ESTUDIO DEL PROCEDIMIENTO DE MUESTREO Y RECONSTRUCCIÓN DE ALGUNOS PROCESOS ALEATORIOS NO GAUSSIANOS

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN MAESTRÍA EN INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES ESTUDIO DEL PROCEDIMIENTO DE MUESTREO Y RECONSTRUCCIÓN DE ALGUNOS PROCESOS ALEATORIOS NO GAUSSIANOS TESIS UE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES PRESENTA: Ing. César Elí Hernández Aquino DIRECTOR DE TESIS: Dr. Vladimir Kazakov Erasova Méico DF 4

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4 Agradecimienos A mi madre, Josefina, que es mi mayor ejemplo de foraleza, decisión y amor, a mi padre, César, por su cariño, consejos y eperiencias. De forma muy especial al Dr. Vladimir Kazakov Por sus grandes enseñanzas, su eperiencia y apoyo. A oda mi familia que me apoya y me impulsa a seguir adelane. A i Vero, que siempre me has apoyado en realizar mis sueños y compares u vida conmigo. A mis profesores de posgrado de quienes he obenido grandes enseñanzas. A odos, muchas gracias.

5 i Índice Lisa de símbolos Índice de figuras Objeivos Jusificación Resumen Absrac iii iv iii iii iv v Capíulo. La regla de la esperanza maemáica condicional y su aplicación para los problemas de muesreo-reconsrucción de los procesos aleaorios.. Inroducción. Teorema de Balakrishnan y sus desvenajas. Caso general 4.. Descripción de los procesos aleaorios 4.. Función de Covarianza 6.. Densidad especral de poencia 8..4 Funciones que caracerizan a un sisema lineal 8..5 Respuesa de un sisema lineal a procesos aleaorios 9.4 Caso Gaussiano.4. Regla de la esperanza maemáica condicional.4. Ejemplos Gaussianos Markovianos usando la función de covarianza ε R = e.4. Ejemplos Gaussianos Markovianos con la función de covarianza α R = α e Ejemplos Gaussianos Markovianos con la función de covarianza ε ε R = ε e Ejemplos para el caso paricular de la función sinc.4.6 Comparación enre los diferenes resulados para el caso Gaussiano 7 Capíulo. Procedimieno de muesreo-reconsrucción de los procesos no Gaussianos Markovianos. Inroducción 44. El Procedimieno de Muesreo-Reconsrucción del proceso Markoviano de Rayleigh 45.. Epresiones generales para el PMR del proceso Markoviano de Rayleigh 45.. PMR del proceso Markoviano de Rayleigh en el régimen de erapolación 5.. PMR del proceso Markoviano de Rayleigh en el régimen de inerpolación 57. El procedimieno de muesreo-reconsrucción Markoviano con la función de disribución de probabilidad gamma 64.. Epresiones generales para el SRP del proceso Markoviano con la fdp gamma 64 i

6 ii.. SRP del proceso Markoviano con la fdp eponencial en el régimen de erapolación 65.. SRP del proceso Markoviano con la la fdp eponencial en el régimen de inerpolación 74 Capíulo. Procedimieno de muesreo-reconsrucción de los procesos no Gaussianos no Markovianos. Inroducción 8. Reconsrucción del proceso de Rayleigh no Markoviano 8.. Reconsrucción del proceso de Rayleigh no Markoviano con = ε ep ε 8... Régimen de erapolación 8... Régimen de inerpolación 87 ε... Reconsrucción del proceso de Rayleigh no Markoviano con ε = ε e 9... Régimen de erapolación 9... Régimen de inerpolación 97. Reconsrucción del proceso no Markoviano con la fdp eponencial.. Reconsrucción del proceso no Markoviano con la fdp eponencial con = ε ep ε... Régimen de erapolación... Régimen de inerpolación 6.. Reconsrucción del proceso no Markoviano con la fdp eponencial con ε ε = ε e... Régimen de erapolación... Régimen de inerpolación 4 Conclusiones 9 Recomendaciones y sugerencias para rabajos fuuros Aneos A. Programas realizados para los cálculos B. Arículo presenada en conferencia Bibliografía 7

7 iii Lisa de símbolos α El inverso de la consane de iempo de un filro RC. α i función momeno de i-ésimo orden a ij elemenos de la mariz inversa de covarianza. Mariz de covarianza inversa C consane de normalización de la función de covarianza T inervalo de reconsrucción e base de los logarimos naurales ε parámero de un proceso aleaorio h respuesa al impulso Hjω función de ransferencia de un sisema lineal i, j, k, m, n variables eneras j el número imaginario K función de covarianza K mariz de covarianza L, M números eneros m función de esperanza maemáica m ~ función de esperanza maemáica condicional m esperanza maemáica incondicional N enero que indica el número oal de muesras P probabilidad de la variable aleaoria función auiliar empleada como función de covarianza R función de covarianza normalizada ρ función de covarianza normalizada de Rayleigh parámero de un proceso aleaorio función de varianza maemáica ~ función de varianza maemáica condicional S ω densidad especral de poencia variable independiene de la función de covarianza c iempo de covarianza iempo T i insane de iempo de la i-ésima muesra u proceso aleaorio de enrada ω m [] función de densidad de probabilidad de orden m de un proceso aleaorio ω frecuencia angular en radianes, ω = πw ω b frecuencia resringida de un especro de poencia una variable aleaoria un proceso aleaorio ~ un proceso aleaorio condicional j j-ésima realización de un proceso aleaorio T i,, X valor de una muesra de un proceso aleaorio en un insane de iempo T i operador de promedio esadísico

8 iv Capíulo Índice de figuras -: Conjuno de posibles realizaciones,,, j,, M que puede ener un proceso aleaorio coninuo. 5 -: Función de covarianza K para a un proceso suave b un proceso caóico 7 -: Relación enrada salida en un sisema lineal 9-4 : Posibles realizaciones de un proceso aleaorio condicional, dado un conjuno de muesras X,T. -5, 7, 9: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano Markoviano con 5 muesras y α una función de covarianza R = e, =. c -5-6, 8, : Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano Markoviano con 5 α muesras y una función de covarianza R = e, =. c 4, 5 -, : Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano Markoviano con 6 muesras y α una función de covarianza R = e, =.5 c 6 -, 4: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano Markoviano con 6 α muesras y una función de covarianza R = e, =.5 c 6, 7-5: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano Markoviano con 4 muesras y una α función de covarianza R = e, = c. 7-6: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano Markoviano con 4 muesras α y una función de covarianza R = e, = c. 7-7: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano Markoviano con 4 muesras y una α función de covarianza R = e, =.5 c. 8-8: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano Markoviano con 4 muesras α y una función de covarianza R = e, =.5 c. 8-9,, : Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza α R = α e, =. c 9- -,, 4: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza α R = α e, =. c, -5, 7: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza α R = α e, =.5 c -6, 8: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 α muesras y una función de covarianza R = α e, =.5 c, -9: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza α R = α e, = c.

9 v -: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza α R = α e, = c. -: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una α función de covarianza R = α e, =.5 c. 4 -: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 α muesras y una función de covarianza R = α e, =.5 c. 4 -, 5, 7: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza , =. R = e c , 6, 8: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza , =. R = e c , 4: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza , =.5 R = e c 8 7-4, 4: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza , =.5 R = e c 8-4: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza , = R = e c. 9 7 Figura -44: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza , = R = e c. 9 Figura -45: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza , =.5 R = e c. Figura -46: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza , =.5 R = e c. Figura -47, 49: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza Sen π, =. c, 4 π Figura -48, 5: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza Sen π, =. c, 4 π Figura -5, 5: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza Sen π, =.5 c 5 π Figura -5, 54: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza Sen π, =.5 c 5, 6 π

10 vi Figura -55: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza Sen π, = c. 6 π Figura -56: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza Sen π, = c. 6 π Figura -57: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza Sen π, =.5 c. 7 π Figura -58: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza Sen π, =.5 c. 7 π Figura -59: Función de reconsrucción con muesras y α R = e, y =.5 9 Figura -6: Función de error de reconsrucción con muesras y α R = e, =.5 9 α Figura -6: Función de reconsrucción con muesras y R = α e, =.5 9 α Figura -6: Función de error de reconsrucción, muesras, R = α e =.5 9 Figura -6: Función de reconsrucción, muesras, α α, y =.5 4 R = α e Figura -64: Función error de reconsrucción, muesras, α, =.5 R = α e 4 Figura -65: Función de reconsrucción con muesras y Senπ K =, y =.5 π 4 Figura -66: Función de error de reconsrucción con muesras y Senπ K =, =.5 π 4 Figura -67: Función de reconsrucción con 5 muesras y α α R = e, y =.4 4 Figura -68: Función de error de reconsrucción con 5 muesras y α R = e, y =.4 4 Figura -69: Función de reconsrucción con 5 muesras y R = e, y =.4 4 Figura -7: Función de error de reconsrucción 5 muesras y R = e, = Figura -7: Función de reconsrucción 5 muesras y 8 64, =.4 4 R = e 8 Figura -7: Función error de reconsrucción 5 muesras, , R = e =.4 4 Figura -7: Función de reconsrucción con 5 muesras y Senπ K =, y =.4 4 π Figura -74: Función de error de reconsrucción con 5 muesras y Senπ K =, y = π

