SEÑALES ELECTRICAS Señal transitoria, existe (toma valores significativos) durante un intervalo de tiempo finito:

Transcripción

1 EAL - # -.- Señales elécricas en dominio de iempo SEÑALES ELECRICAS Clasiicación de señales elécricas en dominio de iempo: De acuerdo a su duración emporal: ransiorias (Energía inia o Permanenes (Poencia inia. De acuerdo a su modelación maemáica : Deerminísicas o Aleaorias, las primeras pueden ser ransiorias, periódicas o cuasi-periódicas (suma de unciones senoidales no relacionadas armónicamene. Esán deinidas por una relacion maemáica que permie conocer su valor en cualquier insane de iempo (suponiendo que el iempo sea la variable independiene p. ej. ( =.e -a.sen(ω + 4.cos(ω. Las segundas consiuye el grupo de las variables o señales esadísicas o aleaorias y no es posible epresarlas como unciones eplícias de una variable independiene. Pueden deinirse algunas propiedades comunes a una amilia (ensemble, en dominio de iempo a ravés de sus promedios esadísicos. En realidad, odas las señales elécricas, ísicamene posibles, son ransiorias. Lo de permanene es una aproimación. Se las considera en esa caegoría si eisen durane un iempo suicienemene largo (pero inio...- Señal ransioria, eise (oma valores signiicaivos durane un inervalo de iempo inio: (..- Señal periódica: Caso paricular de señal permanene, cumple que, para cualquier valor de ( = ( ± n, donde es una consane posiiva real y n enero El período undamenal de la señal es (n= y su inversa, la recuencia undamenal = ( Caso mas simple y conocido de señal periódica son las unciones armónicas seno/coseno: π ( = A.cos( ω± φ. La ampliud máima de la señal es A y su período undamenal = = ω.3.- Señal aleaoria: caso paricular de señal permanene, no iene epresión maemáica eplícia, ( =?

2 (.4.- Deiniciones de promedios emporales: ( ( valor cuadráico medio durane valor insanáneo de la señal = ( valor medio : m = = lim. (. d valor cuadráico medio : cm = = lim. (. d valor eicaz : e = = lim. (. d Operador promedio emporal : * = lim. (*.d oar, en las deiniciones aneriores que. Una aproimación a los valores ideales se obiene haciendo que el lapso de inegración sea suicienemene grande (cuano es suiciene, dependerá de las caracerísicas de la señal. Las deiniciones aneriores se modiican a: valor medio durane [seg] : = m =. (. d valor cuadráico medio durane [seg] : = cuad _ med =. (. d valor eicaz durane [seg] :. (. = = d e Para señales periódicas, si se cumple que es mucho mayor que el período undamenal, es ácil demosrar

3 EAL - # - 3 que los valores medio, cuadráico medio y eicaz son: m = =. (. d =. (. d. (. e = = d En aplicaciones elécricas, ( es generalmene una señal corriene o ensión ísicamene posible, es decir que ( debe ser (a Función real y coninua, (b Limiada en iempo, (c Limiada en ampliud. Para simpliicar modelos o manipulaciones maemáicas que se aproimen a la realidad, en algunos casos se uilizan modelos de señales no realizables ísicamene (complejas, disconinuas, ec.. Si ( represena una ensión desarrollada sobre una resisencia de R ohm, la poencia insanánea ( disipada en R será: p ( = mienras, si es una corriene que circula por R ohm p ( = R. (. La R poencia media disipada en R durane un iempo por ( esá deinida por: Pm,. (. = d = R o Pm, = R. (. d = R. R según ( sea una señal de ensión o corriene, mienras que la energía disipada es:.. ( E. = d = R o E = R. (. d = R.. R De lo anerior resula que: Si ( es una señal ransioria su poencia y valor cuadráico medio ienden a cero y su energía es inia Si ( es una señal permanene su poencia y valor cuadráico medio son inios y su energía iende a ininio Si la señal elécrica ( iene componenes de corriene alerna y coninua, al que: ( = o + ac (, se iene que : = (valor de la componene coninua de ( e = (valor eicaz de ( RMS e _ ac = ac (valor eicaz de la componene alerna de ( En el caso que ( = y( ± z( se iene que: = y( ± z( = y ± z La componene media o de coninua de la suma es la suma de las componenes coninuas individuales. ( ( (. z, para el caso paricular que yz. = se iene que: = y ± z = y + z ± y ( ( ( y z y z = ± = +, en ese caso se dice que ( e y( son incoherenes y la poencia de la suma (o resa es la suma de las poencias individuales. Se puede omar como deinición de incoherencia de dos señales cuando se cumple que: yz. =. P.ej. dos señales armónicas de disina recuencia. ambién si yz. = y ( = y (.( z, se endrá : = y. z = y. z y ( y(.( z = = y. z

