TRABAJO: Una simulación simplificada de la criptografía

Transcripción

1 Premis del Departament de Matemáticas de la Universidad Autónma de Madrid para Estudiantes de Secundaria Tercera Edición, 2008/2009 TRABAJO: Una simulación simplificada de la criptgrafía GANADOR EN LA CATEGORÍA DE BACHILLERATO AUTORES: Alicia Ayus Slís Paula Gicechea Núñez Mónica Pérez Serrabna Helena Puchades Guerra Marcs Trres López TUTORES: Jsefa Ranchal Migallón Enrique Rmer Ruiz del Prtal CENTRO: Clegi Ls Sauces (Trreldnes, Madrid)

2 Una Simulación Simplificada De La Criptgrafía. Ls Prims De Fermat 1

3 1.-INTRODUCCIÓN "Una pareja de científics nrteamericans, ls dctres Curtis Cper y Steven Bne, de la Universidad Estatal Central de Missuri, Estads Unids, flamantes descubridres del mayr númer prim cncid hasta hy, y cmpuest pr cifras." Esta incente nticia es la culpable de nuestr trabaj. Un día, en clase, un cmpañer cmentó que había leíd esta nticia y se interesó en cóm se hacía para pder descubrir estas cifras y preguntó acerca de la imprtancia que pdía tener est para que l publicaran cm nticia. Tds ns reíms, "céntrate en las derivadas" le dij un. Para nuestra srpresa, nuestra prfesra n sól le hiz cas sin que ns sltó una charla acerca de ls númers prims que ns dejó un tant frís. N pdíams imaginar que tuvieran ninguna imprtancia para alguien que n fuera un friki de las matemáticas. Ahí quedó td Al cab de uns días ls prfesres ns hablarn de éste cncurs de matemáticas y decidims presentarns aunque sin saber tdavía, incauts de nstrs, acerca de qué íbams a trabajar. Nuestr primer trabaj cnsistiría precisamente en buscar un tema que ns llamara la atención. En un principi n se ns curría nada cm era de esperar. Ls prfesres ns prpusiern una serie de temas entre ls que se encntraban las aplicacines de ls númers prims. Cm ns snaba al mens de alg, decidims investigar un pc en Internet y vims que la criptgrafía era una de estas aplicacines y que tenía utilidades muy habituales en la vida diaria, así que mejr que hacer una cmpilación de aplicacines decidims centrarns en este tema y n buscar más. Según ls prfesres era la mejr manera de que btuviérams un mayr prvech matemátic del trabaj. Criptgrafía, alg nuev para tds nstrs y para nuestrs prfesres pr l que el primer pas fue pnerns cm lcs a buscar infrmación. Td ns parecía chin, n entendíams nada y casi llegams a arrepentirns del lí en que ns metíams antes de empezar, per al fin y al cab ns gustan las matemáticas y le echams muchas ganas. Empezams a encntrar y leer (al principi sin entender) un mntón de artículs y blgs de diferentes prfesres casi tds universitaris y a mandarles mensajes para ver si ns echaban una man para encntrar csas sencillas pr dnde cmenzar a crecer. Se quedaban alucinads cuand les decíams que teníams 16 añs y les preguntábams sbre l que habían escrit. Al final ns referirems a ells per debems decir que ns ayudarn bastante y que se tmarn bastantes mlestias pr nstrs. Empezams a buscar mecanisms infrmátics que ns dieran idea del funcinamient real de las csas. Buscams ejercicis acerca de cóm se prduce el prces y est últim sí que fue, al principi, un cas dnde sól veíams númers y n había pr dnde cgerls. Parece que td fue mal per n; debems recncer que n tardams demasiad en ir cgiéndle el aire al tema y que a pesar de nuestras limitacines íbams disfrutand cada vez que slucinábams un de ls bstáculs que se ns presentaban. Es ciert que n hems cnseguid acceder a td l que ns prpusims y que ls prfesres ns tuviern que echar una man para cmprender ciertas csas per l hems pasad muy bien realizand el trabaj. A l larg de la histria, las aplicacines de la criptgrafía han sid abundantes. Psiblemente, el primer criptsistema que se cnce fuera dcumentad pr el histriadr grieg Plibi: un sistema de sustitución basad en la psición de las letras en una tabla. También ls rmans utilizarn sistemas de sustitución, siend el métd actualmente cncid cm César, prque supuestamente Juli César l utilizó en sus campañas Otr de ls métds criptgráfics utilizads pr ls griegs fue la escitala espartana, un métd de traspsición basad en un cilindr que servía cm clave en el que se enrllaba el mensaje para pder cifrar y descifrar. En 1465 el italian Len Battista Alberti inventó un nuev sistema de sustitución plialfabética que supus un gran avance de la épca. Otr de ls criptógrafs más imprtantes del sigl XVI fue el francés Blaise de Vigenere que escribió un imprtante tratad sbre "la escritura secreta" y que diseñó una cifra que ha llegad a nuestrs días asciada a su nmbre. Desde el sigl XIX y hasta la Segunda Guerra Mundial las figuras más imprtantes fuern la del hlandés Auguste Kerckhffs y la del prusian Friedrich Kasiski. A partir del sigl XX, la criptgrafía usa una nueva herramienta que permitirá cnseguir mejres y más seguras cifras: las máquinas de cálcul, la más cncida puede que sea la máquina alemana Enigma: una máquina de rtres que 2