11 vii Capíulo Figura -, 9: fdp de Rayleigh donde =, iempo variable 46, 47 Figura -, 7: fdp de Rayleigh donde =, iempo variable 48, 49 Figura -8, 5: fdp de Rayleigh donde =8, iempo variable 49, 5 Figura -6: Función de covarianza de la función de Rayleigh con =ep- 5 Figura -7: Función de covarianza normalizada de Rayleigh con =ep- 5 Figura -8, : Función de reconsrucción erapolación para el proceso Markoviano de Rayleigh con el valor muesra =4,,,,. 5, 54 Figura -, 7: Función error de reconsrucción erapolación del proceso Markoviano de Rayleigh para el valor muesra =4,,,,. 55, 56 Figura -8: Error promedio erapolación para el proceso Markoviano de Rayleigh 57 Figura -9: Función de reconsrucción inerpolación del proceso Markoviano de Rayleigh para el par de muesras =4 y = y T=4/ε. 58 Figura -4: Función de error de reconsrucción inerpolación del proceso Markoviano de Rayleigh para =4 y = y T=4/ε 59 Figura -4: Función de reconsrucción inerpolación del proceso Markoviano de Rayleigh para el par de muesras = y = y T=4/ε. 59 Figura -4: Función de error de reconsrucción inerpolación del proceso Markoviano de Rayleigh para = y = y T=4/ε 59 Figura -4: Error promedio inerpolación para el proceso Markoviano de Rayleigh y un T=4/ε 6 Figura -44: Función de reconsrucción inerpolación del proceso Markoviano de Rayleigh para el par de muesras =4 y = y T=/ε. 6 Figura -45: Función de error de reconsrucción inerpolación del proceso Markoviano de Rayleigh para =4 y = y T=/ε 6 Figura -46: Función de reconsrucción inerpolación del proceso Markoviano de Rayleigh para el par de muesras = y = y T=/ε. 6 Figura -47: Función de error de reconsrucción inerpolación del proceso Markoviano de Rayleigh para X = y X = y T=/ε 6 Figura -48: Error promedio inerpolación para el proceso Markoviano de Rayleigh y un T=/ε 6 Figura -49: Función de reconsrucción inerpolación del proceso Markoviano de Rayleigh para el par de muesras =4 y = y T=.4/ε 6 Figura -5: Función de error de reconsrucción inerpolación del proceso Markoviano de Rayleigh para X =4 y X = y T=.4/ε 6 Figura -5: Función de reconsrucción inerpolación del proceso Markoviano de Rayleigh para el par de muesras = y = y T=.4/ε. 6 Figura -5: Función de error de reconsrucción inerpolación del proceso Markoviano de Rayleigh para X = y X = y T=.4/ε 6 Figura -5: Error promedio inerpolación para el proceso Markoviano de Rayleigh y un T=.4/ε 6

12 viii Figura -54, 64: fdp eponencial donde =, iempo variable Figura -65, 75: fdp eponencial donde =, iempo variable 67, 68 Figura -76, 86: fdp eponencial donde =5, iempo variable 69, 7 Figura -87, 9: Función de reconsrucción erapolación para el proceso Markoviano con la fdp eponencial con el valor muesra =4,,,, 7, 7 Figura -9, 96: Función error de reconsrucción erapolación del proceso Markoviano con la fdp eponencial para el valor muesra =4,,,, 7, 74 Figura -97: Función de reconsrucción inerpolación para el proceso Markoviano con la fdp eponencial para los pares de muesras X =4;X = y T=8/ε. 76 Figura -98: Función de error de reconsrucción inerpolación para el proceso Markoviano con la fdp eponencial para los pares de muesras X =4;X = y T=8/ε. 76 Figura -99: Función de reconsrucción inerpolación para el proceso Markoviano con la fdp eponencial para los pares de muesras X =;X = y T=8/ε. 76 Figura -: Función de error de reconsrucción inerpolación para el proceso Markoviano con la fdp eponencial para los pares de muesras X =;X = y T=8/ε. 77 Figura -: Error promedio inerpolación de reconsrucción con la fdp eponencial y T=8/ε. 77 Figura -: Función de reconsrucción inerpolación para el proceso Markoviano con la fdp eponencial para los pares de muesras X =4;X = y T=/ε. 77 Figura -: Función de error de reconsrucción inerpolación para el proceso Markoviano con la fdp eponencial para los pares de muesras X =4;X = y T=/ε. 78 Figura -4: Función de reconsrucción inerpolación para el proceso Markoviano con la fdp eponencial para los pares de muesras X =;X = y T=/ε. 78 Figura -5: Función de error de reconsrucción inerpolación para el proceso Markoviano con la fdp eponencial para los pares de muesras X =;X = y T=/ε. 78 Figura -6: Error promedio de reconsrucción con la fdp eponencial y T=/ε 79 Figura -7: Función de reconsrucción inerpolación para el proceso Markoviano con la fdp eponencial para los pares de muesras X =4;X = y T=.4/ε. 79 Figura -8: Función de error de reconsrucción inerpolación para el proceso Markoviano con la fdp eponencial para los pares de muesras X =4;X = y T=.4/ε. 79 Figura -9: Función de reconsrucción inerpolación para el proceso Markoviano con la fdp eponencial para los pares de muesras X =;X = y T=.4/ε. 8 Figura -: Función de error de reconsrucción inerpolación para el proceso Markoviano con la fdp eponencial para los pares de muesras X =;X = y T=.4/ε. 8 Figura -: Error promedio de reconsrucción inerpolación con la fdp eponencial y T=.4/ε. 8 Capíulo Figura -: Función de covarianza de Rayleigh. con = ep 8 Figura -: Función de covarianza normalizada de Rayleigh con = ep 8

13 i Figura -, 7: Función de reconsrucción erapolación para el proceso no Markoviano de Rayleigh con = α ep α, donde =4,,,, 84, 85 Figura -8, : Función de error de reconsrucción erapolación para el proceso no Markoviano de Rayleigh con = α ep α, con =4,,,, Figura -: Error promedio de reconsrucción erapolación para el proceso no Markoviano de Rayleigh con = α ep α. 87 Figura -4: Función de reconsrucción inerpolación del proceso no Markoviano de Rayleigh con = α ep α, donde =4; = y T=4/ε. 88 Figura -5: Función de error de reconsrucción inerpolación del proceso no Markoviano de Rayleigh con = α ep α, donde =4; = y T=4/ε. 88 Figura -6: Función de reconsrucción inerpolación del proceso no Markoviano de Rayleigh con = α ep α, donde =; = y T=4/ε. 89 Figura -7: Función de error de reconsrucción inerpolación del proceso no Markoviano de Rayleigh con = α ep α, donde =; = y T=4/ε. 89 Figura -8: Error promedio de reconsrucción inerpolación del proceso no Markoviano de Rayleigh con = α ep α, donde T=4/ε. 89 Figura -9: Función de reconsrucción inerpolación del proceso no Markoviano de Rayleigh con = α ep α, donde =4; = y T=/ε. 9 Figura -: Función de error de reconsrucción inerpolación del proceso no Markoviano de Rayleigh con = α ep α, donde =4; = y T=/ε. 9 Figura -: Función de reconsrucción inerpolación del proceso no Markoviano de Rayleigh = α ep α, donde =; = y T=/ε. 9 Figura -: Función de error de reconsrucción inerpolación del proceso no Markoviano de Rayleigh con = α ep α, donde =; = y T=/ε. 9 Figura -: Error promedio inerpolación del proceso no Markoviano de Rayleigh con = α ep α, donde T=/ε. 9 Figura -4: Función de covarianza de Rayleigh, 8 64 = ep 8. 9 Figura -5: Función de cov. normalizada de Rayleigh con = Figura -6, : Función de reconsrucción erapolación para el proceso no Markoviano de Rayleigh con = e, donde =4,,,, 94, 95 7 Figura -, 5: Función de error de reconsrucción erapolación para el proceso no Markoviano de Rayleigh con = e, con =4,,,, Figura -6: Error promedio erapolación para el proceso no Markoviano de Rayleigh con = e ep