4 .5.- Promedios Esadísicos Suponer un conjuno arbirariamene grande de señales (en el gráico se dibujan únicamene res unciones miembro del conjuno que son generadas por un deerminado proceso aleaorio (p.ej. ruido érmico : ( ( ( ( n ( n ( odas se parecen y ienen el mismo valor eicaz, pero no son idénicas. Si en un insane se oma una muesra de las n señales, se obiene un conjuno de n valores: (, (,... n ( n cuyo valor medio es: ( + ( + ( +... n ( ( n ( + ( + 3( +... n ( medio de los n valores obenidos será: ( = n 3 = Si el eperimeno se repie en oro insane, se iene que el valor Se deine el mecanismo o proceso que ha generado las n señales como esacionario si se cumple que ( = ( = = valor medio esadísico del conjuno de señales (, cualquiera sea y. omando el conjuno de los valores muesreados en por ejemplo, admiiendo el rango de variacion de los ( enre + y - y que el número de muesras (n, se puede deinir una curva a parir de: (a Si eisen k muesras que no superan un valor k, se deine la canidad (k/n como la probabilidad de que la variable esadísica no supere el valor k : P ( < k = k/n (b Represenando P( < k para odos los valores posibles de, se obiene una curva F( k =P(< k como la de la igura: F( F( k k

5 EAL - # - 5 F( es siempre creciene (pendiene posiiva, iende a cuando + (odas las muesras son menores que k=n y a cuando - (odas las muesras son mayores que - k=. Se deine a F( como la unción de probabilidad acumulaiva del proceso o mecanismo aleaorio que da origen a las n señales del ejemplo. De uso mas común en aplicaciones de ingeniería es la derivada de F(: df( p( = df( = p(. d F( p( z. dz d = De lo anerior, resula que la probabilidad de que la variable sea menor que un ciero valor k es: k F( = p(. d y si k + F(+ =, enonces: p (. d= k La unción p( es una densidad de probabilidad (es usual abreviarla pd = probabiliy densiy uncion, el área de p( enre dos valores y da la probabilidad de que esé enre y. p( Area enre y = P( << P ( < < = p (. d El valor medio esadísico, deinido anes, esá relacionado con la densidad de probabilidad p( por: =. p(. d (o er momeno esadísico Esa relación permie calcularlo sin necesidad de eecuar el eperimeno de oma de muesras realizado anes. n n En general se deine el n momeno esadísico como: =. p(. d Y, a parir de ellos, dos promedios imporanes en el análisis de probabilidades : σ = y Desviación Sandard = σ Variancia: (.5..- Procesos ergódicos omando una cualquiera de las señales miembro del eperimeno de muesreo de.., y se mide durane un iempo suicienemene largo, sus promedios emporales <> y < >: / ( = lim. (. d / / ( = lim. (. d /

6 Si el proceso que genera las señales del eperimeno es, además de esacionario, ergódico, los promedios emporales deinidos arriba son iguales a los promedios esadisicos, es decir: = = Si se cumple la condicion de ergodicidad, se iene que para señales de ensión o corriene: Valor medio esadísico = valor de componene coninua o momeno esadísico = valor cuadráico medio Desviación sandard = valor eicaz Variancia = valor eicaz de componene alerna.5..- Uso de la unción de densidad de probabilidad Si ( es una señal aleaoria, miembro de un conjuno caracerizado por una unción de densidad de probabilidad conocida p(, no puede epresarse eplíciamene en dominio de iempo, sin embargo es posible ijar algunas de sus caracerisicas: por lo indicado en el puno anerior, su componene de coninua, su valor eicaz y su poencia. Además de algunas propiedades de su comporamieno en iempo. Conociendo que el área de p( enre dos valores deerminados, y por ejemplo, indica la probabilidad de eisencia de ( enre esos valores. Pueden hacerse dos inerpreaciones: ( Si la señal es observada durane un iempo suicienemene largo, P( < < represena la racción del iempo que la señal se encuenra enre los valores y. ( Si en un insane arbirario, se oma una muesra de (, la probabilidad de ocurrencia de que esé enre y será igual a P( < <. Area=P( << = ( / ( p( 3 4 Lo anerior permie deerminar crierios prácicos para deinir, por ejemplo, el valor de pico de una señal que deba ser ransmiida a ravés de un disposiivo acivo con disorsión olerable. (P.ej, deinir como valor de pico aquel valor que no es superado el 9 % del iempo La unción de disribución normal o gaussiana (. σ Esá deinida por: p ( =. e. πσ. donde σ y son la desviacion sandard y el valor medio, respecivamene, de la variable. La pd normal es imporane en aplicaciones de ingeniería, porque es la que caraceriza a enómenos aleaorios generados por la acción de un número grande ( de agenes con conribuciones ininiesimales de cada uno

