+ V yy. = 0 Subíndices indican derivadas

Transcripción

1 1.9 ECUACIONES DIFERENCIALES (1.9_CvR_T_61, Revisión: 4-1-6, C11, C1, C13) INTRODUCCIÓN - Una ecuación diferencial es una ecuación que coniene derivadas o diferenciales. - Clasificación: Ordinarias (EDO) 1 variable independiene EDO d () + () = d ó + = (se puede ignorar el argumeno) Parciales (EDP) o más variable independienes V (, ) + V (, ) = o bien V + V = Subíndices indican derivadas parciales. Orden: una ED es de orden n si iene derivadas de orden n pero no de orden >n + 3 = orden = 1 = orden = "+ ( ) 3 = orden = Operadores lineales - Un operador L es lineal si L( α f () + βg() )= αlf () + βlg(), α, β números reales - Las derivadas son operadores lineales que mapean una función en ora dsen d = cos n d es lineal pues d n n d d n d " + = L = donde L + es lineal d "+ = = L En ese curso esudiaremos: es no-lineal ( α f () + β g() )= α d n f () + β d n g() d n d n EDO 1er. Orden lineales & no-lineales EDO orden >1 lineales. - Ecuaciones homogéneas/no-homogéneas L = homogénea + sen = L = f() no-homogénea + = 3 - Clases de funciones Clase C n : función coninua con n derivadas coninuas C o C : función coninua C : función con un número de derivadas 64

2 H(- ) 1 función disconinua (- ) H(- ) clase C : función coninua clase C 1 : (- ) H(- ) función coninua con derivada coninua clase C : sen, 3. Recordemos ambién que las funciones con odas sus derivadas admien series de Talor. - Solución de una ecuación diferencial: La solución de una ecuación diferencial es una relación enre las variables, la cual esá libre de derivadas saisface la ecuación diferencial. La solución general de una ecuación diferencial de orden n es una que iene n consanes arbirarias. Represena una familia de curvas con n parámeros. Una solución paricular iene valores asignados para las consanes. Una solución singular es una solución que no se puede obener a parir de la solución general especificando valores para las consanes arbirarias. = + C 1 + C es la solución general de = = + 3 es una solución paricular de = Para un operador lineal es común denominar solución paricular al caso en donde las consanes son iguales a cero, i.e. = para =. En ese caso a = C 1 + C se le llama solución complemenaria. La solución complea es enonces = c + p en donde L c =, L p = f(). Ejemplo: La solución general de = singular. ( ) es = C C, = 4 es una solución 65

3 - Problemas con condiciones iniciales (CI) o con condiciones de fronera (CF). Para una EDO de orden n se pueden especificar n condiciones que involucren a la función sus n-1 derivadas. Si las n condiciones especifican la función sus n-1 derivadas en un puno, enonces se iene un problema con condiciones iniciales (CI). Si las n condiciones se especifican en punos (fronera de dominio), se iene un problema con condiciones de fronera (CF). Noa: Eisencia unicidad se demuesran para el problema con CI (el problema con CF puede no ener una solución única). Ejemplos: [ ] =,1, con ()=, ()= 1 es un problema con CI. = [, 1], con ()=, (1)= en un problema con CF. - Para cada familia de curvas con n parámeros se puede generar una ecuación diferencial de orden n en donde no aparecen los parámeros. Ejemplo 1: = c 1 e + c Derivando = c1 e +c c = - c 1 e = c 1 e + ( - c1 e ) = c 1 e (1-) + Derivando de nuevo / = c 1 (e ( 1) + e (/ 1 )) + "+ / c1e / = / " c1 e = " = (1 ) + (1 )"+ = Ejemplo : = c c = c = -( ) 66

4 1.9.Hv1 Resumen EDO 1er orden Referencia M.R. Spiegel, Maemáicas avanzadas para Ingeniería & Ciencias, Serie McGraw-Hill. pgs. 5-5, Méico, 1. Ecuación diferencial 1.- Ecuación lineal d d + M () = N().- Separación de variables f 1 ()g 1 ()d + f 3.- Ecuación homogénea d d = F 4.- Ecuación eaca ()g ()d = P(, )d + Q(, )d = donde P = Q Solución general (o méodo con el cual se puede obener) Un facor de inegración esá dado por µ = e M() la ecuación se escribe enonces como d ( d µ )= µn con la solución µ = µnd + c o e Md Dividir enre g 1 e inegrar para obener ( )f ( ) ( ) () d = Ne Md d + c ( ) f 1 f d + g g 1 () d = c Sea = υ o = υ, la ecuación se vuelve υ + dυ d = F () υ o ( F( υ) v)d dυ = la cual es de ipo cua solución es dv ln = + c F() υ υ donde υ =. Si F( υ)= υ, la solución es = c. La ecuación se puede escribir como Pd + Qd = dφ(, )= donde dφ es una diferencial eaca. Por lo ano la solución es φ(, )= c o de manera equivalene P + Q P d = c donde indica que la inegración se debe realizar con respeco a con consane. 67

