Práctica 4 CONTRASTE DE HIPÓTESIS AMPLIACIÓN DE ESTADÍSTICA

Transcripción

1 . Objetivs: a) Calcular ls parámetrs de la distribución de medias prprcines muestrales de tamañ n, extraídas de una pblación de media y varianza cncidas. b) Calcular el interval de cnfianza para la media cn varianza cncida y descncida. c) Hallar el interval de cnfianza para la varianza cn media descncida. d) Calcular el interval de cnfianza para la diferencia de medias cn varianzas cncidas y descncidas per iguales. e) Utilizar distints tamañs muestrales para cntrlar el nivel de cnfianza y el errr máxim admitid.. Intrducción a ls cntrastes de hipótesis: Partims de una pblación de la que estudiams una característica mediante una v.a. X de la que cncems su función de distribución F(x; θ ) salv un parámetr θ. Planteams cierta hipótesis sbre el verdader valr del parámetr θ Ω. A cntinuación extraems una m.a.s. de la v.a. X y, a partir de ella, aceptams rechazams la hipótesis planteada usand el criteri del cntraste adecuad. Pr tant, pdems definir un test cntraste de hipótesis cm una regla prcedimient que ns permite aceptar rechazar una hipótesis planteada sbre el parámetr descncid mediante una muestra aleatria simple de la pblación. 3. Elements que intervienen en un cntraste de hipótesis Hipótesis Nula : es l que querems verificar. Se representa pr H. Hipótesis Alternativa: es l cntrari a l que querems cmprbar. Se representa pr H. Región de aceptación: cnjunt de realizacines muestrales para las que aceptams la hipótesis nula H 0. Región de rechaz: cnjunt de realizacines muestrales para las que rechazams la hipótesis nula H 0. De frma general td cntraste de hipótesis l pdems expresar de la frma: H O θ Ω O Ω Ω = Ω : dnde H :θ Ω Ω Ω = Φ 3.. Tips de cntrastes de hipótesis a) Bilaterales de ds clas: H H : θ = θ : θ θ. siend α = nivel de significación y -α = nivel de cnfianza.

2 b) Unilateral derech de una cla: H H : θ θ : θ > θ. siend α = nivel de significación y -α = nivel de cnfianza. c) Unilateral izquierd de una cla: H H : θ θ : θ < θ. siend α = nivel de significación y -α = nivel de cnfianza. 4. Pass para reslver un cntraste de hipótesis a) Plantear las hipótesis: Bilateral unilateral b) Elección del estadístic adecuad al cntraste: Se calcula el valr del estadístic en una realización muestral. X µ Para cntraste de media cn varianza cncida se usa Z = N(0; ). c) Cálcul de la región de aceptación: depende del tip de cntraste y del tip de estadístic. d) Verificación: cmprbar si el estadístic pertenece a la región de aceptación. e) Decisión: aceptams rechazams H Tips de errres A partir de la infrmación cntenida en una muestra bservada de la v.a. X, pdems ACEPTAR O RECHAZAR H. Se pueden cmeter ds tips de errres: El tratamient de ambs errres n es el mism, es decir, un errr tiene más imprtancia que el tr. El ejempl típic es el de un juici, dnde: H 0 : El acusad es incente H : El acusad es culpable