7 EAL - # - 7 de ellos omados individualmene (eorema del límie cenral. Por ejemplo: el movimieno browniano de elecrones en el inerior de un conducor, que produce el ruido érmico o el enómeno de propagacion por caminos múliples, causane de desvanecimienos en enlaces de radio. La probabilidad de que la variable supere un deerminado valor k es: llamando z = u/σ queda: u. σ P ( > k =. e. du. πσ. suponiendo = k z k P( > k =. e. dz Q. π = σ k σ La unción Q( es de uso común en esadísica y esá abulada en ablas maemáicas y calculadoras de mano. Oras de uso común son la unción error (er y error complemenaria (erc, deinidas como: z er ( =. e. dz π er c( = er ( La relación que eise enre Q, er y erc es: Q ( =. er. erc = abla de la unción Q(: P.ej. : Q(.6 = , Q(3.74 = 9. -5, ec.

8 ,E-,59E-,8E-,35E-3 3,7E-5,87E-7 9,87E-, 4,9E-,54E-,7E-,6E-3,9E-5,58E-7 8,7E-,4 4,84E-,49E-,7E-,8E-3,67E-5,33E-7 7,7E-,6 4,76E-,45E-,97E-,E-3,45E-5,E-7 6,8E-,8 4,68E-,4E-,88E-,4E-3,5E-5,89E-7 6,E-, 4,6E-,36E-,79E- 9,68E-4,7E-5,7E-7 5,3E-, 4,5E-,3E-,7E- 9,4E-4,89E-5,53E-7 4,68E-,4 4,44E-,7E-,6E- 8,45E-4,74E-5,37E-7 4,3E-,6 4,36E-,3E-,54E- 7,89E-4,59E-5,3E-7 3,64E-,8 4,9E-,9E-,46E- 7,36E-4,46E-5,E-7 3,E-, 4,E-,5E-,39E- 6,87E-4,33E-5 9,96E-8,8E-, 4,3E-,E-,3E- 6,4E-4,E-5 8,95E-8,49E-,4 4,5E-,7E-,5E- 5,98E-4,E-5 8,3E-8,9E-,6 3,97E-,4E-,9E- 5,57E-4,E-5 7,E-8,9E-,8 3,9E-,E-,3E- 5,9E-4 9,34E-6 6,46E-8,69E-,3 3,8E- 9,68E-,7E- 4,83E-4 8,54E-6 5,79E-8,49E-,3 3,74E- 9,34E-,E- 4,5E-4 7,8E-6 5,9E-8,3E-,34 3,67E- 9,E- 9,64E-3 4,9E-4 7,E-6 4,65E-8,5E-,36 3,59E- 8,69E- 9,4E-3 3,9E-4 6,5E-6 4,6E-8,E-,38 3,5E- 8,38E- 8,66E-3 3,6E-4 5,93E-6 3,7E-8 8,85E-,4 3,45E- 8,8E- 8,E-3 3,37E-4 5,4E-6 3,33E-8 7,77E-,4 3,37E- 7,78E- 7,76E-3 3,3E-4 4,94E-6,98E-8 6,8E-,44 3,3E- 7,49E- 7,34E-3,9E-4 4,5E-6,66E-8 5,97E-,46 3,3E- 7,E- 6,95E-3,7E-4 4,E-6,38E-8 5,4E-,48 3,6E- 6,94E- 6,57E-3,5E-4 3,73E-6,3E-8 4,59E-,5 3,9E- 6,68E- 6,E-3,33E-4 3,4E-6,9E-8 4,E-,5 3,E- 6,43E- 5,87E-3,6E-4 3,9E-6,69E-8 3,5E-,54,95E- 6,8E- 5,54E-3,E-4,8E-6,5E-8 3,8E-,56,88E- 5,94E- 5,3E-3,85E-4,56E-6,35E-8,69E-,58,8E- 5,7E- 4,94E-3,7E-4,3E-6,E-8,35E-,6,74E- 5,48E- 4,66E-3,59E-4,E-6,7E-8,6E-,6,68E- 5,6E- 4,4E-3,47E-4,9E-6 9,55E-9,8E-,64,6E- 5,5E- 4,5E-3,36E-4,74E-6 8,5E-9,57E-,66,55E- 4,85E- 3,9E-3,6E-4,58E-6 7,57E-9,37E-,68,48E- 4,65E- 3,68E-3,7E-4,43E-6 6,73E-9,9E-,7,4E- 4,46E- 3,47E-3,8E-4,3E-6 5,99E-9,4E-,7,36E- 4,7E- 3,6E-3 9,96E-5,8E-6 5,33E-9 9,9E-,74,3E- 4,9E- 3,7E-3 9,E-5,7E-6 4,73E-9 7,9E-,76,4E- 3,9E-,89E-3 8,5E-5 9,68E-7 4,E-9 6,9E-,78,8E- 3,75E-,7E-3 7,84E-5 8,76E-7 3,74E-9 6,E-,8,E- 3,59E-,56E-3 7,3E-5 7,93E-7 3,3E-9 5,3E-,8,6E- 3,44E-,4E-3 6,67E-5 7,8E-7,94E-9 4,55E-,84,E- 3,9E-,6E-3 6,5E-5 6,49E-7,6E-9 3,96E-,86,95E- 3,4E-,E-3 5,67E-5 5,87E-7,3E-9 3,44E-,88,89E- 3,E-,99E-3 5,E-5 5,3E-7,5E-9,99E-,9,84E-,87E-,87E-3 4,8E-5 4,79E-7,8E-9,6E-,9,79E-,74E-,75E-3 4,43E-5 4,33E-7,6E-9,6E-,94,74E-,6E-,64E-3 4,7E-5 3,9E-7,43E-9,96E-,96,69E-,5E-,54E-3 3,75E-5 3,5E-7,6E-9,7E-,98,64E-,39E-,44E-3 3,45E-5 3,8E-7,E-9,48E-

