ÁREA DE FIGURAS PLANAS

Transcripción

1 CONTENIDO Superficie y área Área del rectángul: Área del cuadrad: Área del rmbide: Área del triángul: Fórmula de HERÓN para el área del triángul Área del triángul rectángul Área del rmb: Área del cuadrad cm rmb Área del trapeci: Área de plígns regulares: Área del círcul: Sectr circular Segment circular Crna circular Trapeci circular Taller: Variación del área cn relación a la lngitud: SUPERFICIE Y ÁREA Superficie es la prción de plan que cupa una figura. Área es la medida de una superficie. Se mide en unidades de lngitud elevadas al cuadrad: [L ] La medida del área de una superficie depende la unidad seleccinada: m (metr cuadrad), dm (decímetr cuadrad), cm (centímetr cuadrad), mm (milímetr cuadrad), km (kilómetr cuadrad), pie, pulgada, etc. Metr cuadrad (m ) es la unidad de superficie del Sistema Internacinal (SI) de medidas. Equivale al área de un cuadrad de 1 metr de lad. Ir a Cntenid

2 ÁREA DEL RECTÁNGULO Rectángul es un paralelgram que sus ánguls interires sn rects. Ls lads cntigus sn perpendiculares entre sí. Pr ser un paralelgram, ls lads puests sn paralels y cngruentes de igual medida. En la Fig 1 se tienen tres rectánguls ABCD. En cada un se indica la medida de la base (lad AB) y la medida de la altura (lad AD). También se muestra la unidad de superficie (cuadrad de clr verde). El área del rectángul de la Fig 1 a es 1 u : 4 u de base y 3 u de altura. El área del rectángul de la Fig 1 b es 6 u : u de base y 3 u de altura. El área del rectángul de la Fig 1 c es 1 u : 3 u de base y 4 u de altura. Para calcular el área de un rectángul se multiplica la medida de la base pr la medida de la altura: ÁreaRectángul = base x altura A = b h Ver aplicación Área del Rectángul: Ir a Cntenid

3 ÁREA DEL CUADRADO Cuadrad es un paralelgram que ls 4 ánguls interires sn rects y ls 4 lads sn cngruentes. Es un cas especial del rectángul. En la Fig se tiene el cuadrad ABCD cuy lad mide 4 ul y su área es de 16 u. ÁreaCuadrad = Lad x Lad A = L Si un cuadrad tiene pr área 36 u, entnes el lad mide 6 u. La medida del lad de un cuadrad equivale a la raíz cuadrada de su área: L = A Númers cuadrads Un númer es cuadrad cuand es el cuadrad de tr númer: 1 es cuadrad de 1: 1 = 1 4 es cuadrad de : 4 = 9 es cuadrad de 3: 9 = es cuadrad de 10: 100 = 10 n es cuadrad de n: n = n Ver aplicación Área del Cuadrad: Ir a Cntenid

4 ÁREA DEL ROMBOIDE Rmbide es un paralelgram que ls lads cntigus y ls ánguls cntigus n sn cngruentes, es decir, sn de diferentes medidas. En la Fig 3 se muestra que en el rmbide ABPN se trasladó el triángul BPC de B a A. Se btiene el rectángul ABCD cn la misma base y la misma altura. Pr l tant, el área de rmbide ABPN es igual al área del rectángul ABCD. ÁreaRmbide = base x altura A = b h Cnclusión: El área de un rmbide equivale al área de un rectángul que tiene la misma base y la misma altura. En la figura, la base del rmbide ABPN es 5 u y la altura, 3 u. Pr l tant su área = 5 u x 3 u = 15 u. Ver aplicación Área del Rmbide: Ir a Cntenid ÁREA DEL TRIÁNGULO Triángul es un plígn de tres lads determinad pr tres punts n clineales llamads vértices. Altura de un triángul es el segment de recta perpendicular trazad desde un vértice al lad puest a su prlngación.

