SISTEMA DE PERSPECTIVA CABALLERA TEMA15. Objetivos y orientaciones metodológicas

Transcripción

1 SIST STIV LL T5 TÍ SITIV bjetivs y rientacines metdlógicas Td l indicad para la unidad temática anterir es aplicable a ésta. l alumn debe cmprender el tip de pryección que emplea este sistema y fijar elegir ls ds dats que definen el sistema. Una vez representads el punt, la recta y el plan, fijará especialmente su atención en la representación de una circunferencia situada en plans paralels a ls del sistema cn vistas a la btención de la perspectiva caballera de un cuerp. L' L 9 8 ' K K' ' J J' I I' inalmente representará cuerps gemétrics en psicines sencillas. Las actividades se harán, unas cn instruments y tras a man alzada. l desarrll de esta unidad temática puede hacerse a l larg de cuatr clases. r' ' 9' 8' 7' 6' 5' 3' s' ' 4' ' ' ' ' ' ' ig.. jempl de pieza en perspectiva caballera cn smbras. IUJ TÉI I - achillerat 35

2 TÍ SITIV. undaments del sistema de perspectiva aballera n este tema vams a dar ls fundaments de este sencill, bnit y útil sistema que se llama sistema de perspectiva caballera perspectiva rápida. Tenems un plan llamad plan del cuadr, plan del papel, plan del dibuj plan de pryección; tenems también un triedr trirrectángul. n la ig. se dibuja el triedr trirrectángul () () (); ls ejes del sistema sn las aristas, y del triedr. Supnems que el plan del cuadr es el mism del triedr; según est, ls ejes () y () del espaci cinciden cn sus pryeccines y, respectivamente. l eje () es perpendicular al plan del cuadr y ls plans y sn pryectantes sbre el cuadr. Si pryectárams rtgnalmente un cuerp sbre ests plans, tendríams unas pryeccines llamadas previas y éstas, pryectadas a su vez rtgnalmente sbre el cuadr, estarían cnfundidas siempre cn ls ejes y. ara evitar est elegims una dirección de pryección blicua al cuadr y de esta frma el eje (), en vez de pryectarse cnfundid cn el rigen, se pryecta según una recta que pasa pr el rigen. n la ig. hems elegid un punt () del eje () en el espaci y l hems pryectad según una dirección d cualquiera, siend el punt su pryección y la recta - será el eje ya pryectad. bserve el lectr que la dirección elegida frma un ángul σ cn el cuadr y que además hems de fijar el ángul ϕ, que frma cn el plan ()() el plan pryectante de la citada dirección. Vist est, ls ejes del sistema, pryectads ya sbre el plan del cuadr, quedan según se ve en la parte derecha de la figura; ls ejes y sn perpendiculares y el eje frma el ángul ϕ cn el eje. asems ahra a la ig. 3. l punt () del eje () se pryecta en sbre el cuadr; el triángul ()-- es rectángul en ; si supnems abatid este triángul sbre el cuadr, tmand cm charnela la recta -, tenems el triángul -- y, pr l tant, el ángul -- es el ángul σ en verdadera magnitud que frma la dirección de pryección cn el cuadr. La recta - es el eje () abatid, pr l que l designams pr. También pdems imaginar abatid el plan () del espaci sbre el cuadr, tmand cm charnela el eje ; cm el ángul ()-- es rect, el eje () abatid vendrá ahra sbre la recta ( ), siend ( ) el punt abatid del (); piense el lectr que la figura es una perspectiva cnvencinal y que se ha de verificar ()- = ( ) - = -. ems, pues, relacinad cn ests ds abatimients el punt () del espaci en el () cn su pryección -- sbre el cuadr y cn su abatimient ( ) sbre dich plan. n esta figura queda, pues, ya fijada una dirección que es -( ). Vlvams ahra al triedr trirrectángul () representad en la ig. 4. Sea el punt () del espaci el que vams a representar en perspectiva caballera. La pryección rtgnal de () sbre () es el punt (); igualmente, sbre se pryecta en () y sbre () en (). Ls punts (), () y () se llaman pryeccines previas del punt () sbre ls plans del triedr. legims ahra una dirección blicua al plan () () d () 90 () L L U ig.. 36 IUJ TÉI I - achillerat