9 EAL - # - 9 para > 7, Q( puede aproimarse por : Q (. e. ( π.- Señales elécricas en dominio de recuencia Una orma alernaiva de represenar las propiedades de una señal elécrica es en dominio de recuencia. La herramiena maemáica que vincula los dominios de iempo y recuencia es la ransormada de Fourier. Si para una señal (, las inegrales eisen (como ocurre para oda señal ( ísicamene posible, se deine el par de ransormada de Fourier según: z z jω jω X( = (. e d ( = X(. e d donde ω =.π. X( es la represenación de ( en dominio de recuencia, es el especro de recuencias o simplemene especro de (. Simbólicamene, se indica la relación de ransormación como: ( X(, que debe leerse como La ransormación de ( es X(. El par ( y X( es biunívoco (a un ( corresponde un X( y viceversa. El símbolo indica ransormación. X(, es normalmene una unción compleja en dominio de recuencia. X( = Re X( + jim X( = (.cos( ωd j (. sen( ωd Analizando la epresión de arriba puede deducirse que, suponiendo a ( real : si ( es una unción par, Im[X(]= y X( es real si ( es una unción impar, Re[X(]= y X( es imaginario Re X( = Re X(-, la pare real de X( es de simería par Im X( = -Im X(-, la pare imaginaria de X( es de simería impar ambién puede ponerse: X( X(. e Φ ( =, donde: X( = (Re X( + (Im X( X Φ( = arcan Im ( Re X( X( es unción par y Φ( (especro de ase unción impar. oar además que, para ( real : X(- = X*( (X( es unción Hermíica ( = área de X( X( = área de (

10 Φ( X( Im(X( Re(X( Si ( es una ensión o corriene, la dimensión de X( será [vol.seg] o [amp.seg] que equivale a [vol/hz] o [amp/hz], es decir que X( es un especro de densidad de ensión o corriene. Se demuesra (eorema de Parseval que: + + (. d = X (. d La dimensión de X( es [V.seg ] o [V.seg/Hz] lo que indica que X( es un especro proporcional a la densidad de energía de (. Si la señal ( eise durane un inervalo [seg] y su especo iene componenes signiicaivas en un ancho de banda W [Hz], la aplicación del. de Parseval indica que el valor cuadráico medio de de ( esá relacionado con X( según: X( d = (. d. d V(. = = X( Donde V( =, de dimensión [V rms.seg] o [V rms /Hz], represena un especro proporcional a la densidad de poencia media durane el lapso de ( o de densidad de (valor eicaz. En el caso de que ( sea X( una ensión desarrollada sobre una resisencia R [ohm], será un especro de densidad de energía R V( X( (dimensión Wa.seg/Hz y = de densidad de poencia (dimensión Wa/Hz. En algunas R R. aplicaciones, se especiica la raíz cuadrada del especro V(, resulando un especro de densidad de ensión eicaz (dimensión Vol rms / Hz. El conocimieno de la disribución especral de energía/poencia es undamenal para dimensionar el ancho de banda necesario que un sisema de ransmisión debe ener para ransmir la señal (. De lo anerior surge (equivalene a lo dicho en.4: Si ( es ransioria, X( es de área inia y V( iende a Si ( es un señal permanene, el área de X( iende a ininio y V( es de área acoada. Se debe noar que si bien eise una relación biunívoca enre ( y X(, no eise al correspondencia enre ( y su especro de densidad de poencia/energía G( = X(, en oras palabras, varias señales dierenes k ( pueden comparir un mismo V( o X(...- eoremas relacionados con la ransormada de Fourier Deinidas las ransormaciones: ( X( y ( Y( W W

