hk 0}, { h0 l}, { 0 kl} FORMAS GENERALES Biesfenide R ( hkl )( hkl)( hkl )( hkl ) Pirámide R ( hkl )( hkl)( hkl)( hkl) Bipirámide R ( hkl)( hkl)( hkl )( hkl ) ( hkl )( hkl )( hkl)( hkl) PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Tabla elia Marcs Pascual

18 SISTEMA CLASE Piramidal (Tetartedría) Esfenidal (Tetartedría cn inversión) Bipiramidal (Hemiedría enantimórfica) Trapezédrica (Hemiedría enantimórfica) SISTEMA CRISTALNO TETRAGONAL T = tetragnal DT = ditetragnal GRUPO PUNTUAL m 422 FORMAS ESPECIALES Pedines ( ) 001 ( 001) Prisma T { hk 0} Pinacide { 001 } Prisma T { hk 0} Pinacide{ 001 } Prisma T { hk 0} Pinacide { 001 } Prismas T { 100 }, { 110 } FORMAS GENERALES Pirámide T ( hkl )( hkl)( khl)( khl) Biesfenide T ( hkl )( hkl)( khl )( khl ) Bipirámide T ( hkl)( hkl)( khl)( khl) ( hkl )( hkl )( khl )( khl) PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA elia Marcs Pascual Prisma DT Trapezedr T ( hkl)( hkl)( khl)( khl) ( hkl )( khl )( hkl )( khl ) 18

19 Ditetragnal (Hemiedría hemimórfica) Escalenédrica (Hemiedría cn inversión) Escalenédrica (Hemiedría cn inversión) 4 mm 42m 4m 2 { hk 0} Bipirámides T { hhl }, { h0 l} Pedines ( ) 001 ( 001) Prismas T { 100 } Prismas DT { hk 0} Pirámide T { hhl }, { h0 l} Pinacide { 001 } Prismas T { 100 }, { 110 } Prismas DT{ hk 0} Bipirámides{ h0 l} Biesfenides T { hhl } Pinacides { 001 } Prismas T { 110 }, { 110 } Prisma DT { hk 0} Bipirámides{ hhl } Pirámide DT ( hkl)( hkl)( khl)( khl) ( hkl)( hkl)( khl)( hkl) Escalenedr T ( hkl)( hkl)( khl )( khl ) ( hkl )( hkl )( khl)( khl) Escalenedr T ( hkl)( hkl)( khl )( khl ) ( hkl)( hkl)( khl )( khl ) elia Marcs Pascual 19

20 Ditetragnal bipiramidal (Hledría) 4 mm m m m m Biesfenides T { h0 l} Pinacide { 001 } Prismas T { 100 }, { 110 } Prisma DT { hk 0} Bipirámides T { h0 l}, { hhl } Bipirámide DT ( hkl)( hkl)( khl)( khl) ( hkl)( hkl )( khl )( khl) ( hkl )( hkl )( khl )( khl ) ( hkl)( hkl)( khl)( khl) Tabla 4.19 SISTEMA CRISTALINO ROMBOÉDRICO R = rmbédric trignal; H = hexagnal; DT = ditrignal; DH = dihexagnal Se usan índices hexagnales (hkil) SISTEMA CLASE GRUPO PUNTUAL Piramidal Tetartédrica (Tetartedría) 3 FORMAS ESPECIALES ( ) Pedión 0001 ( 0001) Prisma R { hki 0} FORMAS GENERALES Pirámide R ( hkil )( ihkl)( kihl) PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA 20 elia Marcs Pascual

21 SISTEMA CLASE Rmbédrica (Hemiedría enantimórfica) Trapezédrica (Hemiedría enantimórfica) GRUPO PUNTUAL FORMAS ESPECIALES Pinacide{ 0001 } Prisma H{ hki 0} Pinacide{ 0001 } Prisma H{ 10 10} Prisma R { 1120} { } Prisma DT { hki 0} Rmbedr { h0 hl} Bipirámide R { hh2 hl} FORMAS GENERALES Rmbedr ( hkil)( ihkl)( kihl) ( hkil )( ihkl )( kihl ) Trapezedr R ( hkil)( ihkl)( kihl) ( khil )( hikl )( ikhl ) PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA elia Marcs Pascual 21

