7 ECUACIONES DIFERENCIALES DE LOS CIRCUITOS Y SU SOLUCIÓN

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1 7 EUAIONES DIFEENIALES DE LOS IUITOS Y SU SOLUIÓN 7 EUAIONES DIFEENIALES DE LOS IUITOS Y SU SOLUIÓN INTODUIÓN SOLUIÓN NATUAL Ó DE ESTADO TANSITOIO: SOLUIÓN FOZADA: INTEPETAIÓN FÍSIA DE LA ESPUESTA NATUAL Y DE LA ESPUESTA FOZADA ESPUESTA NATUAL Y FOZADA DE IUITOS SENILLOS NEESIDAD DE UN MÉTODO SISTEMÁTIO PAA ESOLVE LAS EUAIONES DE LOS IUITOS EJEMPLOS EJEMPLO EJEMPLO

2 7. INTODUIÓN. Figura 7...Ecuacines dierenciales de ls circuis y su slución. n ayuda del circui de la igura 7.., repasarems brevemene cm planeams las ecuacines de ls circuis. Primer que d dividims ls elemens en ds caegrías: ls acivs, ó uenes, en ls cuales se cnce el vlaje, la crriene, ó ambas canidades; y ls pasivs, ó impedancias y uenes cnrladas, en ls que se esablecen ecuacines enre ls vlajes y las crrienes. En las uenes (las n cnrladas) la caracerísica esencial es que n se planean ecuacines prpiamene dichas (a l más, se esablece una asignación del ip Va 0 vlis, pr ejempl). Para el circui de la igura 7.., endrems: Va Va Asignacines de las uenes V V b b Enendiend pr Va y Vb vlajes cncids, n incógnias a deerminar. En las impedancias, en cambi, se planean las ecuacines en el mism circui. 40

3 V V V V V Z i Z i. Z i Z i Z i Ecuacines en las impedancias Ahra se planean las ecuacines de Kirchh: Nd N i i i Sn redundanes, cm debems saber Nd N i i i Malla Malla M M V V a V V V V 4 V V 5 b 0 N sn redundanes, sn 0 independienes eemplazand las ecuacines de rama y la de nd en las de malla benems: V Z i Z i i Z i 0 Z a ( ) 5 ( i i ) Z i Z i V 0 4 b Figura 7...Ecuacines dierenciales de ls circuis y su slución. Esas mismas ecuacines se pueden bener direcamene (ver igura 7..), uilizand la écnica ó méd de las crrienes de malla (ver apéndice A). ecuérdese ennces que ese méd cnsise en escger unas variables, las 4

4 crrienes de malla, que cumplen aumáicamene las ecuacines de nd de Kirchh, y planear sl las ecuacines de malla per cn ls vlajes de rama reemplazads pr las ecuacines que ls relacinan cn las crrienes. Así mism, exise el méd de ls vlajes de nd (ver apéndice A) que uiliza cm variables ls vlajes en ls nds, que cumplen aumáicamene las ecuacines de malla. Sl se requiere, ennces, planear las ecuacines de nd per cn las crrienes reemplazadas pr las ecuacines que las relacinan cn ls vlajes de nd. Vlviend a las ds úlimas ecuacines, vems que pdems despejar una de las crrienes, digams i: V Z Z Z i Z i i a ( 5) [( Z Z Z5) i Va ] Z Y reemplazarla en la ra ecuación: Z i Z Z Z i V 0 Z Z i ( ) 5 ( Z Z Z ) i V V b Z Z Z Z a ( Z Z Z )( Z Z Z ) ( ) 4 5 Z [ ( 4)( 5) ] b ( 4) i V Z Z Z Z Z Z Z i Z V Z Z Z V b b Z Z Z V 4 Ahra, recrdems que es una Z de las que aparecen en la ecuación anerir. Esas Zs sn peradres lineales inegr dierenciales de la rma: Z L d d d K K K Aunque pdrían ener rmas alg más cmplejas, para ls ines que perseguims aquí, basará cn la rma anerir, per cóm pera ese peradr? K 0 Z a a 4