3 ' ( ) () () L L U 90 ch-je a -() d ()- () () () () () () TÍ SITIV ig. 3. del cuadr y pryectams sbre él el cnjunt frmad pr el punt () y sus pryeccines previas (), () y (). l punt () se pryecta en ; este punt se llama pryección directa blicua del punt () sbre el cuadr y es l que en realidad se llama perspectiva caballera del punt. ig. 4. l punt () se pryecta en ; el () ya está pryectad, pr l que su pryección cincide cn (); el punt () l hace en. bserve el lectr que ls punts, y sn pryeccines de las pryeccines previas (), () y (). l paralelepíped frmad en el espaci pr ls ejes, () y y pr las líneas ()-(), ()-() y ()-() queda representad en perspectiva cn traz más grues. n la figura se indica el ángul σ que frma la dirección d de pryección cn el cuadr y el ángul ϕ que frma el eje cn el eje pryectad. l punt es pryección directa rtgnal del punt () del espaci sbre el cuadr y se llama pryección segunda pryección vertical primera del punt (). l punt es pryección blicua sbre el cuadr de la pryección () del punt () sbre el plan () y se llama pryección tercera pryección vertical segunda. l punt es la pryección blicua de la pryección previa rtgnal () del punt () sbre el plan. n la parte inferir de la figura se representa el plan del cuadr tal y cm queda después de pryectad el cnjunt anterir. l punt es la pryección perspectiva directa y ls punts, y sn las pryeccines de las pryeccines previas sbre ls plans, y, respectivamente. bsérvese el paralelepíped que se visualiza cn traz fin al unir ls punts anterires y fíjese el lectr en la psición de tdas las aristas de este paralelepíped cn relación a ls plans del triedr. esumiend, el sistema de perspectiva caballera emplea la pryección cilíndrica blicua y un punt tiene cuatr pryeccines: una directa blicua sbre el cuadr y tres pryeccines blicuas de las pryeccines rtgnales sbre ls plans del triedr. iénsese que la pryección sbre el cuadr, pr estar () y cnfundidas, resulta una pryección rtgnal. IUJ TÉI I - achillerat 37

4 TÍ SITIV. tacines n el sistema de perspectiva caballera se emplean las ntacines siguientes. Un punt se designa pr una letra mayúscula pr un númer; pr ejempl: designa un punt cuya pryección directa blicua es ; es la pryección sbre el plan ; es la pryección directa rtgnal sbre el cuadr y es la pryección sbre ; igualmente, un punt se puede nmbrar pr e la misma frma y en el mism rden de significación se nmbra una recta empleand letras minúsculas, pr ejempl, r-r -r -r. l plan se nmbra pr una letra griega; así, el plan ϕ se designa pr ϕ(ϕ -ϕ -ϕ 3 ), siend ϕ -ϕ y ϕ 3 las trazas de dich plan cn ls plans, y, respectivamente. 3. ats del sistema. Valres de σ y de ϕ ara que un sistema de perspectiva caballera quede definid es precis cncer ds dats: n ests ds dats el sistema está perfectamente definid y pdems cmenzar a perar en él. Según est, la práctica de la perspectiva caballera lleva implícita la elección del sistema, fijand ls valres de ls ánguls ϕ y σ. l ángul ϕ que frman ls ejes e puede tener unas series de valres, eligiend un, de acuerd cn el resultad que se desee btener. n la ig. 5 se señalan diez valres diferentes para el ángul ϕ, en ls que se indica el ángul que frma el eje cn el eje cn el eje. bsérvese cada psición deteni-damente y la pryección, perspectiva, de un cub en cada cas. l ángul ϕ se debe elegir entre ls valres indicads en esta figura para facilitar el trazad de la perspectiva. n cada cas se bserva el cub represen-tad cn unas caras determinadas vistas y además cn mayr menr defrmación. º. l valr del ángul ϕ que frma en el espaci el plan cn el plan pryectante del eje () que cntiene la dirección de pryección; dich de frma más sencilla, ϕ es el ángul que ya en pryección frman ls ejes e. º. l valr del ángul σ que frma la dirección d de pryección cn el plan del cuadr. entr de cada un de ests diez valres del ángul ϕ, pdems elegir varis valres para el ángul σ, según vems a cntinuación ig IUJ TÉI I - achillerat