22 SISTEMA CLASE Trapezédrica (Hemiedría enantimórfica) Ditrignal piramidal (Hemiedría hemimórfica) GRUPO PUNTUAL 312 3m 1 FORMAS ESPECIALES Pinacide{ 0001 } Prisma H{ 10 10} Prisma R { 1120} { } Prisma DT { hki 0} Rmbedr { h0 hl} Bipirámide R ( ) { hh2 hl} Pedión 0001 ( 0001) Prisma R { 101 0} { 1 010} Prisma H { 1120} Prisma DT { hki 0} FORMAS GENERALES Trapezedr R ( hkil)( ihkl)( kihl) ( khil )( hikl )( ikhl ) Pirámide DT ( hkil)( ihkl)( kihl) ( khil)( hikl)( ikhl) PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA elia Marcs Pascual 22

23 SISTEMA CLASE Ditrignal piramidal (Hemiedría hemimórfica) GRUPO PUNTUAL 31 m FORMAS ESPECIALES Pirámide R { h0 hl} Pirámide H { hh2 hl} Pedión ( 0001 ) ( 0001) Prisma R{ 1120} { 1120} Prisma H { 10} { 011 0} Prisma DT { hki 0} 10 Pirámide R{ hh2 hl} Pirámide H { h0 hl} FORMAS GENERALES Pirámide DT ( hkil)( ihkl)( kihl) ( khil)( hikl)( ikhl) PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA elia Marcs Pascual 23

24 SISTEMA CLASE Ditrignal escalenédrica (hledría) Ditrignal escalenédrica (hledría) GRUPO PUNTUAL 3m m m 2 m 1 FORMAS ESPECIALES Pinacide{ 0001 } Prismas H { 10 10}, { 1120} Prisma DH { hki 0} Bipirámide H { hh2 hl} Rmbedr { h0 hl} Pinacide{ 0001 } Prismas H { 10 10}, { 1120} Prisma DH { hki 0} Bipirámide H { h0 hl} Rmbedr { hh2 hl} FORMAS GENERALES Escalenedr DT ( hkil)( ihkl)( kihl) ( khil)( hikl)( ikhl ) ( hkil )( ihkl )( kihl ) ( khil)( hikl)( ikhl) ( hkil)( ihkl)( kihl) ( khil)( hikl)( ikhl) ( hkil )( ihkl )( kihl ) ( khil )( hikl)( ikhl) PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Tabla elia Marcs Pascual

25 SISTEMA CRISTALINO HEXAGONAL R=rmbédric trignal; H=hexagnal; DT=ditrignal; DH=dihexagnal. Se usan índices hexagnales (hkil). CLASE Piramidal (Tetartedría) Trignal bipiramidal (Tetartedría cn inversión) Hexagnal bipiramidal (Hemiedría paramórfic a) GRUPO PUNTUAL / m FORMAS ESPECIALES Pedines{ 0001 } { 0001} Prismas H{ hki 0} Pinacide{ 0001} Prisma R{ hki 0} Pinacide{ 0001} Prisma H{ hki 0} FORMAS GENERALES Pirámide H ( hkil)( ihkl)( kihl) ( hkil)( ihkl)( kihl) Bipirámide R ( hkil)( ihkl)( kihl) ( hkil )( ihkl )( kihl ) Bipirámide H ( hkil)( ihkl)( kihl) ( hkil )( ihkl )( kihl ) ( hkil )( ihkl )( kihl ) ( hkil)( ihkl)( kihl) PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA elia Marcs Pascual 25

26 CLASE Trapezédrica (Hemiedría enantimór fica) Dihexagnal piramidal (Hemiedría hemimórfic a) GRUPO PUNTUAL mm FORMAS ESPECIALES Pinacide{ 0001} Prisma H{ 1010} Prisma DH{ hki 0} Prismas H{ 0} hki, { 1120} Bipirámides H{ h0 hl}, { hh2 v hl} Pedión{ 0001 } { 000 1} Prismas H{ 10} { 1120} 10, Prisma DH FORMAS GENERALES Trapezedr H ( hkil)( ihkl)( kihl) ( khil )( hikl )( ikhl ) ( hkil )( hikl )( ikhl ) ( hkil)( ihkl)( kihl) Pirámide DH ( hkil)( ihkl)( kihl) ( khil )( hikl)( ikhl) ( khil)( hikl)( ikhl) ( hkil)( ihkl)( kihl) PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA elia Marcs Pascual 26