11 EAL - # - jπ...- Desplazamieno en iempo: ( X(. e jπ...- Desplazamieno en recuencia : (. e X( Dierenciación e inegración :..4.- Convolución : (. y ( X( * Y( (* y ( X(. Y( d( j π. X( d (. d. X( +. X(. δ ( jπ + Donde el produco de convolución (* esá deinido por: c ( = (* y ( = z (. y ( z. dz Inerpreación gráica del produco de convolución: Dadas dos unciones ( e y(, se muesra el produco de convolución (*y( para dos insanes y : y( y( -z y( -z ( (z z= z= z (z.y( -z (z.y( -z Area=c( c( z= z= z Area=c(..5.- Linealidad : a. ( + by. ( = ax. ( + by. (..6.- Cambio de escala: a (.. X a a X ( (..7.- Simería: X( (..- Dela de Dirac

12 δ ( z =, paraz Función ideal deinida por: δ ( z =, paraz = ε δ( z. dz =, para cualquier ε > ε Una unción generadora simple y úil en muchas aplicaciones del Dela de Dirac, es un pulso recangular de ampliud, ancho y cenrado en : p(z - z Se ve que δ ( z = lim p( z Propiedades del dela de Dirac de uilidad en el análisis de señales:...- Muesreo: z (. δ ( z z. dz= z (...- Desplazamieno: z ( * δ ( z z = z ( z..3.- Represenación discrea de señales coninuas Es evidene que una señal coninua (z puede aproimarse omando una serie de valores (muesras de (z a inervalos z y maneniéndolos durane ese lapso : (z z (k. z z. z k. z z ambién es evidene que la aproimación será mejor cuando z La versión muesreada de (z puede ponerse como: ( m z ( k. z. p ( z k. z, donde p(z es un pulso z ampliud consane =, duración z y cenrado en z=. Muliplicando el segundo miembro de m(z por z k

13 EAL - # - 3 z p( z k. z queda: m ( z ( k. z. p( z k. z. = ( k. z.. z, cuando z, k z k z pz ( k. z δ ( z k. z y la epresión para m (z: m [ z. z]. δ z ( z = ( z = ( k. ( z k. z (Se podría haber llegado al mismo resulado uilizando la propiedad de desplazamieno del impulso para el caso paricular que z = : z= ( z ( * δ ( z y realizando el produco de convolución en orma discrea. k ( z. z (. z ( z. z (k z. z z =(z si z --> z. z k. z z..4.- ransormada de Fourier de un dela de Dirac en iempo: jω X ( = δ (. e d = (aplicando.demuesreo δ..5.- ransormada de Fourier de un dela de Dirac en recuencia: jω ( = δ (. e d = (aplicando. demuesreo δ.3.- Especro de unciones usuales.3..- Función signo (señal permanene Si ( = sgn(, enonces ( = para >, ( = - para < y ( = para = La unción signo no iene ormalmene. de Fourier, puede deinirse una por medio de un proceso límie: a. sgn( = lim e, para > a ( sgn( =, para = a a. ( sgn( = lim e, para < j π. a j π. a j π. X ( = sgn(. e. d = lim e. e. d + e. e. d = a jπ.3..- Escalón uniario (señal permanene Si ( = u(, enonces ( = para >, ( =.5 para = y ( = para < u ( = +.sgn( y, uilizando el resulado de (.3. : X( = δ ( + jπ Pulso recangular

14 El pulso recangular, abreviado rec(,, esá deinido por un valor uniario durane -/ y / y para el reso del iempo: rec(, = u + u, su ransormada de Fourier es : / jπ sen( π.. X( = e d=. =. sinc(. π.. / donde la unción sinc( se deine como sen(π./π. Propiedad úil de la unción sinc: sen( π sen( π d = d = ( π ( π + + Uilizando las unciones deinidas se ve que unción ideal δ( puede aproimarse ambién por: δ ( = lim. rec(, = lim. sinc Pulso riangular La ransormada de Fourier de un pulso riangular de ampliud uniaria y seg. de duración, simérico respeco a es: j.. π.. j.. π.. X ( = ( +. e. d + (. e. d Pulso coseno elevado sen( π.. X ( =. π.. El pulso coseno elevado, de ampliud uniaria y seg. de duración, simérico respeco de, esá deinido por: ( =. cos π.. rec (, + Su ransormada es : jπ sen(. π.. X( =. cos π.. e. d. + = 4... π Pulso Gaussiano Pulso con orma de campana de Gauss: e ( =, con >. j. π.. (.. π, El especro de recuencias ambién iene orma Gaussiana. X( = e. e d =.. e π Analizando las epresiones de X( obenidas para las señales.3. a.3.6, se comprueba el resulado conocido sobre comporamieno especral de señales elécricas, que dice que si el pulso (o señal presena disconinuidad en la derivada m, el módulo de su especro de recuencias disminuye a recuencias alas en orma inversamene proporcional a (m+. O, en érminos cualiaivos, señales con pendienes abrupas en iempo, ienden a ocupar anchos de banda mayores..

