EJERCICIOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD E INFERENCIA ESTADÍSTICA

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1 EJERCICIOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD E INFERENCIA ESTADÍSTICA 1. La media de ls pess de 500 estudiantes de un clegi es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Supniend que ls pess se distribuyen nrmalmente, si elegims al azar un estudiante, calcular la prbabilidad de que su pes sea: Entre 60 kg y 65 kg. Más de 90 kg. Mens de 64 kg kg kg mens. 2. En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de juni si una distribución nrmal, cn media 23 y desviación típica 5. Escgid un día al azar, calcular la prbabilidad de esperar alcanzar una temperatura máxima entre 21 y En un examen tip test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una respuesta crrecta y una incrrecta. Se aprueba si se cntesta a más de 110 respuestas crrectas. Supniend que se cntesta al azar, calcular la prbabilidad de aprbar el examen. Inferencia (Vit) 4. En ciert barri se quiere hacer un estudi para cncer mejr el tip de actividades de ci que gustan más a sus habitantes. Para ell van a ser encuestads 100 individus elegids al azar. Explicar qué prcedimient de selección sería más adecuad utilizar: muestre cn sin repsición. Pr qué? b. Cm ls gusts cambian cn la edad y se sabe que en el barri viven niñs, adults y 500 ancians, psterirmente se decide elegir la muestra anterir utilizand un muestre estratificad. Determinar el tamañ muestral crrespndiente a cada estrat. 5. Sea la pblación de elements: {22,24, 26}. a) Escribe tdas las muestras psibles de tamañ ds, escgidas mediante muestre aleatri simple. b) Calcula la varianza de la pblación. c) Calcula la varianza de las medias muestrales. 6. La variable altura de las alumnas que estudian en una escuela de idimas sigue una distribución nrmal de media 1,62 m y la desviación típica 0,12 m. Cuál es la prbabilidad de que la media de una muestra aleatria de 100 alumnas sea mayr que 1.60 m? 7. Se ha tmad una muestra de ls precis de un mism prduct alimentici en 16 cmercis, elegids al azar en un barri de una ciudad, y se han encntrad ls siguientes precis: 95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111, 103, 110. Supniend que ls precis de este prduct se distribuyen según una ley nrmal de varianza 25 y media descncida: 1. Cuál es la distribución de la media muestral? 2.Determine el interval de cnfianza, al 95%, para la media pblacinal. 8. La media de las estaturas de una muestra aleatria de 400 persnas de una ciudad es 1,75 m. Se sabe que la estatura de las persnas de esa ciudad es una variable aleatria que sigue una distribución nrmal cn varianza σ2 = 0,16 m2. 1. Cnstruye un interval, de un 95% de cnfianza, para la media de las estaturas de la pblación. 2. Cuál sería el mínim tamañ muestral necesari para que pueda decirse que la verdadera media de las estaturas está a mens de 2 cm de la media muestral, cn un nivel de cnfianza del 90%? 9. Las ventas mensuales de una tienda de electrdméstics se distribuyen según una ley nrmal, cn desviación típica 900. En un estudi estadístic de las ventas realizadas en ls últims nueve meses, se ha encntrad un interval de cnfianza para la media mensual de las ventas, cuys extrems sn y Cuál ha sid la media de las ventas en ests nueve meses? Pág: 1/6

2 2. Cuál es el nivel de cnfianza para este interval? 10. Se desea estimar la prprción, p, de individus daltónics de una pblación a través del prcentaje bservad en una muestra aleatria de individus, de tamañ n. 1. Si el prcentaje de individus daltónics en la muestra es igual al 30%, calcula el valr de n para que, cn un nivel de cnfianza de 0,95, el errr cmetid en la estimación sea inferir al 3,1%. 2.Si el tamañ de la muestra es de 64 individus, y el prcentaje de individus daltónics en la muestra es del 35%, determina, usand un nivel de significación del 1%, el crrespndiente interval de cnfianza para la prprción de daltónics de la pblación. 