27 CLASE Ditrignal bipiramidal (Hemiedría cn inversión) GRUPO PUNTUAL 6m 2 FORMAS ESPECIALES { hki 0} Pirámide DH{ hkil } Pirámides H{ h0 hl}, { hh2 v hl} Pinacide{ 0001} Prisma R{ 10 10} { 1 010} Prisma H{ 1120} Prisma DT{ hki 0} Bipirámide R{ h0 hl} Bipirámide H{ hh2 v hl} FORMAS GENERALES Bipirámide DT ( hkil)( ihkl)( kihl) ( hkil )( ihkl )( kihl ) ( khil)( hikl)( ikhl) ( khil )( hikl )( ikhl) PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA elia Marcs Pascual 27

28 CLASE Ditrignal bipiramidal (Hemiedría cn inversión Dihexagnal bipiramidal (Hledría) GRUPO PUNTUAL 62m 6 / mmm 6 / m 2 / m2 / m FORMAS ESPECIALES Pinacide{ 0001} Prisma R{ 10 10} { 1 010} Prisma H{ 1120} Prisma DT{ hki 0} Bipirámide R{ h0 hl} Bipirámide H{ hh2 v hl} Pinacide{ 0001} Prismas H{ 10} { 1120} 10, Prisma DH{ hki 0} Bipirámides FORMAS GENERALES Bipirámide DT ( hkil)( ihkl)( kihl) ( hkil )( ihkl )( kihl ) ( khil)( hikl)( ikhl) ( khil )( hikl )( ikhl) Bipirámides DH ( hkil)( ihkl)( kihl) ( hkil )( ihkl )( kihl ) ( hkil)( ihkl)( kihl) ( khil )( hikl )( ikhl ) PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA elia Marcs Pascual 28

29 CLASE SISTEMA CLASE Ddecaédrica pentagnal Tetraédrica (tetartédrica) Tetartédrica GRUPO PUNTUAL GRUPO PUNTUA L 23 FORMAS ESPECIALES FORMAS GENERALES H{ h0 hl}, ( hkil )( ihkl )( kihl ) { hh2 v hl} ( khil)( hikl)( ikhl) ( hkil )( ihkl )( kihl ) FORMAS ESPECIALES Cub { 100 } Rmbddecaedr{ 110 } Ddecaedr pentagnal (piritedr) { 0 kl} Tetraedrs{ } ( khil)( hikl)( ikhl) Tabla 4.21 SISTEMA CRISTALINO CÚBICO 111 ó{ 1 1 1} Tristetraedr{ hhl } h < l Ddecaedr deltide FORMAS GENERALES Tetartide (ddecaedr pentagnal tetraédric) ( hkl)( hkl)( hkl )( hkl )( lhk)( lhk ) ( lhk)( lhk )( klh)( klh )( klh )( klh) PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA elia Marcs Pascual 29

30 Disddecaédrica (Hemiedría paramórfica) Icsitetraédrica pentagnal (Hemiedría enantimórfica) m (deltedr) { hhl } h > l Cub{ 100 } Rmbddecaedr{ 110 } Ddecaedr pentagnal (piritedr) { 0 kl} Octaedr{ 111 } Icsitetraedr deltide (trapezedr){ hhl } h < l Trisctaedr{ hhl } h > l Cub{ 100 } Rmbddecaedr{ 110 } Tetraquishexaedr{ 0 kl} Octaedr{ 111 } Icsitetraedr deltide (trapezedr) { hhl } h < l Trisctaedr{ hhl } h > l Disddecaedr ( hkl)( hkl)( hkl )( hkl )( lhk )( lhk ) ( lhk)( lhk )( klh)( klh )( klh )( klh) ( hkl )( hkl )( hkl)( hkl )( lhk )( lhk) ( lhk )( lhk)( klh )( klh)( klh)( klh ) Giredr (icsitetraedr pentagnal) ( hkl)( hkl)( hkl )( hkl )( lhk )( lhk ) ( lhk)( lhk )( klh)( klh )( klh )( klh) ( khl )( khl )( khl)( khl)( lkh)( lkh ) ( lkh )( lkh)( hlk)( hlk )( hlk)( hlk ) elia Marcs Pascual 30