15 EAL - # - 5 Formas de onda y especros de los cuaro pulsos analizados (oar que los res pulsos ienen igual área: ( ( Pulso recangular Pulso cos. elevado.5 Pulso riangular.5 Pulso gaussiano X(.8.6 Pulso recangular Pulso riangular.4. -3/ -/ -/ / / 3/ X(.8 Pulso cos.elevado.6.4. Pulso gaussiano -3/ -/ -/ / / 3/.4.- Especro de señales periódicas El caso mas simple de unciones periódicas son las rigonoméricas seno y coseno, para ellas, la. de Fourier es casi direca. Aplicando el eorema de desplazamieno en recuencia: j.. π.. j.... π ( = cos(. π.. = e + e. δ( +. δ( + j.. π.. j.... π y ( = sen(. π.. = e e. δ(. δ( + j. j. j. j. j. φ j. φ j.. ( π.. + φ j.. ( π.. + φ e e z ( = cos(. π.. + φ = e + e. δ( +. δ( + En general, una unción periódica puede escribirse como: ( = ( n n=, donde es el período

16 udamenal y ( es una unción ransioria de duración que represena un ciclo de ( con. de Fourier X (. ( ( - 3 (+ ( (- (- La inversa del período es la recuencia undamenal de (: =/. Aplicando el eorema de desplazamieno en iempo, puede deinirse la ransormada X( en unción de X ( según: δ n= n= n= ( = ( n = (* ( n X(. e j.. π.. n. como ( π...(. + sen j.. π. n.. e =, cuando, es posible demosrar que : sen( π... j.. π.. n. e = δ n= n= n Queda enonces : X X n X ( n n ( = (.. δ ( =. δ ( n= n= X( = cn. δ ( n n= donde se ha deinido y c como : n Especro de una señal periódica: = y c X ( n a+. (. j π n n = = a e. d c -3 c - c - c c c c Es usual represenar a cada impulso con alura proporcional al módulo de su área. o conundir con el especro de líneas, en el que se represena las componenes como líneas cuya alura es proporcional a los c n :

17 EAL - # - 7 c -3 c - c - c c c c En general, c es un número complejo que compare las caracerísicas enunciadas al principio para X( : Si ( n es unción par, c n es real. Si ( es impar, c n es imaginario y siempre c -n = c n *. oar que la dimensión de cn es la misma que la de (. Si eise X(, se puede deerminar ( en érminos de los coeicienes c n y z z n n= z n= j. π.. j. π.. j. π.. ( = X(. e. d = c. δ( n. e. d = c. δ( n. e. d Aplicando el eorema de muesreo a la inegral del úlimo érmino: j. π. n.. j(. π. n.. + φn n n n π + φn ( = c. e = c. e = c +. c cos( n n= n= n= Que son algunas de las ormas habiuales de represenar señales periódicas por medio de los coeicienes de Fourier. El valor cuadráico medio de la señal ( es: ( = +. n = n n= n= c c c Como el especro de ( eise en múliplos de, es ísicamene razonable deinir el especro de densidad de poencia de ( como: G( =. X( =. cn. δ ( n. donde se supone que ( es una ensión R R n= aplicada sobre una resisencia R [ohm]. La igualdad enre los dos úlimos érminos de la ecuación de arriba debe omarse como simbólica, pues no es maemáicamene correca (el cuadrado de la unción δ no esá deinido (sería un impulso de área ininia, se ha omado que A.δ( = A.δ( para que la inegral enre ± de G( sea igual al valor cuadráico medio de (. Un caso paricular de señal periódica, de uilidad en algunas aplicaciones, es el ren de impulsos de Dirac (unción comb. Se iene que : ( = δ (, X( = cn =. X( n. = n X( =. δ ( n. n= La ransormada de Fourier de un ren periódico de impulsos en iempo de área y período, es ambién un ren periódico de impulsos en recuencia, de área y período En general, cualquier señal realizable puede epresarse como. n ( = cn. e π j... con una elección adecuada de los c y. Las señales periódicas son un caso paricular en que los esán relacionados armónicamene. En n n n la epresión general, para que ( sea real, debe cumplirse que: y c =, en al caso: n= n= n n c n

