PRECIOS DE PRODUCTOS ALMACENABLES: IMPLICACIONES DEL MODELO DE INVENTARIOS*

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1 Precios Esudios de de producos Economía. almacenables: Vol Nº 1, Junio / Eugenio S.A. Págs. Bobenrieh H. 67 PRECIOS DE PRODUCTOS ALMACENABLES: IMPLICACIONES DEL MODELO DE INVENTARIOS* EUGENIO S.A. BOBENRIETH H. Resumen Las variaciones de invenarios son reconocidas, por paricipanes del mercado y por la lieraura, como relevanes en la deerminación de precios de acivos almacenables. Ese arículo presena resulados de la lieraura en modelos dinámicos de expecaivas racionales basados en variaciones de invenarios, para explicar variaciones de precios. Las resricciones de no-negaividad en el almacenamieno agregado induce no-linealidad endógena en la demanda de mercado del acivo. El modelo genera regularidades empíricas observadas en series de precios: ocasionales aumenos pronunciados de precios, períodos de esabilidad, correlación serial posiiva, y asimería condicional (y límie) de la disribución de precios. Absrac Sock variaions are recognized, by marke paricipans and by he lieraure, as relevan in he deerminaion of prices of sorable asses. This paper presens resuls in he lieraure of raional expecaions dynamic models based on sock variaions, o explain price variaions. The non-negaiviy resricions in aggregae sorage induce endogenous non-lineariy in he marke demand for he asse. The model generaes empirical regulariies observed in price series: occasional sharp price increases, periods of sabiliy, posiive serial correlaion, and condiional (and limi) asymmery in he price disribuion. Keywords: Commodiies, price, sorage, speculaion. JEL Classificaion: C12, C13, D84, G12. * Agradezco el rabajo conjuno en el ema, y los valiosos comenarios, de Juan R. A. Bobenrieh H. y Brian D. Wrigh. Agradezco financiamieno de CONICYT, proyeco FONDECYT Los errores que pudiesen persisir son de exclusiva responsabilidad del auor. Deparameno de Economía, Faculad de Ciencias Económicas y Adminisraivas, Universidad de Concepción; ebobenri@udec.cl

2 68 Esudios de Economía, Vol Nº 1 1. INTRODUCCIÓN Las variaciones en invenarios son un aspeco esencial de un número creciene de esudios empíricos y eóricos que explican la volailidad en precios de acivos almacenables. Si la especulación con variaciones en invenarios es económicamene facible, enonces la hipóesis de equilibrio inernamene consisene, que caraceriza al modelo de expecaivas racionales, impone fueres resricciones al comporamieno de las series emporales de precios. Los invenarios cumplen un rol esabilizador y de sopore de precios, generando correlaciones de precios, aun bajo la hipóesis de que las variaciones aleaorias en producción y/o demanda engan disribuciones independienes en el iempo. El objeivo de ese rabajo es presenar una revisión documenada de algunos avances en el esudio de precios, uilizando modelos dinámicos de expecaivas racionales, en la radición de Gusafson (1958). Se discuen los efecos clásicos, en el precio de equilibrio, de las variaciones en invenarios. El modelo canónico de almacenamieno es un modelo muliperíodo, con demanda esacionaria (que puede reflejar variaciones esocásicas en, por ejemplo, nivel de ingreso) y con shocks esocásicos de ofera. Las variaciones de invenario son un susiuo al mecanismo de seguros para disribuir riesgo, son un medio para disribuir riesgo enre diferenes períodos de iempo. Sin embargo, la presencia de la resricción de no-negaividad en invenarios (a nivel de odo el mercado) implica que la especulación ineremporal iene límies, ya que para el mercado como un odo no es posible uilizar una canidad del acivo mayor que la que esá globalmene disponible. Pero el mercado sí puede acumular invenarios. Esa resricción de no-negaividad en invenarios genera asimería en la formación de precios, lo que complica el raamieno