MOVIMIENTO RECTILÍNEO

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1 MVIMIENT RECTILÍNE 2 BJETIVS DE APRENDIZAJE Al esudiar ese capíulo, used aprenderá: Cómo describir el moimieno recilíneo en érminos de elocidad media, elocidad insanánea, aceleración media y aceleración insanánea.? Un salador de bungee acelera durane la primera pare de su caída, luego se deiene lenamene conforme la cuerda del bungee se esira y se pone ensa. Es correco decir que el salador esá acelerando conforme reduce su elocidad durane la pare final de su caída? disancia debe recorrer un aión comercial en la pisa anes de alcanzar la rapidez de despegue? Cuando lanzamos una peloa de béis- Qué bol ericalmene, qué ano sube? Cuando se nos resbala un aso de la mano, cuáno iempo enemos para araparlo anes de que choque conra el piso? Ese es el ipo de pregunas que used aprenderá a conesar en ese capíulo. Iniciaremos nuesro esudio de la física con la mecánica, que es el esudio de las relaciones enre fuerza, maeria y moimieno. En ese capíulo y el siguiene esudiaremos la cinemáica, es decir, la pare de la mecánica que describe el moimieno. Después esudiaremos la dinámica: la relación enre el moimieno y sus causas. En ese capíulo nos concenramos en el ipo de moimieno más sencillo: un cuerpo que iaja en línea reca. Para describir ese moimieno, inroducimos las canidades físicas elocidad y aceleración, las cuales en física ienen definiciones más precisas y algo disinas en comparación con las empleadas en el lenguaje coidiano. Tano la elocidad como la aceleración son ecores: como imos en el capíulo 1, eso significa que ienen magniud y dirección. En ese capíulo nos ineresa solo el moimieno recilíneo, por lo que no necesiaremos aplicar oda el álgebra ecorial; no obsane, el uso de ecores será esencial en el capíulo 3, cuando consideremos el moimieno en dos o res dimensiones. Desarrollaremos ecuaciones sencillas para describir el moimieno recilíneo en el caso especial en que la aceleración es consane. Un ejemplo es el moimieno de un objeo en caída libre. También consideraremos siuaciones en las que la aceleración aría durane el moimieno; en esos casos es necesario uilizar inegrales para describir el moimieno. (Si aún no ha esudiado inegrales, la sección 2.6 es opcional). Cómo inerprear gráficas de posición conra iempo, elocidad conra iempo y aceleración conra iempo para el moimieno recilíneo. Cómo resoler problemas que impliquen moimieno recilíneo con aceleración consane, incluyendo problemas de caída libre. Cómo analizar el moimieno recilíneo cuando la aceleración no es consane. 35

2 36 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo 2.1 Desplazamieno, iempo y elocidad media Suponga que un piloo de auos de arrancones conduce su ehículo por una pisa reca (figura 2.1). Para esudiar su moimieno, necesiamos un sisema de coordenadas. Deerminamos que el eje a a lo largo de la rayecoria reca del auo, con el origen en la línea de salida. También elegimos un puno en el auo, digamos su eremo delanero, y represenamos odo el ehículo con ese puno y lo raamos como una parícula. Una forma úil de describir el moimieno de la parícula que represena el ehículo es en érminos del cambio en su coordenada durane un ineralo de iempo. Suponga que 1. s después del arranque, el frene del ehículo esá en el puno P 1,a 19 m del origen, y que 4. s después del arranque esá en el puno P 2, a 277 m del origen. El desplazamieno de la parícula es un ecor que apuna de P l a P 2 (éase la sección 1.7). La figura 2.1 muesra que ese ecor apuna a lo largo del eje. La componene del desplazamieno es el cambio en el alor de, (277 m - 19 m) = 258 m, que uo lugar en un lapso de (4. s - 1. s) = 3. s. La elocidad media del auomóil durane ese ineralo de iempo se define como una canidad ecorial, cuya componene es el cambio en diidido enre el ineralo de iempo: (258 m) (3. s) = 86 m s. En general, la elocidad media depende del ineralo de iempo elegido. Durane un lapso de 3. s anes del arranque, la elocidad media sería cero, porque el auomóil esaba en reposo en la línea de salida y uo un desplazamieno cero. Generalicemos el concepo de elocidad media. En el iempo 1 el auomóil esá en el puno P 1, con la coordenada 1, y en el iempo 2 esá en el puno P 2 con la coordenada 2. El desplazamieno del auomóil en el ineralo de 1 a 2 es el ecor de P 1 a P 2. La componene del desplazamieno, denoada con, es el cambio en la coordenada : = 2-1 (2.1) El auomóil de arrancones se desplaza solamene a lo largo del eje, de manera que las componenes y y z del desplazamieno son iguales a cero. CUIDAD Significado de Noe que noes el produco de y ; es solo un símbolo que significa el cambio en la canidad. Siempre usaremos la lera griega mayúscula (dela) para represenar un cambio en una canidad que se calcula resando el alor inicial del alor final, y nunca a la inersa. Asimismo, el ineralo de iempo de 1 a 2 es, el cambio en la canidad : = 2-1 (iempo final menos iempo inicial). La componene de la elocidad promedio, o elocidad media, es la componene del desplazamieno,, diidida enre el ineralo de iempo durane el 2.1 Posiciones de un auomóil de arrancones en dos insanes durane su recorrido. Posición en s Posición en s SALIDA LLEGADA P 1 P m Coordenada de un auomóil de arrancones en 1. s es posiia a la derecha del origen (), y negaia a la izquierda de ese. Eje D m Desplazamieno de 1 a m Coordenada de un auomóil de arrancones en 4. s Cuando el auomóil se muee en la dirección +, el desplazamieno es posiio, al igual que su elocidad media: med- 5 D D m 3. s 5 86 m /s

3 2.1 Desplazamieno, iempo y elocidad media 37 SALIDA Posición en s m Esa posición ahora es 2. D m Desplazamieno de 1 a 2 Posición en s P 2 P 1 Cuando la camionea se muee en la dirección -, es negaia, al igual que la elocidad media: 2258 m med m/s 9. s D D m LLEGADA Esa posición ahora es Posiciones de la camionea de un oficial en dos insanes de su moimieno. Los punos P 1 y P 2 ahora se refieren a las posiciones de la camionea; emos que se raa del inerso de la figura 2.1. que ocurre el desplazamieno. Usamos el símbolo med- para represenar la elocidad media (el subíndice med indica que se raa de un alor promedio, y el subíndice indica que es la componene ): med- = = (elocidad media, moimieno recilíneo) (2.2) En el ejemplo del auomóil de arrancones eníamos 1 = 19 m, 2 = 277 m, 1 = 1. s y 2 = 4. s, así que la ecuación (2.2) da med- = 277 m - 19 m 4. s - 1. s = 258 m 3. s = 86 m>s La elocidad media del auomóil es posiia. Eso significa que, durane el ineralo, la coordenada aumenó y el auo se moió en la dirección + (a la derecha en la figura 2.1). Si una parícula se muee en la dirección negaia durane un ineralo de iempo, su elocidad media para ese lapso es negaia. Por ejemplo, suponga que la camionea de un oficial se desplaza hacia la izquierda sobre la pisa (figura 2.2). La camionea esá en 1 = 277 m en 1 = 16. s, y en 2 = 19 m en 2 = 25. s. Enonces, = (19 m m) = -258 m y = (25. s s) = 9. s. La componene de la elocidad media es med- = = (-258 m) (9. s) = -29 m s. La abla 2.1 muesra algunas reglas sencillas para idenificar si la elocidad es posiia o negaia. CUIDAD Elección de la dirección posiia No caiga en la enación de pensar que una elocidad media posiia implica necesariamene moimieno a la derecha, como en la figura 2.1, y una elocidad media negaia implica forzosamene moimieno a la izquierda, como en la figura 2.2. Tales conclusiones son correcas solo si la dirección + es hacia la derecha, como elegimos en las figuras 2.1 y 2.2. Igualmene podríamos haber decidido que la dirección + fuera hacia la izquierda, con el origen en la llegada. Enonces, el auomóil habría enido elocidad media negaia, y la camionea del oficial, elocidad media posiia. En casi odos los problemas, podremos elegir la dirección del eje de coordenadas. Una ez omada la decisión, deberá omarse en cuena al inerprear los signos de med- y oras canidades que describen el moimieno! Tabla 2.1 Reglas para el signo de la elocidad Si la coordenada es:... la elocidad es: Posiia y aumena Posiia: la parícula (oliéndose más se muee en la posiia) dirección + Posiia y disminuye Negaia: la parícula (oliéndose menos se muee en la posiia) dirección - Negaia y aumena Posiia: la parícula (oliéndose menos se muee en la negaia) dirección + Negaia y disminuye Negaia: la parícula (oliéndose más se muee en la negaia) dirección - Noa: Esas reglas se aplican ano a la elocidad media, med-, como a la elocidad insanánea, (que se analizará en la sección 2.2). En el moimieno recilíneo, por lo general, llamaremos a simplemene desplazamieno y a med- la elocidad media. Sin embargo, no olide que esas son realmene las componenes de canidades ecoriales que, en ese caso especial, solo ienen componenes. En el capíulo 3, los ecores de desplazamieno, elocidad y aceleración endrán dos o res componenes disinas de cero. La figura 2.3 es una gráfica de la posición del auomóil de arrancones como una función del iempo, es decir, una gráfica -. La cura de la figura no represena la rayecoria del auomóil; esa es una línea reca, como se obsera en la figura 2.1. Más bien, la gráfica es una forma de represenar isualmene cómo cambia la posición del auomóil con el iempo. Los punos p 1 y p 2 en la gráfica corresponden a los punos P 1 y P 2 de la rayecoria del auomóil. La línea p 1 p 2 es la hipoenusa de un