5 Para el estudi del área de un triángul se analizan ds cass: 1. Transfrmar el triángul en un rectángul cn la misma base y la misma altura: En la Fig.4 se muestra el triángul ABC y el resultad de tres transfrmacines. a. Traslación del triángul riginal ABC de J a C (resultad en Fig. 4 b1). Se duplica el triángul. b. Rtación de 180 del triángul A1CC1 sbre A1 y del triángul B1CC1 sbre B1 (resultad en Fig. 4 b) c. Traslación del triángul A1J3C3 de A1 a C y del triángul B1JC de B1 a C (resultad en Fig. 4 b). Cn estas transfrmacines de ls ds triánguls se btiene el rectángul ABB1A1 que equivale a ds veces el triángul ABC. De tal manera que el área del triángul ABC es la mitad del área del rectángul prque las ds figuras tienen la misma base y la misma altura.

6 ÁreaRectángul = base altura A = b h ÁreaTriángul = base altura A = b h Cnclusión: El área de un triángul es la mitad del área de un rectángul que tiene la misma base y la misma altura. En la figura, la base del triángul ABC es 4 u y la altura, 3 u. Pr l tant su área = (4 u x 3 u)/ = 6 u. Ver aplicación Área del Triángul cn base en el rectángul: Ir a Cntenid. Transfrmar el triángul en un rmbide cn la misma base y la misma altura: En la Fig.5 se muestra el triángul ABQ y el resultad de ds transfrmacines.

7 a. Rtación de 180 del triángul ABQ sbre A (resultad en Fig 5 b1). Se duplica el triángul. b. Traslación del triángul AB1Q1 de A a Q (resultad en Fig. 5 b). Cn estas transfrmacines el triángul ABQ y su cpia, se cnvierten en el rmbide ABQB que equivale a ds veces el triángul ABQ. Así las csas, el área del triángul ABQ es la mitad del área del rmbide prque las ds figuras tienen la misma base y la misma altura. ÁreaRmbide = base altura ÁreaTriángul = base altura A = b h A = b h Cnclusión: El área de un triángul es la mitad del área de un rmbide que tiene la misma base y la misma altura. En la figura, la base del triángul ABQ es 5 u y la altura, 4 u. Pr l tant su área = (5 u x 4 u)/ = 10 u. Ver aplicación Área del Triángul cn base en el rmbide: Ir a Cntenid Fórmula de Herón para el área del triángul Herón de Alejandría (sigls I II D.C.) fue un ingenier físic y matemátic grieg. La fórmula de Herón es tr prcedimient para calcular el área de un triángul. Es útil cuand se cnce la medida de ls tres lads cm en el cas del triángul equiláter. A = s (s a) (s b) (s c) s = (a + b + c) s es el semiperímetr a, b, c sn ls lads Ejempl: Calcular el área de un triángul equiláter PQR que su lad mide 16 cm. a = b = c = 16 cm s = ( ) = 4 cm A = 4 (4 16) (4 16) (4 16) A = 188 = 110, 85 cm Ir a Cntenid

8 Área del triángul rectángul Triángul Rectángul es un triángul que tiene un ángul interir de 90 (ángul rect). En el triángul rectángul, ls lads que frman el ángul rect reciben el nmbre de catets y el lad puest al ángul rect recibe el nmbre de hiptenusa. En la figura, ls catets sn AC y CE. La hiptenusa es AE. La hiptenusa siempre es el lad de mayr lngitud. Pr tra parte, el catet AC crrespnde a la base del triángul mientras que el catet CE crrespnde a su altura. Pr l tant, el área de un triángul rectángul es el prduct de ls ds catets divid entre : ÁreaTriángulRectángul = El área del triángul de la figura es (3 * )/ = 3 u catet1 catet Ir a Cntenid ÁREA DEL ROMBO Rmb es un paralelgram que tiene ls 4 lads cngruentes. Las ds diagnales sn perpendiculares entre sí.

9 En la Fig 6 se muestra que en el rmb ADBE se trasladó el triángul ABD de A a E. Se btiene el rmbide ABBE cn base igual a diagnal y cn altura igual a la mitad de la Diagnal1. En cnsecuencia, el área del rmb ADBE es igual al área del rmbide ABBE. ÁreaRmb = Diagnal1 diagnal A = D d Cnclusión: El área de un rmb equivale al prduct de las ds diagnales dividid en. En la figura, la Diagnal1 del rmb ADBE es 9 u y la diagnal, 5 u. Pr l tant su área = (9 u x 5 u)/ =,5 u. Ir a Cntenid Rmb cn las ds diagnales cngruentes: Si las ds diagnales del rmb sn cngruentes (igual medida prque sn diámetrs de la circunferencia circunscrita), el rmb es un cuadrad. En ese cas, se puede calcular el área de un cuadrad pr la fórmula Área del cuadrad = diagnal En la figura, cada diagnal mide 5 ul. Pr l tant el cuadriláter AEBD es un cuadrad. Su área será (5) / = 1,5 u Ver aplicación Área del Rmb: Ir a Cntenid