4 autmatizaba cnsiderablemente ls cálculs que era necesari realizar para las peracines de cifrad y descifrad de mensajes. A mediads de ls añs 70 el Departament de Nrmas y Estándares nrteamerican publica el primer diseñ lógic de un cifradr que estaría llamad a ser el principal sistema criptgráfic de finales de sigl: el Estándar de Cifrad de Dats. En esas mismas fechas ya se empezaba a gestar l que sería la, hasta ahra, última revlución de la criptgrafía teórica y práctica: ls sistemas asimétrics. Ests sistemas supusiern un salt cualitativ imprtante ya que permitiern intrducir la criptgrafía en trs camps cm el de la firma digital. La era de la criptgrafía mderna cmienza realmente cn Claude Shannn, que pdría decirse que es el padre de la criptgrafía matemática. En 1949 publicó el artícul Cmmunicatin Thery f Secrecy Systems y pc después el libr Mathematical Thery f Cmmunicatin. 2.- OBJETIVOS: Desde que el hmbre ha aprendid a cmunicarse cn texts escrits, también ha sentid la necesidad de cnsiderar alguns cm privads. Para cultar este tip de mensajes, se ha empleand y se sigue usand la criptgrafía. En este trabaj hems pretendid que nuestrs alumns se aprximen a este camp que pr tra parte ns rdea en nuestra vida ctidiana, desde el us de firmas digitales, acces a redes mediante el usuari y passwrd, en las transaccines cmerciales vía intranet en la prpia infrmación registrada en nuestra tarjeta de crédit. Durante el prces de investigación para la elabración del presente trabaj, nuestrs bjetivs serán:! Familiarizarse cn aspects de la Tería de Númers que están implicads en la explicación y desarrll del algritm RSA, usad en ejempls de cdificación y descdificación así cm en tds ls prcess intermedis.! Utilizar el sftware científic específic tant en criptgrafía cm para la ejecución de cálculs de cnsiderable envergadura.! Lcalizar y manejar bibligrafía tant en inglés cm castellan, para prfundizar en las terías matemáticas que el desarrll del trabaj sacaba a relucir.! Cnseguir llegar a una simulación sencilla cn el cifrad y descifrad de un mensaje al final del estudi, utilizand td l aprendid cn anteriridad. 3.- CRIPTOGRAFÍA RSA: El sistema criptgráfic de clave pública RSA es un algritm asimétric cifradr de blques, que utiliza una clave pública, que se distribuye, y tra privada, que es guardada en secret pr su prpietari. Una clave es un númer de gran tamañ, que una persna puede cnceptualizar cm un mensaje digital, cm un archiv binari cm una cadena de bits bytes. Cuand se quiere enviar un mensaje, el emisr busca la clave pública de cifrad del receptr, cifra su mensaje cn esa clave, y una vez que el mensaje cifrad llega al receptr, éste se cupa de descifrarl usand su clave culta. Ls mensajes enviads usand el algritm RSA se representan mediante númers y el funcinamient se basa en el prduct de ds númers prims grandes. RSA es una función cmputacinalmente segura, ya que si bien realizar la expnenciación mdular es fácil, su peración inversa, la extracción de raíces de módul Ø n es factible a mens que se cnzca la factrización de e, clave privada del sistema. 3

5 Actualmente el métd de factrización más rápid cncid es la Criba Numérica Especial de Camp (Special Number Field Sieve): Rivest, un de ls cautres de RSA, prpus en 1977 que se intentara factrizar un númer de 129 dígits. Estableció que harían falta alrededr de 4!10 16 añs de cmputación para lgrarl, según el estad de la Tería de Númers y la dispnibilidad de algritms de entnces. Sin embarg, la factrización del númer prpuest pr Rivest, el fams RSA-129, se lgró el 2 de abril de 1994, después de mens de 8 meses de trabaj, pr el desarrll del métd cncid cm la criba cuadrática (QS, Quadratic Sieve). La idea básica de la familia de algritms cuadrátics que emplea la criba cuadrática es la siguiente. Siend n el enter a factrizar, supngams que x, y sn ds enters tales que x 2 y 2 (md n). Entnces que x 2 y 2 = (x + y) (x y) 0 (md n), pr l que, si x y < n, resulta que mcd(x y, n) 1 ha de ser un factr de n. A md de ejempl, tratems de factrizar cn este métd el númer 91. Después de alguns ensays, ns darems cuenta de que (md 91) y (md 91); pr tr lad, (md 91) y 3 3 (md 91), lueg x = 10 e y = 3. Cm 10 3 < 91, tmams mcd (10 3, 91) = 7, que es un factr de 91. Cnseguida la factrización del númer RSA-129, se abrdó la factrización del siguiente númer: RSA-130 = En este cas se hiz us de una extensión de la criba cuadrática establecida anterirmente llamada la criba del cuerp de númers (SNFS, Special Number Field Sieve) 4.- NÚMEROS PRIMOS: Un númer prim es un enter psitiv mayr que 1 que es divisible, slamente, pr sí mism y la unidad. Además, td enter psitiv mayr que un puede ser escrit de frma única cm el prduct de prims. Un dat básic sbre ls númers prims es que hay infinits, y cm td en las matemáticas, tiene una demstración numérica, que prcedems a explicar: Pr reducción al absurd. Supóngase que sól hay un númer finit de númers prims y que se definen cm a, b, c,..., d. Este cnjunt supnems que ls cntiene tds. Si multiplicams ests númers prims uns pr trs y le sumams 1 al prduct btenems un nuev númer: N = (a! b! c!...! d) + 1 4