11. En una pblación una variable aleatria sigue una ley nrmal de media descncida y desviación típica Observada una muestra de tamañ 400, tmada al azar, se ha btenid una media muestra al igual a 50. Calcule un interval, cn el 97 % de cnfianza, para la media de la pblación. 2. Cn el mism nivel de cnfianza, qué tamañ mínim debe tener la muestra para qué la amplitud del interval que se btenga sea, cm máxim, 1? 12. Un estudi de un fabricante de televisres indica que la duración media de un televisr es de 10 añs, cn una desviación típica de 0,7 añs. Supniend que la duración media de ls televisres sigue una distribución nrmal: a) Calcula la prbabilidad de que un televisr dure más de 9 añs. b) Calcula la prbabilidad de que dure entre 9 y 11 añs. 13. En una cierta prueba, el 35% de la pblación examinada btuv una nta superir a 6, el 25%, entre 4 y 6, y el 40% inferir a 4. Supniend que las ntas siguen una distribución nrmal, hállese la nta media y la desviación típica. Qué prcentaje de la pblación tiene una nta que se diferencia de la media en mens de 2 unidades? 14. En una ciudad, el 20% de ls hgares están asegurads cntra incendis. Cn bjet de establecer una encuesta en el área, una cmpañía de segurs seleccina 5 hgares al azar. Se pide: a) Númer de hgares que se espera que estén asegurads. b) Prbabilidad de que ds hgares estén asegurads. c) Prbabilidad de que ningun esté asegurad. d) Prbabilidad de que algun esté asegurad 15. Se sabe que el pes de ls recién nacids en una determinada pblación sigue una distribución nrmal de media 3600 g y desviación típica 280 g. Se tma una muestra al azar de 196 de ests recién nacids y se calcula la media. Cuál es la prbabilidad de que esta media esté entre 3580 y 3620 g? 16. Se sabe que 2 de cada 8 habitantes de una ciudad utiliza el transprte públic para ir a su trabaj. Se hace una encuesta a 140 de ess ciudadans. Determinar: a) El númer esperad de individus que n van a su trabaj en transprte públic. b) Prbabilidad de que el númer de individus que va al trabaj en transprte públic esté entre 30 y En un examen al que se presentarn 2000 estudiantes, las puntuacines se distribuyern nrmalmente, cn media 72 y desviación típica 9. a) Cuánts estudiantes btuviern una puntuación entre 60 y 80? b) Si el 10% superir de ls alumns recibió la calificación de sbresaliente, qué puntuación mínima había que tener para recibir tal calificación? 18. Cn el fin de estimar la edad media de ls habitantes de una gran ciudad, se tmó un muestra aleatria de 300 habitantes que arrjó una edad media de 35 añs y una desviación típica de 7 añs. a) Hallar el interval del 95% de cnfianza en el que se encntrará la edad media de la pblación. Pág: 2/6

3 19. En una universidad se tma al azar una muestra de 100 alumns y se encuentran que han aprbad tdas las asignaturas 62. Se pide hallar: a) Cn nivel de cnfianza del 95%, un interval para estimar el prcentaje de alumns que aprueban tdas las asignaturas. b) A la vista del resultad anterir se pretende repetir la experiencia para cnseguir una cta de errr de 0,03, cn el mism nivel de cnfianza del 95%. Cuánts individus ha de tener la muestra? 20. La desviación típica del númer de hras diarias que duermen ls alumns de una universidad es 3 hras. Se cnsidera una muestra aleatria de 40 estudiantes que revela una media de sueñ de 7 hras. Hallar un interval de cnfianza de 95% para la media de hras de sueñ de ls estudiantes de esa universidad. Explicar ls pass seguids para btener la respuesta. 21. La duración de las llamadas de teléfn, en una ficina cmercial sigue una distribución nrmal cn desviación típica 10 segunds. Se hace una encuesta entre 50 llamadas y la media de duración btenida en esa muestra es 35 segunds. Calcular el interval de cnfianza al 99% para la duración media de las llamadas 22. Se sabe que la estatura de ls individus de una pblación es una variable aleatria que sigue una distribución nrmal cn desviación típica 6 cm. Se tma una muestra aleatria de 225 individus que da una media de 176 cm. a) Obtenga un interval, cn un 99% de cnfianza, para la media de la estatura de la pblación. b) Calcule el mínim tamañ de muestra que se ha de tmar para estimar la estatura media de ls individus de la pblación cn un errr inferir a 1cm y un nivel de cnfianza del 95%. 