FACULTAD DE INGENIERÍA

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMAS DE ASIGNATURAS DEL PROCESO DE ADMISIÓN AL CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) MATEMÁTICA II AÑO 2012

2 ASIGNATURA: MATEMÁTICA II I. FUNDAMENTACIÓN En esta disciplina se expnen ls cncepts básics sbre las figuras de ds y tres dimensines, para perar cn sistemas de medidas lineales y angulares, cn el fin de reslver, entre trs, prblemas tpgráfics y astrnómics simples. II. OBJETIVOS Objetivs generales 1. Estudiar las prpiedades de las figuras gemétricas. 2. Desarrllar de la capacidad de raznamient lógic para el plante y slución de prblemas. 3. Adquirir destrezas en la reslución de prblemas. Objetivs específics 1. Utilizar aximas y prpiedades ya establecids en la demstración de teremas. 2. Demstrar las prpiedades de las figuras en el plan y en el espaci. 3. Analizar y reslver prblemas gráfics. 4. Analizar y reslver prblemas numérics que envuelven medidas de figuras gemétricas en el plan y en el espaci. 5. Reslver prblemas de triánguls y tras figuras, mediante el estudi de la relación entre lads y funcines trignmétricas de ánguls. 6. Reslver prblemas de la trignmetría cn prcedimients algebraics de aplicación en Ingeniería. III. CONTENIDOS Prgrama Sintétic Fundaments, definicines, aximas. Ánguls: cnsecutivs, adyacentes, rect, agud, btus, puests pr el vértice, cmplementaris, suplementaris. Prpiedades de ls ánguls. Teremas relativs a ls misms. Rectas: perpendiculares y blicuas. Teremas relativs a las mismas. Triánguls: definición, clasificación según sus lads y sus ánguls. Teremas relativs a ls cass de cngruencia. Teremas relativs a lads y ánguls. Teremas relativs a la mediatriz de un lad y bisectriz de un ángul. Rectas paralelas. Axima. Teremas relativs a ánguls determinads pr ds rectas paralelas crtadas pr una secante. Teremas relativs a ánguls de lads respectivamente paralels perpendiculares. Plígn: definición, clasificación según el númer de lads, diagnal. Teremas relativs a ánguls de plígns. Página 31

3 Cuadriláter: definición, clasificación. Teremas relativs a ls lads, diagnales y ánguls de trapecis y paralelgrams. Circunferencia: definición, elements. Teremas relativs a arcs, cuerdas, ánguls centrales, interires, inscrits, semiinscrits y exterires. Prprcinalidad de segments de rectas: definición, semejanza de plígns. Teremas relativs a semejanza de triánguls. Área de triánguls. Figuras equivalentes. Áreas de figuras planas. Ejercicis de cnstrucción de figuras gemétricas. Ncines preliminares de trignmetría. Funcines trignmétricas de arcs cmplementaris y suplementaris; de arcs que difieren en una semicircunferencia psitiva; arcs iguales y de signs cntraris. Representacines gráficas de las funcines trignmétricas. Reducción de funcines trignmétricas de un arc a funcines trignmétricas de un arc del primer cuadrante. Funcines trignmétricas inversas. Representacines gráficas. Deducción de las frmulas trignmétricas del primer grup. Frmulas fundamentales y derivadas. Determinación gemétrica de ls valres de las funcines trignmétricas de arcs ntables. Deducción de las fórmulas trignmétricas del segund grup. Deducción de las frmulas trignmétricas del tercer grup. Identidades trignmétricas. Verificación. Identidades trignmétricas cndicinadas. Reslución de ecuacines trignmétricas. Reslución de sistemas de ecuacines trignmétricas. Reslución de triánguls rectánguls y blicuánguls. Determinación de plans. Terema relativ a rectas perpendicular y blicu a un plan. Teremas relativs a rectas y plans paralels. Teremas relativs a ls ánguls diedrs y pliedrs. Cuerps pliedrs cnvexs. Clasificación y características. Frmulas del área lateral, ttal y vlumen de prismas, trnc de prismas, pirámides y trnc de pirámides. Superficie cilíndrica: directriz y generatriz. Frmulas de área lateral, área ttal y vlumen de un cilindr. Superficie cónica: directriz y generatriz. Fórmulas de área lateral, área ttal y vlumen de un cn. Superficie esférica y esfera. Área de la superficie esférica y vlumen de la esfera. Página 32

4 Prgrama Analític Detalle de ls cntenids EDA: Terema crlari cn enunciads, demstración y aplicacines en ejercici. EA: Terema crlari cn enunciads y aplicacines en ejercicis, sin demstración. Intrducción Fundaments. Las categrías de aximas en la Gemetría, según David Hilber. Ls términs primitivs en gemetría. Aximas de enlace y de rdenación. Figura cnvexa. Prpiedad general de las figuras cnvexas. Cncept de mvimient de las figuras. Aximas de cngruencia, de paralelism y de cntinuidad. Objet y división de la gemetría. GEOMETRÍA PLANA Segments de rectas: definición, cngruencia igualdad, desigualdad y peracines cn segments de rectas. Ánguls, división del ángul, cngruencia igualdad, desigualdad, peracines cn ánguls. Bisectriz de un ángul. Ánguls adyacentes y puests pr el vértice. Definición. Rectas perpendiculares y blicuas. Ánguls rect, agud y btus. Unicidad de la recta perpendicular a tra pr un punt de la misma exterir a ella. Medida de ánguls. Sistemas sexagesimal y centesimal. Ánguls cmplementaris y suplementaris. Mediatriz de un segment de recta. (EA)Terema: Ds ánguls adyacentes sn suplementaris. (EA)Terema: Ds ánguls cnsecutivs suplementaris sn adyacentes. (EA)Terema: Ds ánguls puests pr el vértice sn iguales. (EDA)Terema: Las bisectrices de ds ánguls adyacentes pertenecen a rectas perpendiculares y las de ds ánguls puests pr el vértice a una misma recta. Elements de un triángul: base; altura relativa a un lad; mediana relativa a un lad; mediatriz de un lad; bisectriz de un ángul; perímetr y semiperímetr. Clasificación de triánguls de acuerd a sus lads y a sus ánguls. (EA)Terema: Cass de cngruencia igualdad de triánguls. a) Ds triánguls sn cngruentes si tienen ds lads y el ángul cmprendid respectivamente iguales. a.1) Ds plígns del mism númer n ( n 3 ) de lads, sn cngruentes si tienen n 1 lads cnsecutivs respectivamente iguales cmprendiend n 2 ánguls iguales idénticamente dispuests. a.2) Ds triánguls rectánguls sn cngruentes si tienen sus catets respectivamente iguales. a.3) En un triángul isósceles, ls ánguls puests a ls lads iguales sn iguales. Página 33