6 Obviamente, N es mayr que cualquiera de ls númers prims individuales a, b, c,..., d, y pr tant N es diferente de tds ells. Puest que ests númers sn ls únics númers prims existentes, cncluims que N n es un númer prim. Est significa que N debe ser un númer cmpuest, es decir, tiene un más divisres distints a 1 y a sí mism y, pr tant tiene un divisr prim. Puest que hems supuest que a, b, c,..., d, cnstituyen tds ls númers prims, este divisr prim de N debe estar en algún lugar entre ells. Dich de tra manera, N es un múltipl de un de ls númers prims a, b, c,..., d. Pc imprta de cuál de ells es, per supngams que N es un múltipl de c. Así, el prduct a!b!c!...!d es también un múltipl de c ya que aparece cm un de ls factres. Per la diferencia entre N y a!b!c!...!d será también un múltipl de c. Per, pr definición, N es exactamente 1 más que este prduct, lueg la diferencia es 1. N tiene que ser divisible pr c. Pr l que N - (a!b!c!!d) también tiene que ser a!b!c!!d tiene que ser divisible pr c. divisible pr c, per el resultad es 1. Pr tant, llegams a la cnclusión de que 1 es múltipl de c ( de cualquier tr númer prim que es un factr de N). Est claramente, es impsible. Pr tant cncluims que hay infinits númers prims. Después de entender la definición de ls númers prims, investigams sbre la relación de primalidad que hay entre ls númers, chcándns de bruces cn tr nuev cncept, ls númers cprims, pr l que tra vez tuvims que empezar de cer e investigarls: 4.a.- Númers cprims: Ds númers enters sn cprims prims entre sí si su máxim cmún divisr (mcd) es 1. En tal cas ls únics divisres cmunes sn -1 y 1. Est equivale a decir que la fracción es irreducible (n se puede simplificar). 7 y 11 si sn cprims prque sn ambs prims. En el cas de 11 y 49 también sn cprims pr que 11 es prim y 49 n es múltipl de 11. Cprims en general significa prims entre sí Prpiedades elementales de ls cprims Si a y b sn cprims entnces su mínim cmún múltipl (mcm) es el prduct a!b, que es también el menr denminadr cmún de las fraccines irreducible cn denminadr a y b. Pr ejempl: Est es cnsecuencia de la relación entre el mcm m y el mcd d: m!d = a!b. Si a y b sn cprims, entnces l serán también a y a + b, a y a - b y más generalmente a cn, cn En particular a será cprim cn r, el rest de la división euclidiana de a pr b. Este hech, fundamental, es la base del algritm de Euclides, el métd más rápid de hallar el máxim cmún divisr y pr l tant de saber si ds enters sn n cprims. Si se escgen al azar, la prbabilidad de que sí l sean es de 5

7 4. b.- Función de Euler La función (n) ns da la cantidad de enters psitivs menres iguales que n que sn prims respect a n. Es una función multiplicativa cndicinal: si m y n sn prims entre sí, entnces (mn) = (m) (n). Puede definirse cm: Ejempl:, prque existen 6 enters psitivs menres iguales que n, a saber, 1,2,3,4,5,6, de ls cuales sl ds, el 1 y el 5 cumplen que mcd(1,6)=1 y mcd(5,6)=1. Ns interesa saber si es psible calcular dicha función, sin tener que ir prband cn tds ls enters menres iguales que n, ya que es sería una tarea muy labrisa. Si cncems la factrización en factres prims de n, pdems calcular cn suma facilidad el valr de. En precisamente que para cualquier k enter psitiv estrictamente menr que p, se cumplirá que mcd (k,p)=1. Pr l tant. Ejempl: ó -Sea ahra, es decir n es una ptencia de algún númer prim. De ls númers k que sn enters psitivs menres iguales que, tenems que sól la unidad y ls múltipls de p tienen algún divisr cmún cn. Ell quiere decir que existirán númers cn algún divisr en cmún cn p diferente de la unidad. Pr l tant existirán númers tales que mcd (k, )=1. Es decir tendrems que. Ejempl: ó -Siguiend cnsideracines análgas, veríams que si cn p y q prims, entnces y en general si, siend prims, tendríams que Ejempl: ó Un ejempl de us: de 9,10 y 11: puest que 1, 2, 4, 5, 7, y 8 sn prims cn 9. puest que 1, 3, 7 y 9 sn cprims cn 10. puest que tds ls númers menres que un prim sn cprims cn él. Para td natural n>1!(n) es el númer de elements invertibles del anill cíclic. Aunque n es prpiamente un anill (sus ds leyes «+» y «"» se cnfunden), tiene un únic element invertible, y pr tant se extiende # cn #(1) = 1. N se define #(0). Ls invertibles de crrespnden a ls m tales que m es cprim cn n; cn 0 < m $ n. 6

8 Mirems ls primers valres de : n (n) N se percibe ningún rden subyacente, l que n es de extrañar prque esta función depende de la descmpsición en prims, que es muy irregular. Una vez definims númers prims y cprims, seguims investigand sbre cóm cmprbar la primalidad de un númer y cóm generarls, per para ell necesitams cmprender la aritmética mdular. 5.- ARITMÉTICA MODULAR: La aritmética mdular es un sistema aritmétic para clases de equivalencia de númers enters llamadas clases de cngruencia. Algunas veces se le llama, sugerentemente, aritmética del relj, ya que ls númers dan la vuelta tras alcanzar ciert valr (el módul). La aritmética mdular puede ser cnstruida matemáticamente mediante la relación de cngruencia entre enters; est quiere decir que ds númers enters a y b tienen el mism rest al dividirls pr un númer natural m, llamad el módul; est se expresa utilizand la ntación que se expresa diciend que a es cngruente cn b módul m. Las siguientes expresines sn equivalentes: a Es cngruente cn b módul m El rest de a entre m es el rest de b entre m m divide exactamente a la diferencia de a y b a se puede escribir cm la suma de b y un múltipl de m Esta relación de cngruencia es cmpatible cn las peracines en el anill de enters: suma, resta, y multiplicación. En álgebra, un anill es una estructura algebraica frmada pr un cnjunt y ds peracines que están relacinadas entre sí mediante la prpiedad distributiva. Para un determinad módul n, ésta se define de la siguiente manera: a y b se encuentran en la misma clase de cngruencia módul n, si ambs dejan el mism rest si ls dividims pr n,, equivalentemente, si a b es un múltipl de n. Td est parece muy difícil así escrit, per se entiende muy fácilmente cn un ejempl: Ejempl: 14 y 26 sn cngruentes en módul 12, 7