5 5.- Facor de inegración M(, )d + N(, )d = donde M N 6.- Ecuación Bernoulli d d + M () = N () n, n,1 7.- Ecuación de Clairau = p + F() p donde p = 8.- Ecuaciones varias (a) d d = F ( α + β ) (b) d d = F α + β + γ α + β + γ La ecuación se escribe como una ecuación diferencial eaca µ Md + µnd = donde µ es un facor de inegración apropiado de modo que ( µ M )= ( µn ) por lo ano el méodo es válido. Las siguienes combinaciones con frecuencia son úiles para deerminar los facores de inegración. (a) (b) (c) (d) (e) d d = d d dz = d d d = d an 1 + d d = 1 d ln + d + d = 1 + d ln + { ( )} Sea v = 1 n ; la ecuación se reduce al ipo 1 con la solución υd ( 1 n) Md = 1 n ( ) Ne 1 n ( ) Md d + c Si n =, la ecuación es de ipo 1. Si ipo (ó ipo 1 ambién). n = 1, es del La ecuación iene la solución: = c + F c ( ) La ecuación ambién endrá una solución singular en general. (a) Con α + β = υ, la ecuación se reduce al ipo. (b) Sea = u + h, = v + k elija las consanes h k de modo que la ecuación se reduzca al ipo 3. Eso es posible si sólo si α 1 α β 1 β. Si α 1 α = β 1 β, la ecuación se reduce al ipo 8(a). 68

6 1.9. MÉTODOS DE SOLUCIÓN PARA ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Ecuación lineal: + M() = N() = e Md Md ( c + Ne d) Ver Noas 1) Md c = ce es la solución complemenaria (caso homogéneo) Md Md ) = e Ne d es la solución paricular (caso no-homogéneo) p 3) Para cualquier EDO lineal (cualquier orden) se puede enconrar la solución complemenaria después la paricular. = c + p Separación de variables. = f (,) = g()h() d d = g( ) d = g d + c h h ( ) ( ) ( ) Ecuación homogénea de grado cero. m Definición: Una función f(,) es homogénea de grado m si f ( λ, λ) = λ f (, ) Ejemplos: + sen ( ) f(, ) = es homogénea de grado. + f (, ) = es homogénea de grado. f (, ) = + no es homogénea. Si =f(,), si f(,) es homogénea grado, enonces: Homogénea grado f (λ,λ) = f (,) 1 Haciendo: λ = f (, ) = f 1,, podemos obener f (, ) = F Consideramos el cambio de variable v =, o bien = v =v +v dv d v +v=f(v) = F( v) v Con eso, la ecuación ransformada es separable enonces dv = F(v) v d + c 69

7 Diferenciales eacos. P(,)d + Q(,) d = (*) Si P = Q P(,)d + Q(,)d = dφ = φ=c Nóese que si φ = φ (,) dφ = φ d + φ d φ = P, φ = Q φ = P + f( ) Q= φ = P + f ( ) Inegramos con respeco a, despejamos para f () e inegramos Facores de inegración. Si P muliplicamos (*) por µ Q µ Pd + µ Qd = buscamos diferenciales eacos. (µp) = µp + µ P = (µq) = µq + µ Q (i) Supongamos que µ µ ( ) µ = = ( P Q) µ = µ = f( ) Q P Q Si = f( ) enonces muesra suposición es congruene Q por ano podemos enconrar µ la ecuación es un diferencial eaco µ P Q = µ Q P Q P Q Ln µ = d µ ( ) = e Q (ii) Supongamos que µ µ ( ) µ = = P Q µ = µ = f( ) P P Q Si es función de µ() = e P Q d P P Ejemplo: Consideremos la ecuación lineal en su forma general + M() = N() (M() N())d + d = P = M() N() Q = 1 P = M() Q = Q d 7