5 Para verl perar, apliquémsl a una crriene, digams: i 5² d Z K i L d K K 5 d K 0 Z K i 5 LK0 K Al reemplazar ess peradres en la ecuación que buvims del circui, ns resula una ecuación cn inegrales y dierenciales. Sin embarg, para reslver esas ecuacines l usual es reducirlas pr dierenciacines sucesivas a ecuacines sól dierenciales. El resulad inal es una ecuación dierencial de la rma: a d n n d i a i a d n n n n... a0i h( ) d d d Dnde las ak vienen de las s, las Ls y las s del circui, y la h () es la pare crrespndiene a las uenes del circui (Va y Vb en el ejempl). Ecuacines de ese ip se llaman ecuacines dierenciales de rden n. La slución de cualquiera de esas ecuacines cnsa de ds pares: K SOLUIÓN NATUAL Ó DE ESTADO TANSITOIO: Es la crriene expresada cm unción del iemp que saisace la ecuación: a d n n d i a i a d n n n n... a0i 0 d d d Ecuación que se biene igualand a cer la pare izquierda de la ecuación riginal,, l que es l mism, igualand a cer das las uenes del circui. Llamems esa slución i ( naural ). 4

6 7.. SOLUIÓN FOZADA: Es una slución de la ecuación riginal: a d n n d i a i a d n n n n... a0i h( ) d d d El nmbre de rzada es muy aprpiad, pues esa slución iene que acmdarse a la rma de las exciacines ó uenes del circui, represenadas pr h (). Llamarems esa slución i ( rzada ). La slución cmplea de la ecuación (y pr l an del circui), será: i( ). i ( naural ). i ( ). rzada A medida que reslvams circuis la nauraleza ísica de esas respuesas se irá vlviend ransparene. Per n sbran algunas explicacines preliminares. 7. INTEPETAIÓN FÍSIA DE LA ESPUESTA NATUAL Y DE LA ESPUESTA FOZADA. El senid cabal y cmple del signiicad de la respuesa naural y rzada l adquirirems a medida que reslvams circuis críicamene; per pdems adelanar algunas ideas generales al respec. nsiderems un resre (Figura 7..) unid a una pared rígida y siuad sbre una supericie lisa. Si se cmprime ese resre, dándle energía, y se libera después, vibrará libremene, raand de disipar su energía almacenada, y n dejará de vibrar hasa que cnsiga disiparla pr cmple. Ese uncinamien libre es l que llamarems respuesa naural del resre. En cambi, mand el exrem suel del resre cn la man, pdems bligarl a mverse rzadamene en el iemp, cn mvimiens disins a sus vibracines naurales (ver igura 7..), pr ejempl, razand dienes de 44

7 sierra en el iemp. Ese cmpramien será la respuesa rzada del resre al esímul exern. Figura 7...Inerpreación ísica de la respuesa naural. Figura 7...Inerpreación ísica de la respuesa rzada. Pr l anerir, vems que la respuesa naural es la respuesa del sisema a energías almacenadas en sus elemens, las cuales raan de disiparse, si pueden, ó reparirse enre ls elemens, si pueden, para aumenar la enrpía (el desrden) en el sisema. La respuesa rzada, cm su nmbre, excelenemene escgid, l pregna, es la respuesa del sisema rzada, bligada, pr un agene exern. Esa respuesa rzada puede cnener, aparenemene, discninuidades en la unción en sus derivadas, cm la ciada unción dienes de sierra, l que nunca le curre a la respuesa naural de ningún sisema. Las respuesas naurales siempre sn cninuas y cn 45

8 derivadas cninuas. Alguns sisemas elecrónics aparenemene generan uncines cn cambis bruscs, cm uncines riangulares pr ejempl, que endrían discninuidades en sus derivadas; per una bservación cn alg mas de dealle, cm se lgraría usand un scilscpi de mayr base de iemp, rápidamene ns cnvence que ess cambis bruscs desaparecen, pues sl parecían cm ales pr currir en iemps pequeñísims. Ahra, nsrs usams unas uenes de vlaje (en ls cndensadres) y unas uenes de crriene (en las inducancias) para simular las energías almacenadas. Para ser rigurss y cnsecuenes, debems acepar que esas uenes sn las que prducen el cmpramien naural, pues represenan las energías almacenadas. Pr ra pare, un impuls, aunque sea una uene aplicada, y sól exisa en un iemp despreciable, es capaz de almacenar energía en ls elemens capaces de almacenarla (usualmene inducancias y cndensadres), y esa energía almacenada lueg prpicia el cmpramien naural. Pr es resula que la respuesa a un impuls siempre cniene la respuesa naural. Para el cas del resre un impuls sería alg así cm un papiraz, un glpe súbi, que l cmprimiera y lueg l slara para que vibrara libremene. Las ecuacines de ls circuis, ennces, man la escriura más general: Ecuación dierencial Σ (uenes inernas) Σ (uenes de energía inerna) Σ (impulss). Y la respuesa naural puede benerse indisinamene de la ecuación dierencial igualada a cer, de la ecuación dierencial igualada a las uenes que represenan la energía almacenada, de la ecuación dierencial igualada a un impuls lueg de resar de la slución la respuesa impulsiva. Esas psibilidades scurecen un pc la inerpreación sencilla y lógica que emana de las cnsideracines ísicas, de md que la inerpreación ísica debe primar sbre la maemáica meramene cnvencinal. El prces de slución implica ls siguienes pass: 46

