Cálculo Vectorial Primer Examen Parcial (30%)

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Cálculo Vectorial Primer Examen Parcial (30%)"

Víctor Manuel Caballero Quintana
hace 6 años
Vistas:

iclo Básico Deparameno de Maemáica Aplicada ódigo: 54 Profesor: José Luis Quinero Sección Miércoles 4 de Mao de FAULTAD DE INGENIERÍA UNIERSIDAD ENTRAL DE ENEZUELA álculo ecorial Primer Examen

con f g h funciones diferenciables es irroacional El campo vecorial (xz) = (xz) puede ser el roacional de algún campo vecorial Sea f un campo escalar F un campo vecorial La expresión (grad f) (div F)

de una curva cua ecuación vecorial viene dada por r () = (cos() + sen()sen() cos()) Halle para el alambre su momeno de inercia polar ( punos) Sea una curva de ecuación vecorial r () ab F un campo

1 iclo Básico Deparameno de Maemáica Aplicada ódigo: 54 Profesor: José Luis Quinero Sección Miércoles 4 de Mao de FAULTAD DE INGENIERÍA UNIERSIDAD ENTRAL DE ENEZUELA álculo ecorial Primer Examen Parcial (%) PRIMERA PARTE: RESPUESTA OBJETIA ( punos) Insrucciones oloque al lado de cada proposición la lera o F según sea verdadera o falsa respecivamene El campo vecorial F(x z) = (f(x) g()h(z)) con f g h funciones diferenciables es irroacional El campo vecorial (xz) = (xz) puede ser el roacional de algún campo vecorial Sea f un campo escalar F un campo vecorial La expresión (grad f) (div F) iene senido 4 Sea f un campo escalar El resulado de la expresión div(roacional(grad f)) es un campo escalar 5 div(ro F ) = 6 Si r = r(x z) = (x z) r = r enonces r = Un alambre homogéneo iene la forma de una curva cua ecuación vecorial viene dada por r () = (cos() + sen()sen() cos()) Halle para el alambre su momeno de inercia polar ( punos) Sea una curva de ecuación vecorial r () ab F un campo vecorial al que F( r()) = r'() r '() = ab Demuesre que = ds ( punos) SEGUNDA PARTE: DESARROLLO (7 punos) Insrucciones onese jusificando cada uno de sus procedimienos a los siguienes planeamienos: La cerca meálica indicada en la figura iene por base la curva de ecuaciones paraméricas dadas por x = e cos() ; = e sen() se encuenra limiada superiormene por un echo que iene la forma de la superficie z = + x + alcule a La longiud de la curva ( punos) b El área de la cerca meálica ( punos) 4 onsidere el campo vecorial F(x z) = (x + a + z x + + bz x + z) a Halle los valores que deben omar los parámeros a b en R para que F sea conservaivo en odo R b Para los valores de a b enconrados deermine la familia de funciones poenciales de F calcule el rabajo mecánico realizado por el campo a lo largo 4 de la curva r () = ( ) ( puno + punos = 4 punos) 5 Sean la curva inersección de la esfera de ecuación x + + z = 4 el plano x + + z = el campo vecorial x F(xz) = x + z4 x z + + alcule donde es el arco orienado de dado por los punos (x z) con puno inicial dado por P ( ) (5 punos) Figura Gráfica de la preguna

2 PRIMERA PARTE: RESPUESTA OBJETIA ( punos) Insrucciones oloque al lado de cada proposición la lera o F según sea verdadera o falsa respecivamene El campo vecorial F (x z) = (f(x) g() h(z)) con f g h funciones diferenciables es irroacional El campo vecorial (x z) = (x z) puede ser el roacional de algún campo vecorial F Sea f un campo escalar F un campo vecorial La expresión (grad f) (div F) iene senido F 4 Sea f un campo escalar El resulado de la expresión div(roacional(grad f)) es un campo escalar 5 div(ro F ) = 6 Si r = r(xz) = (xz) r = r enonces r = F SEGUNDA PARTE: DESARROLLO (7 punos) Insrucciones onese jusificando cada uno de sus procedimienos a los siguienes planeamienos: La cerca meálica indicada en la figura iene por base la curva de ecuaciones paraméricas dadas por x = e cos() ; = e sen() se encuenra limiada superiormene por un echo que iene la forma de la superficie z = + x + Figura Gráfica de la preguna alcule a La longiud de la curva Paso álculo del vecor derivada r' () = (e cos() e sen()e cos() + e sen()) = e (cos() sen()cos() + sen()) Paso álculo de la norma del vecor derivada Paso álculo de la longiud de b El área de la cerca meálica r' () = e (cos() sen()) + (cos() + sen()) = e ds = r' () d = e d = (e ) Paso Dependencia de la superficie del parámero de inegración z = + x + = + e cos () + e sen () = + e ( punos) ( punos)