8 Sólo cuando M() el diferencial es eaco (en ese caso = N( ), = N( ) d). Si M() P Q P Q P Q buscamos que = f ( ) o = f ( ) Q P P Q M () = si es función de Q 1 Md µ ( ) = e es el facor de inegración Md Md e ( M N) d+ e d = es un diferencial eaco. φ Md Md φ = e φ = e + φ f () φ = e Md M + f () = e Md ( M N) f () = Ne Md Md φ = e Ne Md f () = d = c Ne Md d = e Md = c + p c + Ne Md d 71

9 1.9.3 EJEMPLOS DE PRIMER ORDEN. kln Ejemplo 1. = ecuación de variables separables d Ln k = d, inegrando ambos lados: d d k = Ln = k Ln c (Ln ) c + = + ( Ln ) De k = Ejemplo. = función homogénea de grado Cambio de variable: = v = v+ v v + v = v/ / v/ / v = = v 1 v v 1 v v = v 1 v + v = v 4v +1 v v d v Tenemos ahora una ecuación de variables separables: = dv v 4v+ 1 Cambio de variable: u = v 4v+ 1, du = (v 4) dv= ( v ) dv 1 1 Ln( u) = Ln( v 4v+ 1) = Ln + C Aplicando propiedades de logarimos: Ln ( v 4v+ 1) = C ( v 4v+ 1) = D= D = elipses = 4 ± 16 4( D) = ± 3 + E Se iene que verificar cual de las raíces cumple con la ecuación diferencial; en ese caso ambas raíces. 3 Ejemplo 3. =, (1) = ( + + 4) d = ( 3) d = 3 + c = c c = 1 + = = u du 7

10 d Ejemplo 4. 3d + d =, 3d + = 3 3 ln C, e + C + = =, e = 3 De Ejemplo 5. ( ) 1, d + d = P = Q = e Para enconrar el facor de inegración: e P =, Q = 1 P Q = 1 = f( ) µ = µ (1), µ = e P e d + ( 1) d = es un diferencial eaco. φ = e φ = e + f( ), φ = e + f ( ) = e 1, f ( ) = 1, f( ) = e = c 73

11 1.9.4 SOLUCIONES SINGULARES. Si en una familia de curvas que sea solución de una ED eise una envolvene, enonces ésa es una solución singular para la ED. Ejemplo: Familia de soluciones Familia de soluciones No ha solución singular envolvene solución singular Sea φ(,,c) = la solución general, enonces podemos enconrar la solución singular uilizando las coordenadas del puno de inersección enre dos curvas adacenes, i.e.: c c+ c φ(,, c) = φ(,, c + c) = φ(,, c + c) φ(,, c) c = Solución singular: φ(,,c) = φ c (,,c) = Supongamos que: =c-c φ(,,c) = c + c =, φ c (,, c) = + c = = c, c = + 4 = 4 = = 4 (Solución singular) = 4 74

12 1.9.5 ECUACIONES ESPECIALES. Ecuación de Ricai: = a 1 () + a () + a 3 () (*) Si Y() es una solución paricular de (*), enonces la ransformación v = 1 Y una ecuación lineal. = Y + 1 v, = Y v v Susiuendo en (*): Y v v = a + a Y v + a Y + Y 3 v + 1 v v a 1 Y Y a1 ay ay 3 a 3 + = v v v v resula en Muliplicando por v obenemos la ecuación lineal: v + ( a + a 3 Y )v = a 3 Oras ecuaciones especiales de inerés: Bernoulli: + M() = N() n problema d Alamber-Lagrange: = f (p) + g(p) p (se eliminó de la area) Clairau: = p + g( p) problema Cuasi-homogénea: d a + b + c = d d + e + f T = u + h = v + k (méodo 8b) = f (α + β + c) problema CONVERSIÓN DE UNA ECUACIÓN DE ORDEN n A UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN. Una ecuación de orden n se puede converir a un sisema de primer orden con n componenes cuando se define la función sus n-1 derivadas como los n componenes. Ejemplo 1. += Para consruir el sisema definimos: 1 = 1 Nóese que: "+ = + 1 =, o equivalenemene: 1 = = f() 1 75