31 Hexaquistetraédri ca (Hemiedría hemimórfica) Hexaquisctaédri ca (Hledría) 43m m3 m 4 3 m 2 m Cub{ 100 } Rmbddecaedr{ 110 } Tetraquishexaedr{ hk 0} Tetraedrs{ } 111 ó{ 1 1 1} Tristetraedr{ hhl } h < l Ddecaedr deltide{ hhl } h > l Cub{ 100 } Rmbddecaedr{ 110 } Tetraquishexaedr{ 0 kl} Octaedr{ 111 } Icsitetraedr deltide (trapezedr) { hhl } h < l trisctaedr{ hhl } h > l Hexaquistetraedr ( hkl)( hkl)( hkl )( hkl )( lhk )( lhk ) ( lhk)( lhk )( klh)( klh )( klh )( klh) ( khl)( khl)( khl )( khl )( lkh)( lkh ) ( lkh )( lkh)( hlk)( hlk )( hlk)( hlk ) Hexaquisctaedr ( hkl)( hkl)( hkl )( hkl )( lhk )( lhk ) ( lhk)( lhk )( klh)( klh )( klh )( klh) ( hkl )( hkl )( hkl)( hkl)( lhk )( lhk) ( lhk )( lhk)( klh )( klh)( klh)( klh ) ( khl )( khl )( khl)( khl)( lkh)( lkh ) ( lkh )( lkh)( hlk)( hlk )( hlk)( hlk ) ( khl)( khl)( khl )( khl )( lkh )( lkh) ( lkh)( lkh )( hlk )( hlk)( hlk )( hlk) Tabla 4.22 elia Marcs Pascual 31

32 4.7 GRUPOS PUNTUALES PLANOS y GRUPOS PUNTUALES DE LAS REDES PLANAS Sn ls grups puntuales bidimensinales y sn 10: 1, m, 2, 2mm, 3, 3m, 4, 4mm, 6 y 6mm Una representación de ells puede verse en la Tabla

33 Tabla 4.23 Ls grups puntuales que caracterizan a las redes planas sn ls siguientes: Red blicua 2 Red rectangular 2mm Red rómbica 2mm Red cuadrada 4mm Red hexagnal 6mm 4.8 GRUPOS PUNTUALES TRIDIMENSIONALES y GRUPOS Sn 32. PUNTUALES DE LAS REDES TRIDIMENSIONALES Su símbl (ver Cuadr 4.3), de acuerd a la ntación internacinal, se btiene teniend en cuenta las direccines de simetría de las redes. Ls grups puntuales que caracterizan a las redes tridimensinales sn ls siguientes: Tip de red Grup puntual hlédric Triclínica 1 Mnclínica 2/m Rómbica Rmbédrica mmm 3 m 33

34 Tip de red Hexagnal Tetragnal Cúbica Grup puntual hlédric 6/mmm 4/mmm m3 m Tabla FORMA CRISTALINA Es el cnjunt de caras equivalentes pr simetría. Su símbl es {hkl} La mrflgía que presenta un material en estad cristalin se refiere a las frmas generadas pr prcess naturales. El númer, aspect y distribución de las caras de un cristal está gbernada pr la simetría del cristal. Las frmas cristalinas pueden ser: Abiertas: n limitan un espaci Figura Frmas cristalinas abiertas Cerradas: limitan un espaci Simples: cnstituidas pr una sla frma Cmpuestas: cnstituidas pr varias frmas Mdels de frmas cristalinas para realizar en papel se puede bservar en la Tabla 4.25: 34