3 Paso álculo del área de la cerca 4 A = f(x )ds = f( r()) r' () d = ( + e )e d = (e + e )d = (e + e )d = (e + e ) = (e + e ) Un alambre homogéneo iene la forma de una curva cua ecuación vecorial viene dada por r() = (cos() + sen() sen() cos()) con Halle para el alambre su momeno de inercia polar Paso álculo del vecor derivada de su norma r' () = (cos()sen()) r' () = Paso álculo del momeno de inercia polar I = (x + )f(x)ds = k ((x()) + (()) ) r' () d = k ( + )d = k ( + )d = k + = k + = k ( + 4 ) 4 4 ( punos) Sea una curva de ecuación vecorial r() ab F( r()) = r '() r '() = ab Demuesre que F un campo vecorial al que = ds = r'() ds = ds b b b b a a a a ( punos) F d r = F( r()) r '()d = r'() r '()d = r'() d = r '() r'() d 4 onsidere el campo vecorial F(xz) = (x + a + z x + + bzx + z) a Halle los valores que deben omar los parámeros a b en R para que F sea conservaivo en odo R ro( F) = ( b a) = () a = b = ( puno) b Para los valores de a b enconrados deermine la familia de funciones poenciales de F calcule el rabajo mecánico realizado por el campo a lo largo de la curva dada por 4 r () = ( ) MÉTODO ALTERNATIO : F(xz) = f(xz) = (x + z x + zx + z) f x(xz) = x + z f (xz) = x + z f z(xz) = x + z ( punos)

4 f(x z) = (x + z)dx = x x + zx + g( z) f (x z) = x + g ( z) g ( z) = z g( z) = ( z)d g( z) = z + h(z) f(x z) = x x + zx + z + h(z) f (x z) = x + h'(z) x + z = x + h'(z) h'(z) = z h(z) = z + z x + z = x + g ( z) Familia de funciones poenciales de F: f(xz) = x x + zx + z + z + MÉTODO ALTERNATIO : F(xz) = f(xz) = (x + z x + zx + z) x z f(x z) = udu + ( x + u)du + (x + u)du x z = u + ( xu + u ) + (xu u + u = x x + + xz z + z + Familia de funciones poenciales de F: f(xz) = x x + zx + z + z + r () = ( ) r () = () W = f() f( ) = = 5 Sean la curva inersección de la esfera de ecuación el campo vecorial alcule x F(xz) = x + z4 x + + z x + + z = 4 el plano x + + z = donde es el arco orienado de dado por los punos (xz) con puno inicial dado por P ( ) (5 punos) Sean los vecores w = ( ) w = ( 4 ) Sean los vecores v v vecores perpendiculares consruidos a parir de los vecores w w como sigue: v = w = ( ) w v ( 4) ( ) v = w v = ( 4 ) ( ) = ( 4 ) ( ) = ( 4) v v ( ) ( ) Una paramerización de la curva inersección viene dada por r () = ( ) cos() + ( 4)sen() De modo que 4 = cos() + sen() sen() cos() + sen() 4 r' () = sen() + cos() cos() sen() + cos()

5 F( r()) = sen() 4 sen () cos() + sen() 9 4 omo el puno inicial es P ( ) se exige que enonces De modo que 4 sen() 4 sen () cos() + sen() sen() + cos() cos() sen() + cos() d 9 4 Resolviendo ( sen () + sen() cos() cos() + sen () cos() + cos()sen() + )d ( sen () + sen() cos() cos() + sen () cos() + )d sen ()d sen() cos()d cos()d sen () cos()d d 7 6 I I I I4 I 5 4 I = sen ()d = ( cos())d = I = sen() cos()d = 6 8 I = cos()d = I 4 = sen () cos()d = I 7 5 = d = En consecuencia: I = I + I + I + I + I = + =

Documentos relacionados

CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMETRICAS Y COORDENADAS POLARES 2.1 CURVAS PLANAS Y ECUACIONES PARAMETRICAS

CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMETRICAS Y COORDENADAS POLARES.1 CURVAS PLANAS Y ECUACIONES PARAMETRICAS Hasa ahora conocemos la represenación de una grafica mediane una ecuación con dos variables. En ese