5 4. eficiente de reducción n este sistema, y tal cm hems definid la frma de pryectar ls elements del espaci, las rectas paralelas al plan del cuadr, es decir, al plan, se pryectan tal y cm sn, en verdadera magnitud, sin defrmación alguna. L mism curre si sn paralelas al eje al eje, pues serán paralelas al cuadr. Veams qué curre cn las rectas paralelas al eje () en el espaci, es decir, cn las perpendiculares al cuadr. n la ig. tmams un segment -() del eje () y, pryectad sbre el cuadr, tenems el segment -; este segment - será mayr menr que el segment -() del espaci según que el ángul σ sea menr mayr que 45, respectivamente. Se llama ceficiente de reducción del sistema, y se representa pr la letra µ, el valr de la ctangente trignmétrica del ángul σ que frma la dirección de pryección d cn el plan del cuadr, es decir, µ = ctg σ. n el triángul rectángul ()--, el valr de la ctangente σ es la razón entre el catet cntigu y el catet puest; pr ell, ctg σ = -/-(). e est deducims que el ceficiente de reducción es un númer que indica la razón entre el segment ya pryectad y el segment real del espaci. Si σ vale 45, -() = - y, pr l tant, n habría reducción, pues µ = ctg 45 = ; el segment paralel al eje se pryectaría sin defrmación. Si σ < 45, -() < - y el segment real se pryectaría ampliad, cn l que btendríams una perspectiva irreal muy defrmada; ahra n sería ceficiente de reducción, sin de ampliación, pues la ctangente de un ángul menr de 45 es mayr que. debe, pues, el lectr tmar valres de σ menres de 45 e inclus desechar el valr de 45, pues también resultan perspectivas defrmadas. Si σ > 45, -() > - y tda recta paralela al eje se pryecta defrmada según el valr de µ = ctg σ. l valr más raznable es σ = 60, siend µ = ctg 60 = 3 3 bstante, cm valres más acnsejables para el ceficiente de reducción se deben emplear 0,5, 0,6 y 0,7, cn ls que se btienen perspectivas muy agradables a la vista. iénsese que el efect de defrmación de la perspectiva aumenta cn el ceficiente de reducción. esumiend, las rectas paralelas a ls ejes y se pryectan en verdadera magnitud y las rectas paralelas al eje se pryectan reducidas según el valr del ceficiente de reducción del sistema. La rma U 03 indica que el valr nrmalizad es ϕ = 45 y el ceficiente de reducción debe ser µ = 0,5. bstante, el lectr puede elegir trs valres. 5. epresentación del punt (ig. 6) ems vist que el punt tiene cuatr pryeccines. Supngams un punt () del espaci que tiene de crdenadas (x, y, z). Vams a representar este punt en un sistema definid, siend, y ls ejes y σ el ángul de reducción; pr el punt, rigen, trazams la perpendicular al eje, y a partir de un punt cualquiera de dich eje, cnstruims el ángul σ, cn l cual tenems el triángul --, que ns permitirá reducir las medidas sbre el eje. Tmams sbre el eje la crdenada = x en verdadera magnitud, es decir, sin reducir; sbre, tmams la crdenada = z; la crdenada y hay que reducirla y para ell se tma sbre - el segment -L = y, y pr L trazams la paralela a -, cn l cual tenems el punt L en el eje. Las pryeccines, y se btienen a partir de ls punts, y L pr medi de paralelas a ls ejes. La pryección directa se btiene cmpletand el paralelepíped a partir de, y. L L ''' y x ig. 6. ' y r '' z TÍ SITIV IUJ TÉI I - achillerat 39

