Porción de espacio totalmente limitada por polígonos planos. Fórmula de Euler: Vértices + Caras = Aristas + 2. Clasificación de poliedros.

Transcripción

1 PORO Pliedr. Prción de espaci ttalmente limitada pr plígns plans. lements del pliedr. R RST VÉRT O ÁUO RO ÁUO PORO TRO Plígns que limitan y frman la superficie del pliedr. ada lad de las caras del pliedr. Punt cmún de cncurrencia de varias aristas. Recta que unen ds vértices n situads en una misma cara. Ángul frmad pr ds caras cnsecutivas. Ángul frmad pr mas de ds caras de vértice cmún. Punt que equidista de caras y aristas. entr de simetría. órmula de uler: Vértices + aras = ristas + 2 lasificación de pliedrs. R U R SRRUR R R U R O V X O Ó V O U O R Pliedr frmad cn plígns regulares del mism tip y cncurriend el mism númer de ells en cada vértice. Pliedr cuyas caras sn plígns regulares de tips distints, per en cada vértice se juntan el mism númer de caras y de la misma frma. tienen las caras ánguls iguales. Pliedr situad en un mism semiespaci cn relación al plan en el que se apya cualquiera de sus caras. Pliedr dividid pr el plan que cntiene cualquiera de sus caras. Pliedr que tienen tdas las aristas iguales y sus caras plígns regulares. OUO Pliedr cuy númer de caras cincide cn el de vértices de su cnjugad. s centrs de las caras de un pliedr regular sn vértices del cnjugad. Pliedrs Regulares Sólids Platónics. (5). Pliedrs unifrmes, cnvexs y cn el mism númer de plígns regulares iguales (caras) cncurriend en cada vértice. Sólids rquimedians (3). Pliedrs semirregulares, unifrmes, cnvexs y cn el mism númer de plígns regulares distints (caras) cncurriend en cada vértice. Pliedrs de ugene atalan. uales (cnjugads) de ls Sólidsrquimedians. Prismas y ntiprismas (infinits). mbs tienen ds caras plignales iguales y paralelas (bases), unidas pr paralelgrams que cnstituyen las caras laterales, en ls Prismas, y cn las bases, dispuestas en sentid cntrari, unidas pr triánguls equiláters en ls ntiprismas. PRPÍPO, prisma de bases paralelgrams. Pirámides. Pliedr de base un plígn y caras laterales triánguls cn un vértice cmún. Sólids de hnsn (92). Pliedrs cnvexs cn caras plígns regulares diferentes. eltaedr (8). Pliedr frmad pr triánguls equiláters. strellads (epler/pinst) (4). Unifrmes y cóncavs, ds de puntas piramidales pentagnales (gran y pequeñ ddecaedr estrellad, 2 puntas) y ds de puntas piramidales triangulares (gran y pequeñ icsaedr estrellad, 20 puntas).

2 iagrama de Schlegel.

3 POROS RURS O SÓOS PTÓ TTRRO. 4 caras (triánguls equiláters). 4 vértices. Punt cmún de tres caras. 6 aristas. ncurren tres en cada vértice. Ángul diedr de XRO O UO. 6 caras (cuadrads). 8 vértices. Punt cmún de tres caras. 2 aristas. ncurren tres en cada vértice. Ángul diedr de diagnales. aras cntiguas perpendiculares y puestas paralelas. OTRO. 8 caras (triánguls equiláters). 6 vértices. Punt cmún de cuatr caras. 2 aristas. ncurren cuatr en cada vértice. Ángul diedr de diagnales perpendiculares entre sí. aras puestas paralelas. ORO. 2 caras (pentágns regulares). 20 vértices. Punt cmún de tres caras. 30 aristas. ncurren tres en cada vértice. Ángul diedr de diagnales mayres. aras puestas paralelas. OSRO. 20 caras (triánguls equiláters). 2 vértices. Punt cmún de cinc caras. 30 aristas. ncurren cinc en cada vértice. 6 diagnales mayres. Ángul diedr de 38. aras puestas paralelas.