analíico de esa familia de modelos, en paricular de aquellos con horizone infinio. Muchos resulados se conocen sólo por medio de simulaciones numéricas, para especificaciones pariculares de demanda, shocks, y cosos. Esos modelos de invenarios perenecen a una familia más amplia, la de modelos de acumulación esocásica con resricciones de liquidez. Perenecen ambién a esa familia los modelos de la eoría de ahorro para agenes enfrenados a resricciones de liquidez. En esos modelos, la acumulación de acivos cumple el rol de un seguro para el consumidor, conra posibles variaciones adversas del ingreso, en el fuuro. Referencias clásicas en esa lieraura son los rabajos de Schechman y Escudero (1977), Levhari, Mirman y Zilcha (1980), Deaon (1991), y la revisión de Deaon (1992). El rabajo de Deaon (1991) ha enido una considerable influencia en la eoría de consumo, y su relación con ahorro con moivo de precaución. Deaon (1991) esudia el comporamieno del consumo bajo diferenes especificaciones alernaivas para el proceso esocásico del ingreso. Carroll y Kimball (2001) formalizan un número de hipóesis que sólo habían sido esudiadas numéricamene, y proveen una discusión de resulados en esa lieraura. El modelo de expecaivas racionales con variaciones de invenario para precios de commodiies almacenables esá en la radición del rabajo de Gusafson (1958). Ejemplos de conribuciones relacionadas a esa lieraura son: Samuelson (1971), Gardner (1979), Wrigh y Williams (1982, 1984), Scheinkman y Schechman (1983), Williams y Wrigh (1991), Deaon y Laroque (1992, 1995, 1996), Bobenrieh, Bobenrieh y Wrigh (2002), Cafiero (2002), y Bobenrieh,

3 Precios de producos almacenables: / Eugenio S.A. Bobenrieh H. 69 Bobenrieh y Wrigh (2004). En los modelos radicionales, la demanda por consumo es especificada de al manera que el precio en consumo mínimo es finio, y/o la probabilidad de producción mínima es cero. En Bobenrieh, Bobenrieh y Wrigh (2002), sin embargo, el precio de demanda es no acoado, y la probabilidad de producción mínima es posiiva (esa probabilidad puede ser definida como arbirariamene cercana a cero), aunque el precio es finio, para odo período de iempo, con probabilidad 1. Deaon y Laroque (1992) enregan una descripción del comporamieno empírico de series de precios para 13 producos almacenables (la muesra incluye producos agrícolas y minerales), uilizando precios reales anuales del período En ese rabajo se deallan algunos hechos esilizados, comunes para los producos en esudio. La principal caracerísica de esos precios es su significaiva volailidad, y pese a que los auores no realizan pruebas formales de esabilidad esocásica, noan que ninguna de las series en esudio muesra evidencias de endencia. Todos los precios exhiben auocorrelación posiiva (auocorrelaciones de primer orden son mayores a 0.6, y decaen lenamene con el orden de la auocorrelación), y las disribuciones empíricas son asiméricas (en algunos casos fueremene asiméricas). Como es reconocido por Deaon y Laroque (1992), muchas de las caracerísicas más obvias del comporamieno de las series de precios pueden ser reproducidas saisfacoriamene con especificaciones radicionales en la economería de series de iempo: modelos auorregresivos, en niveles o en diferencias, modelos markovianos con cambios de régimen, modelos de heeroscedasicidad condicional, aun cuando es necesario en esos modelos empíricos realizar supuesos especiales para reproducir adecuadamene las peculiaridades de las disribuciones empíricas de precios, nooriamene la asimería. Sin embargo, si se impone la esrucura de expecaivas racionales, en un conexo dinámico, y con shocks esocásicos y resricciones de no-negaividad, se genera un modelo con caracerísicas que no son direcamene reproducibles con las especificaciones economéricas radicionales. El equilibrio ineremporal con ausencia de posibilidades de ganancias