4 38 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo 2.3 Posición de un auomóil de arrancones en función del iempo. 2 1 (m) p 1 P 1 1 Para un desplazamieno a lo largo del eje, la elocidad media de un objeo, med-, es igual a la pendiene de una línea que une los punos correspondienes en una gráfica de posición () conra iempo (). Pisa de arrancones 4 (no esá a escala) P p 2 Pendiene 5 componene de la elocidad D D Pendiene 5 inclinación de D la reca 5 D (s) Tabla 2.2 Magniudes ípicas de elocidad Repar del caracol Caminaa rápida Ser humano más rápido Velocidades en carreera Auomóil más rápido Moimieno aleaorio de moléculas de aire Aión más rápido Saélie de comunicación en órbia Elecrón en un áomo de hidrógeno Luz que iaja en el acío 1-3 m s 2 m s 11 m s 3 m s 341 m s 5 m s 1 m s 3 m s 2 * 1 6 m s 3 * 1 8 m s riángulo recángulo con caeo erical = 2-1 y caeo horizonal = 2-1. La elocidad media del auomóil med- = es igual a la pendiene de la línea p 1 p 2, es decir, el cociene del caeo erical enre el caeo horizonal. La elocidad media depende solo del desplazamieno oal = 2-1, que se da durane el ineralo = 2-1, no de los pormenores de lo que sucede denro de ese ineralo. En el iempo 1, una moociclea podría haber rebasado al auo de arrancones en el puno P 1 de la figura 2.1, para después reenar el moor y bajar la elocidad, pasando por P 2 en el mismo insane 2 que el auo. Ambos ehículos ienen el mismo desplazamieno en el mismo lapso, así que ienen la misma elocidad media. Si epresamos la disancia en meros y el iempo en segundos, la elocidad media se mide en meros por segundo (m s). ras unidades de elocidad comunes son kilómeros por hora (km h), pies por segundo (f s), millas por hora (mi h) y nudos (1 nudo = 1 milla náuica h = 68 f h). La abla 2.2 muesra algunas magniudes ípicas de elocidad. Ealúe su comprensión de la sección 2.1 Cada uno de los siguienes iajes en auomóil dura una hora. La dirección posiia es hacia el ese. i. El auomóil A iaja 5 km al ese. ii. El auomóil B iaja 5 km al oese. iii. El auomóil C iaja 6 km al ese, luego da uela y iaja 1 km al oese. i. El auomóil D iaja 7 km al ese.. El auomóil E iaja 2 km al oese, luego da uela y iaja 2 km al ese. a) Clasifique los cinco iajes en orden de elocidad media de la más posiia a la más negaia. b) Cuáles iajes, si acaso, ienen la misma elocidad media? c) Para cuál iaje, si acaso, la elocidad media es igual a cero? 2.4 El ganador de una compeencia de naación de 5 m es el nadador cuya elocidad media enga la mayor magniud, es decir, quien cubra el desplazamieno de 5 m en el iempo ranscurrido más coro. 2.2 Velocidad insanánea Hay ocasiones en que la elocidad media es lo único que necesiamos saber acerca del moimieno de una parícula. Por ejemplo, una carrera en pisa reca es en realidad una compeencia para deerminar quién uo la mayor elocidad media, med-. Se enrega el premio al compeidor que haya recorrido el desplazamieno de la línea de salida a la de mea en el ineralo de iempo más coro, (figura 2.4). Sin embargo, la elocidad media de una parícula durane un ineralo de iempo no nos indica la rapidez, o la dirección, con que la parícula se esaba moiendo en un insane deerminado del ineralo. Para describir eso, necesiamos conocer la elocidad insanánea, es decir, la elocidad en un insane específico o en un puno específico de la rayecoria. CUIDAD Cuáno iempo dura un insane? bsere que la palabra insane iene un significado un ano disino en física que en el lenguaje coidiano. Podemos uilizar la frase duró solo un insane para referirnos a algo que duró un ineralo de iempo muy coro. Sin embargo, en física un insane no iene duración; es solo un alor de iempo.

5 2.2 Velocidad insanánea 39 Para obener la elocidad insanánea del auo de la figura 2.1 en el puno P 1, moemos el segundo puno P 2 cada ez más cerca del primer puno P 1 y calculamos la elocidad media med- = para esos desplazamienos y lapsos cada ez más coros. Tano como se hacen muy pequeños; pero su cociene no necesariamene lo hace. En el lenguaje del cálculo, el límie de conforme se acerca a cero es la deriada de con respeco a y se escribe d d. La elocidad insanánea es el límie de la elocidad media conforme el ineralo de iempo se acerca a cero; es igual a la asa insanánea de cambio de posición con el iempo. Usamos el símbolo, sin med en el subíndice, para la elocidad insanánea a lo largo del eje o componene de la elocidad insanánea: = lím S = d d (elocidad insanánea, moimieno recilíneo) (2.3) El ineralo de iempo siempre es posiio, así que iene el mismo signo algebraico que. Un alor posiio de indica que aumena y el moimieno es en la dirección posiia; un alor negaio de indica que disminuye y el moimieno es en la dirección negaia. Un cuerpo puede ener posiia y negaia, o a la inersa; nos dice dónde esá el cuerpo, en ano que nos indica cómo se muee (figura 2.5). Las reglas que presenamos en la abla 2.1 (sección 2.1) para el signo de la elocidad media, med-, ambién se aplican para el signo de la elocidad insanánea. La elocidad insanánea, al igual que la elocidad media, es una canidad ecorial; y la ecuación (2.3) define su componene. En el moimieno recilíneo, las demás componenes de la elocidad insanánea son cero y, en ese caso, llamaremos a simplemene elocidad insanánea. (En el capíulo 3 eremos el caso general en el que la elocidad insanánea puede ener componenes, y y z disinas de cero). Al usar el érmino elocidad, siempre nos referiremos a la elocidad insanánea, no a la media. Los érminos elocidad y rapidez se usan indisinamene en el lenguaje coidiano; no obsane, en física ienen diferenes significados. Rapidez denoa la disancia recorrida diidida enre el iempo, ya sea media o insanánea. Usaremos el símbolo (sin subíndice) para denoar la rapidez insanánea, la cual mide qué an rápido se muee una parícula; la elocidad insanánea mide con qué rapidez y en qué dirección se muee. La rapidez insanánea es la magniud de la elocidad insanánea y, por lo ano, nunca es negaia. Por ejemplo, una parícula con elocidad insanánea = 25 m s y ora con =-25 m s se mueen en direcciones opuesas con la misma rapidez insanánea de 25 m s. 2.5 Incluso al aanzar, la elocidad insanánea de ese ciclisa puede ser negaia, si iaja en la dirección -. En cualquier problema, nosoros decidimos cuál dirección es posiia y cuál es negaia. CUIDAD Rapidez media y elocidad media La rapidez media no es la magniud de la elocidad media. Cuando César Cielo esableció un récord mundial en 29 nadando 1. m en s, su rapidez media fue de (1. m) (46.91 s) = m s. No obsane, como nadó dos eces la longiud de una alberca de 5 m, erminó en el puno de donde parió, con un desplazamieno oal de cero y una elocidad media de cero! Tano la rapidez media como la rapidez insanánea son escalares, no ecores, porque no incluyen información de dirección. Ejemplo 2.1 Velocidades media e insanánea Un guepardo acecha 2 m al ese de un obserador (figura 2.6a). En el iempo =, el guepardo comienza a correr al ese hacia un anílope que se encuenra 5 m al ese del obserador. Durane los primeros 2. s del aaque, la coordenada del guepardo aría con el iempo según la ecuación = 2 m + (5. m s 2 ) 2. a) benga el desplazamieno del guepardo enre 1 = 1. s y 2 = 2. s. b) Calcule la elocidad media en dicho ineralo. c) Calcule la elocidad insanánea en 1 = 1. s omando =.1 s, luego =.1 s, luego =.1 s. d) Deduzca una epresión general para la elocidad insanánea del guepardo en función del iempo, y con ella calcule en = 1. s y = 2. s. SLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: La figura 2.6b muesra el moimieno del guepardo. Se usa la ecuación (2.1) para el desplazamieno, la ecuación (2.2) para la elocidad media, y la ecuación (2.3) para la elocidad insanánea. Coninúa

6 4 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo 2.6 Un guepardo aaca a un anílope en una emboscada. Los animales no esán a la misma escala que el eje. a) La siuación b) El diagrama Vehículo Puno de parida del guepardo Anílope c) Consideraciones 1 El eje apuna en la 2 El origen se 3 Marcamos las 4 Marcamos las 5 Agregamos las dirección en que corre el guepardo, de manera que nuesros alores serán posiios. coloca en el ehículo. posiciones iniciales del guepardo y del anílope. posiciones del guepardo en 1 y 2 s. lierales para las canidades conocidas y desconocidas. med- EJECUTAR: a) En l = 1. s y 2 = 2. s, las posiciones del guepardo l y 2 son 1 = 2 m m>s s2 2 = 25 m 2 = 2 m m>s s2 2 = 4 m El desplazamieno en ese ineralo de 1. s es = 2-1 = 4 m - 25 m = 15 m b) La elocidad media durane ese ineralo es med- = c) Con =.1 s, el ineralo es de 1 = 1. s a un nueo 2 = 1.1 s. En 2, la posición es 2 = 2 m m>s s) 2 = 26.5 m La elocidad media durane ese ineralo de.1 s es med- = = 4 m - 25 m 2. s - 1. s = 15 m = 15 m>s 1. s 26.5 m - 25 m 1.1 s - 1. s = 1.5 m>s Al seguir ese méodo, podemos calcular las elocidades medias de los ineralos de.1 s y.1 s. Los resulados son 1.5 m s y 1.5 m s. Al disminuir, la elocidad media se acerca a 1. m s, por lo que concluimos que la elocidad insanánea en = 1. s es de 1. m s. (En esos cálculos no se omaron en cuena las reglas de coneo de cifras significaias). d) Para calcular la elocidad insanánea en función del iempo, se deria la epresión de con respeco a. La deriada de una consane es cero, y para cualquier n la deriada de n es n n-1, así que la deriada de 2 es 2. Por lo ano, = d d = 15. m>s = 11 m>s 2 2 En = 1. s, eso produce = 1 m s, como imos en el inciso c); en = 2. s, = 2 m s. EVALUAR: Nuesros resulados muesran que el guepardo aumenó su rapidez de = (cuando esaba en reposo) a = 1. s ( = 1 m s) y a = 2. s ( = 2 m s), lo cual es razonable: el guepardo recorrió solo 5 m durane el ineralo = a = 1. s; sin embargo, recorrió 15 m en el ineralo = 1. s a = 2. s. AciPhysics 1.1: Analyzing Moion Using Diagrams bención de la elocidad en una gráfica - La elocidad de una parícula ambién puede obenerse a parir de la gráfica de la posición de la parícula en función del iempo. Suponga que queremos conocer la elocidad del auomóil de arrancones de la figura 2.1 en P 1. En la figura 2.1, conforme P 2 se acerca a P 1, el puno p 2 en la gráfica - de las figuras 2.7a y 2.7b se acerca al puno p 1, y la elocidad media se calcula en ineralos cada ez más coros. En el límie en que S, ilusrado en la figura 2.7c, la pendiene de la línea p 1 p 2 es igual a la pendiene de la línea angene a la cura en el puno p 1. Así, en una gráfica de posición en función del iempo para moimieno recilíneo, la elocidad insanánea en cualquier puno es igual a la pendiene de la angene a la cura en ese puno. Si la angene a la cura - sube hacia la derecha, como en la figura 2.7c, enonces su pendiene es posiia, la elocidad es posiia, y el moimieno es en la dirección +. Si la angene baja hacia la derecha, la pendiene de la gráfica - y