5 a.4) Un triángul equiláter es equiángul. a.5) Si ds ánguls de un triángul sn iguales, el triángul es isósceles. a.6) Un triángul equiángul es equiláter. Crlari: En un triángul isósceles, la altura, la mediana y la bisectriz que tienen pr rigen el vértice dnde cncurren ls lads iguales, pertenecen a la mediatriz del lad puest. Crlari: En un triángul isósceles, la altura, la mediana y el segment de la bisectriz que tienen pr rigen el vértice dnde cncurren ls lads iguales y extrems en el lad puest, sn iguales. b) Ds triánguls sn iguales si tienen un lad y ls ánguls cntigus respectivamente iguales. b.1) Ds plígns del mism númer n ( n 3 ) de lads sn iguales si tienen n 2 lads cnsecutivs respectivamente iguales cntigus a n 1 ánguls iguales idénticamente dispuests. b.2) Ds triánguls rectánguls sn iguales si tienen un ángul agud y la hiptenusa respectivamente iguales. c) Ds triánguls sn iguales si tienen respectivamente iguales sus tres lads. c.1) Ds plígns del mism númer n ( n 3 ) de lads sn iguales si tienen n lads respectivamente iguales y n 3 ánguls cnsecutivs respectivamente iguales idénticamente dispuests. Otras cnsecuencias del axima del paralelism "Pr un punt exterir a una recta pasa una y sl una recta paralela a la dada (Euclides)": a) Ds rectas perpendiculares a una tercera, sn paralelas. b) Ds rectas paralelas a una tercera, sn paralelas. c) Tda recta secante a una recta crta también a sus paralelas y tda recta perpendicular a una recta es perpendicular a sus paralelas. d) Las respectivas rectas perpendiculares a ds rectas paralelas, sn paralelas. e) Las respectivas rectas perpendiculares a ds rectas cncurrentes, sn cncurrentes. Denminacines de ánguls determinads pr ds rectas crtadas pr una recta secante transversal a ambas. (EA)Terema: Ds rectas paralelas crtadas pr una secante frman: a) Ánguls alterns interns externs iguales; b) Ánguls crrespndientes iguales; c) Ánguls cnjugads interns externs suplementaris. (EA)Terema: Si ds rectas crtadas pr una secante frman: a) Ánguls alterns interns externs iguales; b) Ánguls crrespndientes iguales; c) Ánguls cnjugads interns externs suplementaris, Las rectas sn paralelas. (EDA)Terema: Ls segments determinads en ds rectas paralelas, pr tras ds rectas paralelas, sn iguales. Definición de ánguls exterires de un plígn. (EDA)Terema: La suma de ls ánguls interires de un triángul es igual a ds ánguls rects. Página 34

6 a) Ls ánguls aguds de un triángul rectángul sn cmplementaris. b) Un triángul n puede tener más de un ángul rect ni más de un btus. c) El punt de intersección de ds rectas n paralelas crtadas pr una transversal secante a las mismas, pertenece al semiplan en que se encuentran ls ánguls cnjugads interns cuya suma es menr que ds rects. d) Td ángul exterir a un triángul es igual a la suma de ls ánguls interns n adyacentes a él y mayr que cada un de ells. e) Ds triánguls rectánguls sn iguales si tienen un ángul agud y un catet respectivamente iguales. Definición de plígns regulares. Crlari: La suma de ls ánguls interires de un plígn cnvex de n lads ( n > 2 ) es igual a 2Rt(n 2) (1Rt es igual a un ángul rect). Crlari: El ángul interir de un plígn cnvex regular de n lads es igual a 2Rt(n -2)/n (1Rt es igual a un ángul rect). (EA)Terema: La suma de ls ánguls exterires de un plígn cnvex es igual a cuatr ánguls rects. Definición de sentids en semirrectas que pertenecen a rectas paralelas. (EDA)Terema: Ds ánguls de lads situads en rectas respectivamente paralelas y dirigids en el mism sentid en sentids puests sn iguales. (EDA)Terema: Ds ánguls de lads situads en rectas respectivamente paralelas, ds de ells dirigids en el mism sentid y ls trs ds en sentids puests, sn suplementaris. (EDA)Terema: Ds ánguls, aguds u btuss, de lads situads en rectas respectivamente perpendiculares, sn iguales. (EDA)Terema: Ds ánguls, un agud y tr btus, de lads situads en rectas respectivamente perpendiculares, sn suplementaris. (EDA)Terema: Si en un triángul ds lads sn desiguales, a mayr lad se pne mayr ángul. (EDA)Terema: Si en un triángul ds ánguls sn desiguales, a mayr ángul se pne mayr lad. a) En td triángul rectángul la hiptenusa es el lad mayr. (EA)Terema: Cada lad de un triángul es menr que la suma de ls trs ds y mayr que su diferencia. Definicines de: Distancia entre ds punts. Distancia de un punt a una recta. Segments blicus. (EDA)Terema: La distancia de un punt a una recta es menr que un segment blicu cmprendid entre el punt y la recta. (EDA)Terema: El menr de ls segments de rectas cmprendids entre un punt y una recta es el que pertenece a la perpendicular pr el punt a la recta. (EA)Terema: Ds segments blicus cmprendids entre un punt y una recta y cuys pies equidistan del de la perpendicular pr el punt a la recta, sn iguales. (EA)Terema: Si ds segments blicus cmprendids entre un punt y una recta sn iguales, sus pies equidistan del pie de la perpendicular pr el punt a la recta. Página 35