3 α =ERROR tip I = P( RH siend verdadera)=p( cndenar siend incente) β = ERROR tip II = P( Aceptar H siend falsa) = P ( abslver siend culpable) El test óptim sería aquel en el que n puede cmeterse ningún errr, es decir, α= β. Para n fij, cuand aumenta α disminuye β. Pr ell, en general, n es psible btener el test óptim. El númer α, llamad nivel de significación, puede fijarse dependiend de la imprtancia que le dems al errr tip I. Ls valres más cmunes sn α =0.,0.05,0.0 y α indica la fuerza cn la que se rechaza H, pudiéndse fijar el valr que se quiera. Así, si rechazams H para α =0. será mens significativ que si rechazams H para a =0.00.Recíprcamente, si α =0.00 es más fácil que aceptems H (pr ser fuerza de rechaz menr) que si α =0.. Pr tant, la aceptación de la hipótesis nula n debe verse cm una demstración de que ésta es cierta, sin cm que n se dispne de pruebas suficientes que demuestren su falsedad. En el cas del juici, si se declara culpable al acusad debe hacerse cn una prbabilidad pequeña de errr tip I, que nstrs fijams de anteman, mientras que si es declarad incente, est n quiere decir que hayams prbad su incencia sin que n se ha pdid prbar su culpabilidad. 6. Cntrastes de hipótesis en pblacines nrmales N(µ, ) Para una muestra de tamañ n y un nivel de cnfianza - α 6.. Cntraste de hipótesis para µ cncida Η 0 Η ESTIMADOR RECHAZAR H 0 SI: µ µ 0 µ >µ 0 X µ Ζ > Ζ α Z = N(0;) µ µ 0 µ <µ 0 Ζ < Ζα n µ =µ 0 µ µ 0 Ζ > Ζ α/ ó Ζ < Ζα/ 6.. Cntraste de hipótesis para µ descncida Η 0 Η ESTIMADOR: RECHAZAR H 0 SI: µ µ 0 µ >µ 0 X µ t > t n-,α t = tn µ µ 0 µ <µ s 0 t < t n-, α n µ =µ 0 µ µ 0 t > t n-,α/ ó t < t n-, α/ 3

4 6.3. Cntraste de hipótesis para cncida µ Η 0 Η ESTIMADOR: RECHAZAR H 0 SI: 0 > 0 X X > X I µ n,α X = ℵ n 0 < 0 0 X < X n,α = 0 0 X > X n,α/ ó X < X n,-α/ 6.4. Cntraste de hipótesis para descncida µ Η 0 Η ESTIMADOR: RECHAZAR H 0 SI: 0 > 0 X X > X n-,α = I X X ℵ n 0 < 0 0 X < X n-,α = 0 0 X > X n-,α/ ó X < X n-,-α/ 6.5. Interval de cnfianza para µ µ cncidas, Η 0 Η ESTIMADOR RECHAZAR H 0 SI: ) µ µ =δ δ 0 µ µ =δ > δ 0 X Y δ Ζ > Ζ 0 α Z = N(0; µ µ =δ δ 0 µ µ =δ < δ 0 + Ζ < Ζα n m µ µ =δ = δ 0 µ µ =δ δ 0 Ζ > Ζ α/ ó Ζ < Ζα/ 6.6. Interval de cnfianza para µ µ descncidas (, ) per iguales (, = ) Η 0 Η ESTIMADOR RECHAZAR H 0 SI: µ µ =δ δ 0 µ µ =δ > δ 0 X Y δ nm( n + m ) t > t 0 n+m-,α t = t n + m µ µ =δ δ 0 µ µ =δ < δ + 0 ns + ms n m t < t n+m-, α µ µ =δ = δ 0 µ µ =δ δ 0 t > t n+m-,α/ ó t < t n+m-,α/ 4

5 7. Cntraste de hipótesis usand EXCEL: 7.. Inversa de la Función de distribución Nrmal =DISTR.NORM.INV(prbabilidad;media;desv_estándar) Devuelve el invers de la distribución acumulativa nrmal para la media y desviación estándar especificadas. Sintaxis DISTR.NORM.INV(prbabilidad;media;desv_estándar) Prbabilidad es una prbabilidad crrespndiente a la distribución nrmal. Media es la media de la distribución. Desv_estándar es la desviación típica de la distribución. Ejempl Dats A = 0, A3 = 40 A4 =,5 Fórmula =DISTR.NORM.INV(A;A3;A4) Descripción Prbabilidad crrespndiente a la distribución nrmal Media de la distribución Desviación típica de la distribución Descripción (Resultad) Inversa de la Función de distribución nrmal: 7.. Inversa de la función de distribución de una Chi-cuadrad = PRUEBA.CHI.INV(prbabilidad;grads_de_libertad) Devuelve, para una prbabilidad dada, el valr de la variable aleatria siguiend una distribución chi cuadrad. Si el argument prbabilidad = DISTR.CHI(x;...), entnces PRUEBA.CHI.INV(prbabilidad,...) = x. Sintaxis PRUEBA.CHI.INV(prbabilidad;grads_de_libertad) Prbabilidad es una prbabilidad asciada a la distribución chi cuadrad. Grads_de_libertad es el númer de grads de libertad. Ejempl: en la práctica. 5