7 2.2 Velocidad insanánea Uso de una gráfica - al ir de a), b) elocidad media a c) elocidad insanánea. En c) obenemos la pendiene de la angene a la cura - diidiendo cualquier ineralo erical (en unidades de disancia) a lo largo de la angene enre el ineralo horizonal correspondiene (en unidades de iempo). a) b) c) (m) D 5 2. s D 5 15 m med m/s p 2 1 D p 1 D (s) Cuando la elocidad media med- se calcula en ineralos cada ez más coros... (m) D 5 1. s D 5 55 m med m/s p 1 p 2 D D su alor med- 5 D/D se acerca a la elocidad insanánea. (s) (m) m 4. s 5 4 m/s Pendiene de la angene 5 elocidad insanánea p 1 4. s 16 m (s) La elocidad insanánea en un iempo dado es igual a la pendiene de la angene a la cura - en ese puno. 2.8 a) Gráfica - del moimieno de una parícula dada. La pendiene de la angene en cualquier puno es igual a la elocidad en ese puno. b) Diagrama de moimieno que muesra la posición y elocidad de la parícula en cada uno de los insanes idenificados en el diagrama -. a) Gráfica - b) Moimieno de la parícula A Pendiene cero: 5 C B D Pendiene posiia:. E Pendiene negaia:, A 5 B C D E 5 La parícula esá en, y se muee en la dirección 1. De A a B acelera, y de B a C frena, y se deiene momenáneamene en C. De C a D acelera en la dirección 2, y de D a E frena en la dirección 2. Cuano más pronunciada sea la pendiene (posiia o negaia) de la gráfica - de un objeo, mayor será la rapidez del objeo en la dirección posiia o negaia. la elocidad son negaias, y el moimieno es en la dirección -. Cuando la angene es horizonal, la pendiene y la elocidad son cero. La figura 2.8 ilusra las res posibilidades. La figura 2.8 muesra realmene el moimieno de una parícula en dos formas: como a) una gráfica - y como b) un diagrama de moimieno que indica la posición de la parícula en diersos insanes (como cuadros de un ideo del moimieno de la parícula), juno con flechas que represenan su elocidad en cada insane. En ese capíulo, usaremos ano las gráficas - como los diagramas de moimieno para ayudarle a enender el moimieno. Le recomendamos dibujar no solo una gráfica - sino ambién un diagrama de moimieno como pare de la solución de cualquier problema que implique moimieno. 2.9 Gráfica - de una parícula. Q P Ealúe su comprensión de la sección 2.2 La figura 2.9 es una gráfica - del moimieno de una parícula. a) rdene los alores de la elocidad de la parícula en los punos P, Q, R y S del más posiio al más negaio. b) En qué punos es posiia? c) En cuáles punos es negaia? d) En cuáles es cero? e) rdene los alores de la rapidez de la parícula en los punos P, Q, R y S del más rápido al más leno. R S

8 42 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo 2.3 Aceleración media e insanánea Así como la elocidad describe la asa de cambio de la posición con el iempo, la aceleración describe la asa de cambio de la elocidad con el iempo. Al igual que la elocidad, la aceleración es una canidad ecorial. En el moimieno recilíneo, su única componene disina de cero esá sobre el eje en que ocurre el moimieno. Como eremos, en el moimieno recilíneo la aceleración puede referirse ano al aumeno como a la disminución de la rapidez. Aceleración media Consideremos ora ez el moimieno de una parícula en el eje. Suponga que, en el iempo 1, la parícula esá en el puno P 1 y iene una componene de elocidad (insanánea) 1, y en un insane poserior 2 esá en el puno P 2 y iene una componene de elocidad 2. Así, la componene de la elocidad cambia en = 2-1 en el ineralo = 2-1. Definimos la aceleración media de la parícula al moerse de P 1 a P 2 como una canidad ecorial cuya componene es a med- (conocida como aceleración media en ) igual a, el cambio en la componene de la elocidad, diidido enre el ineralo de iempo : a med- = = (aceleración media, moimieno recilíneo) (2.4) En el moimieno recilíneo a lo largo del eje, por lo general llamaremos simplemene aceleración media a a med-. (Veremos las oras componenes del ecor aceleración media en el capíulo 3). Si epresamos la elocidad en meros por segundo y el iempo en segundos, la aceleración media esá dada en meros por segundo por segundo, o bien (m s) s. Eso suele escribirse como m s 2 y se lee meros por segundo al cuadrado. CUIDAD Aceleración conra elocidad Tenga cuidado de no confundir aceleración con elocidad! La elocidad describe el cambio de la posición de un objeo con el iempo; nos indica con qué rapidez y en qué dirección se muee el objeo. La aceleración describe cómo cambia la elocidad con el iempo; es decir, nos dice cómo cambian la rapidez y la dirección del moimieno. Podría ser úil recordar la frase aceleración es a elocidad lo que elocidad es a posición. También ayudaría imaginarse a used mismo abordo de un auomóil en moimieno. Si el auomóil acelera hacia adelane y aumena su rapidez, used se senirá empujado hacia arás hacia su asieno; si acelera hacia arás y disminuye su rapidez, se seniría empujado hacia adelane. Si la elocidad es consane y no hay aceleración, no endrá sensación alguna. (Analizaremos la causa de esas sensaciones en el capíulo 4). Ejemplo 2.2 Aceleración media Un asronaua sale de una nae espacial en órbia para probar una unidad personal de maniobras. Mienras se muee en línea reca, su compañero a bordo mide su elocidad cada 2. s a parir del insane = 1. s: Calcule la aceleración media y diga si la rapidez del asronaua aumena o disminuye durane cada uno de esos ineralos de 2. s: a) 1 = 1. s a 2 = 3. s; b) 1 = 5. s a 2 = 7. s; c) 1 = 9. s a 2 = 11. s; d) 1 = 13. s a 2 = 15. s. 1. s 3. s 5. s 7. s.8 m / s 1.2 m/s 1.6 m/s 1.2 m/s 9. s 11. s 13. s 15. s 2.4 m / s 21. m/s 21.6 m/s 2.8 m/s SLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Usaremos la ecuación (2.4) para deerminar la aceleración media a med- a parir del cambio de elocidad durane cada ineralo de iempo. Para calcular los cambios en la rapidez, usaremos la idea de que la rapidez es la magniud de la elocidad insanánea.

9 2.3 Aceleración media e insanánea 43 La pare superior de la figura 2.1 es la gráfica de elocidad como función del iempo. En esa gráfica -, la pendiene de la línea que une los punos inicial y final de cada ineralo es la aceleración media a med- = para ese ineralo. Las cuaro pendienes (y por lo ano, los signos de las aceleraciones medias) son, respeciamene, posiia, negaia, negaia y posiia. La ercera y cuara pendienes (y por lo ano, las aceleraciones medias mismas) ienen una magniud mayor que la primera y la segunda. 2.1 Gráficas de elocidad conra iempo (arriba) y aceleración media conra iempo (abajo) del asronaua. EJECUTAR: Usando la ecuación (2.4), obenemos: a) a med- = (1.2 m s -.8 m s) (3. s - 1. s) =.2 m s 2. La rapidez (magniud de la elocidad insanánea) aumena de.8 m s a 1.2 m s. b) a med- = (1.2 m s m s) (7. s - 5. s) = -.2 m s 2. La rapidez disminuye de 1.6 m s a 1.2 m s. c) a med- = [-1. m s - (-.4 m s)] (11. s - 9. s) = -.3 m s 2. La rapidez aumena de.4 m s a 1. m s. d) a med- = [-.8 m s - (-1.6 m s)] (15. s s) =.4 m s 2. La rapidez disminuye de 1.6 m s a.8 m s. En la pare inferior de la figura 2.1, se graficaron los alores de a med-. med- La pendiene de la línea que une cada par de punos en la gráfica es igual a la aceleración media enre esos punos. EVALUAR: Los signos y las magniudes relaias de las aceleraciones medias concuerdan con nuesras predicciones cualiaias. Para referencias fuuras, ome noa de esa relación enre rapidez, elocidad y aceleración. Nuesro resulado indica que cuando la aceleración iene la misma dirección (el mismo signo algebraico) que la elocidad inicial, como en los ineralos a) y c), el asronaua se muee más rápidamene; cuando a med- iene la dirección opuesa (eso es, el signo conrario) que la elocidad inicial como en los ineralos b) y d), se frena. Por lo ano, la aceleración posiia significa ir más rápido si la elocidad es posiia [ineralo a)], pero ir más leno si la elocidad es negaia [ineralo d)]. Asimismo, la aceleración negaia implica ir más rápido si la elocidad es negaia [ineralo c)], pero ir más leno si la elocidad es posiia [ineralo b)]. Aceleración insanánea Ahora podemos definir la aceleración insanánea con el mismo procedimieno que seguimos para la elocidad insanánea. Como ejemplo, suponga que un piloo de carreras esá conduciendo en una reca como se ilusra en la figura Para definir la aceleración insanánea en el puno P 1, omamos el segundo puno P 2 en la figura 2.11 cada ez más cerca de P 1, de modo que la aceleración media se calcule en ineralos cada ez más coros. La aceleración insanánea es el límie de la aceleración media conforme el ineralo de iempo se acerca a cero. En el lenguaje del cálculo, la aceleración insanánea es la deriada de la elocidad con respeco al iempo. Así, a = lím S = d d (aceleración insanánea, moimieno recilíneo) (2.5) bsere que a en la ecuación (2.5) es realmene la componene de la aceleración o la aceleración insanánea; en el moimieno recilíneo, las demás componenes de ese ecor son cero. A parir de aquí, al hablar de aceleración nos referiremos siempre a la aceleración insanánea, no a la aceleración media Vehículo de Fórmula 1 en dos punos de la reca. Rapidez 1 elocidad 1 Rapidez 2 elocidad 2 P 1 P 2