7 (EDA)Terema: ds triánguls rectánguls sn iguales si tienen respectivamente iguales la hiptenusa y un catet. (EA)Terema: De ds segments blicus cmprendids entre un punt y una recta, aquel cuy pie dista más del pie de la perpendicular pr el punt a la recta, es mayr. (EA)Terema: Si ds segments blicus cmprendids entre el punt y la recta sn desiguales, el pie del segment blicu mayr dista más que el pie del menr, del pie de la recta perpendicular trazada pr el punt a la recta. (EDA)Terema: Si ds triánguls tienen ds lads respectivamente iguales y el ángul cmprendid desigual, a mayr ángul se pne mayr lad. (EDA)Terema: Si ds triánguls tienen ds lads respectivamente iguales y el tercer lad desigual, a mayr lad se pne mayr ángul. (EDA)Terema: Dadas, en un plan, tres más rectas paralelas y una transversal secante a las mismas, si ls segments de recta determinads en la secante pr las rectas paralelas sn iguales, también serán iguales ls determinads en cualquier tra transversal pr las mismas rectas paralelas. (EDA) Terema: La recta paralela a la que cntiene un lad de un triángul, pr el punt medi de tr lad, pasa pr el punt medi del tercer lad, y, el segment de extrems en dichs punts medis, es la mitad del primer lad. (EDA)Terema: La recta determinada pr ls punts medis de ds lads de un triángul es paralela a la recta que cntiene el tercer lad. Definición de lugar gemétric (EDA)Terema: La mediatriz de un segment de recta es el lugar gemétric de ls punts equidistantes de ls extrems de dich segment. (EDA)Terema: La bisectriz de un ángul es el lugar gemétric de ls punts equidistantes de ls lads del ángul. Crlari: El lugar gemétric de ls punts equidistantes de ds rectas secantes, es el cnjunt de las ds rectas perpendiculares frmad pr las bisectrices de ls cuatr ánguls que aquellas determinan. (EA)Terema: las bisectrices de ls ánguls de un triángul cncurren en un punt equidistante de ls lads (incentr) (EA)Terema: Las mediatrices de ls lads de un triángul cncurren en un punt equidistante de ls vértices (circuncentr) (EA)Terema: El punt medi de la hiptenusa de un triángul rectángul equidista de ls tres vértices. (EA)Terema: Las rectas perpendiculares pr ls vértices de un triángul a las rectas que cntienen a ls lads puests sn cncurrentes (rtcentr) (EDA)Terema: Las medianas de un triángul cncurren en un punt situad a la tercera parte de cada una de ellas, a cntar del lad crrespndiente (baricentr) (EDA)Terema: Si un de ls ánguls aguds de un triángul rectángul es el dble del tr, la hiptenusa es el dble del catet menr. Cuadriláters: clasificación y características. Suma de ls ánguls interns y externs. Trapecis: características y clasificación; base media, semisuma y semidiferencia de las bases. Página 36

8 (EDA)Terema: Si un cuadriláter tiene respectivamente iguales sus lads sus ánguls puests, es un paralelgram. (EA)Terema: Si un cuadriláter tiene ds lads puests iguales y situads en rectas paralelas, es un paralelgram. Prpiedades de las diagnales de ls cuadriláters. (EDA)Terema: Las diagnales de un paralelgram se dividen mutuamente en partes iguales. Definicines: circunferencia; círcul; centr y radi; rectas tangente y secante; arc; cuerda; diámetr; segment circular; División de un arc y peracines cn arcs de una misma circunferencia de circunferencias de radis iguales; ángul central, ángul inscrit, ángul seminscrit, ángul interir, ángul exterir; sectr circular; circunferencias tangentes interires y exterires; circunferencias secantes; círculs interires y exterires; círculs cncéntrics; crna y trapeci circular; relación entre distancia entre ls centrs de ds circunferencias y sus radis; recta tangentes cmún interna y externa a ds circunferencias. (EDA)Terema: En una misma circunferencia en circunferencias de radis iguales, ánguls centrales iguales interceptan arcs iguales y el mayr de ds ánguls centrales desiguales, intercepta mayr arc. (EA)Terema: En una misma circunferencia en circunferencias de radis iguales, arcs iguales subtienden ánguls centrales iguales; y el mayr de ds arcs desiguales subtiende mayr ángul central. (EA)Terema: En una misma circunferencia en circunferencias de radis iguales, arcs iguales sn subtendids pr cuerdas iguales, y el mayr de ds arcs desiguales es subtendid pr mayr cuerda. (EA)Terema: En una misma circunferencia en circunferencias de radis iguales, cuerdas iguales subtienden arcs iguales, y la mayr de ds cuerdas desiguales subtiende mayr arc. (EDA)Terema: La recta perpendicular pr el centr de una circunferencia a una recta secante, bisecta la cuerda y ls arcs subtendids. a) Un diámetr bisecta la circunferencia. b) La recta determinada pr el centr de una circunferencia y el punt medi de una cuerda es perpendicular a la recta secante que cntiene la cuerda. c) La mediatriz de una cuerda pasa pr el centr de la circunferencia. (EDA)Terema: En una misma circunferencia en circunferencias de radis iguales, cuerdas iguales equidistan del centr y de ds cuerdas desiguales la mayr dista mens del centr que la menr. (EDA)Terema: En una misma circunferencia en circunferencias de radis iguales, las cuerdas equidistantes del centr sn iguales, y de ds cuerdas n equidistantes del centr es mayr la que mens dista del mism. a) El diámetr es la mayr cuerda de una circunferencia. (EDA)Terema: Si una recta es perpendicular a tra que cntiene un radi en el extrem del mism, la primera es tangente a la circunferencia. (EDA)Terema: La recta tangente a una circunferencia es perpendicular a la recta determinada pr el centr y el punt de tangencia. (EA)Terema: La recta perpendicular a una recta tangente pr el punt de tangencia cntiene al centr de la circunferencia. Página 37

