Los Mapas de Karnaugh son una herramienta muy utilizada para la simplificación de circuitos lógicos.

Transcripción

1 Mapas de karnaugh Los Mapas de Karnaugh son una herramienta muy utilizada para la simplificación de circuitos lógicos. Cuando se tiene una función lógica con su tabla de verdad y se desea implementar esa función de la manera más económica posible se utiliza este método. Suponiendo que conozcamos la tabla de la verdad de un circuito combinacional, a partir de la cual deseamos diseñar dicho circuito, lo más corriente es tener que buscar una epresión simplificada de la función o funciones a implementar. Los mapas de karnaugh son maneras pictóricas de encontrar formas minimales de sumas para las epresiones de Boole que involucran 2, 3, 4 o 5 variables. 2 variables 3 variables 4 variables ' y y' yz yz y z y z ' 'y' 'y zt zt' z't' z't 5 variables ' 'y' 'y z't'v' z't'v z'tv z'tv' ztv' ztv zt'v zt'v' Los mapas de Karnaugh se representarán en cuadros. Se dice que dos de tales productos fundamentales P1 y P2 son adyacentes si P1 y P2 difieren en eactamente una literal. Lo cual tiene que ser una variable complementada o un producto y no complementada en el otro. Así que la suma de dos productos adyacentes será un producto fundamental con una literal menos. Por ejemplo: 1) z + z 2) yzt + yz t z (y + y ) yt (z+z ) z (1) yt (1) z yt

2 La adyacencia gráfica y la adyacencia algebraica Dos casillas son adyacentes gráficamente si están una junto a otra en el mapa de Karnaugh, teniendo en cuenta que nunca deben considerarse las diagonales. Por otro lado, dos casillas de un mapa de Karnaugh son adyacentes algebraicamente si en el conjunto formado por los bits de sus coordenadas e y sólo hay un dígito diferente, no importando la posición en la que se encuentre dicho dígito. Pues bien, siempre se verifica que dos casillas que sean adyacentes gráficamente también lo son algebraicamente (recuerde que no vale en diagonal). La adyacencia algebraica es la que realmente hay que tener en cuenta en el proceso de simplificación gráfica. Podemos decir que la adyacencia algebraica es "más fuerte" que la gráfica. Sin embargo, a efectos de poder realizar la simplificación de forma fácil convendría que los dos tipos de adyacencias coincidiesen para tener una imagen gráfica de las adyacencias algebraicas. Lamentablemente esto no es así, pero con objeto de conseguir una imagen mental y gráfica de las adyacencias algebraicas podemos ayudarnos de las siguientes figuras: - Para tres variables: - Para cuatro variables: - Para cinco variables ( tiene buena visión espacial?):

3 Primero Doblar el mapa hasta superponer completamente las casillas, con lo que toma el aspecto de un mapa de cuatro variables. Segundo seguir el procedimiento para mapas de cuatro variables. Caso de 2 Variables: El mapa que corresponde a las epresiones de Boole E=(,y) se visualiza en la siguiente figura: Se puede ver en la figura que está representada por los puntos en la mitad superior del mapa y Y esta representada por los puntos de la mitad izquierda del mapa Así que está representada por los puntos de la mitad inferior del mapa. Y y y Y está representada por los puntos de la mitad derecha del mapa. De esta manera los cuatro posibles productos fundamentales con dos literales son:,, y, y que están representados por los cuatro cuadros en el mapa: Y y Y Y y Observe que dos de tales cuadros son adyacentes en el sentido definido anteriormente, si y solo sí están geométricamente adyacentes, es decir tienen un lado en común. Cualquier epresión de Boole, en su forma canónica de suma de productos E=(,y) está representada en un mapa de Karnaugh marcando los cuadros apropiados.

4 Por ejemplo: E1= + E2= + y + y E3= + y se representan en los siguientes mapas: E1= E2= E3= Un implicante primo de E(,y) será una pareja de cuadrados adyacentes o un cuadro aislado, es decir un cuadrado que no está adyacente en ningún otro cuadrado de E(,y). Por ejemplo: haciendo referencia al ejemplo anterior, E1 consta de dos cuadrados adyacentes, representados por el ovalo, esta pareja de cuadros adyacentes representa la variable, así que es el implicante primo, el único de E1, por lo tanto E1 puede Escribirse en su forma minimal E1=. Para E2, este contiene 2 parejas de cuadros adyacentes, como se muestra en los óvalos, la pareja vertical representa a y, la pareja horizontal a así que y y son implicantes primos de E2. E2= y + que es la suma minimal. Por otra parte E3 esta formada por dos cuadrados aislados que representan, así que son implicantes primos de E3. E3= + y es su suma minimal. Caso de 3 variables representa los puntos de la mitad del mapa superior del mapa.