9 Ya que dejan el mism rest al dividirls entre 12;(2), ó también 14-26=-12, que es múltipl de 12. Otra frma de escribir módul de n es: Z n ={0, 1, 2,!!!, n-1} subcnjunt de Z, cnjunt de númers enters entre 0 y n-1 Aplicand ls cncepts anterires a númers cncrets, tendrems: Z 12 ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} Z * n: cnjunt que incluye tds ls númers menres que n y cprims cn él. Z * 12 ={1, 2, 4, 7, 8, 11} Si n es un númer prim, entnces ambs cnjunts cincidirían, salv el 0, que n se incluye en el segund cnjunt. El grad de rganización que frmaría sería un cuerp, n un anill, y al ser tds ls elements cprims cn él; tds tendrían invers. Z 13 ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Z * 13 ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Una vez que tenems la base, ya pdems prfundizar en cóm saber si un númer es prim n, utilizand distints criteris de primalidad, alguns de fácil cmprensión y trs en ls que ns tuvims que pner a pensar: Criteris de primalidad: -Criba de Eratóstenes: es una manera sencilla de hallar tds ls númers prims menres iguales que un númer dad. Se basa en cnfeccinar una lista de tds ls númers naturales desde el 2 hasta ese númer y tachar repetidamente ls múltipls de ls númers prims ya descubierts. Este métd sól sirve para númers pequeñs, pr l que n ns es útil. - Test de primalidad de Fermat: este criteri se basa en el Pequeñ terema de Fermat, que explicams brevemente a cntinuación: -Si p es un númer prim, entnces, para cualquier númer natural a: Tdas estas fórmulas las cmprendims gracias a nuestra anterir labr de investigación cn la aritmética mdular. Aunque sn equivalentes, el terema suele ser representad de la siguiente frma: -Si p es un númer prim, entnces, para cada númer natural a cprim cn p: Est quiere decir que si se eleva un númer a a la p-ésima ptencia y al resultad se le resta a, l que queda es divisible pr p. Aunque se prfundizará más adelante, ds númers sn, cm ya vims, cprims si, pr definición, n tienen ningún factr prim en cmún. De este terema se deduce el criteri de primalidad de Fermat, que es el siguiente: 8

10 Un númer p será prim si cumple la siguiente igualdad:. -Si la ecuación se cumple, p es prim -Si la ecuación n se cumple, p es cmpuest -Test de Lucas-Lehmer: este test se aplica sl a ls númers de Mersenne sbre ls que prfundizarems después. Si existe un númer natural a menr que n y mayr que 1 que verifica las cndicines, así cm para tds ls factres prims q de n 1, entnces n es prim. Si n puede encntrarse tal a, entnces n es un númer cmpuest. Ejempl: (tiene que ser cprim cn n) Est n demuestra que el rden multiplicativ de 11 md 71 es 70, prque algún factr de 70 aún pdría funcinar arriba. Verificams entnces 70 dividid pr sus factres prims: Entnces, el rden multiplicativ de 11 md 71 es 70 y de esta manera, 71 es prim. Para encriptar de frma segura, se usan númers prims muy grandes, cuys ejempls encntrarems al final del trabaj, per para generarls hay que recurrir a alguns plinmis, que tienen, pr desgracia, ciertas limitacines. Ls más imprtantes sn ls siguientes. -Plinmi de Euler: x 2 + x Este sencill plinmi genera númers prims para tds ls valres de x entre 0 y 39. El plinmi x 2 - x + 41 también genera númers prims para tds ls valres de x entre 1 y 40. -Plinmis de Legendre: 2x , genera númers prims para valres de x entre 0 y 28. x 2 + x + 17 genera númers prims para valres de x entre 0 y 15. El plinmi de Euler puede transfrmarse, haciend x = y - 40 en este tr plinmi: y 2-79y que genera númers prims para 80 númers cnsecutivs. Gldbach demstró que ningún plinmi puede generar númers prims para tds ls valres y Legendre que ninguna función algebraica racinal genera siempre númers prims. Siguiend el análisis de ls númers prims, ahra tca nmbrar ls tips que hay: -Gemels: p y p+2 l sn si sn ls ds prims. -De Mersenne: sn ls de frma M p = 2 p 1, dnde p es prim. -De Sphie Germain: dad p prim, es de Sphie Germain si 2p + 1 también es prim. -De Fermat: sn ls númers de la frma, cn n natural. Ls únics númers prims de Fermat que se cncen hasta la fecha sn ls cinc que ya cncía el prpi Fermat, crrespndientes a n = 0, 1, 2, 3 y 4. Pr ahra, tds ls demás a partir de n = 5 han resultad ser cmpuests. -Fuertes: ests sn ls más imprtantes para la criptgrafía, ya que sn ls utilizads en el sistema de clave pública RSA. En este métd se seleccinan ds númers prims p y q suficientemente grandes (de centenas de dígits) y se btiene su prduct n=pq. Pdems hacer públic el númer n (sería la clave pública) prque es muy difícil btener ls factres p y q. Para hacer más difícil la descmpsición en factres prims del númer n, se eligen p y q de tal frma que cumplan las siguientes cndicines: 9