9 (EA)Terema: La recta perpendicular pr el centr de una circunferencia a una recta tangente, pasa pr el punt de tangencia. (EDA)Terema: En una circunferencia, ds rectas paralelas interceptan arcs iguales. (EA)Terema: Ds rectas tangentes a una circunferencia pr un punt exterir a la misma frman ánguls iguales cn la determinada pr el punt exterir y el centr de la circunferencia y ls segments de las tangentes, de extrems en dich punt exterir y ls de tangencia, sn iguales. Crlari: La recta determinada pr ls centrs de ds circunferencias secantes, es la mediatriz de la cuerda cmún. (EDA)Terema: Si ds circunferencias sn tangentes, la recta determinada pr ls centrs pasa pr el punt de tangencia. Definicines: Unidad de medida de una magnitud; medida de una cantidad de una magnitud; cantidades cnstante y variable; límite de una cantidad variable; cantidades cnmensurables e incnmensurables. Prpiedades: relacines de igualdad de ds cantidades y sus medidas; cantidades variables que permanecen iguales y sus límites. (EA)Terema: En una misma circunferencia en circunferencias de radis iguales, ds ánguls centrales sn entre sí cm ls arcs que ls subtienden. (EA)Terema: Un ángul central se mide pr el arc que l subtiende (medida de un ángul pr un arc). (EDA)Terema: Un ángul inscrit en una circunferencia tiene pr medida la mitad del arc cmprendid entre sus lads. Crlari: Un ángul inscrit en una semicircunferencia es un ángul rect. Crlari: Tds ls ánguls inscrits en un mism arc en arcs iguales, sn iguales. Crlari: Un ángul inscrit en un arc menr que una semicircunferencia es btus y en un arc mayr que una semicircunferencia es agud. (EA)Terema: Un ángul seminscrit en una circunferencia tiene pr medida la mitad del arc cmprendid entre sus lads. (EDA) Terema: Un ángul interir a una circunferencia tiene pr medida la semisuma de ls arcs cmprendids entre las rectas que cntienen sus lads. (EDA)Terema: Un ángul exterir a una circunferencia, tiene pr medida la semidiferencia de ls arcs cmprendids entre sus lads. (EDA)Terema: Un cuadriláter inscrit en una circunferencia tiene sus ánguls puests suplementaris. (EDA)Terema: Si un cuadriláter tiene sus ánguls puests suplementaris, es inscriptible en una circunferencia. Definición de arc capaz de cntener un ángul dad, cnsiderand cm cuerda un segment de recta dad. Ejercicis de cnstruccines gemétricas: Pr un punt trazar una recta perpendicular a una recta. Cnsiderar: a) punt de la recta y b) punt exterir a la recta. Trazar la bisectriz de un ángul. Página 38

10 Determinar el punt medi de: a) un segment de recta y b) un arc de circunferencia. Pr un punt de una recta trazar una semirrecta que frme cn ella un ángul igual a un ángul dad. Pr un punt exterir a una recta trazar una recta paralela a ella. Dividir un segment de recta en un númer dad de segments iguales. Cnstruir un triángul, dads: a) ds lads y el ángul cmprendid; b) un lad y ds ánguls y c) ls tres lads. Cnstruir un paralelgram, dads ds lads y el ángul cmprendid. Cnstruir un triángul, dads ds lads y el ángul puest a un de ells. Dad un triángul, cnstruir las circunferencias inscrita y circunscrita al mism. Trazar una recta tangente a una circunferencia pr un punt dad. Cnsiderar: a) punt de la circunferencia y b) punt exterir a la circunferencia. Cnsiderand un segment de recta cm cuerda, trazar un arc capaz de cntener un ángul dad. Trazar una recta tangente cmún a ds circunferencias dadas. Cnsiderar la tangente a) interir y b) exterir. Cnstruir un triángul isósceles dads: a) la base y el ángul puest; b) la base y el radi de la circunferencia circunscripta; c) la base y el radi de circunferencia inscrita y d) el perímetr y la altura relativa a la base. Cnstruir un triángul rectángul dads: a) la hiptenusa y un catet; b) un catet y la altura relativa a la hiptenusa; c) la mediana y la altura relativa a la hiptenusa; d) un catet y el radi de la circunferencia inscrita y e) un ángul agud y el radi de la circunferencia inscrita. (EDA)Terema: (Thales) ls segments interceptads en ds rectas transversales pr tres más rectas paralelas sn prprcinales. Crlari: Tda recta paralela a la que cntiene un lad de un triángul, divide ls trs ds en segments prprcinales. Crlari: Si una recta divide ds lads de un triángul en segments prprcinales, es paralela a la recta que cntiene al tercer lad. Definición de división armónica de un segment de recta. (EDA)Terema: La bisectriz de un ángul de un triángul y la del extern suplementari de éste, dividen el lad puest armónicamente en la razón de ls lads que cmprenden dich ángul. Definición de plígns semejantes: elements hmólgs en plígns semejantes. razón de semejanza. (EDA)Terema: Ds triánguls sn semejantes si tienen respectivamente iguales ds ánguls. Crlari: Ds triánguls rectánguls sn semejantes si tienen igual un ángul agud. (EDA)Terema: Ds triánguls sn semejantes si tienen un ángul igual cmprendid entre lads prprcinales. Crlari: Ds triánguls rectánguls sn semejantes si tienen prprcinales ls ds catets. (EDA)Terema: Ds triánguls sn semejantes si tienen sus tres lads respectivamente prprcinales. Página 39