14 Figura -7: Función de reconsrucción inerpolación del proceso no Markoviano de Rayleigh con = e, donde =4; = y T=4/ε Figura -8: Función de error de reconsrucción inerpolación del proceso no Markoviano de Rayleigh con = e, donde =4; = y T=4/ε Figura -9: Función de reconsrucción inerpolación del proceso no Markoviano de Rayleigh con = e, donde =; = y T=4/ε Figura -4: Función de error de reconsrucción inerpolación del proceso no Markoviano de Rayleigh con = e, donde =; = y T=4/ε Figura -4: Error promedio de reconsrucción inerpolación del proceso no Markoviano de Rayleigh con = e, donde T=4/ε Figura -4: Función de reconsrucción inerpolación del proceso no Markoviano de Rayleigh con = e, donde =4; = y T=/ε. 7 Figura -4: Función de error de reconsrucción inerpolación del proceso no Markoviano de Rayleigh con = e, donde =4; = y T=/ε. 7 Figura -44: Función de reconsrucción inerpolación del proceso no Markoviano de Rayleigh con = e, donde =; = y T=/ε. 7 Figura -45: Función de error de reconsrucción inerpolación del proceso no Markoviano de Rayleigh con = e, donde =; = y T=/ε. 7 Figura -46: Error promedio de reconsrucción inerpolación del proceso no Markoviano de Rayleigh con = e, donde T=/ε. 7 Figura -47, 5: Función de reconsrucción erapolación del proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con y =4,,,, -4 = e Figura -5, 56: Función de error de reconsrucción erapolación del proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con y =4,,,, 4, 5 = e Figura -57: Error promedio erapolación del proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con. 6 = e Figura -58: Función de error de reconsrucción inerpolación para el proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con donde = e =4; = y T=8/ε. 7 Figura -59: Función de error de reconsrucción inerpolación para el proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con donde = e =4; = y T=8/ε. 7

15 i Figura -6: Función de reconsrucción inerpolación para el proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con donde =; = y T=8/ε. 7 = e Figura -6: Función de error de reconsrucción inerpolación para el proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con donde =; = y T=8/ε. 8 = e Figura -6: Error promedio de reconsrucción inerpolación para el proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con y T=8/ε. 8 = e Figura -6: Función de reconsrucción inerpolación para el proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con donde =4; = y T=/ε. 8 = e Figura -64: Función de error de reconsrucción inerpolación para el proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con donde = e =4; = y T=/ε. 9 Figura -65: Función de reconsrucción inerpolación para el proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con donde =; = y T=/ε. 9 = e Figura -66: Función de error de reconsrucción inerpolación para el proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con donde =; = y T=/ε. 9 = e Figura -67: Error promedio de reconsrucción inerpolación para el proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con y T=/ε. = e Figura -68, 7: Función de reconsrucción erapolación del proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con y =4,,,,, = e 7 Figura -7, 77: Función de error de reconsrucción erapolación del proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con y =4,,,, - 4 = e 7 Figura -78: Promedio de error de reconsrucción erapolación del proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con = e 7 Figura -79: Función de error de reconsrucción inerpolación para el proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con donde =4; = y T=8/ε. 5 = e 7 Figura -8: Función de error de reconsrucción inerpolación para el proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con 8 donde =4; = y T=8/ε = e 7 Figura -8: Función de reconsrucción inerpolación para el proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con donde =; = y T=8/ε. 6 = e 7 Figura -8: Función de error de reconsrucción inerpolación para el proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con donde =; = y T=8/ε. 6 = e 7

16 ii Figura -8: Error promedio de reconsrucción inerpolación para el proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con y T=8/ε. 6 = e 7 Figura -84: Función de reconsrucción inerpolación para el proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con donde =4; = y T=/ε. 7 = e 7 Figura -85: Función de error de reconsrucción inerpolación para el proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con donde =4; = y T=/ε. 7 = e 7 Figura -86: Función de reconsrucción inerpolación para el proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con donde =; = y T=/ε. 7 = e 7 Figura -87: Función de error de reconsrucción inerpolación para el proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con donde =; = y T=/ε. 8 = e 7 Figura -88: Error promedio de reconsrucción inerpolación para el proceso no Markoviano con la fdp eponencial, con y T=/ε. 8 = e 7

17 iii Objeivos. Aplicar eoría esadísica de comunicaciones realizando un esudio de procedimieno de muesreo - reconsrucción de algunos procesos no Gaussianos, con base en la regla de la esperanza condicional. Esudiar dos casos pariculares de procesos no Gaussianos, ya que ano la función de reconsrucción como la función de error serán deerminadas por epresiones analíicas concreas. Demosrar que las caracerísicas esadísicas del procedimieno de muesreo reconsruccón de procesos no Gaussianos son funciones no lineales de muesras. Jusificación Como es sabido el eorema clásico de muesreo asociado son los nombres Whiaker Koel nikov Shannon WKS fue esablecido para funciones deerminísicas con un especro finio, después A. Balakrishnan generalizó el eorema WKS en procesos esocásicos de poencia finia. Respeco a eso se ienen algunas cuesiones: a El eorema es válido sólo para procesos Gaussianos, ya que su comprobación sólo esá basada en el especro de poencia o de manera correspondiene, la función de covarianza usual. Todo proceso no Gaussiano es caracerizado por algunas funciones especrales o funciones acumulaivas de alo orden. Ese esudio proporciona algunos resulados omando en cuena el ipo de función de densidad de probabilidad del proceso esocásico, que no es omado en cuena por el eorema clásico, y así demosrar que la regla de la esperanza maemáica condicional proporciona venajas en el procedimieno de muesreo-reconsrucción. También se puede observar en el eorema de Balakrishnan que la reconsrucción es obenida como la suma lineal de muesras, que es válido para procesos esocásicos Gaussianos, pero no para los procesos no Gaussianos. Enonces para poder describir el muesreoreconsrucción de procesos esocásicos no Gaussianos es necesario conocer la función de disribución de probabilidad mulidimensional y un número de muesras dado. Para el caso de procesos Gaussianos, la función de reconsrucción es una función lineal de muesras y la función de error no depende de las mismas; en el caso de los procesos aleaorios no Gaussianos la siuación no es an simple. No hay muchas epresiones para una función de disribución de probabilidad no Gaussiana mulidimensional, por lo ano es más difícil obener algunas conclusiones generales.

18 Resumen Un problema en la eoría de las comunicaciones es la reconsrucción de los procesos aleaorios dada una canidad de valores muesra. Es conocido el eorema clásico de muesreo usualmene conocido como WKS Whiaker, Koel nikov, Shannon que se ha probado para funciones deerminísicas con base a su especro. Ese eorema fue generalizado para procesos aleaorios por A. Balakrishnan. La generalización de Balakrishnan es válida sólo para procesos Gaussianos, ya que las caracerísicas imporanes de los procesos no Gaussianos no son omadas en cuena. Ese esudio presena resulados sobre algunos procesos no Gaussianos con el apropiado fundameno esadísico, con resulados normalizados para poder llegar a una comparación y esablecer algunas conclusiones, una de ellas es que las caracerísicas esadísicas del procedimieno de muesreo y reconsrucción de procesos no Gaussianos son funciones no lineales de muesras. El procedimieno de muesreo-reconsrucción de algunos procesos Markovianos y no Markovianos no Gaussianos es dado. Las funciones de reconsrucción y de error son enconradas. El capíulo I esá dedicado a la aplicación de la esperanza maemáica condicional y su aplicación para los problemas de muesreo-reconsrucción de los procesos aleaorios, en el que se verán el caso general y el caso Gaussiano. El capíulo II es dedicado al procedimieno de muesreo y reconsrucción de los procesos no Gaussianos Markovianos, con base a dos disribuciones: Rayleigh y gamma, con sus correspondienes funciones de error. En el capíulo III se aborda el procedimieno de muesreo y reconsrucción de procesos aleaorios no Gaussianos no Markovianos con las mismas disribuciones aneriores a fin de llegar a esablecer una comparación de resulados. iv

19 v Absrac A problem in communicaions heory is he reconsrucion of random processes reconsrucion given a se of samples. Classic sampling heorem usually known as WKS Whiaker, Koel nikov, Shannon has been proved for deerminisic funcions. This heorem was generalized by A. Balakrishnan. Balakrishnan s generalizaion is valid only for Gaussian processes, because he principal characerisics of non Gaussian processes are no aked ino accoun. This work presens resuls on some non Gaussian processes wih suiable saisic fundamenaion, working wih normalized resuls o compare hemselves, and esablish some conclusions. One imporan conclusion is ha he saisic characerisics of he samplig reconsrucion procedure of non Gaussian processes are non linear funcions of samples. The sampling reconsrucion procedure of some non Gaussian Markovian and non Markovian processes is given. Reconsrucion and error funcions are found and numerically cuanified. Chaper I is dedicaed o applicaion of mahemaic epecaion rule on sampling reconsrucion issues, in general case and Gaussian case. Chaper II is dedicaed o sampling reconsrucion procedure of he Markovian non Gaussian processes, based on wo disribuions: Rayleigh and gamma. The respecive error funcions and some eamples are given. Chaper III is dedicaed o he sampling reconsrucion procedure of non Gaussian non Markovian processes wih he same disribuions of chaper II, o obain some conclusion hrough he comparison of he resuls. The goal of his work is o apply he opimal algorihms for he sampling reconsrucion procedure for non Gaussian processes, giving some eamples, algorihms and compuer programs for he applicaion over some oher non Gaussian probabiliy disribuion funcions.