de especulación (eso es, en un equilibrio donde la posibilidad de obener beneficios exra es eliminada por la acción de agenes que compien por esos beneficios) enrega una versión de la hipóesis de mercados eficienes que, para el modelo con precios uniformemene acoados, es un proceso con períodos de iempo de invenario posiivo, y períodos de iempo de cero sock, en los cuales el precio esperado para períodos fuuros, desconado por el facor correspondiene (y desconados los cosos direcos de almacenamieno), esá acoado superiormene por el precio corriene. Ese rabajo se organiza como sigue: en la sección 2 se presenan algunas versiones clásicas, y resulados úiles como referencia, en el esudio de la familia de modelos que discuimos. La sección 3 repora méodos de simulación numérica y esimaciones empíricas del modelo. La sección 4 planea pregunas abieras sobre idenificación, esimación empírica y pruebas de hipóesis. 2. EL MODELO El almacenamieno se puede enender como un proceso de producción, con una ecnología de producción simple: el proceso ransforma bienes disponibles

4 70 Esudios de Economía, Vol Nº 1 en el iempo corriene en bienes disponibles en el fuuro. La ransformación es en el iempo de disposición del bien almacenado. 1 El modelo supone un mercado compeiivo de equilibrio parcial. 2 En iempo discreo, para un agene represenaivo, el almacenamieno x 0 es una inversión con horizone de planificación de sólo un período de iempo. En efeco, aún en el caso de equilibrio de mercado con almacenamieno posiivo para odo iempo, la decisión de almacenar es una decisión de inversión reversible, después de cada período de iempo (con absracción de la depreciación). El coso direco de almacenar esá dado por una función diferenciable, φ : R + R +, con φ (0) = 0, φ (0) 0, y φ (x) > 0, φ (x) > 0 para odo x > 0 (alernaivamene, versiones simples del modelo se obienen al especificar el coso marginal direco de almacenamieno como consane, igual a cero en un caso exremo). La producción esá sujea a un shock ω, exógeno, muliplicaivo, que se puede especificar i.i.d. (el supueso i.i.d. no es esencial para un número de resulados, los shocks se pueden modelar con una esrucura esocásica de mayor complejidad), con sopore K [ k, k], 0 k < k < +. Exise una demora de un período de iempo enre la decisión del esfuerzo de producción y la realización del produco, λ ω +1. El coso del esfuerzo esá dado por la función g: R + R +, con g(0) = 0, g (0) = 0, g (λ) > 0, y g (λ) > 0, para odo λ > 0. Dado el almacenamieno y el nivel de esfuerzo de producción, la canidad oal de socks disponibles en el iempo + 1 es z +1 x + λ ω +1. El producor represenaivo es neural al riesgo, con un facor de descueno 0 < δ <1. En una especificación paricular del modelo, la función de uilidad de consumidor represenaivo, U: R + R +, es coninua, coninuamene derivable, esricamene creciene y esricamene cóncava, con U(0) = 0, y lim c U(c) = B<+. La función (inversa) de demanda por consumo es f = U. Noar que en ese caso c U(c) = 0 f(ξ)dξ, y que el ingreso oal por venas, cf(c), esá uniformemene acoado por la consane B. El mercado compeiivo enrega la misma solución que la del problema de bienesar asociado (ese es un resulado esándar, ver por ejemplo Scheinkman y Schechman, 1983, o Williams y Wrigh, 1991). Considerando el problema de horizone infinio con shocks i.i.d., la ecuación de Bellman correspondiene al problema de bienesar es: v(z ) = max x,λ {U(z x ) φ (x ) g(λ ) + δ E[v(z +1 )]} sujeo a z +1 = x + ω +1 λ, x 0, z x 0, λ 0, donde E[.] represena la esperanza con respeco a ω Exensiones obvias se obienen al suponer una asa de depreciación, o una asa de producividad del acivo, como en los modelos de ahorro y consumo. 2 Ambos supuesos no son esenciales. La misma lógica del modelo básico se puede exender para un mercado no compeiivo, y para algunas versiones de equilibrio general.

