Medio estacionario con concentraciones superficiales específicas: Estos problemas son análogos a los de conducción de calor (o de flujo viscoso).

Transcripción

1 Cass de difusión pura: Medi estacinari cn cncentracines superficiales específicas: Ests prblemas sn análgs a ls de cnducción de calr ( de fluj viscs). La velcidad media, mlar de masa, es cer, y el fluj abslut de una especie es igual al fluj difusiv. n ρd B m D B ρ CD B D B C Para una aplicación más ajustada a la realidad, estas cndicines se dan cuand la fracción másica del cmpnente que difunde es muy pequeña ( m, ) y el fluj del tr cmpnente es, pr l tant, aprimadamente nul. mbas cndicines se dan en slucines muy diluidas. La ecuación de Cnservación de la masa en medi plan estacinari cn gradiente de cncentración en una dirección, en frma mlar, se escribe: Cn, L, d d d ( CDB ) d + L ( ) ( ) De dnde: CD B ( ) L Esta slución es análga a la de cnducción de calr a través de una placa plana.

2 Igualmente hay analgías entre la transferencia radial de calr y de masa a través de cilindrs y esferas. Cn radis interns y eterns r y r. Pr ejempl, para cilindr: ( ) r + r r ( r) ln r ln( r / r ) r Otrs cass de Transferencia de masa pr difusión. Hay cass en que la transferencia de masa presenta mayr cmplejidad que la de transferencia de calr Cnsiderems una mezcla binaria de gas. Un tub vertical abiert en el etrem superir, cntiene en el fnd una cierta cantidad de especie líquida. El sistema está a presión y temperatura cnstantes. Sbre el líquid hay vapres de, cuya cncentración crrespnde a la cndición saturada, just en la interfase. Sea la crdenada de la interfase y L, la de la psición a la salida del tub. Xa>XaL, pr l tant hay una evapración de desde la fase líquida, y el vapr de se mueve hacia arriba pr difusión. Pr el tpe del tub circula una mezcla binaria de y B, cn cncentracines cnstantes de ambas especies. ( y B pueden ser agua y aire, respectivamente). Cm sl hay ds cmpnentes, a l larg de la clumna se mantiene la relación: + B Cm supnems que

3 > L BL > B Lueg la especie B se difunde desde el tpe de la clumna hacia la fase líquida. Supnems además que B n es sluble en líquid, lueg habrá estad estacinari sl si la difusión de B hacia abaj está balanceada pr un transprte vlumétric de B hacia arriba. Este transprte balancea el fluj de difusión de md que el fluj abslut de B, B Sin embarg, ya n tenems un medi en reps cm en ls cass anterires. epresar la ley de Fic en términs del fluj abslut de, mstrams que el fluj abslut de una especie se pdía escribir, en general: L que en términs mlares es: n ρ D m + m ( n + n ) B B y en este cas: d + d, CDB + (, B, ), CD B d d +,, CDB d ( ) d hra vems que las cndicines de brde de cncentración de sn cnstantes y n hay adición sustracción de pr reacción química. Pr l tant, el fluj abslut de debe ser independiente de la psición. d, d CDB d ( ) d

4 ln( ) C + C l aplicar las cndicines: ( L) ( ), L Se evalúan las cnstantes y., L, / L Finalmente, el fluj de evapración de resulta:, CD L B ln Evaluar este fluj cn ls siguientes dats: Tub de, m de diámetr y altura sbre el agua: 8 mm. En el eterir tenems aire ambiente a 7ºC y 5% de humedad relativa. El agua en el recipiente también está a 7ºC. Determinar la rapidez de evapración., L, PROBLEMS DE CODUCCIÓ Y DIFUSIÓ E RÉGIME PERMETE E U DIMESIÓ. En el curs estudiarems varis prblemas específics cn distintas metdlgías. Cmenzarems el estudi de prblemas específics cn un cas en que se puede btener la slución pr métds analítics. Es decir, se pedirá btener una slución analítica y calcularla mediante algún sftware de prgramación (pr ejempl Matlab). Finalmente, validar la implementación de la slución mediante cmparación cn dats de ls librs. Para este tip de prblemas usarems un cas en que hay transferencia de calr slamente, y en que la frma de la transferencia de calr es cnducción pura.

5 Estudiarems un prblema que pasa prácticamente ignrad en tets de transferencia de calr, y que es: letas de enfriamient de sección variable. Las aletas de enfriamient sn etensines de una superficie que aumentan el intercambi de calr entre ésta y un medi fluid que la rdea. es necesari repetir aquí el análisis elemental de una aleta de enfriamient. Este se basa en ls siguientes supuests: Se supne transferencia de calr unidimensinal en una aleta de perímetr y sección transversal invariable cn, la crdenada a l larg de la aleta. El ceficiente cnvectiv alrededr de ésta es unifrme y cncid, y la temperatura del medi etern unifrme. El parámetr mas imprtante en la tería elemental de aletas es el ml, que es una medida de la imprtancia relativa de la cnducción y de la cnvección en el perfil aial de temperatura de la aleta, siend L el larg de ésta. La ecuación del calr, para una aleta de sección cnstante es: d T d m ( T T ) () Cn m ( hp / ) / Cn ml alt, dmina la cnvección, cn ml baj dmina la cnducción. Cm se sabe la slución de la ecuación () es: ( T m T ) Ce + C e m Prblema análg de transferencia de masa: Estas mismas ecuacines aparecen en la difusión de especies cn reacción química.