11 Crlari: ls perímetrs de ds plígns semejantes sn entre sí cm ds lads hmólgs cualesquiera. (EA)Ds plígns semejantes se pueden descmpner igual númer de triánguls semejantes, idénticamente dispuests. Crlari: Ds plígns que pueden descmpnerse en igual númer de triánguls semejantes idénticamente dispuests sn semejantes. Definición de pryección de un punt y de un segment de recta sbre una recta. (EDA)Terema: En un triángul rectángul se verifican: a) Ls ds triánguls determinads pr la altura relativa a la hiptenusa sn semejantes y semejantes al triángul dad; b) La altura relativa a la hiptenusa es media prprcinal entre ls segments determinads en la hiptenusa; c) Cada catet es media prprcinal entre la hiptenusa y su pryección sbre ella. Crlari: El cuadrad de la hiptenusa es igual a la suma de ls cuadrads de ls ds catets. Crlari: Si se cnsidera la recta perpendicular pr un punt de una circunferencia a una recta que cntiene un diámetr de dicha circunferencia, se verifican: a) El segment de la perpendicular, de extrems en el punt de la circunferencia y el pie de la perpendicular, es media prprcinal entre ls ds segments determinads en el diámetr; b) La cuerda de extrems en el punt de la circunferencia y un de ls extrems del diámetr, es media prprcinal entre el diámetr y su pryección sbre este. (EDA)Terema: Si ds rectas secantes se crtan en un punt interir de una circunferencia, el prduct de ls segments determinads en una de las cuerdas, es igual al de ls determinads en la tra. (EDA)Terema: Si en ds rectas que se crtan se tienen cuatr segments de extrems cmunes y tales que el prduct de ds de ells cntenid en una de las rectas es igual al de ls trs ds cntenids en la tra recta, pr ls extrems n cmunes pasa una circunferencia. (EDA)Terema: Si pr un punt exterir a una circunferencia se cnsideran una recta tangente y una secante a la misma, el segment de la recta tangente de extrems en el punt dad y el de tangencia es media prprcinal entre ls segments de la secante, de extrems en ls punts de intersección cn la circunferencia y cmunes en el punt dad. Crlari: Si pr un punt exterir a una circunferencia se cnsideran rectas secantes a la misma, el prduct de ls segments de cada secante, de extrems en ls punts de intersección cn la circunferencia y cmunes es el punt dad, es cnstante. (EDA)Terema: El cuadrad del segment de la bisectriz de un ángul de un triángul, de extrems en el vértice de dich ángul y su intersección cn el lad puest; es igual al prduct de ls lads del ángul mens el prduct de ls segments determinads pr la bisectriz en el lad puest. (EDA)Terema: El prduct de ds lads de un triángul es igual al prduct del diámetr de la circunferencia circunscripta al mism pr la altura relativa al tercer lad. Ejercicis de cnstruccines gemétricas: Dividir un segment de recta dad en segments prprcinales a trs ds segments de rectas dads m y n. Determinar la cuarta prprcinal de tres segments de rectas dads. Página 40

12 Determinar la tercera prprcinal de ds segments de rectas cnsecutivs dads. Determinar la tercera prprcinal de ds segments de rectas dads. Determinar la media prprcinal de ds segments de rectas dads. Cnsiderar si sn cnsecutivs y si están superpuests cn un extrem cmún. Definición y cnstrucción de la división de un segment de recta dad en media y extrema razón. (división áurea) Cnstruir un plígn semejante a tr dad, cnciend un lad hmólg a un de lads del plígn dad. Inscribir en una circunferencia dada un triángul semejante a un triángul dad. Definicines de: unidad de superficie; área de una superficie; figuras equivalentes. Prpiedad: Ds figuras iguales sn equivalentes. (EA) Terema: Las áreas de ds rectánguls que tienen igual altura sn entre sí cm sus bases respectivas. Crlari: Las áreas de ds rectánguls que tienen igual base sn entre sí cm sus alturas respectivas. (EA) Terema: Las áreas de ds rectánguls sn entre sí cm ls prducts de las bases pr las alturas respectivas. Crlari: El área de un rectángul es igual al prduct de la base pr la altura. Crlari: El área de un paralelgram es igual al prduct de la base pr la altura. Crlari: Ds paralelgrams de bases y alturas iguales sn equivalentes. Crlari: Las áreas de ds paralelgrams de bases iguales sn entre sí cm sus alturas respectivas; las de ds alturas iguales sn entre sí cm sus bases respectivas y las áreas de ds paralelgrams cualesquiera sn entre sí cm ls prducts de las bases pr las alturas respectivas. Crlari: El área de un triángul es igual a la mitad del prduct de la base pr la altura. Crlari: Las áreas de ds triánguls de bases iguales sn entre sí cm sus alturas respectivas; las de ds triánguls de alturas iguales sn entre sí cm sus bases respectivas; y las áreas de ds triánguls cualesquiera sn entre sí cm ls prducts de sus bases pr las alturas respectivas. Crlari: El área de un trapeci es igual al prduct de la semisuma de las bases pr la altura. Crlari: El área de un rmb es igual a la mitad del prduct de sus diagnales. (EDA)Terema: Las áreas de ds triánguls que tienen un ángul igual sn entre sí cm ls prducts de ls lads que cmprenden ese ángul. (EDA)Terema: Las áreas de ds triánguls semejantes sn entre sí cm ls cuadrads de ds lads hmólgs cualesquiera. Crlari: Las áreas de ds plígns semejantes sn entre sí cm ls cuadrads de ls lads hmólgs. Crlari: Las áreas de ds plígns semejantes sn entre sí cm ls cuadrads de ds segments hmólgs cualesquiera. Crlari: (de Pitágras) el cuadrad que tiene pr lad la hiptenusa de un triángul rectángul es equivalente a la suma de ls cuadrads que tienen pr lads a ls catets del mism triángul rectángul. Página 41

