Concepto de señales y procesos

Transcripción

1 Concepo de señales y procesos Mario Esévez Báez 1 José M. Esévez Carrera 2 Andrés Machado García 3 Maerial publicado originalmene en formao hml en: InfoWiki conribuors. librosabieros:concepos_acerca_de_senales_y_procesos. InfoWiki. November 3, 2007, 01:40 GMT. Available a: hp://infomed20.sld.cu/wiki/doku.php?id=librosabieros:concepos_acerca_de_senales_y_procesos&rev= Accessed November 3, Inroducción En el diccionario general de la Lengua Española VOX (Bibliograf S.A. Copyrigh, 1997) se recogen 15 acepciones para el susanivo femenino señal. De ellas, ienen imporancia para la física las siguienes: onda elécrica para ransmiir información a un circuio elecrónico ; onda de salida: la emiida por un elemeno bajo el efeco de una o varias señales de enrada ; aleración que se inroduce o aparece en el valor de una magniud cualquiera y que sirve para ransmiir información ; señal analógica: la formada por una canidad de una magniud cuyo valor numérico no se uiliza, aunque se conozca. Como puede verse, el susanivo información esá ínimamene ligado al de señal. Revisando en el mismo diccionario puede enconrarse una acepción como: señal ransmiida enre la enrada y la salida de un sisema. V.I. Dmiriev (1991) planea, que cabe uilizar como definición prácica de información la siguiene: información incluye odos los daos que son objeo de almacenamieno, ransmisión y ransformación. Eso ubica a la erminología empleada, como pereneciene al campo de las comunicaciones, al de la informáica y al de la cibernéica, enre oros. Obviamene, en Biología-Medicina, la información iene acepciones pariculares específicas, pero en los úlimos dos ercios del pasado siglo, la acepción de información y la de señal, como concepos de los campos enumerados, alcanzó un alo desarrollo. 1 Docor en Medicina, Especialisa de Fisiología de Segundo Grado, Invesigador Tiular, Profesor Consulane, Docor en Ciencias Médicas, Académico Tiular AIA, Insiuo de Endocrinología y Enfermedades Meabólicas MINSAP. 2 Licenciado en Informáica, Insiuo Superior de Medicina Miliar Dr. Luis Díaz Soo 3 Licenciado en Cibernéica-Maemáica, Profesor Auiliar, Maesro en Ciencias de la Compuación Faculad de Biología, Universidad de La Habana, MES.

2 Desde el puno de visa fisiológico, los académicos de la anigua URSS V.M. Glushkov (1963) y A.N. Kolmogorov (1965), planearon que el concepo de información era una caracerísica de la organización inerna de los sisemas maeriales, que permie esimar las posibilidades inernas de los sisemas, independienemene del proceso de ransmisión o de reproducción de al información. Siguiendo a V.I. Dmiriev (1991), uilizaremos la definición que epresa que: la información siempre se manifiesa de modo maerial y energéico en forma de señales. Cuando la información sea represenada de modo formalizado, que permia su raamieno por medios écnicos, se denominará con el érmino daos. Señales Una señal, en esencia, es un porador maerial de información. Las señales pueden ser naurales (originadas de manera naural), o creadas especialmene con disinos objeivos por el ser humano. La base maerial de las señales esá consiuida por mensajes, que son poradores de información. Los parámeros de variación en el iempo de los poradores se denominarán en ese rabajo como informaivos. Las señales pueden ser clasificadas como: numéricas, coninuas o numéricoconinuas, en dependencia de la esrucura de sus parámeros informaivos. Una señal será numérica, si el conjuno de valores que puede ener es finio o calculable. Será coninua si el conjuno de los valores que puede omar, respeco al parámero considerado, conforman un conjuno coninuo. Si la señal resula numérica respeco a un parámero, y coninua especo a oro, se la denominará numérico-coninua. Modelación maemáica de señales La modelación es un méodo de invesigación muy úil para el esudio de las señales. En paricular, la modelación maemáica analíica resula muy conveniene, al brindarle al invesigador las herramienas de esa ciencia. Un elemeno de cardinal imporancia para esos esudios, esá asociado a la eoría de las probabilidades. A pesar de que con frecuencia se emplean modelos cuyos parámeros son conradicorios respeco a las propiedades de los objeos reales, ello no ha limiado su amplia difusión y empleo. Sirva de ejemplo el modelo, en el cual se represena a una señal, como la suma de un número infinio de funciones sinusoidales con ilimiada duración. Los parámeros de las señales en el mundo maerial, muesran prácicamene siempre, variaciones con respeco al iempo. Se acosumbra denominar variaciones deerminadas las que se definen con precisión en cualquier momeno del iempo, en ano que las variaciones aleaorias, son aquellas cuyos parámeros no se pueden pronosicar. Denominamos ruido a las flucuaciones de