5 Precios de producos almacenables: / Eugenio S.A. Bobenrieh H. 71 La variable de esado en ese caso es el nivel de disponibilidad oal, z (si el proceso de shocks es markoviano, enonces la variable de esado es el par (z, ω )). Aplicando resulados esándar de programación dinámica esocásica, es posible demosrar la exisencia y unicidad de v, y que v es una función coninua, esricamene creciene, esricamene cóncava, y que las funciones ópimas de almacenamieno y esfuerzo, x(z) y λ(z), son univaluadas y coninuas. Consumo y precio esán dados por las funciones c(z) z x(z), p(z) f(z x(z)), respecivamene. Las condiciones de Euler son las siguienes: f(z x(z )) + φ (x(z )) δe[v (x(z ) + ω +1 λ(z ))], con = si x(z ) > 0, g (λ(z )) δe[ω +1 v (x(z ) + ω +1 λ(z ))], con = si λ(z ) > 0, con la condición v (z) = f(z x(z)). De manera más general, es posible planear el problema de almacenamieno de la siguiene forma (como en Scheinkman y Schechman, 1983): Con la misma noación anerior, considere el vecor ω (ω 0,..., ω ), de realizaciones del shock de ofera, observado hasa el iempo, y sea K +1 el produco caresiano de ( + 1) copias de K. En cualquier iempo, el precio se define como la función medible (Borel) p : K +1 R +. El producor compeiivo represenaivo oma la sucesión de funciones Π = {p } 0 como exógenamene deerminada, y realiza planes de almacenamieno {x } 0 y esfuerzo {λ } 0. El producor represenaivo es neural al riesgo. Dados los valores iniciales z 0, ω 0, y para la sucesión Π, Scheinkman y Schechman (1983) planean el problema del producor: Sup E 0 { = 0 δ [p (ω )c (ω ) g(λ (ω )) φ (x (ω ))]}, sujeo a: c (ω ) + x (ω ) = λ 1 (ω 1 )ω + x 1 (ω 1 ); 1, c 0 (ω 0 ) + x 0 (ω 0 ) = z 0, x 0, λ 0, c 0, donde E 0 {.} represena la esperanza condicional en ω 0. Scheinkman y Schechman (1983) definen la solución del problema del producor como sigue: las funciones medibles x { } y { λ } = 0 (x = 0 : K +1 R +, λ : K +1 R + ) resuelven el problema del producor si para cualquier oro par de sucesiones de funciones medibles, y : K +1 R +, µ : K +1 R +, lim sup E T p ( ω ) ( µ 1( ω ) ω + y 1( ω ) y ( ω )) T 1 δ g( µ ( ω )) φ( y ( ω )) p ( ω ) ( λ 1( ω ) ω 0 = x 1( ω ) x ( ω )) + g( λ ( ω )) + φ( x ( ω )) donde µ 1 ω 0 + y 1 λ 1 ω 0 + x 1 z 0.

6 72 Esudios de Economía, Vol Nº 1 En esa versión del modelo, la función de demanda del consumidor represenaivo se especifica como f: R + R +, con f < 0, y cf(c) < B < + para odo c 0. La sucesión Π = {p } 0 se define como un equilibrio de expecaivas { } { } racionales si exise x, λ = 0 que solucione el problema del producor, = 0 dado Π, al que para cada, f(z (ω ) x (ω )) = p (ω ) con probabilidad 1. Noar que pese a que el valor de mercado de las venas en cada período de iempo esá uniformemene acoado por B < +, eso no implica una coa uniforme para el precio. Dado un valor consane c > 0, considere la siguiene forma de la función de uilidad, que permie considerar la posibilidad de uilidad no acoada: U(c) = c c f(ξ)dξ. Para z > 0, 0, ω K +1, es posible definir la función de bienesar social W(z,, ω ): W(z,, ω )= sup E { δ s= s [U(c s (ω s )) φ (x s (ω s )) g(λ s (ω s ))]} sujeo a c s (ω s ) + x s (ω s ) = x s 1 (ω s 1 ) + λ s 1 (ω s 1 ) ω s z s (ω s ) z (ω ) = z, c s (ω s ) 0, x s (ω s ) 0, λ s (ω s ) 0. Scheinkman y Schechman (1983, eorema 1) demuesran la siguiene inerpreación para el precio de equilibrio: si z 0 > 0, considerando la sucesión de precios de equilibrio y la solución al problema del producor asociada, se iene que: δ p (ω ) = Wz ( ( ω ),, ω ) z para odo 0. Para el caso de shocks i.i.d., Scheinkman y Schechman (1983, eorema 2) demuesran que la función x(z) es creciene, la función λ(z) es decreciene, y la función c(z) es esricamene creciene, implicando que la función de precio es esricamene decreciene en el nivel de disponibilidad oal del mercado. Noar que dado el precio