10 ÁREA DEL TRAPECIO Trapeci es un cuadriláter que sól ds lads n cnsecutivs sn paralels. En la Fig. 7 se muestra el trapeci ABLK y el resultad de tres transfrmacines. a. Reflexión (simetría axial) del trapeci ABLK sbre AB (resultad en Fig 7 b1). Se duplica el trapeci. b. Reflexión (simetría axial) del trapeci ABLK sbre BO (resultad en Fig 7 b). c. Traslación del trapeci BA3K3L3 de B a L (resultad en Fig. 7 b). Cn estas transfrmacines el trapeci ABLK y su cpia, se cnvierten en el rmbide AK4A4K que equivale a ds veces el trapeci ABLK. De esta manera, el área del trapeci ABLK es la mitad del área del rmbide AK4A4K: ÁreaRmbide = (Basemayr + basemenr) altura En cnsecuencia, (Basemayr + basemenr) altura ÁreaTrapeci =

11 Pr tra parte, en la Fig 7 c se muestra que el trapeci ABLK se transfrmó en el rectángul UVTS cn igual altura per de base igual a la base media del trapeci. El trapeci y el rectángul de la Fig 7 c tienen igual área. ÁreaTrapeci = basemedia altura Basemayr + basemenr ÁreaTrapeci = ( ) altura B + b A = ( ) h Cnclusión: El área de un trapeci equivale al prduct de la semisuma de las ds bases pr la altura. En la figura, la BaseMayr del trapeci ABLK es 6 u, la basemenr, 3 u y la altura, 3 u. Pr l tant su área = ( 6 u+3 u ) 3u = 13, 5 u Ver aplicación Área del Trapeci: Ir a Cntenid

12 ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES Plígn regular es una figura plignal cnvexa que tiene tds sus lads y tds sus ánguls interires cngruentes. Aptema de un plígn regular es la distancia del centr del plígn al punt medi de un lad. También es la altura de cada un de ls triánguls centrales del plígn. El ctágn regular de lad AB de la Fig 8 a. se descmpne en ls ch triánguls centrales cm se muestra en la Fig 8 b. Se duplica la secuencia de triánguls centrales y cn las ds secuencias se frma el rmbide RSTZ (Fig 8 c.) Se cncluye que el área del ctágn regular es la mitad del área del rmbide RSTZ. La base del rmbide RSTZ es el perímetr del plígn y su altura es la aptema: base = Perímetr ; altura = aptema ÁreaRmbide = base * altura = Perímetr * aptema A = P a p ÁreaPlígnRegular = ÁreaRmbide Perímetr aptema ÁreaPlígnRegular = P = n L A = n L a p P = perímetr n = númer de lads L = medida del lad a p = aptema

13 Cnclusión: El área de un plígn regular equivale al prduct del perímetr (P) pr la aptema (ap) dividid en ds. El perímetr (P) de un plígn regular es el prduct del númer de lads (n) pr la medida del lad (L). Ver aplicación Área del Plígn regular: Ejempl 1: En un ctágn regular cm el de la figura anterir, el lad mide 8 m y su aptema, 7.17 cm. Calcular el perímetr y el área. n = 8 lads L = 8 cm ap = 7,17 cm Perímetr P = 8 x 8 cm = 64 cm Área = 64cm 7, 17 cm = 9, 44 cm Ejempl : Calcular el perímetr y el área del pentágn de la figura. Medidas en centímetrs. n = 5 lads L = 10 cm ap = 6,88 cm Perímetr P = 5 x 10 cm = 50 cm Área = 50cm 6, 88 cm = 17 cm Ir a Cntenid

14 ÁREA DEL CÍRCULO Círcul es una figura plana limitada pr una circunferencia. Está frmad pr la circunferencia y la parte de plan que hay dentr de ella. En la Fig 9a, 9b, 9c y 9d se muestra un plígn regular inscrit en una circunferencia: Se puede bservar que si el númer de lads del plígn se hace muy grande, el perímetr cntrn del plígn se aprxima cada vez más a la lngitud de la circunferencia y el plígn se transfrma en un círcul. Así mism, la aptema del plígn se aprxima al radi de la circunferencia y del círcul.