23. Se sabe que ls estudiantes de una prvincia duermen un númer de hras diarias que se distribuye según una ley nrmal de media µ y desviación típica σ = 2 hras. A partir de una muestra se 64 alumns se ha btenid el siguiente interval de cnfianza (7,26; 8,14) para la media de la pblación. a) Determine el nivel de cnfianza cn que se ha cnstruid dich interval. b) Determine el tamañ muestral mínim necesari para que el errr que se cmeta al estimar la media de la pblación pr un interval de cnfianza sea, cm máxim, de 0,75 hras, cn un nivel de cnfianza del 98%. Selectividad 24. Sel (2007) El salari de ls trabajadres de una ciudad sigue una distribución Nrmal cn desviación típica 15 eurs. Se quiere calcular un interval de cnfianza para el salari medi cn un nivel de cnfianza del 98%. Determine cuál es el tamañ mínim de la muestra que se necesitaría recger para que el interval de cnfianza tenga una amplitud, cm máxim, de 6 eurs. 25. (Sel 2007)En una encuesta representativa realizada a 1230 persnas de una ciudad, se btuv cm resultad que 654 de ellas van al cine ls fines de semana. Calcule un interval de cnfianza, al 97%, para la prprción de asistencia al cine ls fines de semana en dicha ciudad. 26. (Sel 2007) Se sabe que las puntuacines de un test siguen una ley Nrmal de media 36 y desviación típica 4.8. a) Si se tma una muestra aleatria de 16 individus, cuál es la prbabilidad de que la media de esta muestra sea superir a 35 punts? b) Qué prcentaje de muestras de tamañ 25 tiene una media muestral cmprendida entre 34 y 36? 27. (Sel 2007) Se sabe que (45.13, 51.03) es un interval de cnfianza, al 95%, para la media de una variable aleatria que sigue una distribución Nrmal cn desviación típica 15. a) Cuál es el errr cmetid? b) Calcule, cn el mism nivel de cnfianza, el tamañ muestral mínim necesari para que el errr n sea superir a (Sel 2007) Se ha lanzad al aire una mneda 200 veces y se ha btenid cara en 120 casines. a) Estime, mediante un interval de cnfianza, al 90%, la prbabilidad de btener cara. Pág: 3/6

4 b) Se pretende repetir la experiencia para cnseguir que el errr cmetid sea inferir a 0.03, cn un nivel de cnfianza del 97%. Cuál debe ser el tamañ mínim de la muestra? 29. (sel 2005) La lngitud de ls trnills fabricads pr una máquina sigue una ley Nrmal cn desviación típica 0.1 cm. Se ha seleccinad una muestra aleatria y, cn una cnfianza del 95%, se ha cnstruid un interval, para la media pblacinal, cuya amplitud es cm. a) Cuál ha sid el tamañ de la muestra seleccinada? b) Determine el interval de cnfianza, si en la muestra seleccinada se ha btenid una lngitud media de 1.75 cm. 30. (Sel 2005) El númer de hras semanales que ls adlescentes dedican a ver la televisión se distribuye según una ley Nrmal de media 9 hras y desviación típica 4. Para muestras de 64 adlescentes: a) Indique cuál es la distribución de las medias muestrales. b) Calcule la prbabilidad de que la media de una de las muestras esté cmprendida entre 7.8 y 9.5 hras. 31. (Sel 2005) En una pblación, una variable aleatria sigue una ley Nrmal de media descncida y desviación típica 3. a) A partir de una muestra de tamañ 30 se ha btenid una media muestral igual a 7. Halle un interval de cnfianza, al 96%, para la media de la pblación. b) Qué tamañ mínim debe tener la muestra cn la cual se estime la media, cn un nivel de cnfianza del 99% y un errr máxim admisible de 2? 32. (Sel 2005) a) En una pblación hay 100 persnas: 60 mujeres y 40 hmbres. Se desea seleccinar una muestra de tamañ 5 mediante muestre estratificad cn afijación prprcinal. Qué cmpsición tendrá dicha muestra? b) En la pblación frmada pr ls númers 2, 4, 6 y 8, describa las psibles muestras de tamañ 2 seleccinadas pr muestre aleatri simple, y calcule la varianza de las medias muestrales. 33. (Sel 2001) Sabiend que la varianza de una ley nrmal es σ 2 = 16 que puede decirse que su media µ está cmprendida entre 6. 2 y. 8 de tamañ 36 de esa ley nrmal, cuya media muestral es 7. 