4 TTRRO. Seccines del tetraedr. SÓ PRP. Prducida pr un plan que cntiene una arista y es perpendicular a la puesta pasand pr su punt medi. s un triángul isósceles frmad pr la arista (lad desigual) y las alturas de ds caras (lads iguales). ristas:,, = ltura de una cara: = ltura del vértice puest a una cara: = entr del tetraedr y rtcentr de la sección: Radi de la esfera inscrita: = Radi de la esfera circunscrita: = iámetr de la esfera tangente a las aristas: Ángul frmad pr ds caras cnsecutivas: P Q O Ñ S R SÓ QUÁTR () Prducida pr un plan paralel a una de las caras del tetraedr. SÓ UR. (ÑO) Prducida pr un plan paralel a ds aristas puestas y trazad pr el centr del tetraedr. s vértices se encuentran en ls punts medis de las aristas que seccina el plan y ls lads del cuadrad equivalen a la mitad de la arista. SÓ RTUR (PQRS) Prducida pr un plan paralel al que da una sección cuadrada. esarrll del tetraedr.

5 TTRRO. Psicines del tetraedr. h 0 h 2 2 Tetraedr cn una cara en un plan de pryección. a cara apyada es un triángul equiláter, cn el cuart vértice en el centr y unid a ls trs tres. a tra pryección tiene la cara apyada en la línea de tierra y la altura ( el alejamient) del cuart vértice se btiene cnstruyend la sección principal y halland la altura sbre un de ls ds lads iguales. También abatiend la sección principal usand cm eje la altura de la cara que está apyada. h Tetraedr cn una arista en un plan de pryección y la puesta paralela a dich plan. a arista dada y su puesta se representan en verdadera magnitud al ser paralelas al plan de pryección. h 0 demás, se cruzan en el punt medi y sn las diagnales de un cuadrad que cmpleta dicha pryección. a distancia entre ellas en la tra pryección se btiene en la sección principal y equivale al lad del cuadrad. a Tetraedr cn una de sus aristas perpendicular a un plan de pryección. Situada la arista vertical, la puesta se encuentra en un plan(hrizntal) cruzándse perpendicularmente a aquella pr su punt medi. a a distancia desde ese punt medi, de la arista vertical, hasta ls extrems de la arista situada en el plan hrizntal es igual que la altura de una cara del tetraedr. sí pues, la pryección cincide cn la sección principal del tetraedr. Se trazará pues, cn centr en la pryección hrizntal de la arista dada y cn radi la altura de una de las caras del tetraedr, una circunferencia sbre la que una cuerda de medida la arista ns dará ls trs ds vértices del tetraedr.

6 XRO O UO. Seccines del hexaedr cub. SÓ PRP. Prducida pr un plan que cntiene ds aristas puestas. s un rectángul de lad menr la arista del cub y lad mayr la diagnal de una cara. ristas:,,,,,,,,,, = iámetr(arista) de la esfera inscrita tangente a las caras: iámetr de la esfera circunscrita:,, = iámetr de la esfera tangente a las aristas: = entr de las esferas del pliedr: iagnal de una cara: = Q Ñ P O SÓ TRUR QUÁTR () - () Prducida pr un plan perpendicular a la diagnal del cub y en el espaci crrespndiente al primer terci de esta a partir de sus extrems. n el límite de ls terci centrales la sección es un triángul equiláter que cntiene tres vértices del hexaedr. SÓ XO RUR (ÑOPQ) exagnal regular si el plan es perpendicular a la diagnal del cub pr su mitad, siend ls vértices del hexágn ls punts medis de las aristas n cncurrentes en ls extrems de la diagnal. l lad del hexágn equivale a la mitad de la diagnal de una cara. esarrll del hexaedr cub.

7 XRO O UO. Psicines del hexaedr cub. exaedr cub cn una cara en ls plans de pryección. a a a cara apyada en el hrizntal, pryección hrizntal ( vertical del cub), es un cuadrad de lad la arista. a tra pryección tiene cuatr vértices en la línea de tierra y, perpendicularmente y respectivamente a ésta, ls trs cuatr cn una distancia de cta ( alejamient) igual al de dicha arista del hexaedr. /2 /2 exaedr cub cn la sección principal paralela a un plan de pryección. Una pryección es el rectángul de la sección principal cn la arista apyada y su puesta cincidentes, paralelas a ls lads menres y pr la mitad de dich rectángul. a tra pryección tiene ls extrems de la arista apyada en la línea de tierra y ls de la arista paralela a una distancia igual a la diagnal de la cara del cub. s cuatr vértices restantes se encuentran en la mitad de esta distancia. /3 /3 / exaedr cub cn la diagnal perpendicular a un plan de pryección. Realizar aparte la sección principal de un cub para btener pr semejanza la diagnal de una de las caras. Una pryección cntiene la diagnal del cub perpendicular a la línea de tierra y dividida en tres partes iguales. a tra pryección se inicia trazand, desde el punt cmún de las pryeccines de la diagnal del cub, una circunferencia circunscrita a un triángul equiláter de lad la diagnal de la cara del cub. n esta circunferencia se inscribe un hexágn regular cuys vértices al unirls crrespndientemente cn el centr cmpletarán ls del cub. Para terminar la primera pryección bastará cn situar ls vértices que crrespndan en las paralelas a la línea de tierra, teniend en cuenta la visibilidad de las aristas al unirls.