10 44 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo Ejemplo 2.3 Aceleraciones media e insanánea Suponga que la elocidad del auomóil en la figura 2.11 en un insane esá dada por la ecuación = 6 m > s m > s a) Calcule el cambio de elocidad del auomóil en el ineralo enre 1 = 1. s y 2 = 3. s. b) Calcule la aceleración media en ese ineralo de iempo. c) benga la aceleración insanánea en 1 = 1. s omando primero como.1 s, después como.1 s y luego como.1 s. d) Deduzca una epresión para la aceleración insanánea como función del iempo y úsela para obener la aceleración en = 1. s y = 3. s. SLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Ese caso es similar al ejemplo 2.1 de la sección 2.2. (Recomendamos repasarlo ahora). En el ejemplo 2.1, calculamos la elocidad media a parir del cambio en la posición en ineralos cada ez más coros, y obuimos una epresión para la elocidad insanánea diferenciando la posición en función del iempo. En ese ejemplo, enemos eacamene lo mismo. Usaremos la ecuación (2.4) para obener la aceleración media a parir del cambio en la elocidad en un ineralo de iempo. Asimismo, usando la ecuación (2.5) obendremos una epresión para la aceleración insanánea diferenciando la elocidad en función del iempo. EJECUTAR: a) Anes de aplicar la ecuación (2.4), debemos obener la elocidad en cada insane a parir de la ecuación dada. En el insane 1 = 1. s, y en el 2 = 3. s, las elocidades son 1 = 6 m > s m > s s2 2 = 6.5 m > s 2 = 6 m > s m > s s2 2 = 64.5 m > s El cambio en la elocidad enre 1 = 1. s y 2 = 3. s es = 2-1 = 64.5 m > s m > s = 4. m > s b) La aceleración media durane ese ineralo de duración 2-1 = 2. s es Durane ese ineralo, la elocidad y la aceleración media ienen el mismo signo algebraico (posiio en ese caso) y el auo acelera. c) Cuando =.1 s, enemos 2 = 1.1 s. Procediendo como anes obenemos 2 = 6 m > s m > s s2 2 = 6.65 m > s =.15 m > s a med- = Repia ese parón para calcular a med- con =.1 s y =.1 s; los resulados son a med- = 1.5 m s 2 y a med- = 1.5 m s 2, respeciamene. Al reducirse, la aceleración media se acerca a 1. m s 2, por lo que concluimos que la aceleración insanánea en = 1. s es 1. m s 2. d) Por la ecuación (2.5) la aceleración insanánea es a = d d. La deriada de una consane es cero y la deriada de 2 es 2, por lo que Cuando = 1. s, Cuando = 3. s, =.15 m > s.1 s = 1.5 m > s 2 a = d = d d d 36 m > s m > s = 1.5 m > s = 11. m > s 3 2 a = 11. m > s s2 = 1. m > s 2 a = 11. m > s s2 = 3. m > s 2 EVALUAR: Ninguno de los alores que obuimos en el inciso d) es igual a la aceleración media obenida en b). Eso se debe a que la aceleración insanánea aría con el iempo. La asa de cambio de la aceleración con el iempo se suele denominar irón. a med- = = 4. m > s 2. s = 2. m > s 2 bención de la aceleración en una gráfica - o una gráfica - En la sección 2.2 inerpreamos las elocidades media e insanánea en érminos de la pendiene de una gráfica de posición conra iempo. Igualmene, podemos enender mejor las aceleraciones media e insanánea graficando la elocidad insanánea en el eje erical y el iempo en el eje horizonal, es decir, usando una gráfica - (figura 2.12). Los punos sobre la gráfica idenificados como p 1 y p 2 corresponden a los punos P 1 y P 2 de la figura La aceleración media a med- = durane ese ineralo es la pendiene de la línea p 1 p 2. Al acercarse P 2 a P 1 en la figura 2.11, p 2 se acerca a p 1 en la gráfica - de la figura 2.12, y la pendiene de la línea p 1 p 2 se acerca a la pendiene de la angene a la cura en el puno p 1. Así, en una gráfica de elocidad en función del iempo, la aceleración insanánea en cualquier puno es igual a la pendiene de la angene de la cura en ese puno. En la figura 2.12, las angenes razadas en diferenes punos en la cura ienen pendienes diferenes, de manera que la aceleración insanánea aría con el iempo.

11 2.3 Aceleración media e insanánea 45 Para un desplazamieno a lo largo del eje, la aceleración media de un objeo es igual a la pendiene de una línea que une los punos correspondienes en una gráfica de elocidad ( ) conra iempo () Gráfica - del moimieno en la figura p 1 1 Pendiene 5 aceleración media D p 2 2 D Pendiene de la angene a la cura - en un puno dado 5 aceleración insanánea en ese puno. CUIDAD Signos de la aceleración y de la elocidad Por sí mismo, el signo algebraico de la aceleración no nos indica si el cuerpo esá acelerando o frenando; hay que comparar los signos de la elocidad y la aceleración. Si y a ienen el mismo signo, el cuerpo esá acelerando; si ambas son posiias, el cuerpo se muee en la dirección posiia con rapidez creciene. Si ambas son negaias, el cuerpo se muee en la dirección negaia con elocidad cada ez más negaia, y la rapidez aumena. Si y a ienen signos opuesos, el cuerpo esá frenando. Si es posiia y a negaia, el cuerpo se muee en dirección posiia con rapidez decreciene; si es negaia y a posiia, el cuerpo se muee en dirección negaia con una elocidad cada ez menos negaia, y esá frenando. La abla 2.3 resume esas ideas y la figura 2.13 ilusra algunas de esas posibilidades. En ocasiones se usa el érmino desaceleración para referirse a una reducción de la rapidez. Como eso puede implicar una a posiia o negaia, dependiendo del signo de, eiaremos ese érmino. También podemos conocer la aceleración de un cuerpo a parir de una gráfica de su posición conra el iempo. Pueso que a = d d y = d d, escribimos a = d d = d d a d d b = d2 d 2? (2.6) Tabla 2.3 Reglas para el signo de la aceleración Si la elocidad es:... la aceleración es: Posiia y creciene Posiia: la parícula se (oliéndose más muee en la dirección + posiia) y acelera Posiia y decreciene Negaia: la parícula se (oliéndose menos muee en la dirección + posiia) y frena Negaia y creciene Posiia: la parícula se (se uele menos muee en la dirección - negaia) y frena Negaia y decreciene Negaia: la parícula se (se uele más negaia) muee en la dirección - y acelera Noa: Esas reglas se aplican ano a la aceleración a med- como a la aceleración insanánea a a) Gráfica - del moimieno de una parícula diferene de la que se muesra en la figura 2.8. La pendiene de la angene en cualquier puno es igual a la aceleración en ese puno. b) Diagrama de moimieno que indica la posición, elocidad y aceleración de la parícula en los insanes idenificados en la gráfica -. Las posiciones son congruenes con la gráfica -; por ejemplo, de A a B la elocidad es negaia, así que en B la parícula esá en un alor más negaio de que en A. a) La gráfica - para un objeo que se muee en el eje b) Posición, elocidad y aceleración del objeo en el eje A B Pendiene cero: a 5 C Cuano más pronunciada sea la pendiene (posiia o negaia) de la gráfica - de un objeo, mayor será la aceleración del objeo en la dirección posiia o negaia. D Pendiene posiia: a. E Pendiene negaia: a, A 5 B C D E a 5 a a 5 a a 5 El objeo esá en, y se muee en la dirección 2 (, ), frenando ( y a ienen signos opuesos). El objeo esá en,, insanáneamene en reposo ( 5 ), y a puno de moerse en la dirección 1 (a. ). El objeo esá en. y se muee en la dirección 1 (. ); su rapidez no cambia insanáneamene (a 5 ). El objeo esá en., insanáneamene en reposo ( 5 ), y a puno de moerse en la dirección 2 (a, ). El objeo esá en. y se muee en la dirección 2 (, ), acelerando ( y a ienen el mismo signo).

12 46 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo 2.14 a) La misma gráfica - de la figura 2.8a. La elocidad es igual a la pendiene de la gráfica, y la aceleración esá dada por su concaidad o curaura. b) Diagrama de moimieno que muesra la posición, elocidad y aceleración de la parícula en cada uno de los insanes idenificados en la gráfica -. a) Gráfica - b) Moimieno del objeo A Pendiene cero: 5 Curaura hacia abajo: a, B C D Pendiene negaia:, Curaura cero: a 5 Pendiene posiia:. Curaura cero: a 5 Pendiene posiia:. Curaura hacia arriba: a. Pendiene negaia:, Curaura hacia arriba: a. E Cuano mayor es la curaura (hacia arriba o hacia abajo) de una gráfica - de un objeo, mayor es la aceleración del objeo en la dirección posiia o negaia, respeciamene. A 5 B C D E a a 5 a a 5 a 5 El objeo esá en,, se muee en la dirección 1 (. ) y acelera ( y a ienen el mismo signo). El objeo esá en 5, se muee en la dirección 1 (. ); la rapidez no cambia insanáneamene (a 5 ). El objeo esá en., insanáneamene en reposo ( 5 ) y a puno de moerse en la dirección 2 (a, ). El objeo esá en., se muee en la dirección 2 (, ); la rapidez no cambia insanáneamene (a 5 ). El objeo esá en., se muee en la dirección 2 (, ) y frena ( y a ienen signos opuesos). Es decir, a es la segunda deriada de con respeco a. La segunda deriada de cualquier función se relaciona direcamene con la concaidad o curaura de la gráfica de la función (figura 2.14). En un puno donde la gráfica - sea cóncaa hacia arriba (curada hacia arriba), la aceleración es posiia y aumena; donde la gráfica - sea cóncaa hacia abajo, la aceleración es negaia y disminuye. Donde la gráfica - no enga curaura, como en un puno de infleión, la aceleración es cero y la elocidad es consane. Esas res posibilidades se ilusran en la figura Eaminar la curaura de una gráfica - es una manera sencilla de deerminar qué signo iene la aceleración. Esa écnica es menos úil para deerminar alores numéricos de la aceleración, ya que es difícil medir con eaciud la curaura de una gráfica Diagrama de moimieno para una parícula que se muee en línea reca en la dirección + con aceleración posiia consane a. Se muesran la posición, elocidad y aceleración en cinco insanes de igual duración. D 2D 3D 4D a a Si una parícula se muee en línea reca con aceleración consane a... a... la elocidad cambia por canidades iguales en ineralos iguales. Sin embargo, la posición cambia por canidades diferenes en ineralos iguales porque la elocidad cambia. a a Ealúe su comprensión de la sección 2.3 bsere ora ez la gráfica - de la figura 2.9 al final de la sección 2.2. a) En cuál de los punos P, Q, R y S la aceleración a es posiia? b) En cuáles es negaia? c) En cuáles parece ser cero? d) En cada puno, indique si la elocidad aumena, disminuye o se maniene consane. 2.4 Moimieno con aceleración consane El moimieno acelerado más sencillo es el recilíneo con aceleración consane. En ese caso, la elocidad cambia al mismo rimo a lo largo del moimieno. Como ejemplo, un cuerpo que cae iene aceleración consane si los efecos del aire no son imporanes. Lo mismo sucede con un cuerpo que se desliza por una pendiene o sobre una superficie horizonal áspera, o con un aión cuando es lanzado con caapula desde la cubiera de un poraaiones. La figura 2.15 es un diagrama de moimieno que muesra la posición, elocidad y aceleración de una parícula que se muee con aceleración consane. Las figuras 2.16 y 2.17 represenan ese moimieno con gráficas. Pueso que la aceleración es consane, la gráfica a - (aceleración conra iempo) de la figura 2.16 es una línea horizonal. La gráfica de elocidad conra iempo, -, iene pendiene consane porque la aceleración es consane; por lo ano, es una línea reca (figura 2.17).