18 n π n φn n= ( = c +. c cos(... + A eecos prácicos, la epresión de arriba permie simular con buena precisión cualquier señal, deerminísica o aleaoria realizable ísicamene. El especro de dos lados de una señal es uilizado en cálculos maemáicos, la represenación usual mediane insrumenos de medición (analizador de especros es únicamene del lado de recuencias posiivas. En ése caso iene signiicado ísico, la represenación de módulo-ase de X(: X( X( φ(=arg(x( X + ( X + ( =.5. X( + φ + (=φ( La ransormada de Fourier discrea (DF La ransormada de Fourier de una deerminada señal, puede calcularse a pesar de no conocerse su epresión maemáica (, si se dispone de un número adecuado de muesras de la señal a lo largo del iempo. Suponer una señal ( que eise durane un lapso de seg. y es para el reso del iempo. Si se oman muesras de la señal a inervalos razonablemene coros, p. ej. a =,,, 3, k, (- y se maniene después de cada muesra el valor (k durane seg. puede aproimarse la inegral para calcular X( según: enonces j. π.. j. π.. k. X( = (. e. d ( k.. e. = X ( X ( = X( d k = d. Si es suicienemene pequeño ( Aproimación de una unción con Pulsos recangulares 4 k (k (Ν

19 EAL - # - 9 =,suponiendo inervalo uniorme enre muesras. La epresión para X( queda: j. π.. k. X (.. d = k e donde k = ( k. k = llamando =, queda:. π j.. k k k = Xd( =.. e. El especro de la ransormada discrea X d ( es coninuo, y analizando la ecuación de arriba, se ve que: ( +.. π... π j k j.. k j. π. k d k k. k=. k= d X ( +. =.. e =.. e. e = X ( como k es siempre un número enero, el érmino e j π k es igual a por lo que resula que Xd( es periódica en y su período vale :. = s = = donde s es la recuencia a que se oman las muesras de ( (recuencia de muesreo. El especro de X d ( es el de X( repeido a múliplos de s ( aliasing. Es evidene que, una mala elección de s puede inroducir errores en el cálculo por eeco del raslapamieno de especros. X( X(- s X(- s X(-3 s s s 3 s X( X(- s X(- s X(-3 s X(-4 s s s 3 s 4 s superposición A los eecos del cálculo de la DF, se debe uilizar la recuencia de muesreo mas ala posible, como guía aproimada, debe ser mayor que 5... veces del ancho de banda (signiicaivo esperable de (. En el límie, cuando y s, se endrá la solución eaca X d ( = X(.

20 Eisen algorimos de cálculo que aceleran el procesamieno de la suma (FF, Fas Fourier ransorm, y normalmene, calculan X d ( en múliplos de :. π X.. ( n j n k d =. k. e = X. n k = resulando un especro discreo con punos (líneas en múliplos de (En la erminología de la DF o FF, deermina la resolución del especro o el espacio enre líneas. Si la señal analizada uera periódica, la oma de muesra debería hacerse durane un período (= y los coeicienes de la serie de Fourier resulane serían:. π j. n. k cn =. X d ( n =. k. e k = La variable no aparece eplíciamene en las unciones de X n o c n sino que esá implícia en el orden n de la armónica de. Los paquees de soware que realizan la FF, ienen las siguienes caracerísicas: (a el número de muesras es una poencia de (=56,4, 65536, ec. y (b La resolución del especro es / y la máima armónica calculada es n ma =/, lo que da un ancho de especro F ma =. / = s /..6.- Señales aleaorias en dominio de recuencia Las señales aleaorias se deinen en dominio de recuencia por medio de su especro de densidad de poencia (o energía. Es posible calcular (aproimadamene la. de F. de una unción miembro mediane la DF. Lo que es común a odas las unciones miembro del conjuno es su especro de densidad de poencia. Con señales deerminísicas, eise una relación bi-unívoca enre ( y X(, eso no ocurre con señales aleaorias. Una señal ( puede ener su especro de densidad de poencia G(, pero ése puede corresponder ambién a oras señales (, (,..., n (, ec. oar que lo mismo sucede para señales deerminísicas, al perder G( la inormacion de ase de X(. Lo anerior sugiere que G( caraceriza, en dominio de recuencia, a un conjuno de señales y no a una en paricular. Esa paricularidad es erapolable a los promedios esadísicos. Si ( es una señal aleaoria cuyo especro de densidad de poencia es G(, puede demosrarse que: G( R(z, donde R(z es la unción de auocorrelación deinida por: Rz ( =. (. ( z. d, con o suicienemene grande respeco a las variaciones de (. En el caso de señales periódicas, es suiciene omar igual al período undamenal de la señal. oar que: (a R(z es una unción par: R(-z = R(z y (b según sea su deinición, R( represena (es proporcional la poencia o energía de (. Demosración de que G( R(z: ( ( (. (.. (.( ( j π Rz z d X e + = + = z d d, para señales realizables ísicamene, es válido inercambiar X( y ( lo que lleva a: π + π ( ( j ( z j jπz R( z =. X (. ( e d d =. X ( ( e d e. d (. (. (. j π z X. jπ z (. jπ z = X X e d e d G e d = = En el caso de señales ransiorias, la unción de auorrelación esá deinida como Rz ( = (. ( z. d. de Fourier es el especro de densidad de energía de (. y su