9 . Encnrar la slución de: Ecuación dierencial 0 L cual ns da la slución naural (en maemáicas se llama unción cmplemenaria, ó ambién hmgénea ). Esa slución resula en érmins de uns parámers, cuys valres se deben deerminar después. Esa ecuación n debe ener limiacines en 0 (sals cm la unción pas, ec); es prque la ecuación esá simplemene igualada a cer. Esa slución naural ambién puede benerse de: Ecuación dierencial Σ (uenes de energía inerna), de la ecuación: Ecuación dierencial Σ(impulss) La única dierencia es que la respuesa del úlim cas ambién cniene respuesas impulsivas que n hacen pare de la respuesa naural.. Encnrar una slución de : Ecuación dierencial Σ(uenes exernas) Σ(impulss) Esa slución paricular, si endrá ls sals bruscs en 0 y ls impulss a que den lugar ess sals bruscs.. Pr úlim, se susiuye la slución naural y la slución paricular ( Sal Snaural Sparicular ) en la ecuación riginal y se encuenran ls parámers descncids de la slución naural. Apliquems ese méd a alguns cass sencills. 47

10 7. ESPUESTA NATUAL Y FOZADA DE IUITOS SENILLOS. a. ndensadr cargad, descargándse a ravés de una resisencia. Figura 7... ndensadr cargad descargándse a ravés de una resisencia. En la igura 7.. describims cm hacems evlucinar el circui, n sól para represenar la energía almacenada (uene E), sin para inerprear el cierre del inerrupr cm la unción pas. La ecuación de malla del úlim circui es: E u i id ( ) Dierenciand respec a para lgrar una ecuación sól dierencial: E u ( ) di i d La slución naural de ese circui crrespndería a la ecuación: 0 di i d Ensayand una slución expnencial, pues vims en el capíul precedene que esa unción n cambia de rma al ser dierenciada, y reemplazándla en la ecuación dierencial: 0 48

11 49 ( ) i I e d d I e I e I e I e α α α α α α 0 0 anceland érmins cmunes: 0 α α De md que la slución naural endrá la rma general: i I e Dnde I es un parámer que debems encnrar después. Ahra debems reslver la ecuación: E u di d i ( ) La única dierencia cn el cas anerir, es que debems bener un impuls; per el impuls l benems derivand la unción pas. Ensayems esa slución : e I u e I u d d u E e I u i ) ( ) ( ) ( ) ( e I u e I u e I u ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( e I u e I u u E

12 Eu ( ) u ( ) I e Per, recuérdese que un impuls sól dura de 0 - a 0, sea que e 0 e, durane la vida del impuls. E I La slución cmplea de ese circui sería: E i I e u e ( ) Vams a reemplazarla en la ecuación dierencial: E u d E I u d e I u E e ( ) ( ) ( ) E E u u e I u E e ( ) ( ) ( ) 0 I u E e ( ) E E u u e I e I e ( ) ( ) u ( E ) e E e Evidenemene la slución cumple la ecuación dierencial, y aún n hems calculad el parámer I. Ahra, la slución ambién debe cumplir la ecuación inegr dierencial, veámsl: E E Eu ( ) Ie u ( ) e Ie u e d ( ) 0 50

13 E E E u I u e I e u e ( ) ( ) ( ) Eu( ) ( I u( ) E) e 0 E I e I e u e u E e ( ) ( ) Eu( ) ( I u( ) E I u( ) E) e I u( ) E I 0 I 0 Ennces ese circui n iene respuesa naural, pues I 0 es cer?; l que curre es que la respuesa naural es la crrespndiene a la uene inerna, a la uene que represena la energía almacenada, al cm habíams anunciad. E Per que dierencia exise enre I e y u e ( )? Esa dierencia, crucial, la ilusrams en la igura 7... La primera unción puede exisir para < 0, en cambi la segunda unción es cer para < 0. Pr r lad, bsérvese que para calcular ls parámers de las slucines es necesari uilizar las ecuacines más primiivas del circui, las que n han sid dierenciadas cn respec al iemp

14 Figura 7... Dierencia enre las uncines expnenciales. b. ndensadr descargad exciad cn uene csenidal. La ecuación para el circui inal de la igura 7.. es: u E w i id ( ) cs( ) 0 Figura 7... ndensadr descargad y uene csenidal. Dierenciand de nuev, para bener una ecuación dierencial: u E w u Ew w di i ( ) cs( 0) ( ) sen( ) d 5