3 los parámeros que nos dificulan la observación con fidelidad de los parámeros de inerés de una señal. Represenación emporal de señales Tano las señales deerminadas, como las aleaorias, pueden represenarse en función del iempo. Para ello, en un plano de ejes de coordenadas caresianas se puede represenar la morfología de la señal, colocando generalmene en el eje de las abscisas el iempo y en el de las ordenadas la magniud observada de la señal. En las señales aleaorias muchas veces resula compleja esa represenación, aunque con el uso de equipos de inscripción (osciloscopios, panallas de vídeo, polígrafos, ec.), es sumamene sencilla la realización de esas areas. Represenación considerando la Frecuencia Si llamamos T a la duración de observación de la señal en cuesión, hay una forma de represenar con basane eaciud el segmeno de la señal como una sumaoria: S( ) a0 = 2 + a cosω a... + b senω + b b n n a cos nω lo cual, en esencia, se corresponde con la anerior epresión. El cálculo de los coeficienes a i y b i, es precisamene la area de la ransformada de Fourier. El coeficiene a 0 se puede considerar como el coeficiene del coseno para la fre- sen nω 2 cos 2ω sen 2ω donde _iempo y ω = 2ω/T. Esas funciones rigonoméricas armónicas (seno y coseno) son sencillas, elemenales y convenienes para aplicaciones que empleen procedimienos maemáicos conocidos, enre ellos, el del cálculo mediane las series de Fourier. Represenación en Series de Fourier La ransformada de Fourier esá basada en el descubrimieno de que es posible omar cualquier función periódica en el iempo S() y subdividirla en infinias sumas de ondas sinusoidales y cosinusoidales, con frecuencias que comiencen en cero y que se incremenen por múliplos de una frecuencia f 0 = 1/T, donde T es el periodo de S(). El desarrollo de esa epresión se puede escribir así: i = 1 S( ) = a0 + ( ai cos(2π i f0 ) + bi sen(2π i f0 ))

4 cuencia cero. No eise un correspondiene coeficiene b 0 porque el seno de 0 grados es cero. Represenación con Méodo de Regresión Múliple Oro modo de represenar la secuencia de valores de la señal es considerar el caso como un problema de regresión múliple lineal, donde la variable dependiene sería la serie emporal de valores de la señal y la independiene sería la función seno de odas las posibles frecuencias discreas. Ese modelo puede ser epresado de esa manera: n S( ) = a0 + [ ai cos ( λ ) + bi sen ( λ )] i = 1 En esa epresión, λ represena la frecuencia epresada en radianes por unidad de iempo: λ = 2πf donde π es la consane Pi = y f son las posibles frecuencias discreas. Los parámeros a i y b i, que aparecen en ese modelo, serían los coeficienes de regresión que nos indican el grado con el cual esán correlacionadas ambas funciones con los daos originales de la serie emporal de la señal que se esá analizando. Procesos Concepo Un proceso puede ser enunciado como un conjuno de fases sucesivas de un fenómeno o de una serie de fenómenos. Las propiedades de los procesos ienen una gran imporancia para los invesigadores, ya que en dependencia de sus caracerísicas pariculares será posible uilizar unos u oros méodos para la modelación maemáica de los mismos. A coninuación se muesran algunos ipos de procesos y sus propiedades. Procesos esocásicos En la nauraleza eisen muchos ejemplos de procesos esocásicos (aleaorios), enre ellos los fenómenos meeorológicos, el movimieno browniano de las parículas, algunas vibraciones, el ruido en los canales de elecomunicaciones y elemenos elecrónicos, ec. Un proceso esocásico será aquél cuyos valores (parámeros) en cada momeno son aleaorios. Cuando el fenómeno es observado en una venana de iempo deerminada, los valores del mismo en ese período se denominan realizaciones del proceso. La venana de iempo es variable para el invesigador, pero si el proceso es verdaderamene aleaorio, independienemene de la duración de la venana de observación, las realizaciones del proceso serán disinas. No obsane, resula muy imporane la definición de un período razonable