5., determine el nivel de cnfianza cn el 8, si se tma una muestra aleatria 34. (Sel 2001) Un estudi realizad sbre 100 usuaris revela que un autmóvil recrre anualmente un prmedi de Km cn una desviación típica de 2250 Km. Determine un interval de cnfianza, al 99 %, para la cantidad prmedi de kilómetrs recrrids. Cuál debe ser el tamañ mínim de la muestra para que el errr cmetid n sea superir a 500 Km, cn igual cnfianza? 35. (Sel 2001) La cantidad de hemglbina en sangre del hmbre sigue una ley nrmal cn desviación típica de 2 g/dl. Calcule el nivel de cnfianza de una muestra de 12 extraccines de sangre que indique que la media pblacinal de hemglbina en sangre está entre 13 y 15 grams pr decilitr. 36. (Sel 2001) Se sspecha que el númer de unidades que cntiene cada dsis de un medicament n llega a las que se indican en el envase. Para cmprbar que el cntenid medi de las dsis es el indicad tmams, al azar, 100 dsis y determinams el númer de unidades de cada una, bteniend de media 9940 unidades y de desviación típica 120 unidades. Qué pdems decir sbre la indicación del envase, para un nivel de cnfianza del 99 %? 37. (Sel 2001) Una muestra aleatria de 36 cigarrills de una marca determinada di un cntenid medi de nictina de 3 miligrams. Se sabe que el cntenid en nictina de ests cigarrills sigue una distribución nrmal cn una desviación típica de 1 miligram. Cuál es la prbabilidad de que el cntenid medi en nictina de ls cigarrills de esa marca sea superir a 3,2 miligrams? Obtenga un interval de cnfianza al 99% para el cntenid medi de nictina de ests cigarrills. 38. (Sel 2003) El pes de ls adults de una determinada especie de peces sigue una ley Nrmal de desviación típica 112 g. Cuál es el tamañ mínim de la muestra de peces que debería tmarse para btener, cn una cnfianza del 95 %, la media de la pblación cn un errr menr de 20 g? Pág: 4/6

5 39. (Sel 2003) Se está estudiand el cnsum de gaslina de una determinada marca de cches. Para ell se escgen 50 autmóviles al azar y se btiene que el cnsum medi es de 6.5 litrs. Cn independencia de esta muestra, se sabe que la desviación típica del cnsum de ese mdel de cches es 1.5 litrs. a) Halle un interval de cnfianza, al 97 %, para el cnsum medi de gaslina de ls cches de esa marca. b) El fabricante afirma que el cnsum medi de gaslina de sus vehículs está cmprendid entre 6.2 y 6.8 litrs. Cn qué nivel de cnfianza puede hacer dicha afirmación? 40. (Sel 2004) La duración de un ciert tip de bmbillas eléctricas se distribuye según una ley Nrmal cn desviación típica 1500 hras. a) Si en una muestra de tamañ 100, tmada al azar, se ha bservad que la vida media es de 9900 hras, determine un interval, cn el 95% de cnfianza, para la vida media de esta clase de bmbillas. b) Cn un nivel de cnfianza del 99% se ha cnstruid un interval para la media cn un errr máxim de hras, qué tamañ de la muestra se ha tmad en este cas? 41. (Sel 2004) Una variable aleatria puede tmar ls valres 20, 24 y 30. Mediante muestre aleatri simple se frman tdas las muestras psibles de tamañ 2. a) Escriba tdas las muestras psibles. b) Calcule la media y varianza de las medias muestrales. Prblemas de Inferencia Estadística prpuests en Selectividad. Añ 2009 A. En una muestra aleatria de 100 individus se ha btenid, para la edad, una media de 17.5 añs. Se sabe que la edad en la pblación, de la que prcede esa muestra, sigue una distribución Nrmal cn una desviación típica de 0.8 añs. a) Obtenga un interval de cnfianza, al 94 %, para la edad media de la pblación. b) Qué errr máxim se cmete cn la estimación anterir? B. El cciente intelectual de ls alumns de un centr educativ se distribuye según una ley Nrmal de media 110 y desviación típica 15. Se extrae una muestra aleatria simple de 25 alumns. a) Cuál es la prbabilidad de que la media del cciente intelectual de ls alumns de esa muestra sea superir a 113? b) Razne cóm se vería afectada la respuesta a la pregunta anterir si el tamañ de la muestra aumentase. C. Se desea estimar la prprción de fumadres de una pblación mediante una muestra aleatria. a) Si la prprción