11 -mcd ((p-1), (q-1)) debe ser pequeñ. - p-1 y q-1 deben tener algún factr prim grande p y q. - Tant p -1 cm q -1 deben tener factres prims grandes. - Tant p +1 cm q +1 deben tener factres prims grandes. - Las ds primeras cndicines se cumplen si tant (p-1)/2 cm (q-1)/2 sn prims. Ls númers p y q que cumplan estas cndicines, se denminaran prims fuertes. Otra característica muy imprtante de ls númers prims es que n están distribuids de una frma regular, l únic que está clar es que a medida que avanzams en rden creciente, va disminuyend el númer de ells, l cual tiene lógica, ya que a medida que ls númers sn más grandes, hay más psibles factres de ésts. Per cuand ls númers prims sn muy grandes, si que siguen un ciert patrón, que se expne en el TEOREMA DE LOS NÚMEROS PRIMOS: (x) representa el númer de prims menres iguales que el númer enter x. x/ (x) representa el invers de (x). x (x) (x) / x r(x) = x /ln (x) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , En la tabla se aprecia que en la fila de x/ (x), cuand ls númers sn grandes, la diferencia aprximada es de 2.3. Sabiend que ln (10)= Gauss frmuló la cnjetura de que (n) es aprximadamente igual a n/ln (n). (n) n / ln n para valres grandes de a. Un ejempl para demstrar la cnjetura de Gauss ayudándns de la tabla sería: X= , x / ln(x)= / ln ( ) = = (x) = A medida que ls númers vayan siend mayres, las cifras se irán igualand cada vez más. Una vez que ya hems finalizad la investigación sbre ls númers prims y cprims, pasams a prfundizar en la aritmética mdular cn el cálcul de inverss: Cálcul de inverss: Inverss?... cuál es el invers de un númer? El invers de un númer es tr númer que multiplicad pr el primer de 1. El multiplicadr mdular invers de un enter n módul p es un enter m tal que 10

12 Est significa que es el multiplicadr invers en el anill de ls enters módul p. Es equivalente a El multiplicadr invers de n módul p existe si y sól si n y p sn cprims, es decir, si MCD(n, p)=1. Para calcular inverss pdems seguir distints camins (que, sinceramente, ns pareció a cada cual más difícil ) 6.- ALGORITMO EXTENDIDO DE EUCLIDES Una de las muchas aplicacines de este algritm sn ls inverss mdulares: En criptgrafía deberá estar permitid invertir una peración para recuperar un cifrad! descifrar. Aunque la cifra es una función, en lenguaje clquial la peración de cifrad pdría interpretarse cm una multiplicación y la peración de descifrad cm una división, si bien hablarems en este cas de una multiplicación pr el invers. La analgía anterir sól será válida en el cuerp de ls enters Zn cn invers. -Lueg, si en una peración de cifrad la función es el valr a dentr de un cuerp n, deberems encntrar el invers a-1 md n para descifrar; en tras palabras hallar el númer que multiplicad pr a ns de 1 (siempre en módul de n) Si Se dice que x es el invers multiplicativ de a en Zn y se dentará pr. -Si n hay primalidad entre a y n, es decir, Si mcd (a, n) " 1, n existe el invers. Pr ejempl, si n = 6, en n existe el invers del 2, pues la ecuación 2#x $ 1 md 6 n tiene slución. -Si n es un númer prim p, entnces tds ls elements de Zp salv el cer tienen invers. Pr ejempl, en se tiene que: Buen, ya sabems qué es un invers, per, cóm se calcula?: Invers multiplicativ: *Hay una prpiedad que dice que un númer a tiene inversa módul n, si n existe ningún númer (except 1) menr que a y menr que n que ls divida de frma exacta. Est es a l que se llama prims relativs. 8 y 5 serían prims relativs, prque n hay ningún númer que ls divida, aunque 8 n sea prim. Su máxim cmún divisr es 1. En el ejempl del módul 7, vems que tds ls númers (el cer n cuenta) tienen que tener inversa, prque 7 es prim abslut y n va a existir ningún númer que l divida. * La inversa del 1 es el 1: 1 * 1 = 1 que dividid entre 7 es igual a cer y rest 1, 11

13 La inversa del 2 es el 4: 2 * 4 = 8 que dividid entre 7 es igual a 1 y de rest 0, etc... Ejempl: Sabems que en el módul 7 td su cnjunt de númers, mens el cer, tienen inversa, prque 7 es un númer prim y ns l dice la prpiedad anterir. Est quiere decir que hay 6 númers (del 1 al 6) que tienen inversa, y si inversa, queda que. ns dice la cantidad de númers que tienen De frma genérica, si n es un númer prim, cn cer).. (El mens 1 es prque n cntams Pr la misma razón, si n está frmad pr la multiplicación de ds númers prims,, entnces Cnclusión: Euclides ya está dminad!, Per aún ns queda much pr aprender 7.- TEOREMA DE EULER: Una alternativa al algritm euclidian. - De acuerd cn el Terema de Euler, si n es cprim cn p, es decir, si mcd(n,p)=1, entnces, Est se deduce del Terema de Lagrange y del hech de que n pertenece al grup multiplicativ de enters módul n si y sól si n es cprim cn p. Así pues, Dnde (p) es la Función de Euler. De esta frma se puede btener el multiplicadr mdular invers de n módul p de frma directa: En el cas especial en que p es prim, - Una aplicación del terema de Euler es la reslución de ecuacines de cngruencia. Pr ejempl, se desea encntrar tds ls númers x que satisfacen En tras palabras, tds ls númers que al multiplicarls pr 5, dejan residu 2 en la división pr 12. O de tra frma, tds ls númers x tales que 12 divida a 5x-2. El terema de Euler dice que 12

