Análisis Conjunto Tiempo-Frecuencia Representaciones Cuadráticas

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1 ANÁLISIS CONJUNTO TIEMPO-FRECUENCIA Vera E.P. Análisis Conjuno Tiempo-Frecuencia Represenaciones Cuadráicas ELIZABETH VERA DE PAYER Faculad de Ciencias Eacas y Naurales Universidad Nacional de Córdoba, Argenina Inroducción En el análisis y procesamieno de las señales se cuena con disinas herramienas cuyo uso iene por objeo lograr a parir de un número finio de daos muesra, obener información imporane referida a un fenómeno o sisema que ellos represenan. Desde el puno de visa maemáico, una señal puede venir descripa de muy disinas maneras. Un problema cenral es enconrar una represenación en la cual cieros aribuos de la señal se hagan eplícios. A menudo, ésas vienen dadas como funciones del iempo. Pero en el esudio de las señales es generalmene provechoso disponer de una represenación en el dominio de la frecuencia ya que permie eraer caracerísicas que suelen no esar puesas en evidencia en el dominio emporal y que son de gran uilidad para comprender su nauraleza o faciliar el diseño de sisemas asociados. Así, mienras que una función en el dominio emporal indica cómo la ampliud de la señal cambia en el iempo, su represenación en el dominio de la frecuencia permie conocer cuan a menudo esos cambios ienen lugar. La vinculación enre esas dos presenaciones la brinda la Transformada de Fourier cuya idea fundamenal es la de descomponer la señal en la suma pesada de funciones sinusoidales. Si bien la Transformada de Fourier en muchas siuaciones es de gran uilidad, no resula en odos los casos apa para analizar señales de la vida real, que son normalmene de duración finia y aun a veces de cora duración. Comparar señales del ipo de las sísmicas o las biomédicas, como así ambién los ransiorios y las señales de radar con las señales sinusoidales que se eienden en el iempo de - a + no resula ser lo más adecuado. Recordando la epresión de la Transformada de Fourier: jω X ( = ( ). e d se observa que es necesario el conocimieno de oda la información emporal de la señal para realizar su análisis en frecuencia. Luego no es posible implemenarla para aplicaciones en iempo real porque carecemos de información sobre la 110

2 PROCESAMIENTO DE SEÑALES E IMÁGENES: TEORÍA Y APLICACIONES evolución de la señal en el fuuro. De igual forma, disconinuidades o ransiciones abrupas que pueden ser debidas a caracerísicas pariculares de la misma o por adición de ruido en un insane deerminado, produce efecos que se eienden sobre odo el rango de frecuencias. Es ambién inadecuada para el rabajo con señales ransiorias, las cuales presenan componenes de vida cora, salvo el caso de que puedan asimilarse a un impulso en el que su iempo de ocurrencia se considera conocido (Williams 1998). Esos inconvenienes son consecuencia de que hay una hipóesis subyacene en el análisis de Fourier, que es la esacionariedad de la señal en esudio. Para las señales aleaorias eso se raduce en que las caracerísicas esadísicas de la señal son independienes del iempo, en paricular el valor medio, la variancia y la auocorrelación la cual depende enonces sólo del lag. Para señales deerminísicas la esacionariedad se relaciona con ener caracerísicas especrales que no cambian en el iempo. Una limiación imporane de la Transformada de Fourier es que no es posible analizar la evolución de los conenidos de frecuencia de la señal en el iempo. En efeco, cuando se pasa al dominio de la frecuencia se pierde oda información emporal por lo que no se puede deerminar los insanes en que una señal presena cambios, aleraciones o rupuras. Frecuencia insanánea y reardo de grupo En el caso de señales deerminísicas la no esacionaridad se refleja en ener un especro variable en el iempo. Un índice de esa variación la da la frecuencia insanánea (IF) de la señal compleja () definida como la derivada de la fase con respeco al iempo 1 d f () = (arg ()) (1) π d Para señales deerminísicas reales ésa se esablece sobre la base de la señal analíica asociada o envolvene compleja a (). Recordar: dada (), ˆ a () = () + j() con ˆ( ) Transformada de Hilber de (). Las señales de duración finia, y en paricular los ransiorios, en los cuales la duración es cora comparada con el iempo de observación, son no esacionarios. Una canidad dual de la IF es el reardo de grupo (GD) definido por: d ( = (arg X( ) () dω en el que arg X ( ω ) corresponde a la fase del especro. 111

3 ANÁLISIS CONJUNTO TIEMPO-FRECUENCIA Vera E.P. El GD es especialmene significaivo cuando () es la respuesa al impulso de un sisema LTI. Bajo cieras condiciones, ( ω ) puede ser inerpreado como el iempo de reardo inroducido por el sisema a la frecuencia ω (Hlawasch 199a). Sin embargo, la IF y el GD son sólo capaces de describir adecuadamene la localización de componenes especrales para una muy resringida clase de señales. La IF represena la frecuencia como una función eplícia del iempo con lo que de hecho asume que para un insane de iempo, eise sólo una componene simple de frecuencia. Una señal sencilla que no cumple esa hipóesis es () = ep( jπ f) + ep( jπ f ), ya que coniene dos componenes de 1 frecuencia f1, f durane odo el iempo. Esa misma resricción se aplica al GD. Aquí la hipóesis eplícia es que una frecuencia dada esá concenrada alrededor de un insane de iempo. Esos inconvenienes pueden ser solucionados describiendo la esrucura iempo-frecuencia de una señal no por una curva 1-dimensional sino por una superficie D (Hlawasch 199b). De aquí la necesidad de un Análisis Conjuno Tiempo-Frecuencia que al realizar un mapeo de una señal () en una función -dimensional del iempo y la frecuencia, ehiba la localización emporal del especro de la señal. Eso equivale a una represenación en frecuencia variane en el iempo que pueda brindar indicación de los insanes precisos en los cuales se observa la presencia de cieras componenes especrales. Posibles soluciones La Transformada de Fourier a iempo coro (STFT), la Transformada Ondia (WT) y la Epansión de Gabor son las opciones usuales. Se las suelen denominar soluciones lineales en el senido en que se basan en comparar la señal a analizar con un conjuno de funciones adecuadamene seleccionadas. La diferencia enre ellas esriba en cómo son consruidos los conjunos de funciones elemenales de referencia. Ora aproimación al problema consise en omar la energía de la señal como una función del iempo y la frecuencia. Un primer ejemplo es el especrograma el cual corresponde al módulo al cuadrado de la STFT, y refleja la densidad especral de energía de la señal venanada localmene: S (, = ( τ) h( τ )ep( jωτ) dτ (3) 11