15 Aplicams la prpiedad del impuls que evalúa las uncines a las que muliplica en su pun de currencia. ncems la slución libre ó naural pr el cas anerir: i u ( ) I e n En cuan a la slución rzada debe ser de ip senidal pues ese el ip de la uene: i u ( ) I cs( w α ) La slución cmplea : i i i, susiuida en la ecuación dierencial ns da : u ( ) E cs(0) u ( ) Ewsen( w) n u ( ) I e I cs( w α) u ( ) E cs( 0) u( ) Ewsen( w) u ( ) Ie I cs( w α) u d d u ( ) I e Ie ( ) I w w sen( α) u I e ( ) I w cs( α) I cs( w α) Igualand pr separad las uncines impuls y las uncines pas: 5

16 u ( ) E u E I ( ) I 0 ( I e I cs( w 0 α) ) csα I e I e u ( ) Esen( w) u ( ) I wsen( w α) I u ( ) cs( w α) Ewsen( w) wi sen( w α) cs( w α) w E sen( w) I sen( w α) cs( w α) w Debems vlver el lad derech una unción senidal única; para hacerl prcedems así: a b acs( α) bsen( α ) a b cs( α ) sen( α) a b a b acs( α) bsen acs( α) bsen ( α ) a b [ sen( θ ) cs( α ) cs( θ ) sen( α )] ( α ) a b sen( θ α ) Figura nversión a una única unción senidal. 54

17 Deiniend el ángulθ, mediane el riángul de la igura csθ w senθ Esen( w) I I w w w w [ cs( θ ) sen( w α) sen( θ ) cs( w α) ] sen( w α θ ) Para que sean iguales ls érmins de la izquierda y de la derecha: E I, α θ 0 w α θ an w De la pare impulsiva de la ecuación: E I I csα 55

18 56 ( ) [ ] ) ( w E w w E I w w E w E E I w w E I E La respuesa al será ennces: ( ) [ ] ) ( ) cs( u w w E e w E i θ uya gráica incluims en la igura Figura Gráica de una senidal amriguada. c. Inducancia cn crriene inicial.

19 Sea In la crriene en 0, y n reemplacems esa crriene pr una uene de crriene, sin que slucinems el circui direcamene: i L di 0 d Figura 7..6.espuesa naural y rzada de ls circuis sencills. Evidenemene, sól exise la slución naural, pues n hay uene aplicada de ningún ip. La slución será de la rma: i I e m se cmprueba reemplazándla en la ecuación dierencial: L I e LI L e L 0 L Ahra el valr de I, l encnrams de la cndición i Ia en 0. L i I I e I 0 a 0 Figura Descarga de una bbina cn crriene inicial. 57

20 La slución naural de ese circui endrá la rma inal msrada en la igura Obsérvese que la unción de la igura 7..7 n esá recrada en 0. Teóricamene la crriene siempre ha exisid y esá en cninu decrecimien. Per veams una siuación dierene, per cn similiudes respec a la anerir (ver igura 7..8). Se raa de una inducancia en cr pr la que circula Ia; al abrir repeninamene el inerrupr, la crriene Ia es rzada a pasar pr la resisencia. Ahra si represenarems la crriene pr una uene de crriene escalón. Aplicand el erema de Thévenin a la uene en paralel cn la inducancia benems el circui de la igura 7..8.a, cuya ecuación es: i L di LIau ( ) d Figura Descarga de una inducancia a ravés de una resisencia. 58

21 Figura 7..8.a Equivalene Thevenin de la inducancia y la uene escalón. Igualand la ecuación dierencial hmgénea a cer, benems: i I e Y reslviend la ecuación igualada a la exciación, benems la slución rzada: L L i I e u ( ) La slución cmplea será: L i I e L I e u ( ) eemplazand en la ecuación cmplea L I e I e u LI L e LI L L e L L u ( ) ( ) LI e u ( ) LI u ( ) L a De la slución anerir enems I Ia, per I sigue siend descncida. Para hallar I debems aplicar el crieri i 0 para 0 -, pues anes de abrir el inerrupr ninguna crriene circulaba pr la resisencia. i L L 0 I e I e u ( ) 0 0 a 0 I 0 I 0 La única slución que queda es la rzada : 0 59