6 7.3. Inversa de la función de distribución de una t de Student Devuelve el valr t de la distribución t de Student cm función de la prbabilidad y ls grads de libertad. Sintaxis =DISTR.T.INV(prbabilidad;grads_de_libertad) Prbabilidad es el nivel de significación α (ds clas) y *α ( cla) Grads_de_libertad es el númer de grads de libertad de la distribución. Observacines Puede calcularse un valr t de una cla reemplazand prbabilidad pr *prbabilidad. Para una nivel de significación de 0,05 y grads de libertad de 0, el valr de ds clas se calcula cn DISTR.T.INV(0,05;0), que devuelve,839. El valr de una cla para la misma prbabilidad y ls misms grads de libertad puede calcularse cn DISTR.T.INV(*0,05;0), que devuelve,846. Ejempl Dats Descripción A= 0, = α Nivel de significación para t de Student de ds clas. A3 = 60 Fórmula Grads de libertad Descripción (Resultad) =DISTR.T.INV(A;A3) Valr t α =,

7 8. Cas práctic 8.. Cntraste de hipótesis en una pblación Nrmal : 8... Crea una hja de cálcul (HOJA) mediante la cual se pueda realizar cualquier cntraste de hipótesis (unilateral bilateral) para la media de un pblación cn varianza cncida. Utilizand la HOJA resuelve el siguiente prblema: Un exprtadr de tmates empaqueta cajas que en términ medi deben pesar kg. Cn una desviación típica de 0,5 kg. Reciente se ha prducid una avería en la máquina de empaquetad que hace pensar que el pes medi ha pdid cambiar. Para verificarl se extrae una m.a..s. de pess recgida en la HOJA. Supniend que la distribución de pess sigue una distribución nrmal, se pide: i. Cntrastar si el pes medi es igual, mayr igual, menr igual que kg al nivel de cnfianza del 90%, 95% y 99%. ii. Repetir el apartad anterir para,5 kg Crea una hja de cálcul (HOJA) mediante la cual se pueda realizar cualquier cntraste de hipótesis (unilateral bilateral) para la media de una pblación cn varianza descncida. Utilizand la HOJA resuelve el siguiente prblema: Una revista de gastrnmía desea calificar ls restaurantes de ls restaurantes una región según la puntuación que recibe pr parte de ls usuaris. El barem utilizad es el siguiente: Media Clasificación 7,5 Tres tenedres 5 µ < 7,5 Ds tenedres µ < 5 Un tenedr Para evaluar un restaurante en particular se han recgid las puntuacines que aparecen en la HOJA. Supniend que las puntuacines siguen una distribución Nrmal, determine cuál es la clasificación de este restaurante cn un nivel del cnfianza del 99% Crea una hja de cálcul (HOJA3) mediante la cual se pueda reslver cualquier cntraste de hipótesis (unilateral bilateral) para la diferencia de medias cn varianzas descncidas per iguales. Utilizand la HOJA 3 resuelve el siguiente prblema: Una empresa de muebles puede acudir a ds prveedres de madera, A y B. Cnservará al prveedr A si la media de su tiemp de entrega es igual menr que del prveedr B y se supne que las varianzas sn iguales. El prveedr B afirma que ha incrprad una nueva tecnlgía que reduce su tiemp de entrega medi sin alterar la varianza. La empresa decide simultanear sus pedids a cada prveedr y btiene ls tiemps de entrega recgids en la HOJA 3. Sabiend que ls tiemps de entrega se distribuyen según una nrmal y de acuerd cn ls dats maestrales, debería la empresa cambiar de prveedr al nivel % y 5%? 7