4 PROCESAMIENTO DE SEÑALES E IMÁGENES: TEORÍA Y APLICACIONES con h (): venana de análisis. El especrograma es afecado no sólo por la elección de la forma de la venana, sino ambién por sus dimensiones. Se crea una siuación de compromiso referida a menudo como Principio de Incereza: venanas largas proveen buena resolución en frecuencia pero pobre resolución en el iempo, mienras que lo conrario sucede con venanas coras. El S(, ω ) brinda el especro dependiene del iempo más simple, por lo cual es de uso frecuene cuando se quiere ener una visión rápida aunque no necesariamene muy precisa de la energía de la señal en el dominio conjuno iempo-frecuencia. La Disribución de Wigner-Ville y los miembros de la Clase de Cohen ofrecen una imporane alernaiva para el esudio de señales no esacionarias. Densidad de energía iempo-frecuencia Tomando como puno de parida la observación de que la Energía de la señal puede ser epresada sobre la base del módulo al cuadrado de su desarrollo en el iempo o en frecuencia: 1 E = () d= X( dω π (4) es posible inerprear ano a () como a X ( ω ) como densidades de Energía. Aparece enonces la idea de buscar una densidad de Energía ρ (, ω ) que dependa simuláneamene del iempo y la frecuencia: E = ρ (, ddω (5) Es naural requerir que saisfaga las llamadas propiedades marginales: ρ (, d = X( ρ (, dω = () (6) 113

5 ANÁLISIS CONJUNTO TIEMPO-FRECUENCIA Vera E.P. Hay muchas disribuciones ρ (, ω ) con esas propiedades, de al manera que es posible eigir condiciones adicionales como las de covarianza en iempo y frecuencia las cuales revisen imporancia fundamenal. Las disribuciones de Energía iempo-frecuencia que cumplen odas esas condiciones se engloban en la denominación de miembros de la clase de Cohen. De acuerdo al Teorema de Wiener Khinchine, la densidad especral de energía puede ambién ser visa como la Transformada de Fourier de la función de auocorrelación R(τ). PX ( = X( = R( τ)ep( jωτ) dτ (7) con: R( τ ) = ( ) ( τ ) d la cual es en realidad un promedio emporal de la correlación insananea (). ( τ ). PX ( ω ) no es una función del iempo. Ella indica con cuana energía conribuye la frecuencia ω analizada sobre odo el inervalo de iempo. Basándonos en la ecuación (7) no hay forma de decir si el especro de energía evoluciona, luego es inadecuado para describir señales con conenidos de frecuencia que varían en el iempo, como sucede con la mayoría de las señales biomédicas, de voz y las vibraciones en general. Una solución es hacer la auocorrelación dependiene del iempo. Se busca una R(, τ) adecuada de al forma que su Transformada de Fourier respeco a la variable τ resule ser una función del ipo: P (, = R (, τ)ep( jωτ) dτ (8) la cual se llamará especro de energía dependiene del iempo. El problema a resolver es como deerminar la función de auocorrelación R(,τ). La elección de R(,τ) no es arbirario ya que enre oras eigencias se preende que P(, cumpla las propiedades marginales (6). Además, si P(,ω ) represena la disribución de energía de la señal en el dominio iempo-frecuencia, es de esperar que sea real valuada con el agregado que, eniendo en cuena el concepo clásico de energía, sería deseable que P(,ω ) fuera no negaiva. Sin embargo, lo más imporane es que se necesia asegurar que P(,ω ) efecivamene idenifique los cambios en los conenidos de frecuencia de la señal. Esa es la moivación principal del análisis iempo-frecuencia pero al mismo iempo, lo más dificil de jusificar. Para las opciones lineales como la Transformada de Fourier a iempo coro o la Transformada Ondia, la bondad de la represenación puede ser juzgada al menos en pare, analizando las funciones elemenales: mienras más concenradas 114

6 PROCESAMIENTO DE SEÑALES E IMÁGENES: TEORÍA Y APLICACIONES en iempo y frecuencia esán, más adecuadamene la solución propuesa describe los comporamienos locales de la señal. Hay que desacar que en las ransformaciones para el análisis iempofrecuencia más generales no se iene a la visa las funciones elemenales eplícias y debe encararse de ora manera la comparación de uno y oro ipo de represenación. La disribución de Wigner Ville Tomando como función de auocorrelación: τ τ R (, τ ) = + (9) se define la disribución de Wigner-Ville: WVD(, ) τ τ ω = + ep( jωτ ) dτ (10) eso es, como la Transformada de Fourier de la función de auocorrelación (9) respeco a la variable τ. Esa epresión corresponde a la auowvd. De forma similar, la WVD cruzada se define por : τ τ WVDy (, = + y ep( jωτ ) dτ (11) con () y y() dos señales diferenes. Es fácil verificar que: WVD (, = WVD y (, y luego WVD (, = WVD (, lo cual implica que la auo-wvd es real valuada. La WVD puede ambién ser compuada operando en el dominio de la frecuencia: Sea s 1 ( ) s τ τ τ = + ; g 1 ( τ) = g Luego: s1( τ ) S1( = S( ep( j ω) ; g1( τ) G1( = G( ep( j ω ) Del eorema de la Convolución: 115