de mercado p, la demanda oal de mercado es la suma de dos componenes: la demanda por consumo, c(p), más la demanda por moivo especulación, x(p), y aunque se suponga una especificación arbiraria para la función de demanda por consumo, la demanda por moivo especulación iene una esrucura funcional que es endógena al modelo, en el senido de que refleja información sobre el comporamieno fuuro del mercado (disribuciones de probabilidad condicionales, en paricular). Explicado de ora forma, el valor de equilibrio de las unidades que se almacenan en el iempo corriene esá deerminado por el valor de las unidades que serán vendidas en (posiblemene diferenes) períodos de iempo en el fuuro, y por lo ano, para resolver el problema de almacenamieno hoy, es necesario resolver el problema de la demanda de socks para el siguiene período, y así para odo período fuuro, sin horizone finio. Ese es un puno relevane para la realización de esudios empíricos. Scheinkman y Schechman (1983, eorema 3) muesran, ambién para el caso de shocks i.i.d., un resulado relacionado con la esabilidad en el precio esperado, para el caso de socks posiivos: un incremeno en el precio corriene aumena el precio esperado para el siguiene período, pero menos que propor-

7 Precios de producos almacenables: / Eugenio S.A. Bobenrieh H. 73 cionalmene. La presencia de ofera elásica del produco (eso es, λ variable) aumena la complejidad del modelo, debido a que x y λ ienen efecos de dirección conraria: un aumeno de la disponibilidad oal del mercado implica mayor almacenamieno, lo cual iende a disminuir el precio para el siguiene período de iempo. Esa disminución en el precio, realización-por-realización del shock, es un desincenivo al esfuerzo en el iempo corriene. Sin embargo, es posible demosrar que el efeco almacenamieno domina al efeco esfuerzo en ese caso. 3. SIMULACIÓN NUMÉRICA Y ESTIMACIONES EMPÍRICAS Salvo especificaciones muy punuales, no exise solución analíica para las funciones endógenas descrias en la sección anerior, lo cual ha llevado en la prácica a un creciene inerés de la lieraura en soluciones numéricas del problema, aprovechando las caracerísicas de esabilidad de ése. Típicamene, los algorimos numéricos uilizados en esa clase de modelos uilizan las ecuaciones de Euler. Williams y Wrigh (1991) proveen una écnica eficiene para la simulación numérica del modelo de horizone infinio. El méodo de Williams y Wrigh se basa en ajusar un polinomio de orden pequeño (con almacenamieno inernamene consisene), para represenar el precio esperado del siguiene período, en función del almacenamieno del período corriene. La écnica polinomial de Williams y Wrigh resuelve un problema imporane asociado a la aproximación numérica en ese ipo de modelos: la presencia de (al menos) un puno en el cual la demanda de mercado no es derivable (ese es el puno correspondiene al umbral a parir del cual el invenario es posiivo). Ese polinomio es un puno fijo de la ruina de cálculo de la esperanza condicional del precio, dada(s) la(s) variable(s) de esado en el iempo corriene. El uso de ese algorimo evia el coso (en exaciud) asociado a la búsqueda direca de la función de almacenamieno ópima que resuelve la ecuación de Euler. Chrisiano y Fisher (2000) clasifican ese algorimo en la caegoría de algorimos de esperanzas paramerizadas, y comparan ese algorimo en un conexo de simulación numérica más general. Deaon y Laroque (1992, 1995, 1996) planean un méodo de simulación numérica, para una especificación del modelo sin cosos direcos de almacenamieno, sin ofera elásica (eso es, λ no es una variable de conrol en ese caso), y con depreciación porcenual del produco (enre cada período de iempo) igual a d, con la resricción de que δ (1 d) < 1. Un supueso cenral en la especificación de Deaon y Laroque (1992) es que el mínimo del sopore del shock de ofera, k, es al que 0 < f(k) < +. Uilizando un argumeno de conracción, y si los shocks esocásicos son i.i.d., es posible demosrar que exise una solución p (un equilibrio esacionario de expecaivas racionales) a la siguiene ecuación funcional: (1) p(z ) = max [δ(1 d)ep((ω +1 + (1 d)(z f 1 {p(z )})), f(z )], donde la esperanza se aplica con respeco a la variable aleaoria ω +1. Esa especificación permie ciera flexibilidad en la definición del problema de almacenamieno: es posible en ese caso esudiar el problema sin referencia a la exis-