13 Ejemplo. + + sen = cos, con condiciones: () = 1, () =, () = 1 Definimos:, =, = =, = () 1 =, () () = sen1 cos 3() 1 + = f(, ), () = c Para que un sisema sea auónomo no debe eisir dependencia eplícia de la variable d independiene; en ese caso podemos definir 4 con 4 = = 1, () =. De esa d forma el sisema se conviere en: () 1 = f(, ),, () () = c () = 3 = = 3() sen1+ cos 4 4() EXISTENCIA Y UNICIDAD PARA EL PROBLEMA CON VALOR INICIAL DE UNA ECUACIÓN (O SISTEMA AUTÓNOMO) DE 1ER. ORDEN: SOLUCIONES ANALÍTICAS APROXIMADAS Eisencia unicidad. Definición. F() cumple con la condición Lipschiz en [, 1 ] si C F( 1) F( ) C 1 1 [, 1 ] (1) Noas: 1) Si F () C F cumple con (1) ) (1) represena un caso más general inclue F() = Teorema 1. Eisencia unicidad para EDO de 1er Orden. Considerando = f (,) (a) = b () Supongamos que (i) f (,) C (D) f (, ) M en D (3) (4) 76

14 (ii) f cumple con la condición Lipschiz en f (, 1 ) f (, ) C 1 C C() (5) para la pare sombreada del recángulo a h b k Mh < k (6) Enonces, la solución eise es única. b+k D b Demosración: () () = b + a f (ξ, (ξ))dξ Consruimos aproimaciones b-k a-h a a+h (7) () = b n () = b + f ( ξ, n 1 (ξ))dξ n = 1,,.. a (8) demosramos que n cuando n. Consideremos s() = () + [ 1 () ()]+ [ () 1 ()]+... (9) Nóese que sn ( ) = n ( ) Ahora bien 1 () () = f ( ξ, (ξ))dξ M a Mh a () 1 () = { f ( ξ, 1 (ξ)) f ( ξ, (ξ))}dξ a C 1 (ξ) (ξ) dξ CM ξ a dξ a a CM a M Ch n () n 1 () M C n 1 h n (1) n! s() esá dominada por la convergencia de s() b + Mh + M Ch! M C n 1 h n +... n! la serie converge uniformemene n n 77

15 Si converge uniformemene para cada ε > N(ε) n () ε C n > N Pueso que f(, n ()) f(,() ) C n () () < Cε C = ε para n > N en a h f(, n ()) f(,() ) uniformemene () = lim n n () = b + lim n a = b + lim a n f ( ξ, n 1 (ξ))dξ f ( ξ, n 1 (ξ))dξ = b + f ( ξ, (ξ) )dξ z...(11) Además f ( ξ, ( ξ) ) es una función coninua de ξ () = f (, ) Nóese que () b = a f ( ξ, (ξ) )dξ M a < k h a () b < k pare sombreada del recángulo Finalmene, se puede ver que la solución es única pues si = Y() es ora solución enemos que Y() () k (1) Y () () = { f ( ξ,y (ξ)) f ( ξ, (ξ) )}dξ a CY(ξ) (ξ) dξ a (13) Y() () kc a (14) Si uilizamos el nuevo acoamieno (14) en (13) a Y() () kc (15) repeimos Y() () k C a n k (Ch)n n! n! (16) pero (Ch)n cuando n! la solución es única. n Y() = () Teorema.- sea D un enorno de c en n dimensiones c k (17) Suponemos que (i) f () C (D) (18) M f() < M (19) 78

16 (1) f cumple con la condición Lipschiz, eso es f( ) f( 1 ) C 1 () Si Mh<k El sisema (auónomo) n-dimensional = f( ) () = c iene una solución única en D para h Eso es () = lim () donde j () = c j () = c + f( j 1 (τ ))dτ j = 1,,... j (1) () Noas: Esas demosraciones son consrucivas (8) () se pueden uilizar para obener aproimaciones a las soluciones eacas Soluciones aproimadas. Ejemplo 1. = () =1 = 1 1 =1+ (1)dξ =1+ = + (1 + ξ ) dξ = (1 ) d 1 = + + ξ + ξ ξ = = d = d ln = + c = Ae () = A =1 = e = e =1+ + ()! + ()3 3! = ()4 4! Ejemplo. Solución para la ecuación de segundo orden: + ksen = F sen ω, () = 3, () = 1 Podemos ransformarla a un sisema de ecuaciones de orden con las siguienes ransformaciones: 79