22 L i I e u ( ) a Nóese que esa slución rzada es la misma slución naural para >0. Para acabar cn un rigrism inúil, de aquí en adelane será válid llamar slución naural a cualquier slución que enga la rma de la slución naural, y la slución rzada a la slución que enga la rma de la uene ó exciación. Pr úlim veams cm represenams la crriene en el inerrupr cuand ese se abrió (Figura 7..8.b) Figura 7..8.b espuesa naural y rzada de ls circuis sencills. La represenación maemáica de i sería: i I a u ( ) I a y el circui se pdría represenar pr el msrad en la igura 7..8.c. Figura 7..8.c Ora rma de represenar la descarga de la inducancia. 60

23 Per ahra apliquems Thévenin en a y b (Figura 7..8.d): Figura 7..8.d Equivalene Thevenin de la inducancia y la nueva uene. Obenems ls misms resulads que inyecand una crriene de unción pas en el inerrupr cm hicims en el ejempl. Ennces para represenar una crriene en un inerrupr que se abre hay ds méds: ) Inyecar una crriene en senid pues igual a que circulaba mediane la unción pas, y ) uilizar una unción pas a cer ( u ( ) ). La gráica para la crriene en la resisencia es la siguiene (Figura 7..9). Figura 7..9 espuesa naural y rzada de ls circuis sencills. d. ircui cn resisencia, inducancia y capacidad en serie y cn energías almacenadas. 6

24 Figura 7..0 espuesa naural y rzada de ls circuis sencills. La ecuación para el circui msrad en la igura 7..0 será: V V V 0 L di id L i 0 d m se raa de una ecuación inegr dierencial, la dierenciams de nuev respec a. 0 i L d i di d d Es la primera vez que encnrams, en ess ejempls, una segunda derivada, l cual ns dice que se raa de una ecuación de segund rden. La rma más general de slución para ese ip de ecuación es: S S S i I e I e I e eemplazand la slución en la ecuación dierencial, benems: I ( ) e I e I e L d S S S S S S Ie Ie Ie d d d I S I e e S S S ( I e I e I e ) S 0 S S S S S ( I S e I S e I e S I e ) 0 I e d L d S S S S ( I S e I S e I e S I e ) 6

25 I e S S S S S S S ( I S e I S e I e S I e ) 0 I e e S I e L I LIS IS S I e LIS S S S S S ( I S e I S e I S e S I e S I e ) e I S I LIS S e S I ( LI S I ) 0 S Para que se cumpla la ecuación anerir para d valr de, se debe cumplir:. I LS S 0. I LS S 0. I LS S 0 4. I ( LS ) 0 La primera slución es rivial: I I I 0 Que signiica únicamene que el circui n iene ninguna exciación, ni energía almacenada, y pr l an, ni crrienes ni vlajes en sus elemens. De. y 4. mprbams que si I 0, S n puede ser igual a cer, pues de bendríams: I I I Y de 4 endríams: 6

26 I L esulad que descarams, pues esams asumiend una resisencia y una capacidad inias, dierenes de cer. Ennces, si I 0, es implica S 0, y endríams de 4. : S L Y reemplazand en. : 0 L L L L 0 4L L L 4L 4L Pr l an, sól para esa cmbinación de ls valres de,, y L, resula que exise el érmin I e S. Ahra, cm,, y sn ecuacines idénicas, resula que para esa cmbinación de valres se cumple que S S S S, y la slución queda: Llamand I I I4 ( ) ( ) i I I e I e I I e S S S 4 La ercera psibilidad se iene cn I 0. Sól ns quedan las ecuacines y, que sn, evidenemene, la misma ecuación cuadráica: S L S 0 L uyas raíces sn: 64

27 S S L 4L L L 4L L El análisis de esas raíces ns arrja res psibilidades: a., que crrespnde al cas ya esudiad, 0 4L L cuand exise el érmin I e S. En ese cas : S S, y decims que se raa de raíces reales L iguales. b. c. > 0 ; S y S sn ds raíces reales disinas. L L 4 < 0 ; en ese cas S y S sn raíces cmplejas 4 L L disinas. Mejr, se raa de raíces cnjugadas. d. 0; a veces se incluye ese cas, aunque n perenece al circui -L-. Las raíces sn : S S j L L j L L esuland raíces imaginarias cnjugadas. En la lisa siguiene dams una reseña de las cuar psibilidades, msrand sus respecivas gráicas. Tabla de respuesas para el circui -L-. 65

28 a. 4 L S S > 0 L i I e S I e S L 4L L L 4L L Figura 7.. espuesa sbre amriguada. Se raa del cas sbre amriguad. b. 0 4L L i ( I I ) e S 4 S S S S L 66

