LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

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1 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal LÍMITE DE UNA FUNCIÓN De frma intuitiva se puede definir el límite de una función en un punt cm el valr al que se aprima la función cuand la variable independiente se acerca al punt. Esta idea intuitiva se frmaliza en la siguiente definición: Se dice que el límite de f cuand tiende a es el númer real L, y se representa f ( ) L, si para cada ε > 0 que fijems, se puede encntrar algún δ > 0 verificand que para td D que cumpla 0 < < δ se verifica f( ) L < ε. Ntar que para que esta definición tenga sentid es necesari que eistan punts cercans a sean del dmini de f, aunque n se necesita que f esté definida en. Ejempl 7: Aplicand la definición se va a cmprbar que ( ). que Tmand un valr cualquiera ε > 0 hay que encntrar un δ > 0 tal que si se cumple 0 < < δ, se verifique ( ) < ε. Realizand peracines en la última desigualdad cn bjet de encntrar una relación entre δ y ε queda: ( ) < ε 8 < ε < ε ε < Cm se ha de cumplir que 0 < ε < δ, tmand δ se verifica la definición de límite. Al estudiar el valr al que tiende una función cuand se aprima a un punt, a veces es cnveniente cnsiderar pr separad ls valres próims a que sean menres y ls que sean mayres que él. Est da lugar a ls límites laterales que se definen a cntinuación. Se dice que L es el límite pr la derecha de f y se representa f( ) L, si la función se aprima a este valr al acercarse a, siend >. Es decir, si para cada ε > 0, eiste δ > 0 tal que para td D que cumpla 0 < < δ se verifica f( ) L < ε. Se dice que L es el límite pr la izquierda de f y se representa f( ) L, si la función se aprima a este valr al acercarse a, siend <. Es decir, si para cada ε > 0, eiste δ > 0 tal que para td D que cumpla 0 < < δ se verifica f( ) L < ε. Pryect de innvación ARAGÓN TRES

2 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal Ejempl 8: La función si 0 f( ) si > 0 cuya gráfica es cumple que f( ) y 0 0 f 0 0 ( ) 0 según se ve en el dibuj. Cuand tiene sentid calcular ls ds límites laterales se verifica la siguiente equivalencia: f( ) L f( ) f( ) L Una cnsecuencia inmediata de esta equivalencia es que si ls límites laterales cuand distints, el límite de la función cuand n eiste. sn Ejempl 9: si 0 a) En la función f( ) si > 0 que n eiste f( ). 0 del ejempl 8, cm sus límites laterales cuand 0 sn distints, se cncluye si Dada f( ), para calcular f( ), cm f( ) está definida de frma diferente antes y después del si > punt, han de hallarse sus límites laterales quedand: f( ) 9 y f( ) 9. Cm ls ds límites laterales cinciden, entnces eiste el límite de la función y se verifica que: f( ) f( ) f( ) 9 c) 0 Observar que en este cas n tiene sentid cnsiderar valres menres que ya que D [, ), pr tant, n tiene sentid plantearse el límite pr la izquierda cuand y el límite calculad cincide cn el límite pr la derecha. La definición de límite se puede etender para elements infinits teniend en cuenta l siguiente: Pr, se entiende que se tman valres de psitivs tan grandes cm se quiera. Pr, se entiende que se tman valres de negativs tan pequeñs cm se quiera. Direms que el límite es si la función tma valres psitivs tan grandes cm se quiera. Direms que el límite es - si la función tma valres negativs tan pequeñs cm se quiera. Ejempl 0: Pryect de innvación ARAGÓN TRES

3 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal a) Calcular ls límites laterales cuand 0 de la función f( ) y cuya gráfica se muestra a cntinuación. 0 Si ls valres de se apriman a 0 pr la derecha el valr de la función crece indefinidamente, es decir, Si se acerca pr la izquierda a 0, la función decrece indefinidamente, es decir,. 0 En este cas el límite de la función cuand 0 n eiste, ya que ls límites laterales n cinciden.. 0 Calcular ls límites laterales cuand la función f( ) ( ) cuya gráfica se muestra a cntinuación. Si se acerca a pr la derecha, la función decrece indefinidamente, es decir,. ( ) Si se acerca al pr la izquierda, la función decrece indefinidamente, es decir,. ( ) En este cas,, ya que ambs límites laterales cinciden y tman el valr -. ( ) si < c) Calcular el límite cuand de la función f( ) ( ). si Cm f( ) está definida de frma diferente antes y después del, para determinar el límite de la función han de hallarse sus límites laterales quedand: f( ) y f( ) ( ). Al ser distints ests límites se cncluye que n eiste el límite de f cuand. Prpiedades de ls límites. El límite de una función, si eiste, es únic.. ( f g)( ) f( ) g( ), ecept si f ( ) y. t f t f (. )( ) ( ), siend t un númer real cualquiera. g ( ) - viceversa. Pryect de innvación ARAGÓN TRES