5 (venana) de iempo, para el esudio de un proceso en paricular. Por ejemplo, en la elecroencefalografía se ha considerado que una venana de observación de 1.5 a 2 minuos resula adecuada, en ano para la evaluación de la acividad uniaria neuronal suelen ser suficienes 10 segundos. La Teoría de las Probabilidades y el empleo de procedimienos esadísicos han permiido esablecer crierios para caracerizar a los procesos esocásicos. El fundameno de ese enfoque yace en la eperiencia de que cuando el proceso es observado un número suficiene de veces (realizaciones), algunas de sus propiedades pueden ser pronosicadas, corriendo un deerminado riesgo de acerar o no, pero que puede ser precisado, gracias al empleo de méodos esadísicos. Clasificación Los elemenos empleados fundamenalmene para clasificar los procesos esocásicos son: El espacio de esados. El parámero iempo. Las dependencias esadísicas enre las magniudes aleaorias del proceso en disinos momenos del iempo. El espacio de esados esá consiuido por el conjuno de posibles valores de la magniud aleaoria del proceso en el iempo. Un proceso esocásico se denomina coninuo cuando su conjuno de esados consiuye un odo coninuo y en el que los cambios de esado son posibles en cualquier momeno del iempo. Si los cambios de esado solo se producen en canidades finias o en momenos de iempo que pueden ser numerados, se dice enonces que eise una secuencia esocásica coninua. Un proceso esocásico con un conjuno finio de esados que pueden variar en momenos de iempo arbirarios es denominado como proceso esocásico discreo. Si los cambios de esado pueden ser solo posibles en canidades finias o en momenos numerables de iempo, se habla enonces de secuencias esocásicas discreas. Caracerísicas probabilísicas Por definición, un proceso aleaorio A() se puede describir por un sisema N de variables aleaorias igualmene dependienes, A ( 1 ),..., A i = A( i ),..., A N = A( N ) omadas en disinos momenos de iempo, 1,..., i,..., N

6 Cuando N crece de modo ilimiado, ese sisema es equivalene al proceso esocásico eaminado A(). Para la deerminación complea y la descripción de las magniudes casuales (aleaorias), es necesario conocer la función de disribución o la densidad de probabilidad. La densidad N-dimensional de ese sisema se puede escribir así: P N ( A,..., Ai,..., AN ; 1,...,,..., 1 i N ) La obención, empleando méodos eperimenales, de la densidad N- dimensional de probabilidad, represena una area compleja o prácicamene irrealizable en muchos casos de la vida real. En la prácica, solo se requiere la obención de densidades probabilísicas uni o bidimensionales. Para casos prácicos, resula suficiene conocer las caracerísicas numéricas de las variables aleaorias. De ellas, las más empleadas son: la esperanza maemáica (media ariméica) y la varianza, correspondienes a las funciones insanáneas de los dos primeros órdenes (primero y segundo momenos de la función). Ahora bien, la esperanza maemáica y la varianza o dispersión no son suficienes para describir las propiedades de la función aleaoria. Para ello, se requiere añadir la función de correlación (auocorrelación en ese caso). La función de auocorrelación nos permie diferenciar a dos procesos esocásicos que engan incluso similares esperanzas maemáicas y varianzas, ya que la función de auocorrelación oma en cuena la rapidez con la cual se producen los cambios de valores en ambos procesos, en función del iempo. Los dos procesos pueden solo ser considerados similares, si los res crierios arrojan idénicos valores. Procesos esocásicos esacionarios Aunque no se enunció aneriormene, debe adverirse que los procesos esocásicos consiuyen en la prácica series de iempo (series emporales) que han sido objeo de esudio aplicando numerosos méodos maemáicoesadísicos. Ya fue señalado que un proceso aleaorio es un proceso probabilísico, cuyas ocurrencias son funciones del iempo. Ahora bien, si un proceso esocásico resula emporalmene homogéneo, es decir, que sus propiedades esadísicas se manienen sin variaciones osensibles ane cualquier raslado (desplazamieno) en la escala del iempo, esaremos en presencia de un proceso esocásico esacionario. Esos procesos, represenan desviaciones alrededor de un valor medio. Por oro lado, ni la densidad media, ni el carácer de esas oscilaciones, muesran cambios relevanes en el iempo. Los procesos aleaorios que no resulan homogéneos emporalmene se denominan como no esacionarios. El modelo maemáico del proceso aleaorio no esacionario es el mejor para la descripción de la señal, pero posee poca aplicación a causa de que su esrucura es muy compleja. Es esa la razón del hecho, por el cual se uiliza frecuenemene en la prácica, la suposición de que el proceso en esudio, sea al menos esacionario, en el senido más amplio de la palabra. Debe ambién enerse en cuena, que algunos procesos no esacio-