8 74 Esudios de Economía, Vol Nº 1 encia de un agene represenaivo. Uilizando las propiedades de convergencia de una conracción, Deaon y Laroque (1992) observan que es posible obener numéricamene la función p ierando en la ecuación (1), p (n+1) (z ) = max [δ(1 d)ep (n) ((ω +1 + (1 d)(z f 1 {p (n+1) (z )})), f(z )], para una función inicial p (0) admisible. Los méodos numéricos que se presenan en esa sección pueden ser uilizados, con los cambios que corresponden, para simular el modelo con algunas especificaciones más generales del shock (ver, por ejemplo, Deaon y Laroque, 1995). En base a simulaciones numéricas, Williams y Wrigh (1991) esudian el comporamieno de disribuciones condicionales para las variables endógenas del modelo, con un horizone creciene. El modelo genera auocorrelación emporal posiiva del precio (la magniud de esa correlación es sin embargo moivo de conroversia, ver por ejemplo Deaon y Laroqx, 1992, 1995, 1996, Cafiero 2002). Bajo las condiciones planeadas en la sección anerior, el modelo es asinóicamene esable, exise una única disribución límie invariane conjuna para las variables endógenas del modelo, y las disribuciones de frecuencia numéricas reflejan dicha esabilidad. Williams y Wrigh (1991) observan un número de efecos de la presencia de socks: el almacenamieno disminuye, considerablemene para cieras especificaciones del modelo, la varianza del precio. El almacenamieno esabiliza precios y consumo, probabilidad es ransferida desde los exremos de las disribuciones hacia el cenro: el almacenamieno no sólo reduce la frecuencia de precios alos, ambién reduce la frecuencia de precios bajos. Es en ese senido que la presencia de almacenamieno se puede enender como un mecanismo de sopore de precios. Por ora pare, la ransferencia de probabilidad desde los exremos hacia el cenro es más compleja que la descria en ejercicios esándar de conracción preservando media (en el senido de Rohschild y Sigliz, 1970), el efeco en la disribución es alamene asimérico, produciendo una cola larga hacia precios alos, y concenrando probabilidad en precios moderadamene bajos. Así, la endencia a pensar en el almacenamieno como principalmene un medio para eviar desabasecimieno del mercado y precios alos, debe ser omada con cuidado, en el senido de que el efeco posiblemene más noorio del almacenamieno esá en prevenir caídas de precios muy pronunciadas. La convergencia de disribuciones condicionales a una disribución límie esable implica, bajo condiciones de regularidad, la convergencia de los momenos condicionales a los correspondienes momenos de las disribuciones invarianes. En paricular, para paramerizaciones específicas del modelo, Williams y Wrigh (1991) han comprobado numéricamene (uilizando el méodo de aproximación polinomial) que, independiene del esado corriene, exise un horizone finio al que las posibles rayecorias de precios esperados esán arbirariamene cercanas enre sí. Como lo observa Wrigh (2001), eso explica parcialmene la inexisencia de mercados de fuuros para el largo plazo: ellos no son necesarios, debido a que, si se considera un horizone de largo plazo, en el período corriene exise muy poca información que permia disinguir las fuuras realizaciones para diferenes esados en ese horizone, como para moivar ransacciones (cososas) en mercados organizados.