35 cub ctaedr tetraedr 35

36 ctaedr-truncad rmbddecaedr icsaedr cub-ctaedr Tabla

37 La multiplicidad es el númer de caras generadas pr ls elements de simetría Se dice que una cara está en psición general cuand n está situada sbre ningún element de simetría (Figura 4.7). Figura 4.7 Se dice que una cara está en psición especial particular cuand está situada sbre algún element de simetría (Figura 4.8). Figura ZONA Y EJE DE ZONA Una zna se define cm el cnjunt de plans cristalins cn una dirección cristalgráfica cmún, denminada eje de zna. Un eje de zna es la dirección cristalgráfica cmún a una serie de plans cristalins. Su símbl es [uvw] y se btiene en la frma expuesta en el apartad 13 del Tema HAZ DE NORMALES Es el cnjunt de nrmales trazadas desde el rigen de crdenadas a diferentes caras cristalinas. Se caracteriza prque cntiene ls ánguls entre las caras. 37

38 Figura PROYECCIONES CRISTALOGRÁFICAS: Pryección esférica ESFERA DE POLOS Es la pryección en tres dimensines del haz de nrmales a las caras y de ls elements de simetría. La pryección de una nrmal a una cara en la esfera de pls es un punt al que se denmina pl. En la Figura 4.10 pueden bservarse ls pls (punts en rj) de las caras del cristal inscrit en la esfera de pls. Se cnservan: Ls ánguls entre las caras Las znas (en la Figura 4.11 sn ls círculs máxims que unen ls pls de las caras que tienen una dirección cmún) Ls ánguls entre las aristas Figura 4.10 Figura

39 COORDENADAS ESFÉRICAS DE UN POLO Sn las crdenadas que determinan la psición de un pl en la esfera de pls. Sn ϕ y ρ. El ángul ϕ es la distancia entre ds meridians: El que se tma cm rigen de crdenadas y pasa pr el pl N El que pasa pr el pl N, el pl S y el pl de la cara El ángul ρ es el arc cmprendid entre el punt N y el pl P, trazad sbre el meridian que pasa pr N, P y S Figura PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA Es una pryección en ds dimensines en la que se pryectan ls elements de simetría y el haz de nrmales a las caras de un cristal. El plan de pryección que se suele utilizar es el ecuatrial. El punt de vista es: el pl sur para ls pls del hemisferi superir de la esfera plar el pl nrte para ls pls del hemisferi inferir de la esfera plar. Se cnserva el ángul ϕ per n el ρ, cuy valr es: ρpryección = Rtg(ρ/2) Ecuación

40 Figura 4.13 Ejempls de pryeccines esteregráficas pueden bservarse en la Tabla 4.26 andalucita Figuras 40

41 apatit bitita 41

42 calcita cianita 42

43 circón crdierita 43

44 cuarz epidta 44

45 flurita granate pirp 45

46 hrnblenda sillimanita 46

47 tremlita turmalina Tabla

48 4.14 PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA DE LOS EJES CRISTALOGRÁFICOS, LAS ZONAS Y POLOS DE LAS CARAS FUNDAMENTALES DE LOS DISTINTOS SISTEMAS CRISTALINOS Cúbic, tetragnal, rómbic (rtgnales) Rmbédric y hexagnal Figura 4.14 Figura

49 Mnclínic Triclínic Figura 4.16 Figura

50 4.15 CÁLCULOS CRISTALOGRÁFICOS La pryección esteregráfica es útil prque permite btener el grup puntual y el sistema cristalin a partir de la representación de ls pls de sus caras. Para la representación de dichs pls es precis el cncimient de las crdenadas esféricas que se btienen midiend ls ánguls cn un gniómetr. GONIÓMETRO Es un aparat para medir ls ánguls interfaciales* de ls cristales. Se utilizan ds tips principalmente: 1. El gniómetr de cntact, para cristales grandes. Cnsiste de un transprtadr de ánguls, cn un braz scilante que se clca en cntact cn las caras del cristal. En general, ls resultads sn pc exacts. 2. El gniómetr óptic, apt para pequeñs cristales cn caras reflectantes y brillantes. Existen varias versines de este tip, dependiend de la capacidad que tenga el cristal para reflejar un haz de luz dirigid hacia él desde un climadr. La reflexión se detecta mediante un telescpi bservadr. El cristal se gira desde una psición de reflexión a la siguiente, y se mide el ángul de rtación. Ls gniómetrs óptics sn de gran utilidad, debid a su alt grad de precisión y exactitud. Cncidas estas crdenadas se puede btener: relación paramétrica: a/b:b/b:c/b ó a/b:1:c/b ánguls de la cruz axial: α, β, γ Para ell es precis cncer las caras (100), (010), (001) y (110) ó (101) ó (011), que frman parte de un triángul esféric, denminad triángul fundamental. * Ángul interfacial es el ángul existente entre las nrmales a las ds caras de un cristal Cuadr 4.5 Ejempl de un cristal cúbic: 50