29 Figura 7.. espuesa críicamene amriguada. as llamad críicamene amriguad c. S S 4 L < 0 L i I e S I e S j L 4L L j L 4L L Figura 7.. espuesa sub amriguada. as sub amriguad. d. 0 S S i I e S I e S j L L j L L 67

30 as scilari. Figura 7..4 espuesa scilaria. El papel de la resisencia es decisiv en el ip de respuesa del circui. El primer cas, el sbreamriguad, crrespnde a un valr de resisencia muy grande. Las energías almacenadas en las inducancias y en la capacidad se disipan rápidamene en la resisencia, de md que la crriene disminuye a un rim elevad. En el segund cas, el críicamene amriguad, ya la resisencia es menr, y la disipación de energía en ella ambién l es; el circui una sla vez alcanza a hacer la scilación, que cnsise en que la energía queda mmenáneamene almacenada en la capacidad slamene, y la crriene pasa pr el valr de cer, lueg la energía almacenada vuelve a hacer circular la crriene en senid cnrari al que enía inicialmene. En el ercer cas, el subamriguad, ya la resisencia y la disipación en ella sn an pequeñas que la energía alcanza un régimen scilari enre la inducancia y la capacidad de md que la energía que aún queda en el circui queda almacenada en la L la mmenáneamene y la crriene pasa pr el valr cer. La energía almacenada vuelve a hacer circular la i en senid cnrari. En cada scilación se disipa energía. En el cas inal, el scilari, cm n exise resisencia, ampc se presena disipación, y la energía al del circui n mengua, maneniéndse cnsane, per sciland enre la inducancia y la capacidad. Para lgrar en la prácica circuis sciladres, (un 0, sl se cnsigue en la supercnducividad ), se añade un elemen aciv que acúe cm un resisencia negaiva. 68

31 Ahra si la resisencia al resula negaiva, el circui ganará energía en cada scilación y las crrienes y ls vlajes serán mayres cada vez, per n esudiarems ess cmpramiens pr ahra. En la slución del circui -L- en serie, ns queda pendiene el cálcul de ls ceicienes I, I, I, I4. Para ese cálcul, debems cncer el valr de la crriene ó de sus derivadas (ó inegrales) en cualquier, ó cualesquiera, valr, ó valres, de. Per el cas más cmún, y el más imprane ambién, es aquel en el cual se cnce el valr de la crriene y de su primera derivada en 0. Veams ese cálcul de ceicienes, llamand: di i I y a 0 d 0 a. i I e S I e S 0 0 i I e I e I I I 0 di I S I S a d 0 I S S ( I I ) a I ( S S ) a S I a SI a SI I e I ( S S ) ( S S ) m: esula: S S L 4L L L 4L L S S ( S S ) 4 L L 69

32 Y la respuesa queda: i 4 L L b. ( ) i I I e S 4 i I I di d 0 4 S S [( a SI) e ( a SI ) e ] ( ) S S I I e I e SI I a I I e I a SI S m: S L Tendrems: [ ( ) ] [ ( ) ] i I a SI e i I S a e i I a e L S S L c. i I e S I e S Se raa del mism cas de a., de md que la respuesa debe ser: S S i [( a S I) e a S I e ( ) ] 4 L L 70

33 Per cm, 0, L L 4 y el radical queda imaginari, se suele escribir: S j α jw L 4L L S j α L 4L L jw n ess reemplazs la slución queda: [ ] ( α jw i a jw I e ) ( α ) [ a ( α jw) I] e jw ( α jw) { } jw jw jw jw {( α )( ) ( )( )} α e i jw a I e e jwi e e Per: e jw e jw α e i jw α a αi i e w jw jw e e j sen( w) cs( w) [( a αi ) jsen( w) jwi cs( w) ] sen( w) I cs( w) d. i I e S I e S Es el mism cas anerir, per cn 0: 0 a 0 I i e sen( w) I cs( w) w a i sen( w) I cs( w) w 7

34 Para erminar el análisis del circui -L-, veams cm quedan las respuesas y sus gráics cuand I 0. Es decir, cuand la crriene en el insane 0 es cer pr cualquier razón. S S a. i [ ae ae ] 4 L L Per: S S j α L 4L L j α L 4L L i a w ( α [ e ] w ) ( α e w ) jw jw Figura 7..5 as sbre amriguad cn crriene inicial cer. Ahra, cm α > ω, el gráic de la respuesa sería el de la igura

35 L b. i ae ae α Figura 7..6 as amriguad críic cn crriene inicial cer. c. i ae w α sen( w) a d. i sen( w) w Figura 7..7 as subamriguad cn crriene inicial cer. 7