9 Precios de producos almacenables: / Eugenio S.A. Bobenrieh H. 75 Los algorimos de simulación numérica ambién han sido uilizados para esudiar el efeco en el bienesar social de diferenes esquemas de inervención pública en los mercados de producos almacenables. Williams y Wrigh (1991) muesran que, en un conexo de mercado con inervención pública en el almacenamieno, la presencia de aaques especulaivos por pare de especuladores privados puede esabilizar el consumo: la observación cenral es que la especulación por pare de agenes privados reduce la ocurrencia de grandes variaciones de precio. El modelo de expecaivas racionales ha sido esimado uilizando una variedad de procedimienos economéricos. Deaon y Laroque (1992) esiman versiones de la ecuación (1) (con producción especificada como i.i.d.), para 13 producos almacenables, con daos anuales, uilizando el méodo generalizado de momenos, corrigiendo por heeroscedasicidad. El modelo a esimar es: (2) E(p +1 p ) = min ( p, p*) δ( 1 d) donde p* δ (1 d)ep(ω) es el precio umbral, por sobre el cual el almacenamieno de equilibrio es cero. Para el modelo (2), Deaon y Laroque (1992) esiman los parámeros γ 1/δ(1 d) y p*. Para planear la condición de momenos se observa que la hipóesis de expecaivas racionales implica que el error esocásico p +1 min(p, p*)/δ(1 d) no esá correlacionado con observaciones pasadas de precios, y por lo ano se uiliza como insrumeno a un vecor de precios rezagados. Deaon y Laroque (1992) reporan dificulades en la esimación del parámero de descueno efecivo γ, y además concluyen que con la versión del modelo empírico uilizada no es posible reproducir los parones de significaiva auocorrelación en precios que es observada en la muesra. En Deaon y Laroque (1995, 1996) se esima el modelo para 12 producos almacenables, uilizando un méodo de pseudomáxima verosimiliud, para shocks de producción especificados como i.i.d., y alernaivamene, shocks auorregresivos, con resulados pobres, en lo referene a replicar la auocorrelación de los daos de precios. Uilizando el méodo generalizado de momenos, con daos mensuales, Chambers y Bailey (1996) encuenran evidencia de diferenes disribuciones para los shocks de ofera, para diferenes grupos de meses. Como Deaon y Laroque (1992), Chambers y Bailey (1996) encuenran dificulades en probar la significancia esadísica del coso efecivo de almacenamieno. Cafiero (2002) replica parcialmene y discue los resulados de Deaon y Laroque (1992, 1995, 1996), idenificando pregunas en los méodos de búsqueda numérica del máximo, que requieren de mayor aención, en relación a los esimadores punuales. En conrase con los resulados de Deaon y Laroque (1992, 1995, 1996), Miranda y Rui (1996), uilizando máxima verosimiliud, concluyen que el modelo de almacenamieno explica saisfacoriamene el comporamieno de las series de precios, si se incluye en la especificación empírica una curva de ofera de almacenamieno cuya forma sigue la radición de Working (1934, 1948, 1949).

10 76 Esudios de Economía, Vol Nº 1 4. ALGUNAS PREGUNTAS ABIERTAS Los modelos clásicos de expecaivas racionales para precios de commodiies generan observaciones de precios finios, para odo iempo, con probabilidad 1, aun en el caso de repeición de la peor realización de producción, por medio de la imposición del supueso de precio de demanda finio cuando el consumo es igual a la realización mínima de producción, o probabilidad cero de producción mínima (es posible especificar un modelo que genere realizaciones de precio no acoadas, con esperanza condicional de precio uniformemene acoada). Los modelos que incorporan esas resricciones son inconsisenes con res hechos esilizados de los mercados en esudio: primero, ellos generan siuaciones de cero sock con probabilidad posiiva, conrario a la observación de que los socks son coninuamene posiivos para la gran mayoría de los producos almacenables que se ransan regularmene en mercados organizados. Segundo, los precios por sobre un nivel de umbral no exhiben auocorrelación posiiva. Tercero, cuando el almacenamieno es esricamene posiivo, el precio esperado para el siguiene período refleja los cosos, de oporunidad y direcos, en conrase con lo reporado por esudios empíricos (en la radición de Working, 1934), donde las observaciones de mercados inveridos, como pare de la llamada curva de ofera de almacenamieno, son posibles. Una forma de lograr consisencia con esos res hechos esilizados es por medio de una función de beneficio de conveniencia, aun cuando ese ipo de funciones no presenan fundamenos microeconómicos para la exisencia de al beneficio. Como una alernaiva, Bobenrieh, Bobenrieh y Wrigh (2004) especifican un modelo donde la relación de ofera de almacenamieno se