51 Figura 4.18 Ecuación 4.2 En el cas de ls sistemas rtgnales el ángul entre las caras (100) y (010) es igual a 90º (010) y (001) es igual a 90º α=180-(001)^(010) β=180-(001)^(100) γ=180-(100)^(010) Ecuación 4.3 Para btener ls valres exacts de la relación paramétrica es precis hacer us de trignmetría esférica. TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA La trignmetría esférica es de gran imprtancia para la tería de la pryección esteregráfica y en la gedesia. Es también el fundament de ls cálculs astrnómics. Pr ejempl, la slución del llamad triángul astrnómic se utiliza para encntrar la latitud y lngitud de un punt, la hra del día, la psición de una estrella y tras magnitudes. Partims de una esfera de radi unidad. Si crtams dicha esfera cn un plan que pasa pr el centr de la esfera btenems l que se llama un círcul máxim. Si pr el cntrari, el plan de crte n pasa pr el centr de la esfera, l que btendrems es un círcul menr. 51

52 Cnsiderems ahra una esfera y un círcul máxim. Si trazams una recta perpendicular al plan que define el círcul máxim y que pasa pr el centr de la esfera, l que btenems sn ds punts en la esfera que se denminan pls. Además, el círcul máxim va a dividir a la esfera en ds semiesferas llamadas hemisferis. El ángul diedr es el ángul cmprendid entre ds círculs máxims. En este punt pdems definir a un triángul esféric cm una prción de superficie esférica limitada pr tres círculs máxims, cn la cndición de que la medida de cada un de ls arcs sea menr que 180º. Para reslver un triángul esféric basta cn cncer al mens tres de ls seis dats de dich triángul (tres lads y tres ánguls). Relacines que cumplen ls lads y ánguls de un triángul: Un lad de un triángul esféric es menr que la suma de ls trs ds y mayr que su diferencia. La suma de ls tres lads de un triángul esféric es menr que 360º. La suma de ls tres ánguls es mayr que 180º y menr que 540º. Si un triángul esféric tiene ds ánguls iguales, ls lads puests también sn iguales entre sí. Si un triángul esféric tiene ds ánguls desiguales, a mayr ángul se pne el mayr lad. Después de ver estas relacines, es interesante reseñar, que para la reslución de triánguls esférics existen una serie de fórmulas, cm las fórmulas de Bessel, fórmula de la ctangente, fórmulas de Brda... Además, en el cas de un triángul esféric rectángul (un ángul es de 90º), de un rectiláter (un lad es de 90º), la reslución se simplifica cn la regla del pentágn de Neper. Terema de ls sens: En un triángul esféric, ls lads y sus ánguls puests verifican las prprcines (primer grup de Bessel): (sen a/ sena) = (sen b)/(senb) = (sen c)/( senc) Terema del csen: En un triángul esféric, cada lad y su ángul puest satisfacen las igualdades (segund grup de Bessel): cs a = cs b cs c + sin b sin c cs A, cs b = cs c cs a + sin c sin a csb cs c = cs a cs b + sin a sin b cs C Cuadr

53 Ls índices de Miller de un pl de una cara, distint de un de ls fundamentales, puede calcularse pr algun de ls métds siguientes: Métd de ls csens directres de Wulff (a/h)cs ϕ = (b/k)cs χ = (c/l) cs ω Ecuación 4.4 Ls ánguls (ϕ, χ, ω) sn ls que frma la nrmal a la cara cn ls tres ejes de crdenadas (x, y, z) respectivamente. Métd de la razón de ls sens de Miller: Cnsiste en calcular ls índices del pl de una cara cncids ls índices de ls pls de las tras tres caras cn las que está en zna. Ejempl: En la Figura 4.19 pdrían calcularse ls índices de la cara E si se cncen ls de las caras C, D y F, ya que están tdas en zna. Figura