7 ANÁLISIS CONJUNTO TIEMPO-FRECUENCIA Vera E.P. τ τ WVDsg, (, = s + g ep( jωτ) dτ = s ( τ ) g ( τ)ep( jωτ) dτ = S ( * G ( = S( α) G(ω α)ep(4α dα π Haciendo α = ω +Ω /: 1 Ω Ω WVDsg, (, = S ω G ω ep( j ) d π + Ω Ω 1 Ω Ω WVDs (, = S ω+ S ω ep( jω) d π Ω (1) Esas fórmulas indican que la WVD es simérica en los dominios del iempo y la frecuencia. Por lo ano, propiedades derivadas en el dominio del iempo ienen su propiedad dual en el dominio de la frecuencia. Propiedades La WVD saisface un gran número de propiedades imporanes ales como: es siempre real valuada preserva los corrimienos en iempo y en frecuencia y() = ( ) WVD (, = WVD (, o y o y( ) = ( ) ep( jω ) WVD(, = WVD (, ω ω ) o o saisface las propiedades marginales + 1 π WVD (, d = X ( + WVD (, dω = () conservación de la Energía 116

8 PROCESAMIENTO DE SEÑALES E IMÁGENES: TEORÍA Y APLICACIONES E = WVD(, d dω π compaibilidad con filrado + + ω y() = h( s) () s ds WVD (, = WVD ( s, WVD (, s ) ds (convolución en el iempo) compaibilidad con modulación y h y() = m() () WVD (, = WVD (, ω ν) WVD (, ν) dν (convolución en frecuencia) + y m conservación de sopore en el senido amplio () = 0 si > T WVD (, = 0 para > T X ( = 0 si ω > B WVD (, = 0 para ω > B uniario (epresa la conservación del produco escalar) () y() d = WVD(, WVDy(, ddω Fórmula de Moyal Ejemplo 1 1/4 α α Sea la señal () = ep π Su WVD es: función Gaussiana con energía uniaria α α τ τ WVD (, = ep ep( jω ) d π + + τ τ α α ep( α ) τ ep( jωτ) dτ ep α π 4 = = + 1 ω α Eso indica que la WVD de la función Gaussiana esá concenrada en el origen del plano iempo-frecuencia. El parámero α conrola la dispersión de la WVD. Un valor grande de α conduce a mayor concenración en el iempo pero mayor dispersión en frecuencia y viceversa. 117

9 ANÁLISIS CONJUNTO TIEMPO-FRECUENCIA Vera E.P. Si la señal esuviera corrida en el iempo en o y en frecuencia ω o, de las propiedades de preservación de los corrimienos en iempo y frecuencia resularía: 1 WVD (, = ep α ( o ) + ( ω ω 0 ) α eso es, cenrada en ( 0,ω 0 ). En la Figura 1 se muesra la WVD de la señal: 1/ 4 α α π 18 j ( ) = ep ( ) π + Los conjunos de nivel de la WVD de esa señal consisen en elipses concénricas cenradas en ( 18, π / ). Ejemplo En la Figura se muesra la WVD de un chirp lineal en la cual se visualiza fácilmene la evolución en el iempo de los conenidos de frecuencia. Figura 1: Disribución de Wigner-Ville de la señal Gaussiana. 118

10 PROCESAMIENTO DE SEÑALES E IMÁGENES: TEORÍA Y APLICACIONES Ejemplo 3 14 / Sea la señal s () α ep α = + jβ π que corresponde a un chirp lineal con envolvene Gaussiana. Se observa que la primera derivada de la fase ϕ '( ) = β se incremena linealmene con el iempo. Su Disribución de Wigner-Ville es: α α WVDs (, = ep{ α } ep τ ep { j( ω β ) τ} dτ π 4 1 = ep α + ( ω β ) α Figura : WVD chirp lineal. Inerpreando que esa ecuación represena la disribución de energía de la señal en el dominio conjuno iempo-frecuencia, el primer momeno sobre la frecuencia nos da la frecuencia condicional media de la WVD en el iempo : 119

11 ANÁLISIS CONJUNTO TIEMPO-FRECUENCIA Vera E.P. ω 1 1 ω WVDs(, dω ωwvds(, dω π π = = 1 WVD (, ) () s ω dω s π 1 1 ep{ α } ωep ( ω β ) dω π α = = β s () la cual indica el cenro del especro en el insane. Noar que el úlimo miembro no es sino la derivada primera de la fase de la señal. Esa propiedad es general y epresa una caracerísica muy imporane de la WVD, a la que se designa como Propiedad de la Frecuencia Insanánea: ω 1 1 ωwvds(, dω ωwvds(, dω π π = = = ϕ'( ) 1 WVD (, ) s () s ω dω π (13) Eso es, en el insane, la frecuencia condicional media de la WVD es igual a la frecuencia insanánea de la señal analizada. Salvo señales muy pariculares como la sinusoide compleja o el chirp lineal de ampliud consane, la frecuencia de la señal en un insane deerminado no iene un único valor, luego ϕ ( ) en realidad represena un valor promedio de las frecuencias de la señal en el insane razón por lo cual se la suele denominar frecuencia insanánea media. En el análisis conjuno iempo-frecuencia, se usa a menudo ϕ ( ) para evaluar el mério de la ransformación propuesa. Esimaciones precisas de la frecuencia insanánea son un problema imporane en muchas aplicaciones an diversas como el análisis de señales sísmicas (Odegard 1997, Seeghs 1996, Asanuma 00), en series de iempo cardiovascular (van Seenis 001), y en general en sisemas biológicos (Marchan 003). Para un especro dependiene del iempo se espera que: ω P(, dω = ϕ ( ) P(, dω (14) Es especrograma no goza de esa propiedad. 10