6 y r TÍ SITIV 6. as de un punt del sistema diédric a perspectiva caballera (ig. 7) Supngams un punt - representad en el sistema diédric y referid a un plan de perfil de frma que sus crdenadas en el espaci sn: x =, y = y z =. ara representar este punt en caballera se tman la crdenada x y la z en verdadera magnitud y la crdenada y se reduce sbre la recta, abatiend el eje ; en la figura, dad el ángul σ, se clca y = y pr trazams la paralela a la dirección -d-, cn l cual tenems el punt ; cn las crdenadas, y se cmpleta el paralelepíped, y btenems las pryeccines del punt. x '' ' z y d ''' y x ig. 7. ' '' z s t h r ' s' '-' t' h ' r' ' ' ig istancia entre ds punts ig. 8.. rimer cas. l segment en caballera, pr ser paralel al eje, está ya en verdadera magnitud. l segment, pr ser paralel al eje, también está ya en verdadera magnitud. l segment, pr ser paralel al eje, está reducid; '' basta llevarl según - en el eje y btener -, que es la verdadera magnitud del citad ''' ' segment. d ' a ig. 9.. Segund cas. La distancia real entre ls punts y, pr estar el segment en el () plan, es el segment - ; para ell se abaten ls punts y () en y, trazand las paralelas que indican las flechas a ls lads del triángul --(). ig. 9. '' ' -je -ch a '' 40 IUJ TÉI I - achillerat

7 ig. 0. s el mism prblema que el anterir; hay que hallar la distancia entre y, que será la hiptenusa del triángul ; la verdadera magnitud de es - y cn ésta y el segment cm catets se cnstruye la hiptenusa del triángul rectángul que es la verdadera distancia entre ls punts y. - ''' Verdadera magnitud ''' ''' ''' -' '' -' '' 8. istancia entre ds punts cuand la recta que ls une es blicua a ls plans del sistema (ig. ) Supngams ds punts - y - tales que el segment que definen es blicu a ls plans del sistema. La distancia que separa ests punts es, en pryección, el segment d-d. La verdadera magnitud es la hiptenusa del triángul del espaci, en el cual el catet = h es la diferencia de ctas entre ls punts y y está en verdadera magnitud; el tr catet es igual a d = ; hallams la verdadera magnitud de d, que es d, cm hems vist en la ig. 9, y btenems el segment T. h d TÍ SITIV ig. 0. ig.. La verdadera magnitud del segment - del plan es él mism. ' ' '' ' d' ' ' ' d' h T -'' s-s'' ig.. -'' ' s' ' 9. erspectiva de figuras planas situadas en plans del sistema ig. 3. epresenta la perspectiva de un rectángul y de un triángul situads en el plan. ig... ig. 3. IUJ TÉI I - achillerat 4

8 TÍ SITIV ig. 4. epresenta la perspectiva del rectángul y del trapeci de la izquierda situads en el plan. ig. 4. ig. 5. epresenta el triángul en el plan, btenid mediante sus ctas. ig. 7. n esta figura se representa un hexágn regular situad en cada un de ls plans del sistema. ig ig ig. 8. epresenta la perspectiva caballera de un pentágn regular situad en el plan, para l que se ha partid del pentágn puest en verdadera magnitud en el plan del cuadr. ig. 6. la izquierda se dibuja un hexágn y en las tras ds figuras se representa el plígn en perspectiva en el plan y en el plan. '' '' '' L L L' 5' 4' ' '' S T 3' ' '' ig. 6. ig IUJ TÉI I - achillerat