13 Expresines de la altura, radi de la circunferencia circunscripta y radi de la circunferencia inscrita en función del lad de un triángul equiláter. Expresión del área de la superficie de un triángul equiláter. (EDA)Terema: En td triángul, el cuadrad de un de ls lads es igual a la suma de ls cuadrads de ls trs ds más mens el dble prduct de un de ells pr la pryección del tr sbre él, según que el ángul puest al lad cnsiderad sea btus agud. (EA)Terema: La suma de ls cuadrads de ds lads cualesquiera de un triángul es igual a ds veces el cuadrad de la mitad del tercer, más ds veces el cuadrad de la mediana relativa al mism. (EA)Terema: La diferencia de ls cuadrads de ds lads cualesquiera de un triángul es igual a ds veces el prduct del tercer pr la pryección de su mediana sbre él. Definición de circunferencia exinscrita a un triángul Determinación de las fórmulas que relacinan ls lads de un triángul y segments determinads en ls misms pr las circunferencias inscrita y exinscrita. Deducción de las siguientes fórmulas, en función de ls lads de un triángul: Altura relativa a un lad Área de la superficie (Fórmula de Herón) Radis de las circunferencias inscrita, circunscrita y exinscritas. Segment de bisectriz, de extrems en el vértice y su intersección cn el lad puest. Mediana relativa a un lad. Deduccines de las siguientes relacines en un triángul: Sumas de ls inverss de sus alturas y el invers del radi de la circunferencia inscrita. Suma de ls inverss de ls radis de sus circunferencias exinscritas y el invers del radi de la circunferencia inscrita. Prduct de ls radis de las circunferencias inscrita, exinscritas y el cuadrad del área de su superficie. Ejercicis de cnstruccines gemétricas: Cnstruir un cuadrad equivalente a la suma de ds cuadrads dads. Cnstruir un plígn semejante a ds plígns semejantes dads y cuya área de superficie es igual a la suma de las áreas de las superficies de ls plígns dads. Cnstruir un triángul equivalente a un plígn dad. Cnstruir un cuadrad equivalente a un paralelgram dad. Cnstruir un cuadrad equivalente a un triángul dad. Cnstruir un cuadrad equivalente a un plígn dad. Cnstruir un paralelgram equivalente a un cuadrad dad, cnciend la suma de la base y la altura. Cnstruir un paralelgram equivalente a un cuadrad dad, cnciend la diferencia de la base y la altura. Cnstruir un plígn semejante a un plígn dad y equivalente a tr plígn dad. Cnstruir un cuadrad cuya área de superficie esté en una relación igual a la de ds segments dads m y n cn el área de superficie de un cuadrad dad. Página 42

14 Cnstruir un plígn semejante a un plígn dad y cuya área de superficie esté en una relación igual a la de ds segments dads m y n cn el área de la superficie del plígn dad. Plígns regulares: radi; aptema; centr; ángul central. (EA) Terema: Td plígn regular tiene una circunferencia inscrita y una circunscrita. Crlari: La recta que cntiene un radi de un plígn regular bisecta el ángul pr cuy vértice pasa. Crlari: Ls ánguls centrales de un plígn regular sn iguales entre sí y suplementaris de ls interns del plígn. Crlari: Td plígn equiláter inscrit es plígn regular. Crlari: Td plígn equiángul circunscrit es plígn regular. (EDA)Terema: Ds plígns regulares de un mism númer de lads sn semejantes. (EDA)Terema: Ls perímetrs de ds plígns regulares de un mism númer de lads sn entre sí cm ls radis ls aptemas respectivs. (EA)Terema: Ds circunferencias sn entre sí cm sus radis respectivs. (EA)Crlari: La relación de la circunferencia al diámetr es un númer cnstante; y se l representa pr la letra griega π. (EA)Crlari: La lngitud de una circunferencia es igual al dble del prduct de π pr el radi. Unidad de medida en el sistema radial circular para la medida de arcs y ánuls: Arc de un radián: es el arc cuya lngitud es igual al radi de la circunferencia a la que pertenece. Ángul de un radián: es el ángul central que intercepta en su circunferencia, un arc de lngitud igual al radi de la misma. Fórmula de la lngitud de un arc de una circunferencia. (EA)Terema: El área de un plígn regular es igual a la mitad del prduct del perímetr pr la aptema. Crlari: El área de un círcul es igual a la mitad del prduct de la lngitud de su circunferencia pr el radi. Áreas del sectr, crna, segment y trapeci circulares. Crlari: relativ al cálcul de ls lads de ls plígns regulares seis, tres y cuatr lads, en función del radi de la circunferencia circunscrita. Crlari: relativ al cálcul de ls lads de ls plígns regulares diez y cinc lads, en función del radi de la circunferencia circunscrita. Ejercicis de cnstruccines gemétricas: Inscribir un cuadrad en una circunferencia dada. Inscribir un plígn regular de 8, 16, 32,..., lads en una circunferencia dada. Inscribir un exágn regular en una circunferencia dada. Inscribir un triángul equiláter en una circunferencia dada. Inscribir un plígn regular de 12, 24, 48,..., lads en una circunferencia dada. Página 43

15 Inscribir un decágn regular en una circunferencia dada. Inscribir un pentágn regular en una circunferencia dada. Inscribir un plígn regular de 20, 40,..., lads en una circunferencia dada. Inscribir un pentadecágn regular en una circunferencia dada. Inscribir un plígn regular de 30, 60,..., lads en una circunferencia dada. Determinación gráfica del lad del pentágn y del decágn regular. Relación entre el lad de un plígn regular inscrit en una circunferencia y el lad del plígn regular de dble númer de lads inscrit en la misma circunferencia: Relación entre el lad de un plígn regular circunscript a una circunferencia y el lad del plígn regular de igual númer de lads inscrit en la misma circunferencia. TRIGONOMETRÍA Ncines preliminares de Trignmetría. Circunferencia trignmétrica. Funcines trignmétricas: sen, csen, tangente, ctangente, secante y csecante de un arc. Líneas trignmétricas. Signs de la funcines trignmétricas de arcs del primer, segund, tercer y cuart cuadrantes. Representación gráfica de las funcines trignmétricas. Funcines trignmétricas de un ángul agud de un triángul rectángul en función de sus lads. Relacines entre funcines trignmétricas de arcs cmplementaris. (DA) Cálcul gemétric de ls valres de las funcines trignmétricas de arcs ntables. Relacines entre funcines trignmétricas de arcs suplementaris, que difieren en una semicircunferencia psitiva y arcs de igual valr abslut y signs cntraris. Reducción de funcines trignmétricas de un arc a funcines trignmétricas de un arc del primer cuadrante. Funcines trignmétricas inversas: arc sen, arc csen, arc tangente, arc ctangente, arc secante y arc csecante. Representacines gráficas. (EDA) Deducción de las fórmulas trignmétricas del primer grup. Fórmulas fundamentales y derivadas. (EDA) Deducción de las fórmulas trignmétricas del segund grup. a) Fórmulas del sen, csen, tangente y ctangente de la suma y diferencia de ds arcs. b) Fórmulas del sen, csen, y tangente del arc dble. c) Fórmulas del sen, csen y tangente del arc mitad. (EDA)Deducción de las fórmulas trignmétricas del tercer grup. a) Transfrmación en prduct de la suma y diferencia de ds sens, de ds csens y de ds tangentes. b) Transfrmación en sumas y diferencias de un prduct de ds sens y de ds csens. Identidades. Verificación. Identidad cndicinada. Reslución de ecuacines trignmétricas. Página 44