13 2.4 Moimieno con aceleración consane 47 Cuando la aceleración a es consane, la aceleración media a med- para cualquier ineralo es a. Eso facilia la obención de las ecuaciones para la posición y la elocidad como funciones del iempo. Con la finalidad de enconrar una epresión para, primero susiuimos a med- por a en la ecuación (2.4): a = (2.7) 2.16 Gráfica aceleración-iempo (a -) para moimieno recilíneo con aceleración posiia consane a. a a Aceleración consane: la gráfica a - es una línea horizonal (pendiene 5 ). Sean ahora 1 = y 2 cualquier insane poserior. Simbolizamos con la elocidad en el insane inicial = ; la elocidad en el insane poserior es. Enonces, la ecuación (2.7) se coniere en = + a (solo con aceleración consane) (2.8) En la ecuación (2.8) el érmino a es el produco de la asa consane de cambio en la elocidad, a, y el ineralo de iempo ; por lo ano, es el cambio oal de la elocidad desde el insane inicial = hasa un insane poserior. La elocidad en cualquier insane es enonces la elocidad inicial (en = ) más el cambio en la elocidad a (éase la figura 2.17). La ecuación (2.8) ambién dice que el cambio de elocidad - de la parícula enre = y un iempo poserior es igual al área bajo la gráfica a - enre esos dos insanes. Se puede erificar eso en la figura 2.16: bajo la cura hay un recángulo con lado erical a y lado horizonal. El área del recángulo es a, que por la ecuación (2.8) es igual al cambio de elocidad -. En la sección 2.6 eremos que aun cuando la aceleración no sea consane, el cambio de elocidad durane un ineralo es igual al área bajo la cura a -, aunque en al caso la ecuación (2.8) no es álida. Ahora deduciremos una ecuación para la posición en función del iempo cuando la aceleración es consane. Para ello, usamos dos epresiones disinas para la elocidad media a med- en el ineralo de = a cualquier iempo poserior. La primera proiene de la definición de med-, ecuación (2.2), que se cumple independienemene de que la aceleración sea consane o no. Llamamos a la posición en el iempo = posición inicial, y la denoamos con. La posición en el iempo poserior es simplemene. Así, para el ineralo = -, el desplazamieno es = - ; la ecuación (2.2) da (2.9) También podemos obener ora epresión para med- que es álida solo si la aceleración es consane, de modo que la elocidad cambia a rimo consane. En ese caso, la elocidad media para el ineralo de a es simplemene el promedio de las elocidades al principio y al final del ineralo: med- = + 2 a = - - med- = - o (solo con aceleración consane) (2.1) El área bajo la gráfica a - es 2 5 cambio de elocidad del iempo al iempo Gráfica elocidad-iempo ( -) para moimieno recilíneo con aceleración posiia consane a. La elocidad inicial ambién es posiia en ese caso. Aceleración consane: la gráfica - es una reca. Pendiene 5 aceleración Durane el ineralo, la elocidad cambia como 2 5 a. El área oal bajo la gráfica - es 2 5 cambio en la coordenada del iempo al iempo. a PhET: Forces in 1 Dimension AciPhysics 1.1: Analyzing Moion Using Diagrams AciPhysics 1.2: Analyzing Moion Using Graphs AciPhysics 1.3: Predicing Moion from Graphs AciPhysics 1.4: Predicing Moion from Equaions AciPhysics 1.5: Problem-Soling Sraegies for Kinemaics AciPhysics 1.6: Skier Races Downhill (Esa ecuación no se cumple si la aceleración aría durane el ineralo). También sabemos que, con aceleración consane, la elocidad en un insane esá dada por la ecuación (2.8). Susiuyendo esa epresión por en la ecuación (2.1), obenemos med- = a 2 = a (solo con aceleración consane) (2.11)

14 48 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo Aplicación Pruebas con humanos a grandes aceleraciones En algunos eperimenos lleados a cabo por la fuerza aérea esadounidense, enre las décadas de 194 y 195, se demosró que los humanos que conducían un cohee podían resisir aceleraciones an grandes como 44 m s 2. Las primeras res foografías de esa secuencia muesran al médico de la fuerza aérea John Sapp acelerando del reposo a 188 m s (678 km h = 421 mi h) en solo 5 s. Las foografías 4 a 6 muesran inclusie una magniud más grande de aceleración conforme el cohee frenaba para deenerse. Por úlimo, igualamos las ecuaciones (2.9) y (2.11) y simplificamos: = a a = - o (solo con aceleración consane) (2.12) Esa ecuación (2.12) indica que: si en el insane =, una parícula esá en y iene elocidad, su nuea posición en cualquier iempo poserior es la suma de res érminos: su posición inicial, más la disancia que recorrería si su 1 elocidad fuera consane, y una disancia adicional a 2 2 causada por el cambio de elocidad. Una gráfica de la ecuación (2.12), es decir, una gráfica - para moimieno con aceleración consane (figura 2.18a), siempre es una parábola. La figura 2.18b muesra una gráfica como esa. La cura hace inersección con el eje erical () en, la posición en =. La pendiene de la angene en = es, la elocidad inicial, y la pendiene de la angene en cualquier iempo es la elocidad en ese insane. La pendiene y la elocidad aumenan coninuamene, así que la aceleración a es posiia; used ambién puede er eso porque la gráfica de la figura 2.18b es cóncaa hacia arriba (se cura hacia arriba). Si a es negaia, la gráfica - es una parábola cóncaa hacia abajo (iene curaura hacia abajo). Si hay aceleración cero, la gráfica - es una reca; si hay una aceleración consane, el érmino adicional a 2 2 en la ecuación (2.12) para en función de cura 1 la gráfica en una parábola (figura 2.19a). Podemos analizar la gráfica - de la misma forma. Si hay aceleración cero, esa gráfica es una línea horizonal (la elocidad es consane); agregando una aceleración consane da una pendiene para la gráfica - (figura 2.19b) a) Moimieno recilíneo con aceleración consane. b) Gráfica de posición conra iempo (-) para ese moimieno (el mismo que se ilusra en las figuras 2.15, 2.16 y 2.17). En ese caso, la posición inicial, la elocidad inicial y la aceleración a son odas posiias. a) Un auo de carreras se muee en la dirección con aceleración consane 5 1 a Durane el ineralo, la elocidad cambia como 2 5 a. b) La gráfica - Pendiene 5 Aceleración consane: la gráfica - es una parábola. Pendiene Cómo una aceleración consane influye en a) la gráfica - y b) la gráfica - de un cuerpo. a) Gráfica - para un objeo que se muee con aceleración consane posiia La gráfica con aceleración consane: a 2 2 b) La gráfica - para el mismo objeo La gráfica con aceleración consane: 5 1 a El efeco de la aceleración: 1 a 2 2 La gráfica que obendríamos con aceleración cero: 5 1 La elocidad agregada debido a la aceleración: a La gráfica con aceleración cero: 5

15 2.4 Moimieno con aceleración consane 49 Así como el cambio de elocidad de la parícula es igual al área bajo la gráfica a -, el desplazamieno (es decir, el cambio de posición) es igual al área bajo la gráfica -. Específicamene, el desplazamieno - de la parícula enre = y cualquier insane poserior es igual al área bajo la gráfica - enre esos dos insanes. En la figura 2.17 el área bajo la gráfica se diidió en un recángulo oscuro (con lado erical, lado horizonal y área ) y un riángulo recángulo claro (con lado erical a 1 y lado horizonal y área 2 (a )() = 1 2 a 2 ). El área oal bajo la gráfica - es - = a 2 PhET: The Moing Man AciPhysics 1.8: Sea Bels Sae Lies AciPhysics 1.9: Screeching o a Hal AciPhysics 1.11: Car Sars, Then Sops AciPhysics 1.12: Soling Two-Vehicle Problems AciPhysics 1.13: Car Caches Truck AciPhysics 1.14: Aoiding a Rear-End Collision lo que es congruene con la ecuación (2.12). El desplazamieno durane un ineralo siempre puede obenerse del área bajo la cura -, incluso si la aceleración no es consane, aunque en al caso la ecuación (2.12) no sería álida. (Demosraremos eso en la sección 2.6). A menudo es úil ener una relación para la posición, la elocidad y la aceleración (consane) que no inolucre el iempo. Para lograr eso, primero despejamos de la ecuación (2.8) y luego susiuimos la epresión resulane en la ecuación (2.12): = - a = + a - a Transferimos el érmino al lado izquierdo y muliplicamos la ecuación por 2a : 2a 1-2 = Finalmene, simplificando nos da b a a - 2 b a 2 = 2 + 2a 1-2 (solo aceleración consane) (2.13) Podemos obener una relación más úil igualando las dos epresiones para med-, ecuaciones (2.9) y (2.1), y muliplicando por. Al hacerlo, obenemos - = a + b 2 (solo aceleración consane) (2.14) bsere que la ecuación (2.14) no incluye la aceleración a. Esa ecuación es úil cuando a es consane pero se desconoce su alor. Las ecuaciones (2.8), (2.12), (2.13) y (2.14) son las ecuaciones del moimieno con aceleración consane (abla 2.4). Con ellas, podemos resoler cualquier problema que implique moimieno recilíneo de una parícula con aceleración consane. En el caso específico de moimieno con aceleración consane ilusrado en la figura 2.15 y graficado en las figuras 2.16, 2.17 y 2.18, los alores de, y a son posiios. Vuela a dibujar las figuras para los casos en que una, dos o las res canidades sean negaias. Tabla 2.4 Ecuaciones de moimieno con aceleración consane Ecuación = + a = a 2 - = a + b 2 (2.8) (2.12) Canidades que incluye 2 = 2 + 2a 1-2 (2.13) (2.14) a a a