12 PROCESAMIENTO DE SEÑALES E IMÁGENES: TEORÍA Y APLICACIONES Como para un insane deerminado, en general la señal ehibe más de un valor de frecuencia, ϕ '( ) en realidad represena un valor medio. Luego es perinene hablar de un ancho de banda insanáneo el que indica cómo se epande la energía de la señal respeco a la frecuencia insanánea media. A veces es posible enconrar dicho ancho de banda como un momeno de segundo orden de la WVD. Eso sucede cuando la WVD es no negaiva: ( < > ) (, WVD = ω ω dω (15) WVD (, dω Como consecuencia de la Propiedad de Dualidad de la WVD, se muesra que para una señal () con Transformada de Fourier X ( ep( jψ ( ) se verifica: ω WVD(, d WVD(, d = = = π ψ ( WVD (, d X ( (16) Como ( f ) ψ '( (ver ecuación ) resula que el group delay es el momeno de primer orden respeco al iempo de la WVD. Términos inerferenes La Disribución de Wigner Ville no sólo posee muy buenas propiedades sino que ambién ehibe mejor resolución que la STFT y el especrograma. Sin embargo presena un inconveniene que ha limiado su aplicación y es la eisencia de érminos inerferenes. Toda aplicación bilineal saisface el Principio de Superposición Cuadráico, eso es si en paricular TFR represena una Transformación cuadráica iempofrecuencia, luego: () = c() + c() 1 1 * * (, = 1 1(, + (, + 1 1, + 1, 1(, ω ) (17) TFR c TFR c TFR c c TFR c c TFR TFR i j donde: TFR i son los auoérminos y los, son los érminos cruzados ambién llamados érminos inerferenes. Generalizando el Principio de Superposición Cuadráico a una señal con N componenes, Hlawasch 199b): N () = c (), se obienen las siguienes reglas (Flandrin 1984, k= 1 k k 11

13 ANÁLISIS CONJUNTO TIEMPO-FRECUENCIA Vera E.P. A cada componene de la señal c TFR (, ω ) k k c(), le corresponde un auoérmino para cada par de componenes de la señal c k k(), c l l() k l * * corresponde una componene cruzada cctfr + cctfr k k k l k, l l k l, k Luego para una señal () con N componenes, la TFR endrá N auoérminos y N( N 1)/ érminos inerferenes. Es de desacar que el número de érminos inerferenes aumena con el cuadrado del número de componenes, lo que a menudo hace el análisis visual de la TFR de señales mulicomponenes dificuloso. En el especrograma, los érminos inerferenes esán resringidos a aquellas regiones del plano iempo-frecuencia (T-F) donde los auoérminos se solapan. Luego en ese caso, si dos componenes de la señal esán suficienemene separadas en el plano T-F, sus érminos inerferenes serán casi nulos. No sucede lo mismo con la WVD, en la cual los érminos cruzados usualmene son ales que su magniud es dos veces mayor que los auoérminos y a menudo oscurecen los parones úiles del especro dependiene del iempo. En los casos más simples es relaivamene fácil de idenificar los érminos inerferenes. Sin embargo, para señales de la vida real, los érminos cruzados normalmene se solapan con los auoérminos volviendo el especro dependiene del iempo confuso. La forma de reducir esos érminos inerferenes sin modificar las imporanes propiedades de la WVD ha sido moivo de inensos esudios en los úlimos años. Sin embargo puede demosrarse (Classen 1980) que algunos érminos inerferenes deben eisir si se preende que la TFR goce de las propiedades de frecuencia insanánea y group delay, como así ambién de la validez de la fórmula de Moyal la cual es básica para desarrollar los méodos de esimación y deección ópima en el dominio conjuno iempo-frecuencia. Los érminos cruzados en realidad reflejan la correlación de los correspondienes pares de auoérminos. Su localización y asa de oscilación esán deerminados por los cenros de iempo y frecuencia de los auoérminos, eso es, si se conoce con precisión la posición de los auoérminos se pueden ubicar perfecamene los érminos cruzados. Ejemplo 4 En la Figura 3 se presena la Disribución de Wigner Ville de una señal suma de dos componenes Gaussianas desplazadas en iempo y frecuencia, apreciándose claramene la presencia del érmino inerferene enre los auoérminos. le 1