17 En forma maricial: =, =, = = = ksen 1+ Fsen ω3, c= La solución aproimada del sisema es: 1dτ = c= 1, 1 1 ( ksen 3 ) dτ = + + = 1 ( ksen 3), 1dτ [ 1 ( ksen3) τ] dτ ( ksen3) 3 = 1 + ( ksen(3 + τ) + F sen ωτ) dτ =... 1dτ TEOREMAS SOBRE EL SISTEMA LINEAL. Consideramos ahora la ecuación lineal de orden n L = r(), (1) n n 1 d L= p( ) D + p1( ) D pn( ), D () d con p ( ) para que el orden sea n.,..., (n 1) dadas en alguna, [ a, b] Sabemos que la ecuación iene una solución única (lo escribimos como un sisema de n+1 variables). Teorema 1. Para que un conjuno de funciones u 1 (),, u n () (que ienen derivadas hasa orden n-1) sean LD (linealmene dependienes) en a b es necesario que el Wronskiano, W (). W () = (3) 8

18 W () u 1 () u ()... u n () u 1 () u ()... u n () u 1 (n 1) () u (n 1) ().. u n (n 1) () (4) Teorema. Si u 1,,u n () son las soluciones de una EDO lineal homogénea de orden n (L=), W es una condición necesaria suficiene para {u1, u n } sea LD. Teorema 3. El sisema (homogéneo) L= iene eacamene n soluciones LI (linealmene independienes). Llamamos a las soluciones {u 1 (),, u n ()} el conjuno fundamenal de soluciones. Si p es una solución paricular de L=r(), enonces la solución general es: = c1u1( ) cn un ( ) + p ( ) (5) Además, las consanes c 1, c n se pueden usar para cumplir con las condiciones iniciales ( ), ( ),., (n-1) ( ). Eso es, el sisema c 1 u 1 ( ) c n u n ( ) = ( ) p ( ) c 1 u 1 ( ) +...c n u n ( ) = ( ) p ( ) (6) c 1 u (n 1) ( ) +...c n u (n 1) ( ) = (n 1) ( ) p (n 1) ( ) iene solución única para { c 1,c,...,c n } pues W () EJEMPLOS DE ECUACIONES LINEALES DE ORDEN > Coeficienes consanes, caso homogéneo. Ejemplo 1. 9 = λ Propongamos la solución de la forma: = e λ λ. Derivando: = λe, " = λ e. Susiuendo en la ecuación diferencial obenemos el polinomio caracerísico: ( λ ) e λ λ 9 = 9=, λ = ± 3 Con las raíces del polinomio la solución es: = Ae 3 + Be 3. Recordando que: e = cosh + senh, e = cosh senh, podemos escribir la solución como = (A + B)cosh3 + (A B)senh3 = C cosh 3 + Dsenh3 Ejemplo. + 9 = Procediendo de la misma manera que en el ejemplo anerior: 81

19 λ e λ " = λ e λ e λ =, i3 i3 ( λ + 9) =, + 9=, λ =+3i, = Ae + Be Análogamene al caso anerior podemos uilizar: e i = cos + isen, e i = cos isen. La solución puede escribirse enonces como: = ( A+ B) cos 3 + i( A B) sen 3= C cos 3+ D sen3= Esen(3 + φ) Ejemplo 3. Consideremos ahora las condiciones de fronera para la siguiene ecuación + =, () = ( π ) = = Asen + Bcos ( ) = B =, () = Asen, ( π ) =. = Asen La solución no es única para las CF Ecuación de Cauch-Euler. Consideremos la ecuación + 9 = La solución de ese ipo de ecuaciones puede enconrarse uilizando la ransformación = e, o equivalenemene, proponiendo una solución del ipo = α. Derivando susiuendo en la ecuación diferencial obenemos: = α α 1, = α(α 1) α ( αα ( 1) + α 9) α = (α α + α 9) α = α = ± 3 La solución es enonces: 3 = A + B Raíces repeidas: variación de Parámeros. (Ver ambién , ejemplo ). Consideremos la ecuación: + + = e λ λ Resolviendo: ( λ λ 1), ( λ 1) e e = + + = + λ = En ese caso, las raíces del polinomio caracerísico se repien, i.e.: λ = 1, 1 = Ae es una solución. Para enconrar la ora solución, podemos uilizar el méodo de variación de parámeros. Consideremos que la consane de la solución es ambién función de, i.e.: = A( )e, A e Ae, A e A e Ae = = + Susiuendo en la ecuación diferencial obenemos: 8