8 OTRO. Seccines del ctaedr. SÓ PRP. Prducida pr un plan perpendicular a ds aristas puestas y pr su punt medi. a cm figura plana un rmb de diagnal mayr la distancia entre vértices puests (diagnal del ctaedr) y diagnal menr la arista del ctaedr. ristas:,,,,,,,,,, = iámetr de la circunferencia circunscrita:, = iámetr de la circunferencia tangente a las aristas: = iámetr de la circunferencia inscrita: entr de las circunferencias y del ctaedr: Ángul entre ds caras: = SÓ UR. (O) O Prducida pr un plan perpendicular a cualquiera de las diagnales del ctaedr. uand el plan pasa pr el centr del ctaedr se btiene un cuadrad de lad la arista. P U T SÓ XO RUR.. (PQRSTU) Q R S exagnal regular, prducida pr un plan paralel a ds caras puestas del ctaedr y trazad pr el centr de éste. s vértices del hexágn están situads en ls punts medis de las aristas a las que el plan n es paralel y el lad equivale a la mitad de la arista del ctaedr. esarrll del ctaedr.

9 OTRO. Psicines del ctaedr. /2 /2 2 Octaedr cn la diagnal perpendicular a un plan de pryección. Una pryección resulta ser un cuadrad de lad la arista y cuyas diagnales dan la situación de ls trs ds vértices en el punt de crte. 2 a tra pryección tiene la diagnal cm distancia entre ds vértices estand ls cuatr restantes situads en la mitad de dicha diagnal y unids cn ls extrems de ésta. /2 /2 Octaedr cn ds aristas perpendiculares a un plan de pryección. a sección principal es una de las pryeccines, la tra tiene ds vértices en la línea de tierra y trs ds a una distancia de ells equivalente a la arista del ctaedr. s ds que quedan se encuentran situads a una distancia equivalente a la mitad de una arista y unids cn ls cuatr anterires. h Octaedr cn una cara en un de ls plans de pryección. as ds caras (la apyada y su puesta, ya que en el ctaedr sn paralelas ds a ds) están situadas inversas una respect de la tra, en verdadera magnitud (triánguls equiláters) y frmand cn sus vértices un hexágn regular que crrespnde a una pryección. a tra pryección sitúa una cara en la línea de tierra y la tra a la distancia entre caras hallada en la sección principal, finalizand su cnstrucción uniend ls vértices de una cn ls de la tra.

10 OSRO. Ñ Ñ O Q S T R P Seccines del icsaedr. SÓ PRP. Prducida pr un plan que cntiene ds aristas puestas y paralelas. s un exágn irregular cn ds lads iguales a la arista y ls cuatr restantes alturas de una cara. ristas:,,,, Ñ,,,, Ñ,,,,,,,,,,,, Ñ,,,,,,,, Ñ, Ñ. ltura de una cara:,,,...,. iámetr de la esfera inscrita tangente a las caras: QR,..., ST. iagnal mayr y diámetr de la esfera circunscrita:,,, Ñ,,. iagnal menr y diámetr de la esfera tangente a las aristas:,,..., OP. entr de las esferas del pliedr:. Ángul frmad entre ds caras cnsecutivas:,...,. SÓ PTO RUR esarrll del icsaedr. () Prducida pr un plan perpendicular a la diagnal del icsaedr. a mayr cincide cn las aristas, base de una pirámide pentagnal cuy vértice es el extrem de la diagnal, el rest de seccines sn paralelas a la base pr cualquier medida de la altura de la pirámide descrita. SÓ O RUR (Ñ) Ñ Prducida pr un plan perpendicular a la diagnal del icsaedr. l plan pasa pr el centr del pliedr y pr ls punts medis de las aristas; el lad del decágn es la mitad de la arista.