36 Figura 7..8 as scilari cn crriene inicial cer. Una vez benidas las gráicas de ls dierenes ips de respuesa, es buen hacer una sínesis de la erminlgía y ls cnceps viss, así cm cncer rs érmins empleads en maerias cm nrl reerenes a ess ips de respuesas. Para ell ns imaginams un circui -L- cualquiera alimenad cn una unción pas y cnsiderams la respuesa del circui a esa exciación cm, pr ejempl, el vlaje en el cndensadr (Figura 7..9). 74

37 Figura 7..9 Términs impranes reerenes a las respuesas naural y rzada de ls circuis sencills. En la misma igura hems incluid las gráicas de varias psibles respuesas dnde se han señalad caracerísicas impranes. : La cnsane de iemp (léase a). Es el invers del ceiciene de amriguación (e - e -/ ). Si en el iemp inicial de una expnencial razams una angene al expnencial, esa angene cruzará el valr hacia el cual iende la expnencial (ó la unidad mens la expnencial) precisamene en el iemp después del iemp de inicialización. En el iemp el valr de la expnencial será. τ τ τ e τ e e % del valr acual e Ese parámer se usa para medir la velcidad de respuesa de un circui de un sisema. : Sbre impuls (léase si). Es el valr máxim que alcanza la respuesa sbre el valr inal de la misma. Puede ser una medida del pder de desrucción del ransiri de un sisema. En eec, si se espera a que un mr alcance deerminada velcidad, puede resular sumamene peligrs 75

38 que, anes de esabilizarse, el mr alcance una sbre velcidad muy ala. T: Perid. Es el iemp que dura una de las scilacines naurales del sisema. Se relacina cn la recuencia naural así: T π ω Envlvenes: Sn las curvas que unen ls puns máxims enre si y ls puns mínims enre si de una scilación aenuada. Esas curvas crrespnden a expnenciales decrecienes para las cuales ambién vale el cncep de cnsane de iemp. 7.4 NEESIDAD DE UN MÉTODO SISTEMÁTIO PAA ESOLVE LAS EUAIONES DE LOS IUITOS Si recapaciams un pc sbre la rma cm slucinams las ecuacines dierenciales del numeral anerir, debems acepar que esa rma ue muy casuísica. Es decir, a cada ecuación le asignams un ip de respuesa cm si la sacárams de una especie de receari. Para slucinar rs circuis más cmplejs, ese méd, cas pr cas, resula casi impracicable. Es much mejr usar un méd que se pueda aplicar siempre, cuys pass esén bien deerminads, que dé simuláneamene la slución naural y la rzada, y que maneje en rma clara las llamadas cndicines iniciales, que sirven para calcular ls parámers de la slución. Ese méd es el de la Transrmada de Laplace, que esudiarems en el próxim capíul. Además de las venajas anadas arriba, el méd de la ransrmada de Laplace permie reslver las ecuacines dierenciales simuláneas, que describen circuis más cmplejs que ls viss en ese capíul, cn mucha acilidad, pues psibilia un rabaj algebraic previ que simpliica y rdena esas ecuacines. 76

39 Per siempre que las maemáicas ns recen un méd que simpliica el rabaj analíic, ns piden un sacriici a cambi y ns pnen algunas resriccines. Es mism curre cn la ransrmada de Laplace; sól que ls sacriicis y resriccines sn mínimas en su cas cm verems al esudiarls. 7.5 EJEMPLOS 7.5. EJEMPLO El inerrupr S, de la igura 7.5.., se cierra en 0, hallar ix. Figura Ejempl. nsiderems - < < 0 el inerval hasa jus anes de cerrar S. En ese inerval de iemp el circui queda: Figura ircui del ejempl para < 0. n: 77

40 0 Vc ic e i dvc 0 Vc d dvc d V 0 Ln V V c c c ( V c 0 ) 0 Be 0 Be c A B dv d A c una ambien cns an e cns an e Slución que se cumple para d valr de en el inerval. En el iemp inicial, 0, para la igura ó - para la igura 7.5.., el cndensadr esá descargad, es decir, Vc 0. Ennces: Be 0 0 B B 0 En el iemp inal, -, para la igura (esad esable) ó 0 - : para la igura 7.5.., el cndensadr se ha cargad a un vlaje ( ) V 0 Be, que en el límie da V 0 vlis. Es ns indica que después de much iemp, el cndensadr se cargó al valr de la uene, en ese mmen la crriene pr la resisencia es: 0 V iy 0 Es ns permie cncluir alg muy imprane, el cndensadr descargad se pdrá cnsiderar en adelane 78