de fumadres en la muestra es 0.2 y el errr cmetid en la estimación ha sid inferir a 0.03, cn un nivel de cnfianza del 95 %, calcule el tamañ mínim de la muestra. b) Si en tra muestra de tamañ 280 el prcentaje de fumadres es del 25 %, determine, para un nivel de cnfianza del 99 %, el crrespndiente interval de cnfianza para la prprción de fumadres de esa pblación. D. El tiemp que se tarda en la caja de un supermercad en cbrar a ls clientes sigue una ley Nrmal cn media descncida y desviación típica 0.5 minuts. Para una muestra aleatria de 25 clientes se btuv un tiemp medi de 5.2 minuts. a) Calcule un interval de cnfianza, al nivel del 97 %, para el tiemp medi que se tarda en cbrar a ls clientes. b) Indique el tamañ muestral mínim necesari para estimar dich tiemp medi cn un errr máxim de 0.5 y un nivel de cnfianza del 96 %. E. El tiemp (en hras) que permanecen ls cches en un determinad taller de reparación es una variable aleatria cn distribución Nrmal de desviación típica 4 hras. a) Se eligiern, al azar, 16 cches del taller y se cmprbó que, entre tds, estuviern 136 hras en reparación. Determine un interval de cnfianza, al 98.5 %, para la media del tiemp que permanecen ls cches en ese taller. Pág: 5/6

6 b) Determine el tamañ mínim que debe tener una muestra que permita estimar la media del tiemp que permanecen en reparación ls cches en ese taller cn un errr n superir a una hra y media y cn el mism nivel de cnfianza del apartad anterir. F. En un estudi de mercad del autmóvil en una ciudad se ha tmad una muestra aleatria de 300 turisms, y se ha encntrad que 75 de ells tienen mtr diésel. Para un nivel de cnfianza del 94 %: a) Determine un interval de cnfianza de la prprción de turisms que tienen mtr diésel en esa ciudad. b) Cuál es el errr máxim de la estimación de la prprción? G. Escriba tdas las muestras de tamañ 2 que, mediante muestre aleatri simple (cn reemplazamient) se pueden extraer del cnjunt {}8,10,12 y determine el valr de la varianza de las medias de esas muestras. H. a) En una pblación, una variable aleatria X sigue una distribución Nrmal de media 50 y desviación típica 9. Se elige, al azar, una muestra de tamañ 64 de esa pblación. Cuál es la prbabilidad de que la media muestral esté cmprendida entre 48 y 52? b) En una empresa de gas trabajan 150 persnas en mantenimient, 450 en peracines, 200 en servicis y 100 en cargs directivs. Cn bjet de realizar una encuesta labral, se quiere seleccinar una muestra de 180 trabajadres de esa empresa pr muestre aleatri estratificad cn afijación prprcinal. Qué númer de trabajadres se debe elegir de cada grup? I. Una variable aleatria X se distribuye de frma Nrmal, cn media µ y desviación típica. a) Una muestra aleatria de tamañ 9 ha prprcinad ls siguientes valres de σ0.9=x 7.0, 6.4, 8.0, 7.1, 7.3, 7.4, 5.6, 8.8, 7.2. Obtenga un interval de cnfianza para la media, cn un nivel de cnfianza de 97 %. µ b) Cn tra muestra, se ha btenid que un interval de cnfianza para µ, al 95 %, es el siguiente (6.906, 7.494). Cuál es el tamañ de la muestra estudiada? J. Tmand, al azar, una muestra de 80 empleads de una empresa, se encntró que 20 usaban gafas. Halle, cn un nivel de cnfianza del 90 %, un interval de cnfianza para estimar la prprción de empleads de esa empresa que usan gafas. K. El gast que hacen las familias españlas en regals de Navidad sigue una ley Nrmal de media descncida y desviación típica 84 eurs. Para estimar esta media se seleccinó una muestra aleatria y se btuv el interval de cnfianza, cn un nivel de cnfianza del 97 %. a) Cuál ha sid la media de la muestra escgida? (509.41, ) b) Qué tamañ tenía la muestra? L. Ls jóvenes andaluces duermen un númer de hras diarias que se distribuye según una ley Nrmal de media descncida, µ, y desviación típica 2 hras. A partir de una muestra de 64 jóvenes se ha btenid una media de 7 hras. a) Halle un interval de cnfianza, al 97 %, para la media pblacinal. µ b) Manteniend la misma cnfianza, cuál debe ser el tamañ mínim de la muestra para estimar la media de hras de sueñ, cmetiend un errr máxim de 0.25 hras? Pág: 6/6