El Criterio de Eisenstein

Transcripción

1 Ramón Espinza Armenta AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO

2 Un plinmi cn ceficientes racinales puede ser reducible en [ x], per irreducible en [ x] Pr eempl, el plinmi x 5 es reducible en [ x] ( ) ( ) x 5 = x 5 = x+ 5, per es irreducible en [ x], pues es un plinmi de grad ds que n tiene raíces racinales Si ax ( ) [ x], pues, entnces Ma( x) = b( x), dnde M es el mínim cmún múltipl de ls denminadres de ls ceficientes de ax ( ) y bx ( ) es un plinmi cn ceficientes enters Cm ax ( ) es irreducible en [ x] si y sól si bx ( ) es, al discutir el prblema de irreducibilidad en [ x], pdems restringir nuestra atención a plinmis cn ceficientes enters Si un plinmi cn ceficientes enters tiene una raíz racinal entnces es ; sin embarg el recíprc n es ciert, pr eempl, el irreducible en [ x] reducible en [ x] plinmi x 4 5x + 6 n tiene raíces racinales, per n es irreducible en [ x], prque x 4 5x +6=(x )(x 3) Verems a cntinuación una cndición suficiente para asegurar que un plinmi cn ceficientes enters sea irreducible en [ x] Per antes necesitams intrducir cierta terminlgía y prbar alguns resultads preliminares Sea a( x) ax n ax a [ x] = n + + +, cn an El cntenid de ax ( ) es el númer d = mcd( an,, a, a) Si d = se dice que ax ( ) es primitiv El plinmi bx ( ) btenid al multiplicar ax ( ) pr /d es llamad el plinmi primitiv asciad cn ax ( ) Observa que a( x) = db( x) Editrial: Alfamega Grup Editrial

3 Lema Si ax ( ) y bx ( ) sn primitivs, entnces cx ( ) = axbx ( ) ( ) es primitiv Demstración Sea d el cntenid de cx ( ) y supngams que d > Pr l tant existe p prim tal que pd Cm ax ( ) es primitiv, p n divide a algún ceficiente de ax ( ) Sea i tal que p a i y pa,, pai Análgamente, sea tal que p b y pb,, pb i Ahra bien, el ceficiente de x + en cx ( ) es c i+ = ab i+ i+ = Si =,,, i entnces pab i +, prque pa ; pr tra parte, si i+ i entnces pab i + prque pb i + Pr l tant p divide a i+ = i ab i+ Cm también pc i + se sigue que p ab i Cm p es prim tenems que pb l cual n es psible Pr l tant cx ( ) = axbx ( ) ( ) es primitiv pa i Si un Lema (Lema de Gauss) plinmi primitiv puede factrizarse cm prduct de ds plinmis cn ceficientes racinales, entnces puede factrizarse cm prduct de ds plinmis cn ceficientes enters Demstración Sea ax ( ) un plinmi primitiv y supngams que ax ( ) = bxcx ( ) ( ) cn bx ( ), cx ( ) [ x] Quitand denminadres y sacand factres cmunes pdems escribir Editrial: Alfamega Grup Editrial 3

4 p ax ( ) = bx ˆ( ), cx ˆ( ) q dnde, p q y bx ˆ( ), cx ˆ( ) [ x] qa( x) = pbˆ ( x) cˆ ( x) sn primitivs Pr l tant El cntenid de qa( x) es q, prque ax ( ) es primitiv Pr tra parte, pr el lema anterir bxcx ˆ( ) ˆ( ) es primitiv, pr l tant el cntenid de pbˆ( x) cˆ ( x) es p De ahí que p = q y pr l tant ax ( ) = bxcx ˆ( ) ˆ( ) En 846 el matemátic alemán Ferdinand Eisenstein estableció una cndición suficiente para que un plinmi sea irreducible en ls racinales Terema (Criteri de Eisenstein) Sea a( x) ax n ax a [ x] = n Supngams que existe p prim tal que pa, pa,, pan, p an y p a Entnces ax ( ) es irreducible en [ x] Demstración Sin pérdida de generalidad pdems supner que ax ( ) es primitiv Si ( ), entnces pr el lema de Gauss ax ( ) = bxcx ( ) ( ), dnde reducible en [ x] ax es b( x) = bx r x + bx + b y c( x) = cx s s + cx + c sn plinmis cn ceficientes enters Ahra bien, a= bc Pr hipótesis pa, pr l tant pb pc, per n a ambs, prque p a Supngams, sin pérdida de generalidad, que pb y p c Pr tra parte, cm an = bc r s y p a n, entnces p b r Pr l tant existe r < n tal que pb, pb,, pb y pb Cm a= bc i= i i y pa, se sigue que pbc Pr l tant pb pc l cual es una cntradicción Cn l cual cncluims que ( ) x ax es irreducible en [ ] Editrial: Alfamega Grup Editrial 4

5 Eempl El plinmi a(x) = 7x 4 x 3 +5x + 5x 35 es irreducible en [ x], prque 5 es prim y 5 ( ), 5 5, 5 5, 5 ( 35), 5 t 7 y 5 t ( 35), pr l que, pr el criteri de Eisenstein ( ) Terema Sea p un númer prim, entnces el plinmi p ax ( ) = + x+ x + + x es irreducible en [ x] Demstración Cnsiderems el plinmi p ax ˆ( ) = + ( x+ ) + ( x+ ) + + ( x+ ) Pr l tant p ( x ) a( x) = ( x + ) p p p p p = + x+ x + + x 3 p ax es irreducible en [ x] Observems que p p para tda =,, p Además, p p p p y p Editrial: Alfamega Grup Editrial 5

6 Pr l tant, pr el criteri de Eisenstein, ( ) âx es irreducible en [ x] ax es reducible en [ x] Pr l tant existen bx ( ), cx ( ) [ x] ahra que ( ) ax ( ) = bxcx ( ) ( ), dnde grad bx ( ) > y grad cx ( ) > De ahí que a(x +) = b(x + )c(x + ), Supngams tales que l cual n es psible, prque ax ( ) = ax ( + ) es irreducible en [ x] Eercicis Determina si el plinmi x 5 + x 4 5 x x es irreducible en [ x] Determina si el plinmi x 4 +8 x 3 +6 x x + es irreducible en [ x] Determina si el plinmi 6 x x 5 x + 8 x 7 es irreducible en [ x] Determina si el plinmi x 6 + x x 3-8 x 4-9 es irreducible en [ x] Editrial: Alfamega Grup Editrial 6