15 Pr tra parte, en la Fig 9e, 9f y 9g se tiene un plígn regular cn el desarrll de ls triánguls centrales de ds plígns cngruentes ls cuales frman el paralelgram RSTZ: El área del plígn es la mitad del área del paralelgram prque está frmad pr ls triánguls centrales de ds plígns cngruentes. Si el númer de lads del plígn se hace muy grande, el paralelgram RSTZ se aprxima a un rectángul. De est se btiene: - El área del círcul es la mitad del área del rectángul RSTZ. - La base del rectángul RSTZ crrespnde a la lngitud de la circunferencia: base = * * r. - La altura del rectángul RSTZ crrespnde al radi del círcul: altura = r.

16 ÁreaCírcul = ÁreaRectángul = ( r) r ÁreaCírcul = r Ver aplicación Área del Círcul: Ir a Cntenid ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR Sectr circular: Prción de un círcul cmprendida entre ds radis y el arc crrespndiente. En la Fig. 10a se muestra el sectr AOB cn radi r y ángul. En la Fig. 10b se muestra el semicírcul AOC que crrespnde a un sectr cn un ángul = 180 = radianes. El área de un sectr se puede calcular pr prprcinalidad directa cn base en el área del círcul puest que para un ángul de una vuelta ( radianes = 360 ) se tiene el área del círcul, *r : Ángul del sectr: Área: π rad = 360 Área Círcul = π r θ Área Sectr =? Ángul del sectr en radianes: Área Sectr = (π r ) θ π Área Sectr = r θ Ángul del sectr en grads: Área Sectr = (π r ) θ 360 Área Sectr = r θ 360

17 Ejercici de área de sectr circular cn el ángul medid en radianes: Calcular el área de un sectr circular si el radi mide 5 cm y el ángul mide 0,785 radianes. r = 5 cm = 0,7854 radianes Cm el ángul está en radianes: Área Sectr = r θ Área Sectr = 5 0, 7854 = 45, 4 cm Ejercici de área de sectr circular cn el ángul medid en grads: Calcular el área de un sectr circular si el radi mide 5 cm y el ángul mide 45. Cm el ángul está en grads: r = 5 cm = 45 Área Sectr = r θ 360 Área Sectr = = 45, 4 cm Ir a Cntenid ÁREA DEL SEGMENTO CIRCULAR Segment circular: Prción de círcul cmprendida entre una cuerda y el arc crrespndiente. En la Fig. 11 la cuerda es el segment AB. El área de un segment circular crrespnde a la diferencia entre el área del sectr circular y el área del triángul central para el mism ángul central. ÁreaSegmentCircular = ÁreaSectrCircular OAB ÁreaTriángulCentral OAB

18 Ejercici de área de segment circular: Calcular el área de un segment circular si se sabe que el radi mide 40 cm, el ángul central mide 80 y la cuerda, 9,8 cm. Área del sectr circular OAB: r = 40 cm = 80 Área Sectr = = 1117 cm 360 Área del triángul central OAB: medidas de ls lads: OA = 40 cm OB = 40 cm AB = 51,4 cm Se utiliza la Fórmula de Herón dad que se cnce la medida de ls tres lads: A = s(s a)(s b)(s c) s = a + b + c s = , 4 = 65, 7 cm A = 65, 7(65, 7 40)(65, 7 40)(65, 7 51, 4) = 787, 7 cm Área del segment circular: A segment = A sectr A triángul A = 1117 cm 787, 7 cm = 39, 3 cm Ir a Cntenid ÁREA DE LA CORONA CIRCULAR Crna circular es la prción de círcul cmprendida entre ds circunferencias cncéntricas cm se muestra en la Fig 11. El punt O es el centr de las ds circunferencias. R y r sn ls radis de las circunferencias cncéntricas. El área de una crna circular crrespnde a la diferencia entre el área de ls ds círculs: ÁreaCrnaCircular = R π r Ejercici de área de crna circular: Calcular el área de una crna circular si se sabe que ls radis miden 6 cm y 18 cm. R = 6 cm r = 18 cm ÁreaCrnaCircular = 6 π 18 = 1105, 8 cm Ir a Cntenid