obiene de manera endógena, como produco de la agregación de diferenes unidades cuyo coso de mercadeo es heerogéneo. Bobenrieh, Bobenrieh y Wrigh (2002) planean un modelo que resuelve el puzzle de los socks coninuamene posiivos y el de la auocorrelación para odo precio, en un modelo para el cual el precio de equilibrio es finio (aunque no acoado). En el modelo de Bobenrieh, Bobenrieh y Wrigh (2002), la producción mínima (que por simplicidad se supone igual a cero) iene probabilidad posiiva, y el precio en consumo igual a la producción mínima es infinio. Las realizaciones de precio en ese modelo son odas finias, la sucesión de precios de equilibrio visia cada vecindad del sopore de la disribución invariane, una canidad infinia de iempos. Sin embargo, en ese modelo la condición de Euler se cumple con igualdad para odo iempo, y por lo ano la rayecoria del precio esperado iende a +, aumenando a una asa igual a la del coso de almacenamieno. La exisencia coninua de socks posiivos, y la rayecoria del precio esperado, que iende a +, es similar a la descripción esándar de un modelo esocásico de uilización de recursos naurales no-renovables. Sin embargo, en el modelo de Bobenrieh, Bobenrieh y Wrigh (2002) las realizaciones de precio no necesariamene crecen, y no ienen una coa superior fija. El precio, aunque siempre crece en esperanza, disminuye con probabilidad uno en iempos (de parada) finios. A pesar de que el precio esperado iende a +, y del hecho que un precio de + corresponde a consumo 0, ano las esperanzas condicionales de consumo, como la esperanza de la disribución límie de consumo, son uniformemene mayores que una consane esricamene posiiva. Las caracerísicas descrias para precio y consumo planean pregunas sobre

11 Precios de producos almacenables: / Eugenio S.A. Bobenrieh H. 77 las conclusiones que es posible obener a parir de pruebas empíricas del modelo esándar de agoamieno de socks de recursos naurales: si el precio esperado iene una rayecoria endiendo a +, ello no necesariamene implica que las observaciones de precio iendan a +. Cuando el precio corriene es inusualmene alo, la probabilidad de una gran disminución de precio es ala, pero si ése coninúa creciendo, enonces lo hace probablemene a una asa más ala que la implícia en el facor de descueno, al cual es caracerísico en el comporamieno de las denominadas burbujas especulaivas. El modelo de Bobenrieh, Bobenrieh y Wrigh (2002) viola la condición de ransversalidad de Samuelson (1971) de que el precio esperado desconado iende a cero en el límie. En el modelo de Bobenrieh, Bobenrieh y Wrigh (2002) exise una única, coninua, disribución límie invariane para cada una de las variables endógenas, y la disribución invariane para el precio iene esperanza +. El sopore de la disribución límie es un inervalo que incluye a +, aunque odas las observaciones de precios son finias, casi seguramene. Las disribuciones condicionales de precios (para un horizone suficienemene lejano), y la disribución límie, son alamene asiméricas, con la esperanza de precio localizada en el exremo superior de la disribución: para ε > 0 y D > 0 arbirarios dados, exise un horizone finio N 0 y un número real D D al que N implica que E[p ] > D, y que Prob[p D ] < ε. De esa forma, la disinción empírica enre diferenes versiones de la familia del modelo de almacenamieno descrio presena un desafío. La asimería de las disribución de precios implica que la media de realizaciones de precio, condicional en información corriene, presena con probabilidad arbirariamene ala un sesgo negaivo en la esimación del precio esperado, generando observaciones muesrales de precios que podrían ser inerpreadas como de reversión a la media, como en un número de esudios empíricos para precios de acivos financieros. REFERENCIAS Bobenrieh, E. S. A., J. R. A. Bobenrieh y B. D. Wrigh (2002). A Commodiy Price Process Wih a Unique Coninuous Invarian Disribuion Having Infinie Mean. Economerica 70, Bobenrieh, E. S. A., J. R. A. Bobenrieh y B. D. Wrigh (2004). A Model of Supply of Sorage. Economic Developmen and Culural Change, Forhcoming April Cafiero, C. (2002). Esimaion of he Commodiy Sorage Model. Ph.D. disseraion, Deparmen of Agriculural and Resource Economics, Universiy of California a Berkeley. Carroll, C. D. y M. S. Kimball (2001). Liquidiy Consrains and Precauionary Savings. Naional Bureau of Economic Research, Working Paper Chambers, M. J. y R. E. Bailey (1996). A Theory of Commodiy Price Flucuaions. Journal of Poliical Economy 104, Chrisiano, L. J. y J. D. M. Fisher (2000). Algorihms for Solving Dynamic Models wih Occasionally Binding Consrains. Journal of Economic Dynamics & Conrol 24,

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