14 PROCESAMIENTO DE SEÑALES E IMÁGENES: TEORÍA Y APLICACIONES Supueso que los auoérminos esén cenrados en (, f ) y (, f ) 1 1 respecivamene, el érmino inerferene se ubica en (, f ) con ; f + = f f 1 =. Se muesra que la asa de oscilación de los érminos cruzados es proporcional a la disancia enre los auoérminos correspondienes en el dominio de la frecuencia con una dirección de oscilación perpendicular a la línea que coneca las dos componenes, mienras que su magniud decae eponencialmene con la disancia de las mismas en el dominio del iempo. Eso significa que mienras más disanes emporalmene esén los auoérminos, menos energía conienen los érminos cruzados (Flandrin 1984, Hlawasch 1984, Hlawasch 199b). Suavisado de la wvd - señales analíicas Es ineresane analizar como esán relacionados el especrograma y la WVD. Para una señal arbiraria () se muesra que (Shie Qian 1996): P(, = STFT(, = WVD( u, v) WVDh( u, ω v) dudv (18) con WVD(,, WVDh(, ω ) las disribuciones de Wigner-Ville de la señal en esudio y de la venana h () de análisis respecivamene. La fórmula (18) corresponde a una convolución D, luego cuando la WVD (, ) h ω es pasabajo, como sucede en la mayoría de las aplicaciones, el especrograma es una versión suavizada de la WVD. Más generalmene, sabemos que la WVD de la suma de mulicomponenes es una combinación lineal de los auoérminos y de los érminos cruzados. Mienras los primeros son relaivamene suaves, los segundos son fueremene oscilanes. Luego, una forma naural de disminuir la inerferencia de los érminos cruzados es aplicar un filro pasa-bajo H (, a la WVD: SWVD (, ω ) = WVD (, y) H (, ω y d dy (19) ) Debido a que los filros pasa-bajo realizan una operación de suavizado, llamaremos a ésa Disribución Wigner Ville Suavizada (SWVD). Usualmene el filrado pasa-bajo suprime susancialmene los érminos cruzados, pero por oro lado disminuye la resolución. Luego nuevamene eise una siuación de compromiso enre el grado de suavizado y la resolución. Si H(, es la WVD de una función h() luego la ecuación (19) es similar a la ecuación (18) y represena el especrograma con h() como función venana. En 13

15 ANÁLISIS CONJUNTO TIEMPO-FRECUENCIA Vera E.P. ese caso la SWVT es no negaiva pero ha perdido las propiedades marginales, la frecuencia insanánea y oras propiedades úiles que, poseyéndolas la WVD, no valen para el especrograma. Figura 3: Presencia en la WVD de los érminos inerferenes enre los auoéminos. Normalmene, la SWVD mejora el problema de los érminos inerferenes pero a cosa de perder resolución y algunas oras propiedades imporanes. Las señales con las que a menudo se rabaja son real-valuadas. Como consecuencia direca, los especros de las mismas son siméricos. En realidad sólo la miad del especro suminisra información. Para eliminar la redundancia es prácica común rabajar con la señal analíica asociada a (). En el caso de la WVD las componenes de frecuencia negaiva no sólo inroducen redundancia, sino que crean érminos inerferenes, de aquí las venajas de esa solución. Sin embargo, debe enerse en cuena que la señal analíica difiere de la señal original en varios aspecos (Cohen 1995). Así, si bien una señal real y su analíica asociada ienen el mismo especro de poencia posiivo, sus propiedades insanáneas pueden ser susancialmene disinas. 14

16 PROCESAMIENTO DE SEÑALES E IMÁGENES: TEORÍA Y APLICACIONES Es posible esablecer la relación enre la WVD de la señal dao y de su analíica (Shie Qian 1996): 1 WVDa (, = π 1 = π 1 = π ω ω X a Ω ( ω + ) X a Ω ( ω )ep( jω) dω Ω Ω X ( ω + ) X ( ω )ep( jω) dω Ω Ω H ( Ω) X ( ω + ) X ( ω )ep( jω) dω (0) donde H(Ω) es un filro pasa-bajo ideal con frecuencia de core ω La epresión (0) puede ser escria: sin(ω τ ) WVDa (, = WVD ( τ, dτ τ resulado de convolucionar la WVD de la señal con el filro pasa-bajo ideal sin(ω ) dependiene de la frecuencia h( ) = y rae como consecuencia un suavizado de la WVD en el iempo afecando ambién en ese caso las propiedades marginales de la WVD. La función de ambigüedad Se vio que el especro de energía radicional podía generalizarse en un especro dependiene del iempo: P (, = R(, τ )ep( jωτ ) dτ Si la función de auocorrelación se elige como: τ τ R (, τ ) = + (1) luego omando su Transformada de Fourier respeco a la variable τ ( lag), el especro de energía resulane es la Disribución de Wigner-Ville 15

17 ANÁLISIS CONJUNTO TIEMPO-FRECUENCIA Vera E.P. (, ) ( τ ) ( τ WVD ω = + )ep( jωτ ) dτ () Si se oma la Transformada de Fourier con respeco a la variable en vez de τ se obiene ora represenación iempo-frecuencia conjuno: la función de ambigüedad simérica (AF): τ τ AF ( ϑ, τ ) = + ep{ j ϑ } d (3) a la cual se la llama ambién la auo-af. En correspondencia, la AF- cruzada se define 1 : τ τ AF +, y ( ϑ, τ ) = y ep( j ϑ ) d (4) A diferencia de la auo-wvd, la cual es real para cualquier señal, la AF es generalmene compleja con: AF ϑ, τ ) AF ( ϑ, )., y ( y, τ A parir de la AF, mediane la Transformada Inversa de Fourier, es posible compuar la función de auocorrelación dependiene del iempo de la señal: 1 τ AF (, )ep( ) = ( + ) ( τ ϑ τ jϑ dϑ ) π Susiuyendo en (): 1 WVD (, = AF ( ϑ, τ ).ep{ j( ω τ ϑ )} dϑ dτ (5) π que indica que la WVD es una doble Transformada de Fourier de la función de ambigüedad simérica. De las relaciones visas, la función de ambigüedad y la Disribución de Wigner-Ville pueden ser consideradas duales en el senido de que ellas son un par ransformado de Fourier. Esa dualidad esá reflejada en sus propiedades 1 las variables y ω de la WVD han sido reemplazadas por ϑ y τ llamadas respecivamene doppler y delay. esricamene hablando, coniene una Transformada de Fourier y una Transformada de Fourier Inversa. Por simplicidad, en la mayoría de la lieraura se dice doble Transformada de Fourier. 16