20 Capíulo La regla de la Esperanza Maemáica Condicional La regla de la esperanza maemáica condicional y su aplicación para los problemas de muesreo reconsrucción de procesos aleaorios Para lograr una descripción adecuada del procedimieno de muesreo reconsrucción de algunos procesos aleaorios no Gaussianos, es necesario primero deallar la eoría esadísica necesaria para enender cómo resolver el problema, después rabajar con el caso Gaussiano y obener algunos resulados y así observar la siuación en general para llegar a los casos pariculares de nuesro inerés, del ipo no Gaussiano.. Inroducción El reconsruir una señal o función a parir de daos conocidos como muesras iene largos anecedenes y se comenzó a rabajar desde Newon. El problema se coninuó raando en el siglo XVIII. J. L. Lagrange [] presenó sus epresiones para deerminar la inerpolación definida por el polinomio P n en érminos de las muesras, uilizando la propiedad básica de los polinomios algebraicos para deerminar un polinomio adecuado P n que nos lleve a los valores y, y,, y n de una función asociados con odas las n abscisas diferenes,,, n, conocido como fórmula de inerpolación de Lagrange: n P = y l. donde: k=,,..., n. g n lk =, k g' n k g n =... n Tales epresiones fueron presenadas en 795. n k = k k.. La inerpolación enre punos de una función fue analizado por E.T. Whiaker en su arículo publicado en 95 [], donde se planea la solución para enconrar valores de una función f que pasa a ravés de los punos k, f k, donde k =akw, f k =f k, donde llamó al conjuno de odas las funciones como conjuno coabular asociado con la secuencia {f k } de valores conocidos y desacando esa función en especial: π sen a kw C = f a kw w,. k = π a kw w la cual llamó función cardinal del conjuno caobular, donde C=f.

21 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional El eorema de muesreo fue presenado en la Unión Soviéica por Koel nikov en 9 [], Shannon en 948 [4, 5] uilizó el eorema de muesreo para demosrar que una señal analógica limiada en banda es equivalene a la secuencia de sus muesras omadas a un inervalo deerminado y conocido como el inervalo de Nyquis [6]. El eorema de muesreo de Whiaker-Koel nikov-shannon WKS dice: Toda función de una señal f definida en que esá limiada en banda denro de un inervalo [-ω, ω] donde ω > puede ser compleamene reconsruida con respeco a oda pariendo de sus valores muesreados fkπ /ω que son omados en los punos kπ /ω donde k igualmene espaciados sobre el eje real, en érminos de: kπ sen ω kπ f = f..4 k = ω ω kπ Cronológicamene en 957 A. V. Balakrishnan generaliza el eorema de muesreo para procesos aleaorios esacionarios [7], en 96 A. Linden y N. M. Abramson proporcionan una generalización mediane la epansión de las M-derivadas de una función limiada en banda, aproimándola a una serie de Taylor caracerizada con una densidad Gausiana sobre cada muesra [8]. En 96 Peersen y D. Middlenon eienden el eorema de muesreo para dimensiones espaciales de mayor orden [9]. El eorema clásico WKS en la mayoría de sus generalizaciones es válido para funciones deerminísicas con especro limiado [,,, ]. Eisen algunas generalizaciones de ese eorema para procesos aleaorios esacionarios [4, 5, 6, 7], cuya aplicación prácica de sus resulados son difíciles en cuano a la realización de la función de reconsrucción y el cálculo de la función de error de reconsrucción, en la descripción esadísica del Procedimieno de Muesreo-Reconsrucción. Para superarse algunas de esas dificulades, un proceso no esacionario debe ransformarse primero en proceso esacionario, y poseriormene se aplica el eorema WKS para muesrear y reconsruir el nuevo proceso esacionario [8, 9]. El auor de [9] no discue información alguna acerca de la función de disribución de probabilidad del proceso aleaorio.. Teorema de Balakrishnan y sus desvenajas Como es bien sabido el eorema clásico de muesreo asociado con los nombres Whiaker-Koel nikov-shannon WKS fue esablecido para funciones deerminísicas con un especro finio o limiado. La mayoría de sus generalizaciones esán ambién conecadas con el PMR de funciones deerminísicas. La generalización del eorema WKS en procesos esocásicos con especro de poencia finio fue dado por A. Balakrishnan. El eorema de Balakrishnan aplica el eorema clásico WKS de funciones deerminísicas en procesos esocásicos esacionarios con especro finio, así llamado eorema WKS para procesos esocásicos.

22 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Dada la popularidad de ese eorema para la eoría esadísica de comunicación, es necesario incluir el eo del mismo [7] para su poserior mención y discusión. Sea - << un proceso esocásico evaluado real o complejo, esacionario en el senido amplio * y que posee una densidad especral, la cual desaparece fuera del inervalo de la frecuencia angular [-πw,πw]. Enonces se iene la represenación: n senπ W n = lim W π W n Para cada, donde lim simboliza el límie en el senido cuadráico medio. Más eplíciamene, eso significa: líme N N N sen W N =. N W..5 π.6 πwn Se asume que odos los procesos ienen sus varianzas y sus promedios finios. Siguiendo el eorema de Balakrishnan, cualquier realización de algún proceso esocásico con especro de poencia finio Sω=, cuando ω ω b, ω b es la frecuencia límie del especro de poencia puede ser reconsruido con error cero de su infinio número de muesras T i con el inervalo de discreización T=π/ω b : i= ~ = T i ψ..7 donde: ~ es la función de reconsrucción; ψi es la función básica deerminada por la epresión: senωb i T ψ i =.8 ω i T b i La descripción esadísica del Procedimieno de Muesreo-Reconsrucción de los procesos esocásicos basado en el eorema de Balakrishnan deja algunas dudas. Eso no significa que el eorema de Balakrishnan sea incorreco, sino que es necesario hacerlo más específico en cuano a su formulación, y especificar que es un caso paricular del procedimieno general de la descripción esadísica del Procedimieno de Muesreo Reconsrucción de los procesos esocásicos. Enonces nuesra propuesa es uilizar la regla de la esperanza maemáica condicional, demosrando con algunos resulados, que iene venajas con respeco a la descripción esadísica del PMR basado en el eorema de Balakrishnan. Algunas consideraciones referidas al eorema de Balakrishnan: El eorema no uiliza la principal caracerísica de un proceso aleaorio que es la función de densidad de probabilidad o funciones caracerísicas unidimensional o mulidimensional.

23 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Siempre es uilizada la función Sen / para odo ipo de proceso aleaorio, lo cual de primera insancia parece inadecuado. Ese eorema es válido para procesos Gaussianos porque su prueba sólo esá basada en usar el especro de poencia o correspondienemene, usando la función de covarianza usual. Todo proceso no Gaussiano es caracerizado por algunas funciones especrales o funciones cumulanes de alo orden. El eorema de Balakrishnan no usa información alguna acerca de cieras caracerísicas de los procesos esocásicos. Significa que son iguales a cero y por lo ano, ese eorema pare sólo con el proceso Gaussiano. 4 La suma lineal de las muesras consideradas es posulada en el eorema de Balakrishnan. Esa afirmación no es conradicoria con el caso Gaussiano del proceso esocásico. 5 Si el número de muesras es finio enonces el ipo de función básica debe ser dependiene del número corriene de muesras. 6 Un resulado muy eraño del eorema de Balakrishnan el error de reconsrucción de algunos ipos de procesos esocásicos es igual al cero que es eplicado por hechos en que los procesos esocásicos ienen especro finio, son singulares, no realizables, son procesos degenerados. Los procesos esocásicos reales no ienen ales caracerísicas. 7 No se habla en ningún caso de algún procedimieno de erapolación, dado que se rabaja con un número infinio de muesras.. Caso general Se va a realizar el PMR de procesos aleaorios basado en la información que nos proporcionan las muesras. Primero debemos definir las propiedades esadísicas de los procesos aleaorios, en seguida definir las caracerísicas de los procesos aleaorios al pasar por sisemas lineales, ya que para los procesos aleaorios no hay una epresión eplícia como en el caso deerminísico, por lo que enonces se debe hacer una descripción de la salida que incluya la función de covarianza K y la función de densidad especral Sω. El análisis se llevará a cabo con filros pasa bajas, del ipo RC con una, dos y res eapas. Eso se llevará a cabo omando en cuena la influencia que proporciona ano el número de muesras que se oma en cuena, como su magniud o valor, además del inervalo de iempo que se pone enre muesras, además de cuanificar el error que implica cada reconsrucción... Descripción de los procesos aleaorios Un proceso aleaorio coninuo iene un gran número de realizaciones posibles,,, j,, M en un insane de iempo dado y cada realización iene una media de probabilidad, descria por propiedades esadísicas. Cada realización j puede esar definida en una coninuidad de valores de sobre un inervalo finio a, b o sobre un inervalo infinio -, []. 4