16 5 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo Esraegia para resoler problemas 2.1 Moimieno con aceleración consane IDENTIFICAR los concepos releanes: En casi odos los problemas de moimieno recilíneo, used podrá usar las ecuaciones de aceleración consane (2.8), (2.12), (2.13) y (2.14). Si used encuenra una siuación en que la aceleración no es consane, necesiará ora esraegia (éase la sección 2.6). PLANTEAR el problema siguiendo esos pasos: 1. Lea el problema cuidadosamene. Elabore un diagrama de moimieno que muesre la localización de la parícula en los iempos que nos ineresan. Deermine dónde colocar el origen de las coordenadas y cuál dirección del eje es posiia. A menudo lo más sencillo es colocar la parícula en el origen en = ; así, =. Recuerde que elegir la dirección posiia del eje deermina auomáicamene las direcciones posiias de la elocidad y la aceleración. Si es posiia a la derecha del origen, y a ambién serán posiias hacia la derecha. 2. Idenifique las canidades físicas (iempos, posiciones, elocidades y aceleraciones) que aparecen en las ecuaciones (2.8), (2.12), (2.13) y (2.14) y asígneles los símbolos adecuados:,,, y a, o símbolos relacionados con ellos. Traduzca las palabras al lenguaje de la física: Cuándo llega la parícula al puno más alo? significa Cuál es el alor de cuando iene su máimo alor?. En el ejemplo 2.4 que sigue, la preguna Dónde esá el moociclisa cuando su elocidad es de 25 m s? significa Cuáno ale cuando = 25 m s?. Manéngase alera con la información implícia. Por ejemplo, un auomóil esá deenido ane un semáforo implica =. 3. Haga una lisa de las canidades como,,,, a y. Algunas serán conocidas y oras no. Escriba los alores de las conocidas e idenifique cuáles de las ariables son las incógnias. Tome noa de la ausencia de cualquiera de las canidades que aparecen en las cuaro ecuaciones de aceleración consane. 4. Use la abla 2.4 para idenificar las ecuaciones aplicables. (Esas son con frecuencia las ecuaciones que no incluyen las canidades falanes que idenificó en el paso 3). Normalmene enconrará una ecuación única que solo coniene una de las incógnias. Algunas eces debe idenificar dos ecuaciones que conengan el mismo par de incógnias. 5. Elabore gráficas que correspondan a las ecuaciones aplicables. La gráfica - de la ecuación (2.8) es una línea reca con pendiene igual a a. La gráfica - de la ecuación (2.12) es una parábola cóncaa hacia arriba si a es posiia y cóncaa hacia abajo si es negaia. 6. Con base en su eperiencia con esos problemas y omando en cuena lo que le dicen las gráficas, haga predicciones cualiaias y cuaniaias acerca de la solución. EJECUTAR la solución: Si se aplica una sola ecuación, despeje la incógnia usando solo símbolos, susiuya los alores conocidos y calcule el alor de la incógnia. Si used iene dos ecuaciones con dos incógnias, resuélalas simuláneamene para enconrarlas. EVALUAR la respuesa: Eamine sus resulados para er si son lógicos. Esán denro del ineralo general de alores esperados? Ejemplo 2.4 Cálculos con aceleración consane Un moociclisa que iaja al ese cruza una pequeña ciudad y iaja con aceleración consane de 4. m s 2 después de pasar los límies de la ciudad (figura 2.2). En el iempo =, esá a 5. m al ese del lerero de límie de la ciudad, y se desplaza al ese a 15 m s. a) Calcule su posición y elocidad en = 2. s. b) Dónde esá el moociclisa cuando su elocidad es de 25 m s? SLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: La aceleración es consane, así que podemos usar las ecuaciones para aceleración consane. Tomamos el lerero como origen de coordenadas ( = ) y deerminamos que el eje + apuna al ese (éase la figura 2.2, que ambién es un diagrama de moimieno). Las ariables conocidas son la posición inicial y la elocidad, = 5. m y = 15 m s, y la aceleración a = 4. m s 2. Las ariables desconocidas en el inciso a) son los alores de la posición y la elocidad en el insane = 2. s; la incógnia en el inciso b) es el alor de cuando = 25 m s. EJECUTAR: a) Como conocemos los alores de, y a, la abla 2.4 nos dice que podemos obener ano la posición en = 2. s, usando 2.2 Un moociclisa que iaja con aceleración consane. la ecuación (2.12), como la elocidad, en ese insane, con la ecuación (2.8): = a 2 = 5. m m > s212. s m > s s2 2 = 43 m = + a = 15 m > s m > s s2 = 23 m > s b) Queremos enconrar el alor de cuando = 25 m s, pero no conocemos el momeno en que el moociclisa llea al elocidad. La abla 2.4 nos dice que debemos uilizar la ecuación (2.13), que incluye, y a, pero no incluye a : 2 = 2 + 2a 1-2 Despejando y susiuyendo los alores conocidos, obenemos = a = 5. m m > s m > s m > s 2 = 55 m 2 SAGE AW 5 5. m m / s a 5 4. m / s AW 5? 5 2. s 5? (ese) EVALUAR: Used puede erificar el resulado del inciso b) usando primero la ecuación (2.8), = + a, para deerminar el iempo en el cual = 25 m s, que resula ser = 2.5 s. Luego used puede 1 usar la ecuación (2.12), = + + a 2 2, para obener. Used debe obener = 55 m, la misma respuesa de arriba. Ese es el camino largo para resoler el problema. El méodo usado en el inciso b) es mucho más eficiene.

17 2.4 Moimieno con aceleración consane 51 Ejemplo 2.5 Dos cuerpos con diferene aceleración Una persona conduce su ehículo con rapidez consane de 15 m s (aproimadamene 34 mi h) y pasa por un cruce escolar, donde el límie de elocidad es de 1 m/s (aproimadamene 22 mi h). En ese preciso momeno, un oficial de policía en su moociclea, que esá deenido en el cruce, arranca para perseguir al infracor, con aceleración consane de 3. m s 2 (figura 2.21a). a) Cuáno iempo pasa anes de que el oficial de policía alcance al infracor? b) A qué rapidez a el policía en ese insane? c) Qué disancia oal habrá recorrido cada ehículo hasa ahí? SLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: El oficial de policía y el conducor se desplazan con aceleración consane (cero en el caso del conducor), así que podemos usar las fórmulas de aceleración consane. Tomamos como origen el cruce, así que para ambos, y consideramos la derecha como dirección posiia. Sea P la posición del policía y M la del conducor en cualquier insane. Las elocidades iniciales son P y M 15 m s; las respecias aceleraciones son a P 3. m s 2 y a M. Nuesra incógnia en el inciso a) es el iempo ras el cual el policía alcanza al conducor, es decir, cuando los dos ehículos esán en la misma posición. La abla 2.4 nos dice que la ecuación (2.12) es la adecuada para ese inciso. En el inciso b) nos ineresa la rapidez del policía (la magniud de su elocidad) en el iempo obenido en el inciso a). Uilizaremos la ecuación (2.8) para ese inciso. En el inciso c) usaremos nueamene la ecuación (2.12) para obener la posición de cualquiera de los ehículos en ese iempo. La figura 2.21b ilusra la gráfica - de ambos ehículos. La línea reca represena el moimieno del conducor, M M M M. La gráfica del moimieno del oficial es la miad derecha de una parábola cóncaa hacia arriba: P P P 1 2 a P a P 2 Un buen diagrama mosrará que el oficial y el conducor esán en la misma posición ( P M ) en un iempo 1 s, aproimadamene, insane en el que los dos han iajado 15 m a parir del cruce. EJECUTAR: a) Para buscar el alor del iempo cuando el conducor y el policía esán en la misma posición, esablecemos que P M igualando las epresiones aneriores y despejando : Hay dos insanes en que los ehículos ienen la misma coordenada, como lo indica la figura 2.21b. En, el conducor rebasa al oficial; en 1 s, el oficial alcanza al conducor. b) Queremos conocer la magniud de la elocidad del policía P en el insane obenido en a). Susiuyendo los alores de P y a P en la ecuación (2.8) juno con 1 s del inciso a), obenemos: P P a P 3. m s 2 1 s 3 m s La rapidez del policía es el alor absoluo de eso, la cual ambién es igual a 3 m s. c) En 1 s, la disancia recorrida por el conducor es M M 15 m s 1 s 15 m y la disancia que el policía recorre es P 1 2 a P m s 2 1 s 2 15 m Eso comprueba que cuando el policía alcanza al conducor, ambos han recorrido la misma disancia. EVALUAR: Los resulados de los incisos a) y c) concuerdan con las esimaciones del diagrama. bsere que en el insane en que el oficial alcanza al conducor, los dos ehículos no ienen la misma elocidad. En ese momeno el conducor se desplaza a 15 m s y el oficial se desplaza a 3 m s. Se puede er eso en la figura 2.21b. Donde las dos curas - se cruzan, sus pendienes (iguales a los alores de para los dos ehículos) son diferenes. Es solo una coincidencia que cuando los dos ehículos esán en la misma posición, el oficial a al doble de la rapidez del conducor? La ecuación (2.14), [( ) 2], da la respuesa. El conducor iene elocidad consane, por lo que M M, y la disancia que iaja el conducor en el iempo es M. El oficial iene elocidad inicial cero, de modo que en el mismo insane el oficial 1 una disancia 2 P. los dos e ículos la misma disancia en el mismo iempo, los dos alores de ser iguales. esa forma, cuando el o cial alcanza al conducor M 1 2 P y P 2 M, es decir, el o cial llea e elocidad del conducor. e eso es así independienemene del alor de la aceleración del o cial. M 1 2 a P 2 o 2 M a P 2 15 m s 3. m s 2 1 s 2.21 a) Cuerpo en moimieno con aceleració imieno con elocidad consane. b) ca de conra para cada e ículo. a) b) 16 (m) El policía y el conducor se encuenran en el insane donde se cruzan sus gráficas -. CRUCE ESCLAR ficial de policía: inicialmene en reposo, aceleración consane. P a P 3. m/s 2 Conducor: elocidad consane. M M 15 m/s 12 Conducor 8 4 Policía (s)