20 Ae + A e A e + A e = A = A = C + D, = ( C+ D)e De hecho, siempre que se engan raíces repeidas es ese ipo de ecuación, en la solución m m 1 aparecerán facores de acuerdo a la muliplicidad de la raíz,,... muliplicidad m Ejemplo 1. Supongamos que el polinomio caracerísico de la ecuación a resolver es λ (λ )(λ + 3) 4 = Las raíces son λ =,, +, 3, 3, 3, 3 La solución de la ecuación será enonces: e = A + B + C + ( D + E + F + G 3 ) 3 e Ejemplo. + = α Ecuación de Cauch-Euler: =, = α α 1, = α(α 1) α α ( α( α 1) α + 1) = α α α α + 1 = ( 1) =, = 1, 1 raíces repeidas. = A Uilicemos variación de parámeros para enconrar la ora solución: = A() = A + A, = A + A " + = A + A 3 A A + A = se elimina A ( A + A) = A+ A = Para resolver esa ecuación definimos: p= A, p = A p + p= (ecuación de 1er. orden). dp d = inegrando en ambos lados: Ln p = Ln + c Ln p= c p e c D p = A = = A= DLn + E = E+ DLn Ecuaciones diferenciales lineales no-homogéneas. Ejemplo 1. IV " = e Equivalene a L = f () f ( ) Podemos ver eso como un sisema lineal epresar la solución como la suma de la solución complemenaria la solución paricular, i.e.: = c + p, L c =, L p = f () 83

21 Solución complemenaria: c λ = e 4, ( λ λ ) e λ =, λ ( λ 1) = Las raíces del polinomio son: λ =,, + 1, 1 = A+ B+ Ce + De Para enconrar p analizamos f() por familias (méodo de coeficienes indeerminados) familia inclue función odas sus derivadas. c f( ) = Noa: sen iene familia: sen, cos :,,1 familia e familia : e Consruimos p de al manera que las familias de f() no se confundan con las soluciones complemenarias; se puede muliplicar cada familia por una poencia de para que no coincidan con la solución complemenaria. familia e no se confunde familia {1,, } se confunde con 1 con {1,, } no se confunde = ( E+ F+ G ) + He p p = E+ F + G + H p e = E+ F+ G + H e = 6F + 4G+ 8He p IV p = 4 G+ 16He = 4G+ 16He E 6F 1G 4He = 4G E 6F 1G + 1He = e IV p p 4G E =, 6F =, 1G= 1, 1H = 1 Con eso obenemos: 1 1 E = 1G = 1, F =, G =, H = p = e no coniene consanes arbirarias 1 1 = c + p = A+ B+ c + D e e e Ejemplo. Consideremos la ecuación + ω = f ( ) La solución complemenaria es c = Asenω + B cosω 84

22 Pueso que f() no esá especificada usamos variación de parámeros para enconrar la solución paricular, i.e.: p = A()senω B()cosω = Aω cosω+ A senω Bωsenω+ B cosω p Nóese que la ecuación diferencial no da una ecuación para A B; podemos escoger enonces arbirariamene una condición para no ener ª derivadas de A B: A senω+ B cosω =...(1) p = Aω cosω Bωsenω p = Aω senω+ A ωcosω Bω cosω B ωsenω p + ω p = Aω senω+ A ωcosω Bω cosω B sen ω+ ω ( Asenω+ Bcos ω) = A ωcosω B ωsen ω = f( )...() Uilizando (1) () podemos escribir un sisema maricial para A, B: senω cosω A = ωcosω ωsen ω B f( ) cosω f sen f cos A ω ω ω = = senω cos ω W(sen ω,cos ω) ωcosω ωsenω W (sen ω, cos ω ) = ω(sen ω + cos ω ) = ω A = f cosω ω senω ωcosω f f senω B = = ω ω A = 1 f (τ )cosωτdτ ω B = 1 f (τ )senωτdτ ω senω cosω p = f( τ )cos ωτ dτ f( τ )senωτ dτ ω ω = 1 ω f (τ )(senω cosωτ cosωτ senωτ )dτ = 1 ω = c + p = Asenω + Bcosω + 1 ω f (τ )senω( τ )dτ f (τ )senω( τ )dτ 85