18 PROCESAMIENTO DE SEÑALES E IMÁGENES: TEORÍA Y APLICACIONES maemáicas (TABLA I) (Van Trees 1971, Papoulis 1974). Ejemplo 5 Sea la función Gaussiana 1/ 4 α α ( ) = ep ( o ) + jω o π cenrada en iempo y frecuencia en o y ω o respecivamene. La correspondiene función de ambigüedad es: 1 α AF ( ϑ, τ ) = ep ϑ + τ ep( j( ω oτ + ϑ o )) 4α 4 (6) donde se observa que esá cenrada en el origen y oscila (Figura 4). La fase ω + ϑ ) esá relacionada con el corrimieno en el iempo o y la ( o o modulación en frecuencia ω o de la señal. En conrase, la WVD de la función Gaussiana es: WVD, ω ) = ep α( 1 ( ω ω ) α ( o ) o que esá cenrada en ( o,ω o ), eso es el corrimieno en el iempo y modulación en frecuencia de la señal esá asociado con la ubicación en el plano iempo frecuencia de su WVD (Figura 1). En el caso de una señal mulicomponene, los elemenos de la AF correspondiene a los auoérminos esán fundamenalmene ubicados alrededor del origen, mienras que los elemenos correspondienes a los érminos inerferenes aparecen a una disancia del origen que es proporcional a la disancia en iempo-frecuencia de las componenes involucradas (Janssen 198, Hlawasch 199b). Ejemplo 6 Sea la señal suma de dos componenes moduladas en frecuencia lineal, de 0. a 0.5 en frecuencia normalizada la primera y de 0.3 a 0.0 la segunda, con ampliudes Gaussianas (Figura 5). En la AF correspondiene pueden observarse los auoérminos cenrados en el origen y alejados del mismo los érminos inerferenes (Figura 6). 17

19 ANÁLISIS CONJUNTO TIEMPO-FRECUENCIA Vera E.P. Figura 4: Función de Ambigüedad de la señal Gaussiana. Ejemplo 7 Se desarrollará analíicamene un caso simplificado del ejemplo anerior: Sea la señal: 1/ 4 α α α α ( ) = 1 ( ) + ( ) = ep ( 1) + jω1 + ep ( ) + jω π π eso es, la suma de dos funciones Gaussianas concenradas en ( 1, ω1) ; (, ω ) respecivamene. La función de ambigüedad es: AF ϑ, τ ) = AF ( ϑ, τ ) + AF ( ϑ, τ ) + AF, ( ϑ, τ ) + AF ( ϑ, τ ) ( 1 1, 1 Los dos primeros érminos son similares a los desarrollados en el ejemplo 5, fórmula (6), y esán concenrados en el origen mienras los érminos cruzados son de la forma: 18 1/ 4

20 PROCESAMIENTO DE SEÑALES E IMÁGENES: TEORÍA Y APLICACIONES 1 α AF, (, ) ep ( ( ) ( ) ).ep[ ( )] 1 ϑ τ = ϑ ω d + τ d j ω uτ ϑ u + ω du 4α 4 (7) 1 + ω 1+ ω con u = ; ω u = ; d = 1 ; ω d = ω 1 ω Figura 5: Señal formada por dos componenes moduladas en frecuencia lineal con ampliudes Gaussianas. La fórmula (7) indica que la AF esá concenrada en (1 -, ω 1 - ω ) fuera 1, del origen. La AF, 1 iene una forma similar, pero concenrada en ( 1, ω - ω 1 ) (Figura 6). Por oro lado, la WVD cruzada de esas dos señales iene la forma: WVD 1, 1 (, ω ) = ep α( u ) ( ω ω u ) u d + α.ep ) { j[ ( ω ω ω ] } en la que vemos que los érminos inerferenes esán cenrados enre los auérminos. 19 d

21 ANÁLISIS CONJUNTO TIEMPO-FRECUENCIA Vera E.P. Figura 6: Función de Ambigüedad de la señal. En la Figura 7 se esquemaiza la posición de los auoérminos y de los érminos inerferenes en el caso de la WVD y de la Función de Ambigüedad para una señal de dos componenes. Llamando ϕ AF ( ϑ, τ ) a la fase de la resula: AF 1, δ ϕ δϑ δ δτ AF ( ϑ, τ ) = u ; ϕ AF ( ϑ, τ ) = ω u que muesra que las derivadas parciales de la fase de la función de ambigüedad de los érminos cruzados, coinciden con el cenro en el dominio iempo frecuencia, de la WVD cruzada correspondiene. Recíprocamene, llamando ϕwvd (, la fase de la WVD, : 1 δ ϕ δω WVD δ (, = d ; ϕwvd (, = ω d δ 130