19 ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR Trapeci circular es una prción de crna circular cmprendida entre ds radis cm se muestra en la Fig 13. El área de un trapeci circular crrespnde a la diferencia entre el área de ls ds sectres circulares: Sectr OAB sectr ODC. Si el ángul se mide en radianes, se tiene que: Área TrapeciCircular = R θ r θ Sacand factr cmún: Área TrapeciCircular = θ (R r ) Si el ángul se mide en grads, Ejercici de área de trapeci circular: Área TrapeciCircular = θ 360 (R r ) Ls radis de un trapeci circular miden 30 cm y 0 cm y su ángul central mide 30, calcular su área. R = 6 cm r = 18 cm = 30 Área TrapeciCircular = (30 0 ) = 130, 9 cm Ir a Cntenid

20 TALLER DE ÁREA DE FIGURAS PLANAS T-1. a) Para cada figura plana (Fig 13), que se describe pr ls punts de sus vértices, determine su nmbre y calcule su área. ABDC DEG EFHG FKLM L I J AILK CDE DCEG FHM AKJI ACEF AFMLI b) Calcule el área de la figura ttal (Fig 13), plígn DGHMLIB T-. Calcule el área de la figura (Fig 14).

21 T-3. Cmprbar que el área de la lúnula (lúnula de Hipócrates), equivale al área del triángul ABC: Fig 15. El triángul ABC es rectángul isósceles. Las medidas de sus lads sn: - catet AC = 8 cm - catet AB = 8 cm - hiptenusa BC = 11,31 cm Ls vectres (segments rientads flechas) indican el radi de cada arc de circunferencia. T-4. Cmprbar que el área de las lúnulas de Hipócrates equivale al área del triángul ABC: Fig 16. El triángul ABC es rectángul. Las medidas de sus lads sn: - catet AC = 6 cm - catet BC = 8 cm - hiptenusa AB = 10 cm El triángul AFC es isósceles y el ángul central mide 73,73 El triángul BFC también es isósceles y el ángul central mide 106,6 Sugerencia: Utilice la fórmula de Herón para calcular el área de ls triángul AFC y BFC. Ir a Cntenid

22 VARIACIÓN DEL ÁREA DE FIGURAS PLANAS CON RELACIÓN A LA LONGITUD En las figuras siguientes se muestra cóm es la variación de la medida del área de una figura plana cuand se mdifica la lngitud de sus elements: a) El cuadrad de la Fig 17 b, el lad es la mitad del lad del cuadrad de la Fig 17 a: El lad se disminuye a la mitad (1/) y el área se disminuye a la cuarta parte (1/4). b) El triángul de la Fig 17 d, la base y la altura es el dble de la base y la altura del triángul de la Fig. 17 c: La base y la altura se aumentan al dble ( veces) y el área se aumenta 4 veces.

23 c) El círcul de la Fig 17 f, el radi es el tripl del radi del círcul de la Fig 17 e: El radi se aumenta al tripl (3 veces) y el área se aumenta 9 veces. d) El cuadrad de la Fig 17 h, el lad del cuadrad es el tripl del lad del cuadrad de la Fig 17 g: El lad se aumenta al tripl (3 veces) y el área se aumenta 9 veces.

24 Cnclusión: Cuand se incrementa la lngitud de ls elements de una figura plana, el área se incrementa el cuadrad del increment de la lngitud: Si la lngitud se hace n veces, el área se hace n veces. Así pr ejempl: Si la lngitud se hace veces, el área se hace = 4 veces Si la lngitud se hace 3 veces, el área se hace 3 = 9 veces Si la lngitud se hace 4 veces, el área se hace 4 = 16 veces Si la lngitud se hace la mitad, el área se hace (1/) = 1/4 Si la lngitud se hace la tercera parte, el área se hace (1/3) = 1/9 Ver aplicación Variación del área cn relación a la variación de la lngitud: Ir a Cntenid prfedminghely