14 Pr l que, multiplicand ambs lads de la ecuación pr 5 3 : Entnces, la cnclusión es que, cualquier númer que al dividirse pr 12 tenga residu 10, será una slución de la ecuación. Se puede verificar cn un ejempl. Si se divide 34 entre 12, el residu es 10, pr l que x=34 debe funcinar cm slución. Para verificarl, se divide 34!5=170 entre 12, btenems un cciente 14 y un residu 2, cm se esperaba 8.- ECUACIÓN DIOFÁNTICA: Definición. El términ ecuación difántica se usa para designar una ecuación en una más incógnitas que va a ser resuelta en ls enters. La ecuación difántica más simple es la ecuación difántica lineal en ds incógnitas dnde a y b sn enters dads n ambs cer. Para que la ecuación tenga slución, es necesari que c sea mcd de a y b. En el cas en el que el mcd sea 1, la ecuación tiene infinitas slucines. También hay infinitas slucines si c es un múltipl del mcd (a, b). Si c n es un múltipl del mcd(a, b), entnces la ecuación difántica n tendría slucines. Parecía muy infensiva?...pues esta ecuación se las trae Un criteri para cncer cuand una ecuación difántica de este tip: slución l prprcina el siguiente terema., psee - Terema. La ecuación difántica tiene slución sí y sól sí d es múltipl de c, dnde d = M.C.D. (a, b). Si x y y es una slución particular de esta ecuación entnces tdas las tras slucines están dadas pr: para t enter arbitrari. Ejempl 1: La ecuación n tiene slución prque: 2 = M.C.D.(2, 10) n divide a 17. Ejempl 2: La ecuación 5x + 6y = 8 tiene slución prque: 1 = M.C.D.(5, 6) divide a 8. 13

15 Cóm hallams una slución particular? Existen ds métds. El primer es pr simple inspección, per si así n fuera psible, pdems utilizar el algritm de Euclides así: 1 = 5x + 6y Se hallan x y y utilizand el algritm anterirmente citad. Entnces: x = -1, y = 1. y Lueg.L que quiere decir que, En la expresión se multiplican ambs miembrs pr 8 y se btiene: Lueg la slución particular de la ecuación difántica es de la frma siguiente: x 0 = -8, y 0 = 8. La slución general será: 9.- TEOREMA CHINO DEL RESTO: Ns dice que un sistema del tip: dnde ls sn prims entre sí, admite una slución única en,. El rest de slucines sería de la frma Cuand vims est ns desmralizó un pc y decidims intentar entender y desgajar la demstración per sól para tres ecuacines. Allá vams, quién dij mied? Las slucines se pueden escribir de la frma:, dnde y serían ls inverss respectivs de en módul respectivamente, es decir,, y Sabems que tiene invers en módul prque es que sn cprims cn. Pr tra parte, sabems que sn cngruentes en módul, es decir, y además, que cm, sn múltipls de, es decir, sn cngruentes en módul. 14

16 Est se pne bnit prque vams llegand a l que querems y además entendiéndl, csa que n esperábams del td. Resulta que entnces: ya que pr ser el invers de en este módul. Cn est queda demstrad cm queríams que cnclusión generalizable. Vams a ver ahra si realmente entendems cóm se utiliza para calcular ptencias grandes, utilidad que ns cupará en la criptgrafía RSA: Calculems Sabems que:. Evidentemente, pr ser múltipl de 25. Ahra vams a calcularl en módul 4: pues bien, entnces: lógicamente y cm explicams antes:. Aquí ds aclaracines: a) = pr la misma frma de definirl. númer en módul 4, b) es el invers de 25 en módul 4. Cm el 25 y el 1 sn el mism. Sms grandes. Una vez asimilads ls cncepts matemátics, ls aplicams en la criptgrafía a través del algritm RSA: 10.- ALGORITMO RSA: En febrer de 1978 Rn Rivest, Adi Shamir y Lenard Adleman prpnen un algritm de cifra de clave pública llamad RSA. Este algritm se basa en la criptgrafía asimétrica, el cual es un métd criptgráfic que usa un par de claves para el enví de mensajes. Ambas claves pertenecen a la misma persna a la que se le ha enviad el mensaje, aquí intervienen ds claves, una pública, que se puede entregar a cualquier persna y tra privada, la cual el prpietari debe mantener en secret. De esta frma el remitente usa la clave pública del destinatari para cifrar el mensaje a enviar, per una vez cifrad, únicamente la clave privada del destinatari pdrá descifrarl. Ls pass del algritm sn ls siguientes: - Se eligen ds númers prims p y q. - Se multiplican ess ds númers, dand cm resultad n. - Se calcula %(n) = (p-1)(q-1), que es la función de Euler, explicada anterirmente. - Se elige una clave pública e de frma que 1 < e < %(n) y que cumpla cn la cndición: mcd [e, %(n)] = 1. - Se calcula la clave privada d = inv [e,%(n)]. para el cálcul de este invers se pueden usar indistintamente ls distints métds anterirmente explicads - Se hace pública la pareja (e, n). - Se guarda en secret la clave d. La peración de cifrad cnsiste en: La peración de descifrad cnsiste en: Recuperams M, teniend en cuenta que ya que: bviamente. ya que tds ests factres, 15