4 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal. ( f. g)( ) f( ) g( ), ecept si f ( ) 0 y g ( ) ± viceversa.. f ( ) g f( ) g( ) si g( ) 0, ecept si: f( ) g( ) 0 f( ) g( ) ± 6. g ( ) f g( ) ( ) ( f( )), ecept si: f ( ) ± y ( ) 0 g f( ) g( ) 0 f ( ) y g ( ) ± 7. Si f( ) es una función actada en un entrn de y g ( ) 0, entnces ( fg. )( ) 0 Ejempl : Calcular ls siguientes límites: a) ( ) 0 e e 0 e ln. ln..ln c) d) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) 0 0 e) 0 ( ) f) sen 0 0, ya que, 0 y la función sen es una función actada. 0 En ls cass en ls que la aplicación directa de estas prpiedades n permite calcular el límite (ver las ecepcines que aparecen en las prpiedades de ls límites), se dice que hay una indeterminación y es necesari calcular el límite de tra manera. Utilizand ntación simbólica las indeterminacines sn: 0 ± 0 0, 0.( ± ),,, 0, ( ± ), 0 ± ± Ejempl : Calcular ls siguientes límites: a) 7 0. Esta indeterminación se resuelve factrizand ls plinmis cn bjet de simplificar el factr 9 0 cmún al numeradr y al denminadr, ya que anula a ambs: 7 ( )( 9) ( )( ) 6 Pryect de innvación ARAGÓN TRES

5 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal 0. Esta indeterminación se resuelve multiplicand numeradr y denminadr pr el cnjugad del 0 denminadr, es decir, pr : ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) c). Esta indeterminación se resuelve dividiend numeradr y denminadr pr de mayr epnente que aparece en el numeradr y denminadr:, ya que es la ptencia 0 0 d). Esta indeterminación se resuelve dividiend numeradr y denminadr pr, ya que es la ptencia de mayr epnente que aparece en el numeradr y denminadr: 0 0 Ntar que las indeterminacines del tip casinadas pr ccientes de plinmis se resuelven fácilmente generalizand l realizad en ls apartads c) y d) del ejempl anterir bteniéndse: 0 si m > n si m n ± si m < n n an... a a an m ± bm... b b b m Ejempl : Calcular ls siguientes límites: a), es una indeterminación, y aplicand l anterir se tiene que el valr de este límite es -, es una indeterminación, y aplicand l anterir se tiene que el valr de este límite es 0 c), es una indeterminación, y aplicand l anterir se tiene que el valr de este límite es Las indeterminacines 0 0, ( ± ) 0, ± se pueden transfrmar en una del tip 0.( ± ) tmand lgaritms neperians. Además, la indeterminación ± se puede reslver aplicand que si f ( ) y g ( ) ±, entnces, g ( )( f( ) ) ( ) f ( g ) e Pryect de innvación ARAGÓN TRES

6 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal Ejempl : Calcular ls siguientes límites: 8 8 a) ya que 8 9 < ya que > c) ya que > d) es una indeterminación que se puede reslver cm sigue: ( ) ( ) e e e A veces, algunas de estas indeterminacines se resuelven usand ls llamads infinitésims equivalentes que sn funcines cuy límite vale 0 y que se pueden sustituir una pr tra si están multiplicand dividiend dentr de un límite sin que éste se mdifique. Alguns infinitésims equivalentes cuand f( ) 0 sn: sen f( ) f( ) arcsen f( ) f( ) tg f( ) f( ) arctg f( ) f( ) f( ) ln( f( )) f( ) e f( ) (( f )) cs f( ) Ejempl : Calcular ls siguientes límites: a) sen 0. Esta indeterminación se puede reslver pr infinitésims equivalentes de la frma siguiente, 0 0 sen 0 0 (cs ) 0. Esta indeterminación se puede reslver pr infinitésims equivalentes de la frma siguiente, 0 tg 0 (cs ) tg 0 Otra equivalencia útil para reslver límites es: n n an... a a an cuand ± Ejempl 6: Calcular ls siguientes límites utilizand la equivalencia anterir: a). Esta indeterminación se resuelve fácilmente utilizand la equivalencia anterir, quedand ( ) Pryect de innvación ARAGÓN TRES 6

7 Unidad didáctica 7. Funcines reales de variable real Autras: Glria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal ln( ). Esta indeterminación se puede reslver de esta manera: ln ln( ) ln ln ln ln ln Pryect de innvación ARAGÓN TRES 7