6 Cnsiderems un medi estacinari, unidimensinal, cn transferencia de masa en dirección, cn cncentración ttal y difusividad cnstantes, Reduciend la ecuación general: c + (υ c) DB t c + R Cnsiderand medi estacinari, régimen permanente, y D, ns queda D B d C d + R Las reaccines pueden ser de rden cer (en que la tasa tempral de prducción de la especia es cnstante), de primer rden, en que R es prprcinal a la cncentración lcal de R C Pensems además en una reacción en que es reactante (es decir, desaparece al prceder la reacción. En ese cas, tenems: D B d C d C Que es análga a la de la aleta y que tiene su misma slución general. C ( ) m Ce + C e m Dnde m / ( / DB) Cuand la sección transversal de la aleta es variable, se btiene una ecuación diferencial cn ceficientes variables, que es una frma de la ecuación de Bessel, para la cual las slucines sn series de ptencias.

7 En el cas de sección variable cn la crdenada, la ecuación de la aleta es: d d dt d hp( T ) T () Cm ( ) p p( ), la ecuación es lineal per de ceficientes variables. Hay diversas frmas de aletas que respnden a esta descripción, tales cm: letas de perfil triangular, cn base rectangular letas de perfil triangular, cn base circular letas circulares en tubs. Cada cas presenta diferentes dependencias del área y el perímetr cn respect a la crdenada, pr l cual se btienen slucines distintas en tds ells. Métd de series de ptencias: Tmems una ecuación similar a la de la aleta, cn ceficientes cnstantes: d y + y d Supnems que tiene una slución epresable cm serie de ptencias: y ( ) a + a + a +... a l reemplazar esta serie en la ecuación diferencial, resulta tra serie, cuya suma es nula. Ls ceficientes de tdas las ptencias de en la serie resultante deben ser cer para satisfacer la ecuación. Ls ceficientes de esa serie se relacinan de la siguiente manera: a a a 6 a a 4 a a3 a4 a5 3 a...

8 Pdems epresar tds ls ceficientes en términs de a y a bteniend las ds series siguientes: y ( ) a ( ) + a ()! ( ) + a ( + )! cs + a sin Cnsiderems ahra una ecuación diferencial lineal de segund rden cn ceficientes variables (funcines de ), la ecuación de Bessel: d dy + ( m ) y d d (3) Usand el mism prcedimient anterir (aunque cn mayr cmplicación algebraica), btenems la slución: y + ( ) a J ( m) ay ( m) (4) Cn J ( m) ( ) + ( m / )! Γ( + + ) J ( m) ( ) ( m / )! Γ( + ) Y (csπ ) J ( m) J Y ( m) sinπ ( m) En el denminadr aparece la función Gama, que para enters es: Γ( n + ) nγ( n) n! Γ()! Y para n enters es: Γ ( ) Γ( ) π / sinπ, Γ(/ ) π / J e Y sn las funcines de Bessel de rden de primera y de segunda clase, respectivamente.

9 Per, bservand el sign del segund términ en la ecuación (), la ecuación que realmente ns sirve es la ecuación de Bessel mdificada: d dy ( m + ) y d d (5) Cuya slución es: ( ) a I ( m) ak ( m) Cn: I ( m) K ( m) π I y + + ( m / )! Γ( + + ) ( m) I ( m) sinπ I y K sn las funcines de Bessel mdificadas de rden de primera y de segunda clase, respectivamente. El sftware Frtran tiene funcines para calcular las funcines J e Y, en cambi matlab psee capacidad para calcular tdas las funcines de bessel. daptación de la ecuación de Bessel mdificada para prblemas de aletas de sección variable

10 La slución de la siguiente ecuación d y dy + a + b y d d (6) (que se parece más a la de la aleta) puede representarse pr funcines de Bessel. Para demstrarl harems un cambi de variable dependiente: Sea y z. Si est se reemplaza en (6), se rerdena la ecuación resultante y se ajusta de md que a +, se btiene la ecuación: d dz + ( b ) z d d Que es idéntica a (5). Sus slucines sn funcines de Bessel mdificadas cn argument b, pr l tant: y( ) Z ( b), ( a) / En que Z representa una función de Bessel genérica. Finalmente cnsiderams la ecuación d d α dy + γ d β y (7) Que es la frma a que llega la ecuación de aleta de sección variable () para diversas gemetrías cn distintas frmas de variación del área de cnducción y del perímetr de cnvección cn la distancia a l larg de la aleta (). Haciend ahra un cambi de variable independiente, se puede demstrar que la slución de (7) es: / µ y ( ) Z ( γ µ / µ ), ( α) /( β α + ), µ /( β α + ), / µ ( α) /

11 Si γ es imaginari, las slucines particulares sn I y K y el argument es el indicad en la ecuación precedente, (que incluye el módul (valr abslut) de γ ). Tarea º prpuesta: terricems el prblema cn tres cass práctics: letas de perfil triangular, cn base rectangular letas de perfil triangular, cn base circular letas transversales alrededr de tubs circulares. Se pide: -Elegir una gemetría -Obtener la slución analítica para la distribución de temperatura y el calr disipad. -Generar un archiv matlab para determinar la distribución de temperatura, el fluj de calr y visualizar la distribución de temperatura en escala de clres en la gemetría cnsiderada. -Supniend alguns valres del ceficiente cnvectiv etern, determinar ls rangs viables de dimensines para cada tip de aletas, cnsiderand el criteri de eficiencia. -Generar curvas de eficiencia de la frma de aleta cnsiderada. Grups de a persnas (n imprta que repitan en prblema, ya que nunca pdrán entregar slucines iguales) Tiemp: semanas.