5 Y representa los puntos de la mitad izquierda del mapa La nueva variable Z esta representada por los cuartos izquierdo y derecho del mapa Así está representada por los puntos de la mitad inferior del mapa, Y por los puntos de la mitad derecha del mapa, y Z por los puntos de los dos cuartos de la mitad del mapa. Eisten para este mapa 8 productos fundamentales con tres literales que son: z, z, z, z, yz, yz, y z, y z Para que puedan ser geométricamente adyacentes cada pareja de productos adyacentes, es necesario identificar los bordes izquierdo y derecho del mapa. Cualquier epresión de Boole completa en su forma canónica de suma de productos E(,y,z) esta representada en el mapa de Karnaugh marcando los cuadros apropiados. Ejemplos: E1= z + z + yz + y z E2= z + z + z + yz + y z E3= z + z + yz + y z + y z Para E1: El cual tiene tres implicantes primos: 1er ovalo = 2do ovalo = yz yz yz y z y z z z z z yz yz y z y z 3er ovalo = y z Por lo tanto: + yz + y z es la suma minimal de E1.

6 Para E2: Tiene dos implicantes primos: 1er ovalo = 2do ovalo = z Por lo tanto: + z es la suma minimal. Para E3: Eisten 3 soluciones: Con 4 óvalos = + yz + z + y (aunque esta no es la mejor solución) Con 3 ovalos = + z + y Con 3 óvalos = + yz +y Caso de 4 variables El mapa de Karnaugh que corresponde a las epresiones de Boole E(,y,z,t) se representa en la siguiente figura: y y Donde cada uno de los 16 cuadros pertenecen a los 16 productos fundamentales. Las líneas superior e izquierda están rotulados de tal manera que los productos adyacentes difieran precisamente en un literal. Nuevamente se debe identificar el borde izquierdo con el borde derecho, pero también tenemos que identificar el borde superior con el borde inferior. Un rectángulo básico es: Un cuadrado, Dos cuadrados adyacentes, Cuatro cuadros que forman un rectángulo de uno por cuatro o dos por dos, y ocho cuadros que forman un rectángulo de dos por cuatro.

7 es representada por: y y Y es representada por: esta representada por: y y Y esta representada por: y y y y Z esta representado por: Z esta representada por: y y y y t esta representada por: t esta representada por: y y y y Ejemplo1 : Se tiene la siguiente tabla de verdad para tres variables. Se desarrolla la función lógica basada en ella. ( primera forma canónica). Ver que en la fórmula se incluyen solamente las variables (A, B, C) cuando F cuando es igual a "1". Si A en la tabla de verdad es "0" se pone A, si B = "1" se pone B, Si C = "0" se pone C, etc.

8 F = A B C + A B C + A B C + A B C + A B C + A B C Una vez obtenida la función lógica, se implementa el mapa de Karnaugh. En el mapa de Karnaugh se han puesto "1" en las casillas que corresponden a los valores de F = "1" en la tabla de verdad. Para proceder con la simplificación, se crean grupos de "1"s que tengan 1, 2, 4, 8, 16, etc. (sólo potencias de 2). Los "1"s deben estar adyacentes (no en diagonal) y mientras más "1"s tenga el grupo, mejor. La función mejor simplificada es aquella que tiene el menor número de grupos con el mayor número de "1"s en cada grupo Se ve del gráfico que hay dos grupos cada uno de cuatro "1"s, (se permite compartir casillas entre los grupos). La nueva epresión de la función booleana simplificada se deduce del mapa de Karnaugh. - Para el primer grupo (azul): la simplificación da B (los "1"s de la tercera y cuarta columna) corresponden a B sin negar) - Para el segundo grupo (rojo): la simplificación da A (los "1"s están en la fila inferior que corresponde a A sin negar) Entonces el resultado es F = B + A ó F = A + B

9 Ejemplo 2: Una tabla de verdad como la de la derecha da la siguiente función booleana: F = ABC + AB C + A B C + A B C Se ve claramente que la función es un reflejo del contenido de la tabla de verdad cuando F = "1" Con esta ecuación se crea el mapa de Karnaugh y se escogen los grupos. Se lograron hacer 3 grupos de dos "1"s cada uno. Grupos de "1" formados en ejemplo de mapa de karnaugh de 3 variables, Se puede ver que no es posible hacer grupos de 3, porque 3 no es potencia de 2. Se observa que hay una casilla que es compartida por los tres grupos. La función simplificada es: Grupo en azul: A B, grupo rojo: B C, grupo verde: A C F = A B + B C + A C