22 PROCESAMIENTO DE SEÑALES E IMÁGENES: TEORÍA Y APLICACIONES que epresa que las derivadas parciales de la fase de la WVD de los érminos cruzados resulan igual al cenro de la función de ambigüedad cruzada. a) b) ω érminos inerferenes ( u,,ω u ) auoérminos τ érminos inerferenes (ω d,, d ) auoérminos auoérminos ϑ érminos inerferenes (-ω d,,- d ) Figura 7: Ubicación de los érminos inerferenes a) en la WVD, y b)en la AF. Como la derivada de la fase es normalmene considerada como una frecuencia, la localización de los érminos cruzados de la función de ambigüedad esá direcamene relacionada con la asa de oscilación de la WVD. En general, los érminos cruzados de la WVD ehiben fueres oscilaciones, lo cual implica que la derivada parcial de la fase es grande, de donde los érminos inerferenes de la función de ambigüedad esán alejados del origen. Recíprocamene, mienras más alejados esén los mayor es la oscilación AF 1, de la WVD 1,, en cuyo caso presenan un valor promedio muy pequeño y por lo ano conribuciones despreciables en las propiedades úiles de la WVD de la señal. De aquí que los alejados del origen puedan ser ignorados. AF 1, Ese hecho moiva la idea que si se aplica un filro D pasa-bajo alrededor del origen a la función de ambigüedad y luego se calcula la WVD por una doble Transformada de Fourier, los érminos inerferenes se enconrarán fueremene aenuados. La función de ambigüedad AF y su magniud al cuadrado, superficie de ambigüedad, AS han sido inensamene usadas en los campos de radar (Rihaczek 1971), sonar, radio asronomía y en elecomunicaciones en el esudio de canales varianes en el iempo (Sayeed 1997, Parsons 000) enre oros. 131

23 ANÁLISIS CONJUNTO TIEMPO-FRECUENCIA Vera E.P. En el caso del radar el problema es la esimación de la disancia y velocidad de un blanco móvil, donde la disancia y velocidad corresponden al parámero de reardo (delay) τ y el corrimieno Doppler. La ubicación del máimo de la AS cruzada de la señal recibida y la ransmiida puede ser inerpreada como el esimador de máima similiud de τ y ϑ en el caso de un blanco no flucuane (Lieb 1990). También la auo AS de la señal ransmiida provee de información perinene acerca de la performance del esimador de máima similiud y es por lo ano uno de los principales crierios para el diseño de la señal a ransmiir. La clase de Cohen En 1966 León Cohen (Cohen 1989), rabajando en Mecánica Cuánica y la Teoría de los Operadores, derivó un ipo de represenaciones conjunas iempofrecuencia, bilineales e invarianes frene a corrimienos en iempo y frecuencia, eso es: () = ( )ep( jω ) TFR = TFR (, ω ωo) 1 o o 1 o mosrando que pueden ser escrias en una forma general única. Acualmene a ese conjuno de represenaciones se las idenifica como la Clase de Cohen. Se oma como puno de parida la siguiene definición de la función de auocorrelación dependiene del iempo: 1 R (, τ ) = AF( ϑ, τ ) Φ( ϑ, τ )ep( jϑ ) dϑ (8) π donde Φ ( ϑ, τ ) se llama función kernel o función de paramerización. Del Teorema de la Convolución: R(, τ ) = F 1 ( AF( ϑ, τ ) * F 1 ( Φ( ϑ, τ )) = τ τ = ( + ). ( ) * φ(, τ ) τ τ = u + u φ ( u, τ ) du ecuación que dice que la función de auocorrelación dependiene del iempo propuesa por Cohen es la función de auocorrelación dependiene del iempo: τ τ + empleada en la WVD, filrada linealmene. 13

24 PROCESAMIENTO DE SEÑALES E IMÁGENES: TEORÍA Y APLICACIONES Los disinos miembros de la clase de Cohen ales como la Disribución Choi- Williams o la Disribución Cono esán compleamene deerminados por la nauraleza del filro φ(, τ ). Si ése es pasa-odo, eso es: Φ ( ϑ, τ ) =1, la epresión de R(,τ ) da eacamene la función de auocorrelación de Wigner-Ville. Cuando la función kernel Φ ( ϑ, τ ) es una AF válida para una función del iempo arbiraria γ (), luego la C(, corresponde al especrograma STFT con función venana γ (). Luego, ano la WVD como el Especrograma perenecen a la Clase de Cohen. Ese ipo de represenaciones responde a la forma general: 1 C (, = AF( ϑ, τ ) Φ( ϑ, τ )ep{ j ( ϑ ω )} dϑ dτ π (9) o equivalenemene: τ τ C (, = u +. u φ ( u, τ ) du ep{ jωτ} dτ (30) La imporancia del rabajo de Cohen es que reduce el problema del diseño de un especro dependiene del iempo a la selección de la función kernel. Algunas propiedades imporanes se dan en la Tabla II (Claasen 1980). En general, los miembros de la clase de Cohen pueden omar valores negaivos a menos que el kernel sea dependiene de la señal o corresponda a la función de ambigüedad de una función γ(), en cuyo caso, como ya hemos mencionado, la C(, es equivalene al especrograma STFT 3. Uno de los requerimienos para que Cω (, ) pueda ser efecivamene inerpreada como una función densidad de energía, es que sea no negaiva. Wigner mosró sin embargo, que una ransformación bilineal no puede saisfacer las condiciones marginales y ser simuláneamene no negaiva. Una preguna naural a hacer es ver si eisen disribuciones iempo-frecuencia que represenen la función de densidad, engan las propiedades marginales y la de posiividad. La respuesa es afirmaiva si no nos limiamos a ransformaciones bilineales (Cohen 1989) por ejemplo: s( ) 1 P (, = S( con s( ) s( ) d = s( ) = S( dω π 3 que en ese caso la (, ) Cω resulane no cumple las propiedades 4, 5, 6, 7, 9 y 10 de la TABLA II. 133