18 52 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo Ealúe su comprensión de la sección 2.4 Se muesran cuaro posibles gráficas - para los dos ehículos del ejemplo 2.5. Cuál es la gráfica correca? a) b) c) d) Conducor Policía (s) 1 Conducor Policía (s) 1 Conducor Policía (s) 1 Conducor Policía (s) Cuerpos en caída libre 2.22 Foografía con múliples desellos de una peloa en caída libre. PhET: Lunar Lander AciPhysics 1.7: Balloonis Drops Lemonade AciPhysics 1.1: Pole-Vauler Lands El ejemplo más conocido de moimieno con aceleración (casi) consane es la caída de un cuerpo bajo la influencia de la aracción graiacional de la Tierra. Dicho moimieno ha ineresado a filósofos y cieníficos desde la Anigüedad. En el siglo IV a.c., Arisóeles pensaba (erróneamene) que los objeos pesados caían con mayor rapidez que los ligeros, en proporción a su peso. Diecinuee siglos después, Galileo (éase la sección 1.1) afirmó que los cuerpos caían con una aceleración consane e independiene de su peso. Los eperimenos indican que, si es posible omiir el efeco del aire, Galileo esá en lo ciero: odos los cuerpos en un lugar específico caen con la misma aceleración hacia abajo, independienemene de su amaño o peso. Si, además, la disancia de caída es pequeña en comparación con el radio erresre, y si ignoramos los pequeños efecos debidos a la roación de la Tierra, la aceleración es consane. El modelo idealizado que surge de ales supuesos se denomina caída libre, aunque ambién incluye el moimieno ascendene. (En el capíulo 3 ampliaremos el esudio de la caída libre para incluir el moimieno de proyeciles, los cuales se desplazan en forma ano horizonal como erical). La figura 2.22 es una foografía de una peloa que cae, omada con una lámpara esroboscópica que produce una serie de desellos inensos coros. En cada desello, se regisra una imagen foográfica de la peloa en ese insane. Como los ineralos enre desellos son iguales, la elocidad media de la peloa enre dos desellos es proporcional a la disancia enre las imágenes correspondienes en la foografía. El aumeno en las disancias enre las imágenes indica que la elocidad cambia coninuamene; la peloa acelera hacia abajo. Una medición cuidadosa reela que el cambio de elocidad es el mismo en cada ineralo, así que la aceleración de la peloa en caída libre es consane. La aceleración consane de un cuerpo en caída libre se llama aceleración debida a la graedad, y denoamos su magniud con la lera g. Por lo regular, usaremos el alor aproimado de g en la superficie erresre o cerca de ella: g = 9.8 m>s 2 = 98 cm>s 2 = 32 f>s 2 (alor aproimado cerca de la superficie erresre) El alor eaco aría según el lugar, así que normalmene daremos el alor de g en la superficie de la Tierra con solo dos cifras significaias. En la superficie de la Luna, la aceleración debida a la graedad es causada por la fuerza de aracción de la Luna, no de la Tierra, y g = 1.6 m s 2. Cerca de la superficie del Sol, g = 27 m s 2. CUIDAD g siempre es un número posiio Como g es la magniud de un ecor, siempre es un número posiio. Si used considera la dirección posiia hacia arriba, como lo hacemos en el ejemplo 2.6 y en la mayoría de las siuaciones que implican caída libre, la aceleración es negaia (hacia abajo) e igual a -g. Tenga cuidado con el signo de g, o endrá muchas dificulades con los problemas de caída libre. En los ejemplos que siguen usaremos las ecuaciones para aceleración consane que dedujimos en la sección 2.4. Sugerimos al lecor que repase las esraegias de resolución de problemas 2.1 de dicha sección anes de esudiar esos ejemplos.

19 2.5 Cuerpos en caída libre 53 Ejemplo 2.6 Moneda en caída libre Se deja caer una moneda de un euro desde la Torre Inclinada de Pisa; la moneda cae libremene a parir del reposo. Calcule su posición y elocidad después de 1. s, 2. s y 3. s? SLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Cae libremene significa cae con aceleración consane debida a la graedad, así que podemos usar las ecuaciones para aceleración consane. El lado derecho de la figura 2.23 muesra nuesro diagrama de moimieno para la moneda. El 2.23 Una moneda en caída libre a parir del reposo. La Torre Inclinada Diagrama del problema moimieo es erical, de manera que usamos un eje de coordenadas erical y llamaremos y a la coordenada en lugar de. Tomaremos el origen como el puno de parida y la dirección hacia arriba como posiia. La coordenada inicial y y la elocidad inicial y son ambas cero. La aceleración es hacia abajo, en la dirección negaia de y, así que a y =-g =-9.8 m s 2. (Recuerde que, por definición, g es posiia). Nuesras incógnias son los alores de y y y en los res insanes especificados. Para obenerlos, usamos las ecuaciones (2.12) y (2.8), susiuyendo por y. La elección de la dirección hacia arriba como posiia significa que odas las posiciones y elocidades que calculemos serán negaias. EJECUTAR: En un insane después de que se suela la moneda, su posición y su elocidad son y = y + y a y 2 = g2 2 = m > s y = y + a y = + 1-g2 = m > s 2 2 Cuando = 1. s, y = (-4.9 m s 2 )(1. s) 2 =-4.9 m y y = (-9.8 m s 2 )(1. s) = -9.8 m s; después de 1 s, la moneda esá 4.9 m debajo del origen (y es negaia) y iene una elocidad hacia abajo ( y es negaia) con magniud de 9.8 m s. Las posiciones y las elocidades a los 2. s y 3. s se obienen de la misma forma. Los resulados son y =-2 m y y =-2 m s en = 2. s, y y =-44 m y y =-29 m s en = 3. s. EVALUAR: Todas nuesras respuesas son negaias, como se esperaba. Si hubiéramos elegido el eje y posiio apunando hacia abajo, la aceleración habría sido a y =+g y odas nuesras respuesas habrían sido posiias. Ejemplo 2.7 Moimieno ascendene y descendene en caída libre Used lanza una peloa ericalmene hacia arriba desde el echo de un edificio alo. La peloa abandona la mano, en un puno a la alura del barandal de la azoea, con rapidez ascendene de 15. m s; después, la peloa esá en caída libre. Al bajar, la peloa apenas elude el barandal. benga a) la posición y elocidad de la peloa 1. s y 4. s después de solarla; b) la elocidad cuando la peloa esá 5. m sobre el barandal; c) la alura máima alcanzada; y d) la aceleración de la peloa en su alura máima. SLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Las palabras en caída libre significan que la aceleración es consane y debida a la graedad. Las incógnias son la posición [en los incisos a) y c)], la elocidad [en los incisos a) y b)] y la aceleración [en el inciso d)]. Tomamos el origen en el puno donde la peloa abandona su mano, y la dirección posiia hacia arriba (figura 2.24). La posición inicial y es cero, la elocidad inicial y es +15. m s y la aceleración es a y =-g =-9.8 m s 2. En el inciso a), al igual que en el ejemplo 2.6, usaremos las ecuaciones (2.12) y (2.8) para calcular la posición y la elocidad en función del iempo. En el inciso b), debemos obener la elocidad en ciera posición (no en ciero iempo), de modo que usaremos la ecuación (2.13). La figura 2.25 muesra las gráficas y- y y - de la peloa. La gráfica y- es una parábola cóncaa hacia abajo que sube y luego baja, y la gráfica y - es una línea reca con pendiene hacia abajo. bsere que la elocidad de la peloa es cero cuando se encuenra en su puno más alo. EJECUTAR: a) La posición y y la elocidad y en el insane esán dadas por las ecuaciones (2.12) y (2.8), susiuyendo las por y: y = y + y a y 2 = y + y g2 2 = m > s m > s y = y + a y = y + 1-g2 = 15. m > s m > s 2 2 Coninúa

20 54 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo Cuando = 1. s, esas ecuaciones dan y =+1.1 m y y =+5.2 m s. Es decir, la peloa esá 1.1 m sobre el origen (y es posiia) y se muee hacia arriba ( y es posiia) con rapidez de 5.2 m s, la cual es menor que la rapidez inicial porque la peloa frena mienras asciende. Cuando = 4. s, las ecuaciones dan y =-18.4 m y y =-24.2 m s. La peloa pasó su puno más alo y esá 18.4 m debajo del origen (pues y es negaia); iene moimieno hacia abajo ( y es negaia) de magniud 24.2 m s. Conforme baja, la peloa gana rapidez, la ecuación (2.13) nos dice que se muee a la rapidez inicial de 15. m s cuando pasa hacia abajo por su puno de lanzamieno y coninúa ganando rapidez conforme desciende por debajo de ese puno. b) La elocidad y en cualquier posición y esá dada por la ecuación (2.13) susiuyendo las por y: y 2 = y 2 + 2a y 1y - y 2 = y g21y - 2 = 115. m > s m > s 2 2y Con la peloa a 5. m sobre el origen, y =+5. m, así que y 2 = 115. m > s m > s m2 = 127 m 2 > s 2 y = 11.3 m > s benemos dos alores de y, porque la peloa pasa dos eces por el puno y =+5. m, una subiendo ( y posiia) y ora bajando ( y negaia) (éase las figuras 2.24 y 2.25a) Posición y elocidad de una peloa que se lanza ericalmene hacia arriba. La peloa en realidad se muee hacia arriba y después hacia abajo; por claridad, presenamos una rayecoria con forma de U s, y 5? 5?, y 5? 5, y m/s y 5 5? 5? y 5? 5 4. s y 5? y y 5? y 5? y 5 5. m y 5 y 5? a y 5 2g m/s 2 c) En el insane en que la peloa llega al puno más alo y 1,su elocidad momenáneamene es cero: y =. Usamos la ecuación (2.13) para obener y 1. Con y =, y = y a y =-g, obenemos: = 2 y g21y 1-2 y 1 = y 2 2g = 115. m 2 > s m > s 2 2 = m d) CUIDAD Una idea errónea acerca de la caída libre Es un error común pensar que en el puno más alo del moimieno en caída libre, donde la elocidad es cero, la aceleración ambién es cero. Si fuera así, una ez que la peloa alcanza el puno más alo, quedaría suspendida en el aire! Recuerde que la aceleración es la asa de cambio de la elocidad, y la elocidad esá cambiando coninuamene. En odos los punos, incluyendo el puno más alo, y para cualquier elocidad, incluyendo cero, la aceleración en caída libre siempre es a y =-g = -9.8 m s 2. EVALUAR: Una forma úil de erificar cualquier problema de caída libre consise en dibujar las gráficas y- y y - como lo hicimos en la figura bsere que esas son gráficas de las ecuaciones (2.12) y (2.8), respeciamene. Dados los alores numéricos de la posición inicial, elocidad inicial y aceleración, se pueden elaborar fácilmene esas gráficas usando una calculadora graficadora o un programa de maemáicas en línea a) Posición y b) elocidad en función del iempo para una peloa lanzada hacia arriba con una rapidez inicial de 15 m s. a) Gráfica y- (la curaura es hacia abajo porque a y 5 2g es negaia) Anes de s, la y (m) peloa se muee hacia arriba. y (m / s) Después de s, la 1 peloa se muee 5 5 hacia abajo. (s) b) Gráfica y - (reca con pendiene negaia porque a y 5 2g es consane y negaia) Anes de s, la elocidad es posiia. 2 (s) 3 4 Después de s, la elocidad es negaia. Ejemplo 2.8 Dos soluciones o una? Deermine el insane en que la peloa del ejemplo 2.7, después de ser liberada, esá 5. m por debajo del barandal? SLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Ese problema se raa como el ejemplo 2.7, así que y, y y a y =-gienen los mismos alores que en ese problema. Sin embargo, en ese ejemplo la incógnia es el insane en que la peloa se encuenra en y =-5. m. Lo mejor es usar la ecuación (2.12), la cual nos da la posición y como función del iempo : y = y + y a y 2 = y + y g2 2 Esa es una ecuación cuadráica en, que queremos despejar cuando y =-5. m.