9 ig. 9. Se dibujan las pryeccines de una circunferencia situada en el plan. f''' f-f'' -'' ''' f' ' ig. 9. ig. 0. epresenta la perspectiva de una curva situada en un plan del sistema. '' '' 3'' 4'' 4'' Se cnsideran ds diámetrs perpendiculares y y, para facilitar el trazad, se supne inscrita en el cuadrad ---. r r r r TÍ SITIV 3 4 ' ' 3' 4' '' '' 3'' 4'' =/ ig. 0. ada una curva situada, pr ejempl, en el plan hrizntal del sistema diédric (parte superir de la figura), para representarla en el plan de caballera, basta pasar, punt a punt de ella, de un a tr sistema, teniend en cuenta que las rectas paralelas al eje se reducirán según el ceficiente del sistema; tenems, pues, - de la figura superir igual a - de la figura inferir y las rectas -, -, etc., sn paralelas al eje, per reducidas. 0. erspectiva caballera de la circunferencia La única dificultad que presenta la perspectiva caballera es el trazad de la pryección de la circunferencia, que en ls plans y es una elipse. n la ig. se dibuja la perspectiva de la circunferencia de radi, y se sitúa en cada un de ls plans. eficiente de reducción = 0,6. 4 4' 4'' ig.. ircunferencia en el plan. La pryección es la misma circunferencia de radi. Se indica el cuadrad circunscrit a ella. ircunferencia en el plan. La pryección es una elipse. r el centr se traza paralel al eje, siend = = ; pr, se traza paralel al eje, siend = = r (radi reducid según el ceficiente del sistema). r paralelas se puede dibujar el rmbide ---, cuys lads sn paralels a ls diámetrs cnjugads y de la elipse. sta elipse, que está inscrita en el rmbide, se debe trazar cn lápiz, a man alzada, y después pasarla a tinta cn plantilla de curvas. ste es el métd más rápid y que mens líneas requiere. ircunferencia en el plan. m en el cas anterir, pr se trazan ls diámetrs cnjugads, paralel al eje y sin reducir, = =, y, paralel al eje y reducid según el ceficiente elegid, es decir, = = r = 0,6. l trazad de la elipse se hace cm en el plan. iénsese que el hech de tener que ser la elipse tangente al rmbide --- facilita de frma cnsiderable el trazad. n el cas de elegir un sistema cn un ceficiente µ = (cas n recmendad), en el eje n habría reducción y las elipses se pueden sustituir pr óvals de frma aprximada; ls óvals resultan alg achatads recrtads respect a la elipse. IUJ TÉI I - achillerat 43

10 ( ( ( ( TÍ SITIV n la ig. se sustituye la elipse del plan pr un óval. Se tman ls segments = = = = ; se cnstruye el rmbide ---; pr ls punts de tangencia,, y se trazan las nrmales perpendiculares a ls lads del rmbide; estas perpendiculares se crtan en ls punts,, 3 y 4, que sn ls centrs de curvatura de ls arcs del óval. n el cmpás y centr en, se traza el arc -; cn centr en 3 se traza el arc -; cn centr en 4, el arc - y cn centr en, el arc -, que cierra el óval. ste prcedimient sól sirve para el cas de que n haya reducción sbre el eje y además requiere más tiemp y precisión en el trazad. 4 ' 3 l mism prcedimient se sigue cuand la circunferencia está en el plan en plans paralels a él (ig. 3). Se recmienda utilizar el métd de ls diámetrs cnjugads y ayudarse de las tangentes a la elipse en ls extrems de ests diámetrs. Las tangentes deben trazarse muy finas y sól en las prximidades de ls punts de tangencia. Lueg, cm se ha indicad, se traza la elipse a lápiz, a man alzada, bien cn plantilla. ara pasar a tinta se utilizará la plantilla de curvas. n la ig. 4 se representa la perspectiva de la circunferencia situada en cada un de ls tres plans del sistema, bteniend punts de las elipses pr el métd de haces pryectivs, ya cncid. 4 3 ' ig.. ig. 3. S S S ig IUJ TÉI I - achillerat

11 TIVIS Tenems ds piezas pliédricas representadas pr sus vistas pryeccines diédricas, alzad, planta y perfil. ibujar la perspectiva caballera de cada una de ellas, pniend las líneas cultas que sean necesarias para la cmprensión de las piezas. La escala la elegirá el alumn a tenr del frmat de papel dispnible TÍ SITIV IUJ TÉI I - achillerat 45

12 TÍ SITIV Tenems cuatr piezas reales, representadas cn las pryeccines diédricas necesarias para su cmpleta definición. n ellas aparecen superficies curvas. ibujar la perspectiva caballera eligiend ls ejes que se indican. Ls dats del sistema acnsejables sn: ϕ = 35, σ = 0,6. l dibuj puede hacerse a man alzada cn instruments a escala. 30 ø ø ø70 90 ø ø IUJ TÉI I - achillerat