17 Un de ls prblemas del descifrad es que la clave d suele ser muy grande, pr l que la expnenciación es muy cstsa, para slucinar est se recurre al terema del rest chin, que ya ha sid explicad en la sección de aritmética mdular. Un ejempl del métd RSA es el siguiente: - p = 7, q = 23 - n = p * q = 7 * 23 = %(n) = (p-1) (q-1) = (7-1) * (23-1) = e = 5 - e * d md n = 1 => d = 53, l calcularems de las siguientes frmas; en la primera de ellas hems usad el terema de Euler. % La segunda frma de calcularl es mediante la ecuación difántica: % % % - Clave pública = (5, 161) - Clave privada = (53, 161) A partir de estas claves, harems una peración de cifrad y de descifrad, siend el mensaje a cifrar (M) = 15, el cifrad es el siguiente: 15 5 md 161 = 99 El númer 16 es el mensaje que se enviaría y para descifrar sería cm sigue: md 161 = 15 Cm se puede bservar btenems el mensaje cifrad al principi. Cuál es la frtaleza de este algritm? El intrus que desee cncer la clave secreta d a partir de ls valres n y e se enfrentará al Prblema de la Factrización de Númers Grandes (PFNG), puest que la slución para cncer esa clave privada es cncer primer el valr del Indicadr de Euler %(n) = (p-1)(q-1) para así pder encntrar d = inv [e, %(n)], per para ell deberá saber ls valres de ls prims p y q. El tamañ que deben de tener ls parámetrs p y q para que el algritm sea suficientemente segur deben de ser del rden de 500 bits, y que difieran de unas cuantas cifras, tra característica que es favrable a la hra de elegir p y q, es que sean prims segurs, es decir, que al multiplicarls pr 2 y sumarle 1, el resultad sea un numer prim. Cn esta última medida ns asegurams de tener las mínimas claves parejas psibles, que verems a cntinuación. Además la clave publica n debe ser demasiad baja, ni muy alta debid a la dificultad de las peracines. Generalmente se usa el nº 4 de Fermat:. Claves privadas parejas: Una clave privada pareja (CPP) permite descifrar el cifrad C, resultad de una cifra cn la clave pública e. En el algritm RSA habrá cm mínim una CPP. El que existan las CPP se debe a que las claves inversas e y d l serán en el cuerp %(n), y en cambi la cifra se realiza en el cuerp n. Est n cmprmete en abslut la frtaleza del sistema, pues para saber las claves parejas se necesita cncer p y q, ls cuales sl es psible cncer a través de la factrización de n. Pr ejempl: Siend p = 13, q = 19, n = 247, %(n) = 216, elegims e = 41, d = inv (41, 216) = 137. El mensaje a cifrar M = 87, pr l tant el cifrad quedaría: C = M e md n = md 247 = 159, y para descifrar haríams: M = C d md n = md 247 = 87, sin embarg también pdríams descifrarl tmand d = 29, 65, 101, 173, 209 y

18 Para saber cuántas CPP; Es decir, es la inversa de e en módul y. La clave pública e tendrá claves parejas, de la frma: siend En nuestr ejempl: ls númers 29, 65, 101, 173, 209, 245 l que ns lleva a A md de ejempl, pdems bservar, el tamañ de ls númers btenids, cuand efectuams ls pass indicad antes, cn prims más grandes: 1.- Hems seleccinad ds númers prims p y q, a través de la tabla de númers prims que encntrams en el sftware Expcrip. En nuestr cas p = 2459 y q = Obtenems su prduct n = pq 3.- Igualmente la función de Euler %(n) = (p-1) (q-1)= Seleccinams e, parte de la clave pública de manera aleatria en este cas 17 siend su mcm cn %(n) igual a Calculams el invers de e. 6.- Se calcula la clave privada d = inv [e,%(n)]. 7.- Obtenems las parejas de númers que cnstituirán la clave pública y privada. Cn númers más grandes aún btenids a partir del sftware específic Expcrip. Ls pass seguids serían exactamente ls misms que en el ejempl anterir 17

19 ** Esperams que las capturas de pantalla sean l suficientemente claras y visibles, según ls pass explicads antes de la primera. Ha sid la única frma de cnseguir que cupiera en el text. Para pner en práctica ls ejempls desarrllads cn el métd de encriptación RSA, ptams pr cifrar cm ejempl el nmbre cn el que hems cncursad Prims de Fermat. Las ds primeras letras las hems cdificad y descdificad manualmente, y para el rest, hems ptad pr emplear un sftware encntrad pr internet ExpCrip, para aliviar tan tedisa tarea. Aparece la cnversión al sistema hexadecimal, que en las ds primeras letras hems realizad manualmente, puest que el mencinad sftware, prprcina la cdificación en este sistema. Para cifrar estas letras hems usad cm parámetrs: Ls parámetrs p y q, ls hems sacad de una tabla de númers prims del prgrama ExpCrip. Cifrar P: P en base 10 = 80, para realizar esta cnversión utilizams tra tabla del prgrama ExpCrip cn la cnversión entre la letra y el númer en códig ANSI. 18