21 2.6 Velocidad y posición por inegración 55 EJECUTAR: Replaneamos la ecuación de modo que enga la forma cuadráica esándar para una desconocida, A 2 + B + C = : g y 2 + 1y - y 2 = A 2 + B + C = Por comparación, idenificamos A = 2 g, B =- y y C = y - y. La fórmula cuadráica (éase el apéndice B) nos dice que esa ecuación iene dos soluciones. = -B 2B2-4AC 2A = -1- y2 21- y g21y - y g2 = y 2 2 y - 2g 1y - y 2 g Susiuyendo los alores y =, y =+15. m s, g = 9.8 m s 2 y y =-5. m, obenemos. = 115. m > s m > s m > s m m > s 2 Used puede confirmar que las respuesas numéricas son =+3.36 s y =-.3 s. La respuesa =-.3 s no iene senido, pueso que se 1 refiere al iempo anes de solar la peloa en =. Así que la respuesa correca es =+3.36 s. EVALUAR: Por qué obuimos una segunda solución ficicia? La eplicación es que las ecuaciones de aceleración consane, como la ecuación (2.12), se basan en el supueso de que la aceleración es consane para odos los alores de iempo, posiios, negaios o cero. De modo que la solución =-.3 s se refiere a un momeno imaginario cuando una peloa en caída libre esaba 5. m debajo del barandal y eleándose para alcanzar su mano. Como la peloa no salió de su mano y enró en caída libre hasa =, ese resulado es pura ficción. Repia esos cálculos para obener los iempos en que la peloa esá 5. m sobre el origen (y =+5. m). Las dos respuesas son =+.38 s y =+2.68 s; ambos son alores posiios de y se refieren al moimieno real de la peloa una ez solada. El primer insane es cuando la peloa pasa por y =+5. m de subida, y el segundo, cuando pasa por ahí de bajada. [Compare eso con el inciso b) del ejemplo 2.7 y nueamene remíase a la figura 2.25a)]. Deermine ambién los insanes en que y =+15. m. En ese caso, ambas soluciones requieren obener la raíz cuadrada de un número negaio, así que no hay soluciones reales. Nueamene la figura 2.25a indica por qué; en el inciso c) del ejemplo 2.7 imos que la alura máima de la peloa es y =+11.5 m, así que nunca llega a y =+15. m. Aunque una ecuación cuadráica como la (2.12) siempre iene dos soluciones, en ocasiones una o ambas soluciones no ienen senido físico. Ealúe su comprensión de la sección 2.5 Si used lanza una peloa hacia arriba con ciera rapidez inicial, esa cae libremene y alcanza una alura máima h en un insane después de que abandona su mano. a) Si used arroja la peloa hacia arriba con el doble de la rapidez inicial, qué nuea alura máima alcanzará la peloa? i. h 12 ; ii. 2h; iii. 4h; i. 8h;. 16h. b) Si used lanza la peloa hacia arriba con el doble de la rapidez inicial, cuáno iempo le omará alcanzar su nuea alura máima? i. 2; ii. > 12 ; iii. ; i. 12 ; Velocidad y posición por inegración Esa sección es para esudianes que ya aprendieron algo de cálculo inegral. En la sección 2.4 analizamos el caso especial de moimieno recilíneo con aceleración consane. Si a no es consane, como sucede comúnmene, no podremos aplicar las ecuaciones que dedujimos en esa sección (figura 2.26). Pero aun si a aría con el iempo, podemos usar la relación = d d para obener la elocidad en función del iempo si la posición es una función conocida de, y podemos usar a = d d para obener la aceleración a en función del iempo si es una función conocida de. Sin embargo, en muchas siuaciones no se conocen la posición ni la elocidad en función del iempo, pero sí la aceleración (figura 2.27). Cómo obenemos la posición y la elocidad en el moimieno recilíneo a parir de la función de aceleración a ()? Primero consideraremos un enfoque gráfico. La figura 2.28 es una gráfica de aceleración conra iempo para un cuerpo cuya aceleración no es consane. Podemos diidir el ineralo enre los iempos 1 y 2 en muchos ineralos más pequeños, llamando a uno represenaio. Sea a med- la aceleración media durane. Por la ecuación (2.4), el cambio de elocidad durane es 2.26 Cuando pisamos el pedal del acelerador de un auomóil, la aceleración resulane no es consane: cuano mayor sea la rapidez del auo, más lenamene adquirirá rapidez adicional. Un auomóil ordinario arda el doble en acelerar de 5 a 1 km h que en acelerar de a 5 km h. = a med- Gráficamene, es igual al área de la ira sombreada con alura a med- y anchura, es decir, el área bajo la cura enre los lados derecho e izquierdo de. El cambio oal de elocidad en cualquier ineralo (digamos, de 1 a 2 ) es la suma de los cambios de elocidad en los subineralos pequeños. De esa manera, el cambio oal de elocidad se represena gráficamene con el área oal bajo la cura a - enre las

22 56 CAPÍTUL 2 Moimieno recilíneo 2.27 El sisema de naegación inercial (INS, por las siglas de inerial naigaion sysem) a bordo de un aión comercial de largo alcance maniene bajo superisión la aceleración del aión. Los piloos inroducen la posición inicial y la elocidad anes del despegue, y el INS usa los daos de aceleración para calcular la posición y elocidad del aión durane el uelo. líneas ericales 1 y 2. (En la sección 2.4 demosramos que eso se cumplía para el caso especial en que la aceleración es consane). En el límie donde odos los se hacen muy pequeños y muy numerosos, el alor de a med- para el ineralo de cualquier a + se acerca a la aceleración insanánea a en el insane. En ese límie, el área bajo la cura a - es la inegral de a (que, en general, es una función de ) de 1 a 2. Si 1 es la elocidad del cuerpo en 1,y 2 es la elocidad en 2, enonces, = d = a d L L (2.15) El cambio en la elocidad es la inegral de la aceleración a con respeco al iempo. Podemos seguir eacamene el mismo procedimieno con la cura de la elocidad conra el iempo. Si 1 es la posición de un cuerpo en 1,y 2 es su posición en 2, por la ecuación (2.2) el desplazamieno en un ineralo pequeño es med-, donde med- es la elocidad media durane. El desplazamieno oal 2-1 durane 2-1 esá dado por = d = d L L (2.16) 2.28 Gráfica a - para un cuerpo cuya aceleración no es consane. a Área de esa franja 5 D 5 cambio en la elocidad durane el ineralo D. El cambio en la posición (es decir, el desplazamieno) es la inegral con respeco al iempo de la elocidad. Gráficamene, el desplazamieno enre 1 y 2 es el área bajo la cura - enre esos dos insanes. [Ese es el mismo resulado que obuimos en la sección 2.4 para el caso especial en que esá dada por la ecuación (2.8)]. Si 1 = y 2 es cualquier insane poserior, y si y son la posición y la elocidad en =, respeciamene, enonces rescribimos las ecuaciones (2.15) y (2.16) como: a med- = + a d L (2.17) 1 2 D El área oal bajo la gráfica - de 1 a 2 5 cambio neo en la elocidad de 1 a 2. = + d L (2.18) Aquí, y son la posición y la elocidad en el insane. Si conocemos la aceleración a en función del iempo y conocemos la elocidad inicial, podemos usar la ecuación (2.17) para obener la elocidad en cualquier insane; en oras palabras, es posible obener en función del iempo. Una ez conocida esa función, y dada la posición inicial, podemos usar la ecuación (2.18) para calcular la posición en cualquier insane. Ejemplo 2.9 Moimieno con aceleración ariable Sally conduce su Musang 1965 por una auopisa reca. En el insane =, cuando aanza a 1 m s en la dirección +, pasa un lerero que esá en = 5 m. Su aceleración en función del iempo es: a = 2. m > s m > s 3 2 a) benga su elocidad y su posición en función del iempo. b) En qué momeno es máima su elocidad? c) Cuál es esa elocidad máima? d) Dónde esá el auomóil cuando alcanza la elocidad máima? SLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: La aceleración es función del iempo, así que no podemos usar las fórmulas para aceleración consane de la sección 2.4. En ez de ello, uilizamos la ecuación (2.17) con la finalidad de obener una epresión para como función del iempo, y luego usamos ese resulado en la ecuación (2.18) para obener una epresión de como función de. Después, podremos conesar diersas pregunas acerca del moimieno.