11 OSRO csaedr cn la diagnal vertical a pryección hrizntal queda determinada pr ds pentágns regulares, de lad la arista, desfasads 36, el decágn que une sus vértices y ls segments que unen vértices y centr. s ds triánguls rectánguls cuya hiptenusa es la altura real de una cara del pliedr y catets l a s p r y e c c i n e s d e d i c h a a l t u r a, respectivamente, dan las distancias en que se divide la diagnal para situar ls vértices en la pryección vertical csaedr apyad en una cara a pryección hrizntal esta determinada pr ds triánguls equiláters desfasads 60 y un hexágn regular, unids ls vértices de dichs plígns crrespndientemente. Para hallar la circunferencia circunscrita al hexágn y una de las alturas de la pryección vertical, se cnstruye un triángul rectángul frmad pr la altura de la sección pentagnal (cm hiptenusa), su pryección hrizntal (un de ls catets) y el tr catet (altura buscada) que se btiene al crtarse ls arcs de radi una arista cn el de la altura real de la pentagnal. 0 2 a tra altura también se btiene cnstruyend un triángul rectángul, de hiptenusa la altura de una cara del pliedr y catet su pryección hrizntal que determinan el tr catet (altura buscada). 0 l icsaedr apyad en una arista (sección principal vertical) se bserva y se puede deducir de ls ejempls representads.

12 ORO. U T S P Ñ O Q R V Z Y X U O V Y X S R Seccines del ddecaedr. SÓ PRP. Prducida pr un plan que cntiene ds aristas puestas y paralelas. s un exágn irregular cn ds lads iguales a la arista y ls cuatr restantes alturas de una cara. ristas:,,,,,,,,,, Ñ,,,,,,,,, Ñ, T, P, Q, R, ÑS, TP, PQ, QR, RS, ST. ltura de una cara:u, US, RV, VR,..., Z. iámetr de la esfera inscrita tangente a las caras: X Y,..., XY. iagnales mayres y diámetrs de la esfera circunscrita:r, S, T, P, Q, Ñ,,,,. iagnal menr y diámetr de la esfera tangente a las aristas:s,..., R. entr de las esferas del pliedr: O Ángul frmad entre ds caras cnsecutivas:us,..., VR. SÓ PTO RUR () esarrll ddecaedr. Prducida pr un plan paralel a una cara del ddecaedr. esde la cara del pliedr se suceden seccines pentagnales, regulares y paralelas a ella hasta cincidir cn la mayr que tiene pr lad la diagnal de una cara. SÓ O RUR () Prducida pr un plan paralel a una cara del pliedr y pr el centr de este. l plan pasa pr el centr del pliedr y pr ls punts medis de las aristas; siend el lad del decágn la mitad de la arista.

13 ORO. S 2 O 2 R 2 P 2 Q 2 P 3 Q 3 R 3 O 3 S Ñ 2 2 Ñ csaedr apyad en una cara. T S O P R Ñ Q 0 a pryección hrizntal queda determinada pr ds pentágns regulares, de lad la arista, desfasads 36, un decágn y ls segments que unen ls vértices de este cn ls de aquells respectivamente. as alturas de ls vértices en la pryección vertical se cnsigue cnstruyend triánguls rectánguls. Un de hiptenusa la arista y catet menr su pryección y tr de hiptenusa la altura de la cara del pliedr y catet menr su pryección, siend ls catets mayres las alturas buscadas Ñ O 2 R 2 S 2 Q 2 P 2 decaedr cn la diagnal vertical. a pryección hrizntal queda determinada pr un decágn semirregular que tiene sus vértices en ls crtes que dan el lad y la diagnal del pliedr, paralels entre sí y perpendiculares a tres ejes ismétrics, en una circunferencia de diámetr la distancia entre aristas puestas del ddecaedr; ls trs vértices pertenecen a ds triánguls equiláters, de lad la diagnal de la cara del pliedr y desfasads 60, uns y trs respectivamente unids cnfrman dicha pryección hrizntal. Q P a pryección vertical tiene ls vértices en crrespndencia cn ls de la hrizntal y según seis alturas que se btiene de la sección principal. R O l ddecaedr apyad en una arista (sección principal vertical) se bserva y se puede deducir de ls ejempls representads. S Ñ