21 EAL - # - En aplicaciones écnicas, es usual represenar el la raiz cuadrada de G( como un especro de densidad de valor eicaz en un ancho de banda B. Considerando que la poencia de una señal de ensión (o corriene muliplicando V( por R sobre R ohm vale: P= V( d = G( d R, resula que V( = RG. (, unción real, B B Vol par y de dimensión Hz o Amp Hz que puede represenar, lo mismo que G(, a un conjuno ininio de señales. X( oar que (para señales de buen comporamieno V( =, donde X( es la. de Fourier de la señal y el iempo de observación. Además, que únicamene el cuadrado de V( iene signiicado ísico. 3.- Señales de banda angosa Se considera una señal como de banda angosa si los valores signiicaivos de su especro eisen en un inervalo de recuencias (ancho de banda ocupado mucho menor (menor que... 5% de la recuencia cenral. Si ( es una unción real de banda angosa (puede ser una señal que ranspore inormación o simplemene ruido, cenrada en una recuencia y con ancho de banda W, su ransormada X( debe ser una unción Hermíica (X(-=X*( y iene que cumplirse que Re[X(] es una unción par y que Im[X(] es impar. Su especro puede escribirse como: X( = X ( + X ( + donde X ( y X ( son especros de banda de base, cenrados en = y ancho de banda ±W/ Aplicando el eorema de desplazamieno en recuencia (.: X( = X ( δ( + X ( δ( + (. e + (. e jπ jπ Suponiendo un especro cualquiera para X( que cumpla las condiciones necesarias para ( real: Re[X(] w Im[X(] w o -o Especros de X ( y X (:

22 Re[X(] -w/ w/ Im[X(] Re[X(] Im[X(] -w/ w/ Por la simería de los especros en banda de base, las ransormadas ( y (, en general, serán unciones complejas y se ve que: Re X ( = Re X ( [ ] [ ] [ ] [ ] = = * Im X( Im X( X( X( ( = ( + j. ( real imag ( = ( = ( j. ( * real imag ( π ( ( = (. e + (. e = ( + (.cos + j. ( (.sin π j π j π ( =. (.cos π. (.sin π = a (.cos π b (.sinπ real imag donde a( y b( son señales reales de banda de base y sus especros A( y B( cenrados en y de de ancho de banda: a (. ( y b ( =. ( = real imag W ± Hz Especros A( y B(: Re[X(]+ Re[X(]=Re[A(] Re[X(]- Re[X(]=Re[B(] -w/ w/ -w/ w/ Im[X(]+Im[X(]=Im[A(] Im[X(]-Im[X(]=Im[B(] El valor cuadráico medio de (, en érminos de sus componenes de banda de base es: ( (.cos( π (.sin( π = + = a b = a (.cos ( π + b (.sin ( π +. a (. b (.cos( π.sin( π = =. a +. b

23 EAL - # - 3 Una orma alernaiva y usual de represenar a ( y que surge de las ecuaciones de arriba es : donde: r e r jπ ( = Re (. = (.cos(. π.. + φ( ( r ( = a ( + b (. e y φ( = arcan a ( jφ ( b ( Un modelo deerminísico úil para algunas aplicaciones es una suma (grande de componenes armónicas de recuencias y ases aleaorias como: n π n φn n= ( =. c.cos(... + donde las recuencias componenes n, con coeicienes c n dierenes de esán disribuidas enre ma y min. Deiniendo = ( ma + min / y bn = ( n, la ecuación anerior puede ponerse como: n π bn φn n [ π bn φn + π ] ( =. c.cos(..( +. + =. c.cos ( n= n= ( =. cn.cos(. π. bn. + φn.cos(. π... cn. sen(. π. bn. + φn. sen(. π.. n= n= ( = a (.cos(. π.. b (. sen(. π.. donde: a ( =. c.cos(... + n π bn φn n = b ( =. c. sen(... + n π bn φn n= El ancho de banda ocupado por ( es W = - Hz + (es decir considerando recuencias posiivas ma min únicamene y cenrado en, mienras que a( y b( son señales de baja recuencia (banda de base, con especro ubicado enre y W/ Hz +. De las ecuaciones de arriba, se ve que si en (, a( y b( no eisen componenes armónicas de eacamene la misma recuencia, la poencia de ( es : ( =. a ( +. b (, y que, además : n n= ( =. c = a ( = b (