24 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Figura -: Conjuno de posibles realizaciones,,, j,, M que puede ener un proceso aleaorio coninuo. Si consideramos el conjuno de realizaciones del proceso esocásico que se muesra en la Figura -, donde cada realización esá denro del inervalo inicial, final, después dividimos a en un conjuno de L unidades L M cada uno con ancho y seleccionamos un inervalo, y poseriormene medimos la probabilidad de en ese inervalo, conando el número de realizaciones correspondienes: P < < ;,.9 si omamos los límies M y d, obenemos la probabilidad de, esá en el inervalo, < ; ω, [ ] P < d.. De forma análoga se puede enconrar la función de densidad de probabilidad deseada en cada inervalo, y ambién se puede enconrar de densidad de probabilidad para cada insane 5

25 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional de iempo,,, m denro del inervalo inicial, final del proceso aleaorio y hallar su fdp función de densidad de probabilidad ω []. De forma análoga se puede obener la función de disribución de probabilidad de segundo orden ω [, ] y así sucesivamene con las fdp s de mayos orden ω m [,,, m ]. La esrucura de las funciones de densidad de función de probabilidad depende por supueso del iempo en que son calculadas esas funciones. Conociendo las funciones de disribución de probabilidad unidimensionales ω [ ], ω [ ],, ω [ m ] de cada iempo,,, m se puede obener información esadísica del proceso, al información es: función de esperanza maemáica m= correspondiene a cada insane de iempo,,, m ; función de varianza maemáica = -m y las funciones momeno inicial y funciones momeno cenral de orden n, cuyas epresiones en forma coninua son las siguienes: Función esperanza maemáica: m= = ω[ ]d. Función varianza maemáica m = m ω[ ]d =. Función momeno inicial de orden n: n n = ω [ ]d. 4 Función momeno cenral de orden n: n n m = m [ ]d n & = ω.4.. Función de covarianza Ora caracerísica de suma imporancia esadísica que refleja las diferencias enre dos procesos esocásicos que engan la misma fdp pero su esrucura es diferene en el iempo es la función de covarianza K,, que es una función deerminísica. Esa función iene como argumenos los iempos y, de los cuales la función de covarianza cambiará cuando la disancia enre esos dos iempos o secciones cambien ambién. K m m ω [ n, ], = & & = d d.5 donde m es la función de esperanza maemáica, ω es la función de densidad de probabilidad. 6

26 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Figura -: Función de covarianza K para a un proceso suave b un proceso caóico En general, la función de covarianza se usa para dos procesos aleaorios, en el presene caso, podemos hablar de auocovarianza. Si en la función de covarianza fijamos y desplazamos a, endremos el nivel de dependencia esadísica del proceso en ese inervalo. La función de covarianza iende a ser independiene cuando se aleja de. La función nos indica si el proceso es suave cuando iende a cero lenamene y, por el conrario si iende a cero rápidamene se raa de un proceso caóico. Si el proceso es esacionario de segundo orden, la función de covarianza es sólo una función de diferencia de iempo = -, por lo ano, la función de covarianza K, será represenada de la forma K=K,. A coninuación se presenan algunas propiedades de la función de covarianza [, ]: Tiene su valor máimo cuando =, donde = - =: K ο ο ο = = = = Es una función par: ο ; = m.6 K K.7 = Tiende a cero cuando : K =.8 4 Eise una función de covarianza normalizada R donde: K K R = =.9 K 5 Eise una función de covarianza para procesos esacionarios 7

27 ο [ m ][ m ] K = 6 Su rango de valores esá conenido en : La regla de la Esperanza Maemáica Condicional. K K, por lo ano: R.. 7 Tiene relación con el parámero llamado iempo de covarianza c en función de R c = R d.. El iempo de covarianza c indica el iempo en el que eise dependencia o influencia enre los mismos valores del proceso esocásico y es muy uilizado para medir las caracerísicas de la respuesa de un filro. Cuando un proceso es caóico se iene que el valor del iempo de covarianza c del proceso es pequeño comparado con el iempo de covarianza c de un proceso suave... Densidad especral de poencia Oro parámero imporane que sugiere caracerizar las propiedades especrales de los procesos aleaorios con la disribución de poencia de cada armónico en función de la frecuencia. El eorema de Wiener-Khinchine sugiere que la función de covarianza K esá relacionada con la función de densidad especral de poencia Sω mediane la ransformada de Fourier [,]. Para ese caso omamos la función de covarianza como función de auocovarianza. Teorema de Wiener-Khinchine: K S j = ω ω S e dω π. ω K j = e ω d.4 Para un proceso suave la densidad especral de poencia es esrecha y para un proceso caóico la densidad especral de poencia es ancha. La ransformada de Fourier S ω iene las siguienes propiedades: S ω siempre es real. S ω Es una función simérica S ω=s -ω..4 Funciones que caracerizan a un sisema lineal Sean las funciones deerminísicas u y, como se muesra en la figura -, que corresponden a la enrada y salida de un sisema lineal con parámeros fijos, enonces si u produce la salida, enonces la salida u produce la salida. Por lineal se eniende que si u produce una salida, enonces la enrada u=a u a u produce la salida =a a. 8

28 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Figura -: Relación enrada salida en un sisema lineal Donde la función de ransferencia con parámeros fijos, que es la relación enre las ampliudes complejas de y u en función de la frecuencia ω, es: X jω H jω =.5 U jω Enonces si deseamos conocer la salida del sisema conociendo la señal de enrada enemos: j ω = ω ω = ω ω ω X j U j H j U j H j e dω.6 π Xjω y Ujω son las ransformadas de Fourier de la señal de salida y enrada del sisema lineal, respecivamene. Una de las enradas u de imporancia es el impulso uniario, de la cual su ransformada de Fourier es igual a la unidad para oda ω. Enonces con esa información y considerando la epresión.5, la salida en el dominio de Fourier es la siguiene: j ω = ω = ω = ω ω X j H j H j h H j e dω.7 π donde h es la respuesa al impulso uniario del sisema lineal. La respuesa de un sisema lineal a una enrada ransioria se puede epresar en érminos de la respuesa al impulso uniario del sisema, en lugar de la función de ransferencia: = h u d Respuesa de un sisema lineal a procesos aleaorios Suponiendo que u es un proceso aleaorio del ipo Gaussiano, del que conocemos sus funciones: esperanza maemáica, varianza y covarianza [], y que queremos conocer las propiedades del proceso aleaorio a la salida del sisema lineal. La función de covarianza en la salida esá dada por: 9

29 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional = = = =.,, K d h d h u u d h d h d u h d u h K u & & & & & &.9 Si el proceso aleaorio en la enrada es esacionario en el senido amplio:, = u u K K,. donde = -. Enonces la función de covarianza en la salida es: = d K h d h K u. Por lo ano si en la enrada del sisema lineal enemos un proceso aleaorio esacionario en el senido amplio, enonces en la salida el proceso aleaorio ambién lo será..4 Caso Gaussiano Veamos lo que sucede para el caso Gaussiano: si un proceso aleaorio del ipo Gaussiano u es aplicado a un filro lineal esable, la salida en el filro será Gausiana ambién; por oro lado, si se considera un conjuno de variables aleaorias T, T,, T n, obenidas al observar un proceso aleaorio en cada insane de iempo T, T,, T n, eniendo a la enrada el proceso Gaussiano, enonces el conjuno de variables aleaorias son Gausianas para cada n, y son compleamene descrias por su mariz de covarianza K T i,t j de orden n, donde cada elemeno de la mariz es:, j j i i j i T m T T m T T T K = i,j=,,, n.. Si la mariz de covarianza K T i,t j se llega a ransformar en una mariz diagonal, enonces las variables aleaorias no ienen correlación y por lo ano son variables Gausianas independienes. La función de densidad de probabilidad n dimensional queda especificada compleamene por los momenos de primer y segundo orden es decir, por la esperanza maemáica, la covarianza y covarianza y finalmene si un proceso Gaussiano es esacionario en el senido amplio, ambién lo es en el senido esrico..4. Regla de la esperanza maemáica condicional Suponiendo que enemos un proceso esocásico caracerizado por sus funciones de disribución de probabilidad mulidimensionales ω m [,,, m ], y que una realización de al proceso se discreiza en deerminado iempos T={T, T,, T N }. Enonces enemos un conjuno de muesras X,T={T, T,, T N, enonces las funciones momeno inicial, cenral y densidad de probabilidad se ven modificadas. Tales nuevas densidades de probabilidad y funciones son condicionales o a poseriori.