16 Reslución de sistemas de ecuacines trignmétricas. Reslución de triánguls rectánguls y blicuánguls. En un triángul rectángul: Un catet es igual a la hiptenusa pr el sen del ángul puest a dich catet. Un catet es igual a la hiptenusa pr el csen del ángul cntigu a dich catet. Un catet es igual al tr catet pr la tangente del ángul puest al primer catet. Un catet es igual al tr catet pr la ctangente del ángul cntigu al primer catet. El cuadrad de la hiptenusa es igual a la suma de ls cuadrads de ls ds catets. En un triángul: (EA) Ls lads sn prprcinales a ls sens de ls ánguls puests. (EA) La suma de ls lads es a su diferencia cm la tangente de la semisuma de ls ánguls puests a ess lads es a la tangente de la semidiferencia de ls misms. (EA) El cuadrad de un lad es igual a la suma de ls cuadrads de ls trs ds lads mens el dble prduct de ests lads pr el csen del ángul cmprendid entre ls misms. Expresines del sen, csen y tangente de la mitad de un ángul de un triángul en función de sus lads: Expresines del área de un triángul en función de sus lads: (Fórmula de Herón) GEOMETRÍA DEL ESPACIO Determinación del plan. Mediante una recta y un punt exterir a ella; ds rectas que se crtan y ds rectas paralelas. Definición de rectas cplanares y alabeadas. Axima: (de rdenación) Td plan establece una clasificación de ls punts del espaci n cntenids en él, en ds clases regines, y, td punt exterir al plan pertenece a una u tra región. Definición de semiespaci, brde de semiespacis y semiespacis puests. Cnsideracines de un plan, tres punts n pertenecientes al plan y la intersección de ls segment de extrems en dichs punts. una recta y un plan; recta del plan, y n perteneciente al plan, cn un punt cmún. Y sin punt cmún algun Rectas perpendicular, blicua y paralela a un plan. Observacines sbre la clasificación de ls punts de una recta que crta a un plan. (EA)Terema: E1: Ds plans cn un punt cmún, tienen una recta cmún que pasa pr dich punt. (EDA)Terema: Si una recta es perpendicular a tras ds en su punt de intersección, l es al plan que determinan. Página 45

17 Crlari: Tdas las rectas perpendiculares a una recta en un mism punt están en un plan perpendicular a ella en ese punt. a) Pr un punt de una recta pasa un sl plan perpendicular a ella. b) (EDA) Pr un punt exterir a una recta pasa un sl plan perpendicular a ella. c) Pr un punt de un plan pasa una y sl una recta perpendicular a dich plan. d) Pr un punt exterir a un plan pasa una recta y sl una perpendicular a dich plan. e) El menr de ls segments de rectas cmprendids entre un plan y un punt exterir a él, es el perteneciente a la recta perpendicular al plan pr dich punt. Crlari: Cnsiderads un plan y un punt exterir: ls segments blicus cuys pies equidistan del de la recta perpendicular pr el punt al plan, sn iguales; y, de ds segments blicus cuys pies n equidistan del de la recta perpendicular pr el punt al plan, es mayr el del pie más distante. Crlari: Tds ls segments blicus iguales cmprendids entre un plan y un punt exterir a él, tienen sus pies equidistantes del de la recta perpendicular trazada pr el punt al plan; y, de ds segments blicus desiguales, el pie del mayr dista más del de la recta perpendicular. Definición de distancia de un punt a un plan. El lugar gemétric de ls punts equidistantes de ds punts dads, es el plan perpendicular a la recta determinada pr ells, pr el punt medi del segment de extrems en dichs punts. El lugar gemétric de ls punts equidistantes de tres punts n pertenecientes a una misma recta es la recta perpendicular al plan determinad pr ls tres punts pr el centr de la circunferencia que pasa pr ls tres punts. (EDA)Terema: (de las tres rectas perpendiculares). Si pr el pie de una recta perpendicular a un plan se traza la recta perpendicular a cualquier recta del plan, tda recta determinada pr la intersección de estas ds y un punt de la recta perpendicular al plan, es perpendicular a la mencinada recta cualquiera del plan. (EDA)Terema: Ds rectas perpendiculares a un mism plan sn paralelas entre sí. (EA)Terema: Si una de ds rectas paralelas es perpendicular a un plan, la tra también l es. Ds rectas paralelas a una tercera, l sn entre sí. (EDA)Terema: Si ds rectas sn paralelas, td plan que cntiene a una sla de ellas es paralel a la tra. (EA)Terema: Si una recta es paralela a un plan, también es paralela a la intercepción de dich plan cn cualquier tr plan que cntenga a la recta. (EA) Terema: Pr cada una de ds rectas n situadas en un mism plan pasa un plan paralel a la tra y sól una. (EA) Terema: Pr un punt cualquiera puede trazarse un plan y sól, un paralel a ds rectas n situadas en un mism plan. Crlari: Si una recta es paralela a un plan, tda recta paralela a aquella trazada pr un punt del plan está cntenida en el plan. Definición de plans paralels. Crlari: Ds plans perpendiculares a una misma recta sn paralels entre sí. Página 46