7 narios, pueden realmene ser omados como esacionarios, en cieros periodos de iempo. En el proceso aleaorio esacionario, en un senido esrico del érmino, las epresiones para la densidad especral de probabilidad, no dependen del puno de referencia del iempo. La esabilidad del proceso presupone su eisencia y su homogeneidad esadísica en odo el inervalo de iempo desde - a. Tales procesos no se corresponden a los observados en la vida real y muchísimo menos en Biología. No obsane, una convención muy empleada en diversos campos de la Ciencia es la de que, cuando se conrolan al máimo las condiciones eeriores que pueden influir en el proceso, por un periodo de iempo razonable, los procesos aleaorios que se desarrollan con ciera esabilidad pueden ser considerados como procesos esocásicos esacionarios. Propiedades Para los procesos aleaorios esacionarios debe cumplirse la condición de consancia emporal del momeno de primer orden de la serie emporal analizada (esperanza maemáica o media), así como del segundo momeno (varianza). El oro elemeno que inegra la ríada para describir compleamene al proceso, la función de auocorrelación, no puede depender del momeno del iempo en que se inicie su cálculo. En oras palabras, su dependencia solo esará vinculada al paso "au" ( τ ) empleado para el cálculo de la función. Como anes se sugirió, un proceso esocásico esable se puede considerar esacionario en el amplio senido de la palabra. Cuando un proceso aleaorio no muesra una oal consancia de los valores de la esperanza maemáica, o la función de auocorrelación muesre ciera dependencia del momeno en el iempo a parir del cual se la calcule, pero la variación de los parámeros en el inervalo de iempo que ineresa analizar del proceso resule despreciable, se le puede denominar a ese proceso como esocásico casi esacionario, y para su esudio pueden ser aplicados los procedimienos maemáicos y esadísicos que se emplean con oda propiedad en los procesos esacionarios, aunque los resulados deben ser omados siempre con ciera reserva. Vale señalar en ese puno, que el concepo de esabilidad del proceso, depende mucho de la eperiencia del que así lo considera, y muchas veces, de la aplicación de elemenos y procedimienos gráficos o esadísicos que permian corroborarlo. Tipos fundamenales Vamos a reseñar a coninuación, algunas series cronológicas eóricas que pueden de hecho consiuir, esquemas o modelos eóricos para analizar las series emporales observadas en la vida real (empíricas). Proceso aleaorio Una serie cronológica, represenada por la epresión:

8 { =...,,,,,... } para = (0, ± 1, ± 2,, ± n, ), será un proceso puramene aleaorio, si es el represenane del resulado -ésimo del muesreo de una serie de muesreos independienes. Cuando realizamos en la prácica esa serie de muesreos sucesivos independienes, endremos:, 1, 2, 3,... n, Lo que consiuye una realización o muesra del proceso bajo consideración. Proceso esricamene periódico Una serie cronológica eórica { =...,,,,,... } para = (0, ± 1, ± 2,, ± n, ), consiuye un proceso esricamene periódico, cuando para odo valor, represena el valor de una función de iempo f(), esricamene periódica en el senido maemáico. Proceso de periodicidades oculas Si para odo valor en una serie emporal, se iene que = ξ + ε donde el primer sumando represena un proceso esricamene periódico y el segundo es un proceso puramene aleaorio, se puede decir que se raa de un proceso de periodicidades oculas; una realización del mismo esaría dada por la epresión: y = f ( ) +, e donde f() es la función periódica, y el segundo sumando represena al valor - ésimo de la serie. Proceso de promedios móviles Una serie emporal eórica como ya la hemos represenado anes, { =...,,,,,..., } consiuye un proceso de promedios móviles, si para odo valor de se iene que:

9 ξ = α ε + α1 ε 1 + α 2 ε α m ε 1 m, donde ε es la represenación de un proceso puramene aleaorio y las α i ( = 0, 1, 2,, m) son m +1 consanes. Ese proceso supone la presencia de un suavizado sobre la serie emporal. Proceso auorregresivo Una serie cronológica eórica { =...,,,,,... } para = (0, ± 1, ± 2,, ± n, ), se considerará un proceso auorregresivo, si para odo valor de se iene, = f (, 2, 3,..., ) + ε, 1 m donde f es una función concrea y ε es un proceso puramene aleaorio. Si f es una función lineal, o sea, = m m β + β + β +,..., + β + ε, donde los coeficienes β i (i = 1, 2, 3,, m), son m consanes, enonces esamos en presencia de un proceso lineal auorregresivo. Más adelane, al desarrollar los aspecos relacionados con el análisis de correlación, volveremos a esas cuesiones. Procesos esocásicos esacionarios ergódicos Concepo Cuando una sola realización de un proceso esocásico esacionario, es capaz de brindar la información complea para describir al proceso, se dice que el proceso es, además de esacionario, ergódico. Esa condición de ergodicidad esá implícia cuando, por ejemplo, se considera que un segmeno de una duración deerminada de un proceso fisiológico es capaz de ofrecer la información necesaria del esado funcional del sisema que es objeo de análisis, a parir de sus manifesaciones elécricas, de composición química, fooluminiscencia, emperaura, ec. A pesar de lo arayene de ales suposiciones, el invesigador debe ser cauo a la hora de aplicar en oda su eensión las posibilidades que le ofrecen las mismas. Propiedades

10 Cuando el proceso es ergódico, el valor de la esperanza maemáica no depende del iempo. Lo mismo ocurre con los momenos de orden superior y en paricular con la varianza (segundo momeno). Con respeco a la función de auocorrelación: La función de auocorrelación de la función con valor de media cero y un paso "au" (τ) de desplazamieno lo suficienemene grande, iende a cero. La función de auocorrelación evaluada para el desplazamieno " τ = 0 " es igual a la varianza del proceso. La función de auocorrelación es par, o sea, R(τ) = R(-τ). El valor del coeficiene de auocorrelación en el desplazamieno cero es mayor o igual que el coeficiene para R(τ), o sea, para cualquier valor del coeficiene con cualquier desplazamieno τ. En ano mayor sea la canidad de componenes de ala frecuencia de la señal aleaoria, la función de auocorrelación decrecerá más, a medida que se produzca un incremeno de τ. Linealidad de los procesos Se puede decir que eise una relación lineal enre una variable(s) independiene(s) y la dependiene, cuando se puede comprobar que efecivamene eise una correspondencia lineal enre ambas. Digamos, por ejemplo, cuando engamos una relación del ipo: y = a + b donde, _ variable independiene e y _ variable dependiene. La eoría del paso de procesos esocásicos a ravés de sisemas lineales ha sido muy desarrollada. En senido esrico, para poder aplicar los méodos desarrollados y que son aplicables al esudio y análisis de los procesos esocásicos esacionarios ergódicos, es necesario asegurarse de que el sisema en esudio, y en paricular la(s) variable(s) independiene(s) que se esé(n) analizando muesre(n) un comporamieno lineal respeco a la variable dependiene. Generalmene, la variable independiene será el iempo y la dependiene: los valores observados del proceso someido a evaluación y análisis. Han sido desarrolladas imporanes aplicaciones, para casos en que el sisema en esudio muesre elemenos con un comporamieno no lineal, como lo es el del radar. Incluso en casos donde haya sido demosrada la eisencia de no linealidad, eisen méodos de linealización esadísica, que consiuyen una solución aproimada del problema. La combinación de las posibilidades de la eoría clásica y del empleo de procedimienos físico-maemáicos a los procesos no lineales, consiuyen una opción para el invesigador, aunque debe señalarse que los resulados obenidos mediane el empleo de esos méodos, en muchos casos, son difíciles de ser inerpreados desde un puno de visa fisiológico, lo que implica limiaciones al uso prácico de los mismos.