30 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional [ X, T ] ω[ T, T,..., T ] ω =. n m~ = X, T = T, T,..., Tn = ω [ X, T ]d.4 ~ m~ X, T = m~ ω[ X T ] =, d.5 La reconsrucción que obengamos, enonces, dependerá de las muesras T, T,, T N y de conocer su función de disribución de probabilidad fdp ω m [,,, m ], donde N<m. Todas las posibles realizaciones del proceso aleaorio condicional ~ = X, T pasan a ravés de las muesras como lo indica la Figura -4. No podemos conocer la realización eaca, pero se puede obener una aproimación esadísica para cada iempo, dependiendo del caso se elige la regla esadísica apropiada para la función de reconsrucción y después esimar el error de nuesra reconsrucción con ayuda de la función de error de reconsrucción. Figura -4: Posibles realizaciones de un proceso aleaorio condicional, dado un conjuno de muesras X,T. Eise un crierio esadísico conocido para la esimación de una variable aleaoria: la regla de la esperanza maemáica condicional, aplicando esa regla podemos usar la función de la esperanza maemáica condicional, como función de reconsrucción, y el error de reconsrucción será evaluado por la función de varianza condicional como función de error de reconsrucción, además de incorporar ora caracerísica del Procedimieno de Muesreo-Reconsrucción que es la función de covarianza del proceso reconsruido. Considerando el caso general de un proceso Gaussiano no esacionario con la esperanza maemáica m, la varianza y la función de covarianza K i, j, enemos la información necesaria del proceso, ya que podemos escribir la epresión eaca de la fdp mulidimensional de orden m arbiraria: ω,..., = π n ep n n i, j= a i, j π [ de Κ, ] [ m ][ m ] donde de Κ, es el deerminane de la mariz covarianza i j i i j i j j.6

31 K, La regla de la Esperanza Maemáica Condicional, Κ i, j =.....,.7 K, K,... K, n K n... K n, n n y a, es la inversa de la mariz de covarianza, i j a Κ,..8 ij = i j Si fijamos el conjuno de muesras X,T={T, T,, T N }, enonces la fdp condicional será Gausiana ambién. Las principales caracerísicas esadísicas de ese proceso condicional esán descrias en las siguienes epresiones y el proceso Gaussiano condicional queda oalmene descrio: m~ = m N N i= j= K N i= j=, T a N i ij [ T m T ] j j j,.9 ~ = K, T a K T,.4 i ij j K ~ N N, = K, K, Ti aijk T j, i= j=,.4 Esas fórmulas son válidas para el caso no esacionario. Con esas epresiones se puede obener una reconsrucción del proceso esocásico inicial con los inervalos adecuados a la calidad preesablecida. [7], [8], [9], []..4. Ejemplos Gaussianos Markovianos uilizando la función de α covarianza R = e. A coninuación se muesran algunos ejemplos de la aplicación de la regla de la esperanza maemáica en el caso Gaussiano, igual al que se obiene en la salida de un filro RC inegrador lineal cuando la enrada es alimenada con ruido blanco. La respuesa de al filro RC esá dada por una función de covarianza normalizada del ipo eponencial. Se mosrarán algunos gráficos con un número limiado de muesras, diversos inervalos de muesreo y diversas funciones de correlación normalizadas R. α Primero se ilusra el caso para R = e, donde para llegar a una comparación de resulados se rabaja con funciones normalizadas, con un c =,que es una caracerísica de la respuesa de un filro que deermina el iempo de influencia enre los mismos valores de un proceso. Enonces si =: c = R d = e d = α,.4 α

32 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional enonces para que el iempo de covarianza sea, implica que α=. También nos podemos dar cuena que la función de covarianza R usada en esa sección iene las propiedades de un proceso Markoviano en la descripción del PMR. Las epresiones de la regla de la esperanza maemáica condicional quedan de la siguiene forma: N ~ = m~ = T ep α N N i=! j=! N j j= i= T α T a ep T ~ = ep α i ij i a ij j.4.44 Veamos algunos ejemplos rabajando con esa función de covarianza normalizada en el régimen de inerpolación, dado que en oros rabajos se ha considerado el caso Gaussiano, solo se presenan ejemplos de ese ipo no omando en cuena el régimen de erapolación ya que el área de nuesro inerés es el caso no Gaussiano: Num. Ejemplo.4.-. c No. de muesras 5 Valores de las muesras.5,.,.4,.,.5 Posición de la ª. Muesra.75 Inervalo enre ª y úlima muesra.8 Figura -5: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano Markoviano con 5 muesras y una α función de covarianza R = e.

33 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Figura -6: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano Markoviano con 5 muesras α y una función de covarianza Num. ejemplo.4. R = e.. c No. de muesras 5 Valores de las muesras.75,.5,.,.4,.8 Posición de la ª. muesra. Inervalo enre ª y úlima muesra.8 Figura -7: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano Markoviano con 5 muesras y una α función de covarianza R = e. Figura -8: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano Markoviano con 5 muesras α y una función de covarianza R = e. Num. ejemplo.4.. c No. de muesras 5 Valores de las muesras.6,.75,.5,.,. Posición de la ª. muesra. 4

34 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Inervalo enre ª y úlima muesra.8 Figura -9: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano Markoviano con 5 muesras y una α función de covarianza R = e. En esas primeras gráficas podemos ver que las reconsrucciones son líneas casi recas debido al coro inervalo pueso para la reconsrucción, por ano la reconsrucción parece una simple unión de punos. Figura -: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano Markoviano con 5 α muesras y una función de covarianza R = e. En esas primeras gráficas podemos darnos cuena que las curvas de error alcanza valores pico máimos iguales, maneniendo el valor pico aproimado de., a pesar de que los valores muesra no son los mismos. Ora primera observación es que en una misma gráfica de error ano el primer pico como el úlimo así como los inermedios alcanzan las mismas magniudes. Ahora incremenemos un poco el inervalo de reconsrucción en iempo para ver las consecuencias que eso nos rae, en primera insancia rabajamos con disinos valores muesra que en los ejemplos aneriores para observar si eise algún cambio no esperado. Num. ejemplo c No. de muesras 6 Valores de las muesras.,.,.8,.7,.,.9 Posición de la ª. muesra.5 Inervalo enre ª y úlima muesra.5 5

35 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Figura -: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano Markoviano con 6 muesras y una α función de covarianza R = e. Figura -: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano Markoviano con 6 α muesras y una función de covarianza Num. ejemplo c No. de muesras 4 Valores de las muesras.6,.,.,.8 Posición de la ª. muesra. Inervalo enre ª y úlima muesra.5 R = e. Figura -: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano Markoviano con 4 muesras y una α función de covarianza R = e. En esas reconsrucciones aneriores podemos desacar que incremenando el inervalo de iempo enre muesras, la función de reconsrucción comienza a omar la forma de la función de covarianza normalizada que en ese caso es una función del ipo eponencial. 6

36 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Figura -4: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano Markoviano con 4 α muesras y una función de covarianza R = e. Ahora en las dos funciones de error aneriores nos permien ver algo esperado: que al incremenar el iempo enre muesras al reconsruir endremos un error de mayor magniud que en un inervalo de iempo menor, de nuevo los valores específicos de las muesras no influyen en la magniud del error y ambién a pesar del cambio en el inervalo de iempo odos los picos error en una misma gráfica son iguales. Coninuamos incremenando el inervalo de iempo enre muesras. Num. ejemplo.4. 6 c No. de muesras 4 Valores de las muesras.6,.,.7,.8 Posición de la ª. muesra. Inervalo enre ª y úlima muesra Figura -5: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano Markoviano con 4 muesras y una α función de covarianza R = e. Figura -6: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza α R = e. 7

37 Num. ejemplo c No. de muesras 4 Valores de las muesras.6,.8,.8, -.9 Posición de la ª. muesra. Inervalo enre ª y úlima muesra 4.5 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Figura -7: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano Markoviano con 4 muesras y una α función de covarianza R = e. Figura -8: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano Markoviano con 4 α muesras y una función de covarianza R = e. Los comenarios sobre esa sección son los siguienes: o La reconsrucción se consiuye por líneas casi recas cuando el inervalo enre muesras es pequeño. o Al aumenar el inervalo de reconsrucción se puede apreciar que la función de reconsrucción adquiere forma similar a la función de covarianza empleada, lo cual comienza a mosrar la imporancia que iene al función de covarianza denro de la reconsrucción. o La función de reconsrucción para ese caso Markoviano depende solamene de las dos muesras más cercanas; los eremos de cada inervalo de reconsrucción son los únicos que influyen. Oras muesras cercanas no influyen en la reconsrucción. o La función de error de reconsrucción depende solamene de la magniud de la disancia que eisa enre muesras, ya que como se puede observar en las gráficas que ienen el mismo inervalo de iempo enre muesras el error no se ve influido por la magniud de los valores muesra. Por ano la función de 8

38 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional error de reconsrucción no depende del número de muesras que se oman en cuena para el caso Markoviano. o Algo ambién esperado es que en los punos donde se encuenran las muesras el error es cero, dado que la función de reconsrucción pasa por esos punos. o Ora consideración en cuano a la función de error de reconsrucción es que las campanas que se forman son siméricas en cuano a su forma, un dealle del caso Gaussiano que llegaremos a comparar con los casos no Gaussianos..4. Ejemplos Gaussianos no Markovianos con la función de covarianza α R = α e Vamos enonces a rabajar con ora función de covarianza, para lograr una comparación correca de resulados las funciones deberán esar normalizadas y por ano ener un iempo de covarianza uniario, si omamos =: c = R d = α e d = α,.45 donde si deseamos un iempo de covarianza uniario, enonces α=. Las epresiones para la función de reconsrucción y de error de reconsrucción quedan de la siguiene manera: N N α T j α Ti ep Ti ~ = m~ = α j= i= N N α Ti ep α Ti aij α T j ep T j ~ = α i=! j=! a ij Realizamos enonces algunos ejemplos rabajando con muesras similares al caso anerior para que los resulados que se obengan se puedan comparar enre sí. Num. ejemplo.4.. c No. de muesras 4 Valores de las muesras.5,.,.4,. Posición de la ª. muesra.4 Inervalo enre ª y úlima muesra.6 Figura -9: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza α = α e R 9