18 (EA) Pr un punt exterir a un plan pasa un plan y sl un, paralel a dich plan. (EA)Terema: Las interseccines de un plan cn trs ds paralels, sn rectas paralelas. Crlari: Ls segments de rectas paralelas interceptads pr plans paralels sn iguales. Crlari: Ds plans paralels equidistan en tds sus punts. (EA)Terema: Si una recta es perpendicular a un de ds plans paralels, es perpendicular al tr. (EDA)Terema: Si ds rectas que se crtan sn paralelas a un plan, el plan que determinan también l es. Crlari: Pr una recta paralela a un plan pasa un plan y sl un paralel al dad. (EDA)Terema: Ls segments determinads en ds rectas del espaci pr tres más plans paralels, sn prprcinales. Definición de: Ángul diedr; división de un diedr, diedrs cnsecutivs, diedrs cngruentes iguales, bisectr de un diedr, diedrs adyacentes, diedrs puests pr la arista; plans perpendiculares, diedr rect, Ángul rectilíne de un diedr. (EDA)Terema: si ls Ánguls rectilínes de ds diedrs sn iguales, ls diedrs también l sn. Crlari: Ds diedrs sn entre sí cm sus ánguls rectilínes respectivs. Crlari: El ángul rectilíne de un diedr es la medida del diedr. Crlari: Ds plans que se crtan frman diedrs adyacentes suplementaris. Crlari: Si la suma de ls rectilínes de ds diedrs cnsecutivs es igual a ds rects, sus caras n cmunes sn semiplans puests. (EDA)Terema: Si ds plans sn perpendiculares entre sí, tda recta perpendicular a la intersección y cntenida en un de ells, es perpendicular al tr. (EA)Terema: Si ds plans sn perpendiculares entre sí, tda recta perpendicular a un de ells y que crta su intersección, es una recta del tr. (EA)Terema: Si ds plans sn perpendiculares entre sí, tda recta perpendicular a un de ells pr un punt cualquiera del tr, estará cntenida en éste últim. (EDA)Terema: si una recta es perpendicular a un plan, td plan que la cntiene también l es. (EDA)Terema: si un plan es perpendicular a trs ds que se crtan, l es a su intersección. Crlari: el lugar gemétric de ls punts equidistantes de las caras de un diedr es el plan bisectr del diedr. (EDA)Terema: Pr una recta n perpendicular a un plan pasa un plan y sl un perpendicular al primer. Definición de pryección de un punt, de una figura y de una recta sbre un plan. (EA)Terema: La pryección de una recta sbre un plan al que n es perpendicular, es una recta. Crlari: Si una recta es perpendicular a un plan, su pryección sbre él es un punt. Definición de ángul de una recta y un plan (EA) Terema: El ángul agud que una recta frma cn su pryección sbre un plan, es menr que el que frma cn cualquier tra recta del plan que pasa pr su pie. Página 47

19 (EDA)Terema: Si pr un punt interir de un ángul diedr se trazan rectas perpendiculares a ls plans que cntienen las caras del diedr, el ángul cn vértice en el punt es suplement del rectilíne del diedr. Definición de ánguls triedr; triedr trirrectángul; ángul pliedr; ánguls pliedrs iguales simétrics. (EDA)Terema: En td triedr, una cara es menr que la suma de las tras ds y mayr que la diferencia de las mismas. (EA)Terema: En td triedr, a diedrs iguales se pnen caras iguales, y, si ls diedrs sn desiguales a mayr diedr se pne mayr cara. (EA)Terema: En td triedr se verifica que si ds caras sn iguales, ls diedrs puests a ellas sn iguales; y si ds caras sn desiguales, a la cara mayr se pne mayr diedr. (EDA)Terema: La suma de las caras de un Angul pliedr es mayr que cer y menr que cuatr ánguls rects. Definición de superficie pliédrica cnvexa; cuerps pliedrs cnvexs. Prismas: rect y blicu; altura y sección recta. Prisma regular. Prisma truncad: características, clasificación y frmulas de área lateral, área ttal y vlumen. Paralelepípeds: rect y rectángul. cub. unidad de vlumen sólids equivalentes, características y frmulas de área lateral, área ttal y vlumen. Pirámide: áreas: lateral y ttal. altura. Clasificación, pirámide regular. aptema características y frmulas de área lateral, área ttal y vlumen Trnc de pirámide de bases situadas en plans paralels. altura. trnc de pirámide regular. aptema, características y frmulas de área lateral, área ttal y vlumen. (EA)Crlari: Si se crta una pirámide cualquiera cn un plan paralel al que cntiene a la base: a) las aristas y la altura quedan divididas en segments prprcinales. b) la sección es un plígn semejante a la base. Cuerps pliedrs regulares psibles. tetraedr regular, hexaedr regular, ctaedr regular, ddecaedr regular e icsaedr regular. Definición de superficie cilíndrica: directriz y generatriz. Cilindr. Cilindrs: rect y blicu. sección de un cilindr. cilindr circular. cilindr de revlución. características y fórmulas de área lateral, área ttal y vlumen. Definición de plan tangente a un cilindr. prisma inscrit y circunscrit a un cilindr. Definición de superficie cónica: directriz y generatriz. Cn circular. cns: rect y blicu. sección cónica. cn de revlución, características y fórmulas de área lateral, área ttal y vlumen. Definición de plan tangente a un cn. pirámide inscrita y circunscrita a un cn. trnc de cn de bases situadas en plans paralels. Definición de superficie esférica: centr. radi. Esfera. rectas y plans secantes a una esfera. rectas y plans tangentes a una superficie esférica, superficies esféricas tangentes entre si. Área de la superficie esférica y vlumen de la esfera. Crlari: Tda sección plana de una esfera es un círcul. Definicines de circunferencia máxima y círcul máxim. Circunferencia menr y circul menr. Pls de un círcul. Figuras btenidas cn plans secantes y tangentes a una superficie esférica. Página 48

20 IV. BIBLIOGRAFÍA Texts Básics Héctr A. Rjas Raimund Sánchez A. Leccines de Gemetría Plana y del Espaci. Jrge Wentwrth. David Eugeni Smith Gemetría Plana y del Espaci. Editrial Prrúa. Méxic Frank Ayres Trignmetría Plana y Esférica. Serie de cmpendis Schaum de Mc Graw Hill Texts Cmplementaris Earl W. Swkwski Álgebra, Trignmetría cn Gemetría Analítica. 2 ª Edición - Grup Editrial Iberamérica Walter Fleming Dale Varberg Álgebra y Trignmetría cn Gemetría Analítica. 3ª Edición. Prentice-Hall Hispamericana S.A. Ángel Secchia Severin Mntiel Prblemas de Gemetría Plana Ángel Secchia Severin Mntiel Prblemas de Gemetría del Espaci Ángel Secchia Francisc Pujl Prblemas de Trignmetría rectilínea y esférica D. Manuel García Ardura. Ed. Madrid España. Prblemas gráfics y numérics de Gemetría Edicines Bruñ Gemetría. Curs superir. España. Teremari de Gemetría Plana y del Espaci Ing. Civ. Darí Crnel. Edición Página 49