41 cm un cr en el insane inicial y cm un circui abier en el mmen de su esad esable (ó en su ). El circui para > 0, jus después de cerrar S, queda cm el circui de la igura Figura ircui del ejempl para > 0. En ese circui se planean las ecuacines de malla para i e ix, quedand: i ix 0 V D D i ix V, per D D (7.5..) i ix 0 D D i ix 0 D D Derivand las ecuacines inegr dierenciales de la ecuación 7.5.., enems: di i i 0 d x (7.5..) dix i ix 0 (7.5..) d di De la ecuación 7.5.., beng: i x ix d Que reemplazada en la ecuación ns da: 79

42 d dix dix ix d d d Y resula: d ix dix 5 0 d d i x i x 0 Ecuación dierencial lineal de segund rden de la rma: 5 5 D D ix 0 D D ix 0, cuya slución es: i ( ) A Be x A, B sn cnsanes que se hallan cn las cndicines ix (0) y i x (0). La cndición inicial para ix, jus después de cerrar S, sea la crriene ix (0 ); i x(0 ) sería la primera derivada de ix en 0. En 0 el cndensadr de la igura se reemplazó pr una uene V, que indica la carga de en serie cn un cndensadr descargad, que en el circui de 0 se ve cm un cr. El circui de la igura , represena la siuación en 0. 5 Figura ircui del ejempl en 0.. De la igura , Vc (0 ) Vc 0 vlis y la crriene V ix( 0 ) 5 Amperis. 80

43 óm hallams i ( 0 ) x d d i x 0? Vc V c ix, derivand i x,, per en un cndensadr V i i i i c ( ) c x c c( ), cm se cumple en cualquier, se cumple en 0. i i x ( ) 0 c( 0 ), per iy( 0 ) ic( 0 ) ix( 0 ) 0 i (0 c i i x x ) i (0 (0 ) ( 5 Amperis 5 segund x ). Amperis) n la slución: i ( ) A Be x 5 Obenems derivándla: 5 5 i x ( ) Be i (0 ) 5 A B A 5 B 5 i x (0 ) 5 B B, A 5 Slución: ix ( ) e u( ) Amperis. x 8

44 Para incluir el eec del inerrupr S, veams la igura Nóese que ix en iende a Amperis, cm se puede ver en el límie de la slución anerir, ó en el circui para, que es el que se muesra en la igura Figura Ejempl. Figura ircui del ejempl en. i ( ) 0 x 0 A 5 Obsérvese en la igura que el cndensadr en se cmpra cm un circui abier EJEMPLO. En la igura 7.5.., el inerrupr S se abre en 0, hallar Vx. 8

45 Figura Ejempl. Ese circui, que es el dual del ejempl anerir, se deja al lecr para que l resuelva, y cnsiga una cnclusión para el cmpramien de la inducancia descargada en un insane inicial, y su cmpramien en el esad esable ó esad inal ( ) EJEMPLO En la igura 7.5.., Ω,, L h, S se cierra en 0. Hallar: i (0 ), i ( ), i ( ), i ( ) y la expresión para i (). Figura Ejempl. El circui muesra cargad al elemen cn 5 vlis y al elemen L descargad, en cnsecuencia, el circui para > 0 queda cm el circui de la igura

46 Figura Ejempl. El circui para 0 jus después de cerrar S, se represena en la igura Figura Ejempl. V ( 0 ) 5, V ( 0 ) 0 5v, i( 0 ) 0 c L Nóese, en ese ejempl, que aunque i (0) 0, su primera derivada n l es, veams: di VL ( ) L, i ( ) VL ( ) en 0 d L 5 v i (0 ) VL (0 ) L h 5 v 5 A i (0 ) h s La segunda derivada en 0, i (0 )? Usams la ecuación en la malla i L di d id 0 5. Derivand: di d L d i d i 0, en 0. i Li ( 0 ) ( 0 ) i ( 0 ) 0, despejand: i 5 ( 0 )

47 Y el circui para, se muesra en la igura Figura Ejempl. i( ) 0, VL( ) 0 y Vc( )? 0 i( ) V ( ) V ( ) 0 0 V ( ) 0 V ( ) 0v Para encnrar la expresión i (), basa cn slucinar la ecuación dierencial: di L d i d d i 0 L 4L 0 L 6 6 Se raa del cas subamriguad, cuya slución es: i I e S S I e Se necesian las cndicines: i( 0 ) I 0 i ( 0 ) a Ennces, según l vis para el cas I

48 86 ) ( ) ( , 5 ) ( 6 u sen e i L L w L a cn w sen w ae i α α Y cóm es la gráica? Ejercicis prpuess: Ver apéndices B.