39 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Figura -: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza α = α e Num. ejemplo.4.. c No. de muesras 4 Valores de las muesras.75,.5,.,.4 Posición de la ª. muesra. Inervalo enre ª y úlima muesra.6 R Figura -: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza α = α e R Figura -: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza α = α e Num. Ejemplo.4.. c No. de muesras 4 Valores de las muesras.6,.75,.5,. Posición de la ª. muesra. Inervalo enre ª y úlima muesra.6 R

40 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Figura -: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza α = α e R Figura -4: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza α = α e En el caso no Markoviano ano la función de reconsrucción como la de error dependen de la influencia que proporcionan la canidad de muesras eisenes además del inervalo de reconsrucción, en los ejemplos aneriores se puede noar que las funciones de reconsrucción son más suaves que en la sección anerior, lo más desacado es la influencia de las dos muesras eremas sobre la inermedia en la función de error de reconsrucción, dicho de ora forma aquí si influye que se omen en cuena más muesras para disminuir el error, por lo menos en las secciones inermedias del inervalo de reconsrucción. R Se muesran algunos ejemplos para un =.5 c Num. Ejemplo c No. de muesras 4 Valores de las muesras.,.,.8,.7 Posición de la ª. muesra.5 Inervalo enre ª y úlima muesra.5

41 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Figura -5: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza α = α e R Figura -6: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza α = α e R Num. Ejemplo c No. de muesras 4 Valores de las muesras.6,.,.,.8 Posición de la ª. muesra. Inervalo enre ª y úlima muesra.5 Figura -7: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza α = α e R

42 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Figura -8: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza α = α e En esos ejemplos nos damos cuena que al aumenar la disancia enre muesras al reconsruir la influencia que se presena en la pare media de la función de error de reconsrucción se ve disminuida. En las funciones de reconsrucción se noa que oma la forma curva de la función de reconsrucción empleada. Num. Ejemplo.4. 6 c No. de muesras 4 Valores de las muesras.6,.,.7,.8 Posición de la ª. muesra. Inervalo enre ª y úlima muesra. R Figura -9: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza α = α e R Figura -: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza α = α e Se muesran algunos ejemplos para un =.5 R c

43 Num. Ejemplo c No. de muesras 4 Valores de las muesras.6,.8,.8, -.9 Posición de la ª. muesra. Inervalo enre ª y úlima muesra 4.5 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Figura -: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza α = α e R Figura -: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza α = α e Como es de esperarse en los ejemplos aneriores la influencia en la pare media de la función de error de reconsrucción es mínima dado el incremeno de iempo de reconsrucción enre muesras y en la función de reconsrucción es aún más nooria la forma similar a la función de covarianza empleada. A coninuación vamos a raar con ora función de covarianza aún más suave para ver los resulados..4.4 Ejemplos Gaussianos no Markovianos con la función de covarianza α α R = e. α Para coninuar rabajando con resulados normalizados y un iempo de covarianza uniario, implica que: α α 8 c = R d = α e d = α, -48 por lo que α=8/, por ano la función de covarianza normalizada es: R 8 R = e..49 4

44 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Teniendo esas epresiones podemos escribir la función de reconsrucción y la función de error de reconsrucción de la siguiene manera: ~ N N Ti = m~ α = T j α Ti ep Ti aij α.5 j= i= ~ N N α Ti = α Ti ep α i=! j=! α T j α T ep α T j j T i a ij.5 Analicemos algunos ejemplos que uilizan esa función de covarianza, coninuando con los valores muesra de los ejemplos aneriores y poder hacer una comparación, los resulados son los siguienes: Se muesran algunos ejemplos para un =. Num. Ejemplo.4.4. c No. de muesras 4 Valores de las muesras.5,.,.4,. Posición de la ª. muesra.4 Inervalo enre ª y úlima muesra.6 c Figura -: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza R = e 7 Figura -4: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza R = e 7 5

45 Num. Ejemplo.4.4. c No. de muesras 4 Valores de las muesras.75,.5,.,.4 Posición de la ª. muesra. Inervalo enre ª y úlima muesra.6 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Figura -5: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza R = e 7 Figura -6: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza R = e 7 Num. Ejemplo.4.4. c No. de muesras 4 Valores de las muesras.6,.75,.5,. Posición de la ª. muesra. Inervalo enre ª y úlima muesra.6 6

46 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Figura -7: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza R = e 7 Figura -8: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza R = e 7 Nuesras primeras impresiones de esos ejemplos son: la influencia de la función de covarianza en la función de reconsrucción es más nooria que en los dos casos aneriores. Diferencias más noorias esán en las funciones de error de reconsrucción en donde en la pare cenral de esas gráficas eise una mayor aporación de las muesras eisenes alrededor, eso nos da a enender que enre más muesras presenes engamos nuesro error por lo menos en las pares medias del inervalo de reconsrucción será menor. Se muesran algunos ejemplos para un =.5 c Num. Ejemplo c No. de muesras 4 Valores de las muesras.,.,.8,.7 Posición de la ª. muesra.5 Inervalo enre ª y úlima muesra.5 7

47 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Figura -9: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza R = e 7 Figura -4: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza Num. Ejemplo c No. de muesras 4 Valores de las muesras.6,.,.,.8 Posición de la ª. muesra. Inervalo enre ª y úlima muesra.5 R = e 7 Figura -4: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza R = e 7 8

48 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Figura -4: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza Num. Ejemplo c No. de muesras 4 Valores de las muesras.6,.,.7,.8 Posición de la ª. muesra. Inervalo enre ª y úlima muesra. R = e 7 Figura -4: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza R = e 7 Figura -44: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza Num. Ejemplo c No. de muesras 4 Valores de las muesras.6,.8,.8, -.9 Posición de la ª. muesra. Inervalo enre ª y úlima muesra 4.5 R = e 7 9

49 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Figura -45: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza R = e 7 Figura -46: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza R = e 7 Después de graficar algunos ejemplos ampliando el inervalo de iempo enre muesras se obienen resulados esperados de acuerdo con lo que se viene demosrando con anerioridad, la influencia que cuando se iene un filro de dos eapas es menor que eniendo uno de res eapas, en uno de dos eapas en el régimen de inerpolación sólo influían las dos muesras en ambos lados de una reconsrucción enre dos muesras, pero ahora ambién se presena la influencia de muesras que se encuenren en la cercanía de un inervalo de reconsrucción que por supueso es de menor magniud que la que aporan las o hasa muesras más cercanas. Enonces podemos afirmar que enre más suave sea una función de covarianza mayor influencia se endrá por cada muesra que se ome en cuena para la función de reconsrucción. También se puede afirmar que enre más lejana esé una muesra su influencia o aporación en una reconsrucción va disminuyendo direca y proporcionalmene, eniendo como deerminane el iempo de covarianza del filro lineal..4.5 Ejemplos para el caso paricular de la función sinc Si enemos un proceso esacionario Gaussiano con esperanza maemáica m=m= y función de covarianza K,T =K-T, la epresión para la esperanza maemáica condicional.8 queda de la siguiene forma: N N [ T ] ˆ = m~ = K T a = T B,.5 i ij j j i= j= j= Esa epresión depende solamene de la suma del produco de cada muesra por una función llamada función básica B j, de la siguiene forma: N j j

50 j La regla de la Esperanza Maemáica Condicional N B = K T a.5 i= Tal función básica basa su comporamieno en la función de covarianza K del proceso aleaorio, además se debe omar en cuena que eise una función básica para muesra según el número de muesras que se omen en cuena j=,,, N. Cada función básica se muliplica con su correspondiene muesra y al final se suman odas las formas de onda resulane para obener la reconsrucción del proceso. Enonces la forma de la función básica B j depende de la muesra corriene j además de la canidad de muesras N; del conjuno de iempos T i en que se realizan los muesreos arbirarios; del momeno de covarianza presene enre las secciones del proceso en los insanes T i y T j K T i -T j y del momeno de covarianza K -T i enre la sección del iempo acual y los iempo de los muesreos T i. De ese modo esos parámeros influyen en la función básica y por lo ano en la función de reconsrucción y en la función de error de reconsrucción. Se puede epresar la función básica en función del especro de poencia S ω del proceso dado, primero usamos la ransformada de Wiener-Khinchine para la función de covarianza K -T i : i ij K jω Ti Ti = S ω e dω..54 π Enonces en lugar de.5 enemos: N jω Ti B j = aij S ω e dω.55 i= π Teniendo.54, podemos considerar a un proceso Gaussiano con especro limiado ω ω, obeniendo: b ω b B = j N a ω ij i= π ωb b S ω e jω Ti dω.56 Enonces la función básica depende ahora de la frecuencia de core ω b y del ipo de función especral S ω, y ambién se debe ener en consideración que los momenos de covarianza K Ti T j y por ano los elemenos a ij deben basar su cálculo en la función de covarianza K correspondiene al especro limiado. En caso de que algún parámero cambie en la epresión anerior implicará un cambio en la función básica. Podemos decir enonces que la función básica ópima depende de las principales caracerísicas esadísicas del proceso dado y de los parámeros de discreización, y no sólo de la frecuencia de core ω b. Si observamos la epresión.55 nos damos cuena que al función básica no es del ipo Sen /, ya que ésa surge de un caso muy paricular, cuando el especro S ω es recangular: S, = ω ωb S ω..57, ω ωb Además si susiuimos.56 en.5 enconramos la función de covarianza K -T i : Sωb Senωb Ti K Ti =..58 π ωb Ti Enonces podemos escribir la función básica:

51 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Sωb Senωb Ti B j = aij..59 π ωb Ti Si omamos el inervalo de muesreo de la forma: π T =.6 ωb.58 y.59 deerminan la independencia de cada muesra, eso es K T i T j =, para i, j=,,,n, cuando i j. Enonces la mariz covarianza K T i,t j es diagonal con los elemenos = S T y la mariz inversa de covarianza ambién es diagonal con los elemenos = T S. Enonces de.58 obenemos: Senωb T j B j =..6 ω b T j Observamos que la función básica.6 esá deerminada por la función Sen /, que es un caso paricular, cuando el proceso Gaussiano es caracerizado por el especro recangular. Enonces uilizando la epresión.5 y.59 podemos escribir la función de reconsrucción para ese especro recangular: N N Senω T N ~ π Sen ω jπ m = b j b [ T j ] B j = [ T j ] = j,.6 j= j= ωb T j j= ωb ωb jπ ωb = πw y j es el subíndice de la suma, por lo ano: N ~ j Senπ W j m = j W..6 = π W j Si observamos las epresiones aneriores y comparamos con.4 y.5, llegamos a los mismos resulados uilizando el PMR de procesos aleaorios que se basa en la regla de la esperanza maemáica condicional. Ese PMR es de gran uilidad para describir el comporamieno de la función de reconsrucción de los procesos aleaorios Gaussianos con variadas funciones de covarianza o especros de poencia limiados o no limiados en banda. Ahora vamos a considerar un caso muy específico como cuando las muesras se hacen pasar por un filro ideal, del cual la función de covarianza es Sen /: Senωb Senπ K = =,.64 ωb π en donde para que se enga un iempo de covarianza uniario se oma ω b =π: Senπ c = R d = d =,.65 π enonces la función de reconsrucción será de la siguiene manera: N Senωb T j = m~ = T j,.66 j ωb T j y la función de error de reconsrucción es del ipo:

52 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional K, nt φ nt K nt, mt φ nt φ ε = K, mt.67 Enonces podremos comparar los resulados obenidos hasa ahora con el eorema clásico, omando ejemplos hechos en las secciones aneriores pero con esa nueva función de covarianza. Se muesran algunos ejemplos para un =. Num. Ejemplo c No. de muesras 4 Valores de las muesras.5,.,.4,. Posición de la ª. muesra.4 Inervalo enre ª y úlima muesra.6 n m c Figura -47: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza Sen π π Figura -48: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza Sen π π Num. Ejemplo.4.5. c No. de muesras 4 Valores de las muesras.6,.75,.5,. Posición de la ª. muesra. Inervalo enre ª y úlima muesra.6

53 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Figura -49: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza Sen π π Figura -5: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza Sen π π En esos ejemplos vemos que aunque el inervalo de reconsrucción es pequeño la función de reconsrucción se ienen formas ampliamene onduladas propias de la función de covarianza empleadas, y en la función de error de reconsrucción ambién se noa la influencia de las muesras eremas en el inervalo de reconsrucción inermedio, más adelane enemos una sección donde compararemos una función de covarianza conra ora y llegar a algunas conclusiones. Num. Ejemplo c No. de muesras 4 Valores de las muesras.,.,.8,.7 Posición de la ª. muesra.5 Inervalo enre ª y úlima muesra.5 4

54 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Figura -5: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza Sen π π Figura -5: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza Sen π π Num. Ejemplo c No. de muesras 4 Valores de las muesras.6,.,.,.8 Posición de la ª. muesra. Inervalo enre ª y úlima muesra.5 Figura -5: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza Sen π π 5

55 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Figura -54: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza Sen π π Num. Ejemplo c No. de muesras 4 Valores de las muesras.6,.,.7,.8 Posición de la ª. muesra. Inervalo enre ª y úlima muesra Figura -55: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza Sen π π Figura -56: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza Sen π π Num. Ejemplo c No. de muesras 4 Valores de las muesras.6,.8,.8, -.9 Posición de la ª. muesra. 6

56 Inervalo enre ª y úlima muesra 4.5 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Figura -57: Función de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza Sen π π Figura -58: Función de error de reconsrucción para el proceso Gaussiano no Markoviano con 4 muesras y una función de covarianza Sen π π Lo imporane a desacar además de la forma senoidal que oma la función de reconsrucción es que en la función de error de reconsrucción la forma y magniud fue la misma sin imporar los valores muesra ni el inervalo de muesreo, un gran dealle imporane, lo cual nos sugiere que si deseamos reconsruir con ésa función con una calidad acepable necesiaremos una gran canidad de muesras para así poder disminuir el error de reconsrucción..4.6 Comparación enre los diferenes resulados obenidos para el caso Gaussiano Veamos ahora de manera más concrea un ejemplo con un número mayor de muesras donde se pueden apreciar de manera más clara las diferencias en los resulados obenidos con las disinas funciones de covarianza normalizadas. Los valores de las muesras son dados a coninuación: 7

57 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional T j T j [seg] T j T j [seg] T =.6 T = T 7 =. T 7 =8 T =.8 T =.5 T 8 =-.6 T 8 =8.5 T =. T = T 9 =-.9 T 9 =9 T 4 =.4 T 4 =.5 T =-.7 T =9.5 T 5 =. T 5 = T =-.8 T = T 6 =. T 6 =.5 T =-.9 T =.5 T 7 =.8 T 7 = T =-.7 T = T 8 =.9 T 8 =.5 T 4 =-.4 T 4 =.5 T 9 =.7 T 9 =4 T 5 =-.4 T 5 = T =.6 T =4.5 T 6 =-.5 T 6 =.5 T =.8 T =5 T 7 =-. T 7 = T =.9 T =5.5 T 8 =-. T 8 =.5 T =.8 T =6 T 9 =-. T 9 =4 T 4 =.5 T 4 =6.5 T =-.7 T =4.5 T 5 =.4 T 5 =7 T =-. T =5 T 6 =.4 T 6 =7.5 T =-. T =5.5 T =-.4 T =6 Ahora veamos las diferenes funciones de reconsrucción y de función de error de reconsrucción para las muesras aneriores: α ª. Función = e R 8

58 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Figura -59: Función de reconsrucción con muesras y R = e α, y =.5 Figura -6: Función de error de reconsrucción con muesras y R = e α, y =.5 ª. Función R = e Figura -6: Función de reconsrucción con muesras y = e, y =.5 R Figura -6: Función de error de reconsrucción con muesras y = e, y =.5 R ª. Función 8 R 8 64 = e 7 9

59 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional 8 Figura -6: Función de reconsrucción con muesras y 8 64, y =.5 R = e 7 8 Figura -64: Función de error de reconsrucción con muesras y 8 64, y =.5 R = e 7 4ª. Función Senωb K = ω = b Senπ π Figura -65: Función de reconsrucción con muesras y Senπ K =, y =.5 π 4

60 La regla de la Esperanza Maemáica Condicional Figura -66: Función de error de reconsrucción con muesras y Senπ K =, y =.5 π Lo que podemos observar de los gráficos aneriores es lo siguiene: La reconsrucción raa de adopar la forma de la función de muesreo; por ejemplo para la primera función la reconsrucción parece la simple unión de punos por líneas recas, mienras que con la función sinc es más suave. Los errores en la primera función no depende del número de muesras que se omen en consideración, es el mismo en odos los inervalos enre muesras y además las campanas de error son siméricas con un único pico en el cenro, en las oras funciones enre más muesras se engan se logra decremenar el error en la pare inermedia del inervalo de reconsrucción, dada la influencia que ienen las muesras cercanas, el caso en el que se noa más esa siuación es el de la función sinc, lo que nos invia a sugerir que si queremos muesrear con esa función debemos uilizar una gran canidad de muesras para que el error disminuya, pero de ninguna manera llegará a ser cero, sólo es cero en los iempos donde esán presenes las muesras pueso que se iene un dao eaco. Veamos las gráficas realizadas para un úlimo ejemplo con 5 muesras:,,-,,4 y un T=.4, y ambién con las cuaro funciones empleadas en el capíulo: Figura -67: Función de reconsrucción con 5 muesras y R = e α, y =.4 4