20 Para pasar de decimal a hexadecimal seguims ls siguientes pass: F (15 = F) 7 Unidades Decenas Centenas El númer en hexadecimal es 7F5. Cifrar r: r en base 10 = 114 Vlvems a pasar este númer a hexadecimal: F (15 = F) Unidades Decenas Centenas Millares El númer resultante en hexadecimal es: 785F / 16 = 1925 de cciente y 15 de rest (este 15 cupa el lugar de las unidades y se cnvierte en una F), 1925 / 16 = 120 de cciente y 5 de rest (el 5 cupa el lugar de las decenas), 120 / 16 = 7 de cciente y 8 de rest (que cupa el lugar de las centenas, y el 7 cupa el lugar de ls millares). Pr l tant el numer resultante n hexadecimal es 785F. A cntinuación una tabla cn las letras de Prims de Fermat cdificadas: P r i m s d e F e r m a t Cifrad 16 7F5 785F 7AB8 DE04 441A B98 DEF0 A0C2 12B98 7C85 A0C2 785F DE04 53D E719 Cifrad Cm quedaría cada cifrad: 16 = 7F5 78F5 7AB8 DE04 441A B98 DEF0 A0C2 12B98 7C85 A0C2 78F5 DE04 53D E = Aquí creems cnveniente dar una explicación acerca de qué es el sistema hexadecimal, que utilizan ls distints sftwares criptgráfics que hems utilizad. Sistema hexadecimal El sistema hexadecimal, a veces abreviad cm hex, es el sistema de numeración psicinal de base 16 empleand pr tant 16 símbls. Ests símbls sn: {0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}. Siend A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15. Cnversión: 19

21 - De decimal a hexadecimal: Se cge el numer y se divide pr 16, el rest es el numer de las unidades, y el cciente se vuelve a dividir pr 16, siend el rest el numer de decenas, y asi sucesivamente hasta que el cciente sea menr que 15 (incluid). Ejempl: 650: 650 / 16 = 40 (cciente), 10 (rest, este númer es el númer de las unidades). 40 / 16 = 2 (cciente), 8 (rest, cupa el lugar de las decenas). 2, al ser menr que 15 se queda cm 2 en el lugar de las centenas. De tal frma el númer en hexadecimal se quedaría: 28A 2481: 2481 / 16 = 155 (cciente), 1 (rest). 155 / 16 = 9 (cciente), 11 (rest). Resultad: 9B1 De hexadecimal a decimal: XYZ sn distints valres entre 0 y F, y el numer al cual está elevad 16 es el lugar en que cupa XYZ, es decir, se eleva a 0 si está en el lugar de las unidades, a 1 si está en el lugar de las decenas, a 2 si está en el lugar de las centenas, y así sucesivamente. 12: Y = 1, Z = 2; 135: X = 1, y = 3, Z = 5; 4E: Y = 4, Z = E (14); 11.- CONCLUSIONES: Y hasta aquí td nuestr trabaj. Aunque en un principi n teníams ni idea de l que íbams a cnseguir, hems adquirid muchs cncimients acerca de ls que, en principi n habíams íd ni hablar. Ns hems intrducid en unas matemáticas que esperams ns sirvan en el futur y, para qué negarl, ns gustaba es de saber csas que a nuestrs cmpañers les snaban a chin. También ns ha servid para trabajar en equip de una frma que nunca antes habíams hech, aprender a valrar y respetar las pinines e ideas de ls demás. También hems aprendid a crecerns ante las dificultades y a sacar tiemp de dnde n l había: cntenids en un principi descncids, ls cnsabids exámenes del clegi, que hacían que ns agbiárams y discutiérams entre nstrs, aunque sin llegar nunca la sangre al rí. Hems visitad muchas veces la bibliteca en la búsqueda de librs que ns pudieran ayudar. Descubrims la falta de fnds de librs específics en las biblitecas nrmales, l que ns llevó a la bibliteca de la Facultad de Matemáticas y aunque aquí si vims csas que ns pdrían valer, la mayría eran muy avanzads mens clars que l que ya teníams pr l que al final casi siempre acabábams usand el primer que ns acnsejarn. Aquí tuvims que vencer la resistencia que teníams a utilizar bibligrafía en inglés. Ns parecía que si bastante pc entendíams ya, en inglés sería hrrible, per cmprbams que cn el tiemp ns acstumbrams y para l que nstrs necesitábams entendíams l suficiente. Al fin y al cab si ns decían que era el mejr, tal vez tuvieran razón n? Aprendims a trabajar cn sftware científic adecuad cm Maple que ns permitió perar cn númers más grandes y cnseguir ejempls más cmplejs que ls que pdíams hacer a man cn númers sencills. Para cifrar y descifrar, cmprbar si l que hacíams funcinaba, utilizams un sftware especial que encntrams en una de las innumerables búsquedas en Internet también sufrims para aprender a trabajar cn él, aunque dich sea de pas n cnseguims sacarle tdas las utilidades que prbablemente tiene. 20

22 12.- BIBLIOGRAFÍA Páginas y referencias de internet d/prims/plgenpri.htm Libr Electrónic De Seguridad Infrmática Y Criptgrafía (Autr: Jrge Ramió Aguirre,Universidad Plitécnica de Madrid) Enciclpedia.us.es/index.php/Númers_cprims bards5.meldysft.cm/app?id=canalingeni&msg=225 Librs David M. Burtn - Elementary Number Thery. Editrial Allyn and Bacn Pin Caballer Gil Intrducción a la Criptgrafía. Editrial Ra-Ma 13.- AGRADECIMIENTOS En nmbre de LOS PRIMOS DE FERMAT, querems dar las gracias a tds ls que ns han ayudad en esas interminables hras de búsqueda de infrmación: Jrge Ramió Aguirre, Alfns Muñz y Silvia Teresita Acuña. Ns recmendarn una serie de páginas y librs esclarecedres que ns sirviern de much. También querems agradecer a nuestrs prfesres la paciencia que han tenid cn nstrs cuand ns entraban nuestrs tradicinales ataques de histeria cuand n sabíams hacer nada y ns agbiábams cuand ns querían reunir para trabajar y teníams un cntrl de ls miles que habitualmente hacems. Ha habid veces en que ns han tenid que empujar animar para que siguiérams. En definitiva, al final n se han prtad tan mal cn nstrs. 21