25 ANÁLISIS CONJUNTO TIEMPO-FRECUENCIA Vera E.P. Es evidene que P(, es no negaivo y saisface las condiciones iempo frecuencia marginales, pero no iene mayor significado en el análisis iempofrecuencia, ya que no brinda información respeco al comporamieno local de la señal. Luego la segunda preguna a hacer es si eise alguna disribución iempo frecuencia no negaiva y significaiva. La respuesa es no se sabe. Aunque hay muchos caminos para crear esas funciones ninguna de ellas ha probado ser eficiene en reflejar la nauraleza cambiane de la señal. Algunos miembros de la clase de Cohen Uno de los principales objeivos perseguidos en el esudio de la Clase de Cohen es buscar un especro dependiene del iempo que no sólo preserve odas las propiedades úiles de la WVD, sino que ambién reduzca la inerferencia de los érminos cruzados. Ésos aparecen debido a que cualquier represenación bilineal iempofrecuencia (TFR) saisface el Principio de Superposición Cuadráico. La observación de que la porción de la función de ambigüedad que corresponde a los auoérminos esá conecada al origen, mienras que la pare de la misma vinculada a los érminos cruzados iende a esparcirse por odo el plano T-F, orienaron la búsqueda a enconrar una función kernel Φ ( ϑ, τ ) al que el produco Φ ( ϑ, τ ). AF( ϑ, τ ) respee la vecindad del origen y suprima odo lo demás. Luego, el concepo de las clases de Cohen se cenra en orno a la reducción de los érminos inerferenes. Sin embargo, como ya hemos mencionado, algunas propiedades imporanes y la supresión de los érminos inerferenes no pueden lograrse simuláneamene. En efeco, para reducir los érminos inerferenes, el produco Φ ( ϑ, τ ). AF( ϑ, τ ) iene que anularse para valores grandes de ϑ y τ. Por oro lado, para preservar las condiciones marginales en iempo y frecuencia, (TABLA II) debe verificarse: Φ ( ϑ,0). AF ( ϑ,0) = AF( ϑ,0) Φ ( 0, τ ). AF (0, τ ) = AF(0, τ ) lo que implica que odas las pares de la AF(ϑ,τ) ano en el eje ϑ como en el eje τ deben ser manenidas, sin ineresar cuan lejos del origen se encuenren. Eso rae como consecuencia direca que la represenación resulane debería preservar odos los érminos cruzados que engan el mismo cenro de iempo o cenro de frecuencia. Cuando eso se lleva a cabo a ravés de un kernel que acúa como un filro pasabajo en ϑ y τ esamos en presencia de un kernel RID (reduced inerference disribuion). 134

26 PROCESAMIENTO DE SEÑALES E IMÁGENES: TEORÍA Y APLICACIONES Disribución Choi-Williams (o eponencial) Choi y Williams inrodujeron el kernel eponencial (Choi 1989, Williams 199) Φ = ( ϑτ, ) ep( α( ϑ τ) ) el cual saisface casi odas las propiedades de la TABLA II. En paricular, no cumple la (8), eso es, la posiividad. Además, Φ(0,0)=1 y Φ(ϑ,τ)<1 para ϑ 0 y τ 0 lo que implica que el kernel eponencial suprime los érminos cruzados creados por dos funciones que ienen cenros diferenes ano en iempo y como en frecuencia. El parámero α conrola la velocidad de decaimieno. Mienras más grande es α, más érminos cruzados son suprimidos, pero ambién más auoérminos son afecados. Luego hay una relación de compromiso en la selección de ese parámero. La Transformada de Fourier inversa del kernel eponencial es: 1 1 φ(, τ ) ep 4πατ 4ατ de donde: = 1 ( u) τ τ CWD(, = ep u +. u ep( jωτ ) du dτ 4πατ 4α τ (31) la cual es llamada Disribución de Choi-Williams (CWD) La eficiencia de esa disribución depende fueremene de la nauraleza de la señal analizada. En la Figura 8 se muesra la WVD y la CWD de la señal z compuesa por dos señales Gaussianas corridas ano en iempo como en frecuencia, donde se aprecia la presencia de los érminos inerferenes en la WVD mienras que ésos han sido eliminados en la CWD. El kernel eponencial de la CWD suprime los érminos inerferenes alejados del origen, pero en cambio preserva los que provienen de componenes igualmene corridos en iempo o en frecuencia (Figura 9) apareciendo en consecuencia como réplicas horizonales o vericales. La disribución cono o ZAM (de zaho-alas-marks) A diferencia de la CWD en el cual el objeivo eplício es lograr la eliminación por filrado de los érminos inerferenes, la disribución cono pone el énfasis en garanizar que se saisfagan las propiedades 9, 10 de la TABLA II, eso 135

27 ANÁLISIS CONJUNTO TIEMPO-FRECUENCIA Vera E.P. es que la disribución no se eienda más allá del sopore de la señal ano en iempo como en frecuencia. Con esa premisa elige: g( τ ) φ (, τ ) = 0 para oros τ con lo cual genera una región en forma de cono en el plano (, τ ) Así resula: τ / sen( ϑ τ / ) Φ ( ϑτ, ) = g( τ) ep( ϑ ) d = g( τ) (3) ϑ τ / El kernel en el plano ( ϑ, ω ) oma ambién la forma de cono, con lo cual garaniza la propiedad 10 de la TABLA II (Zhao 1990). 1 Haciendo: g ( τ ) = ep( α τ ) τ sen( ϑ / ) Luego: Φ( ϑ, τ ) = ep( α τ ) para α > 0 ϑ τ / El parámero α conrola el grado de supresión de los érminos inerferenes. Mienras más grande es α, se suprimen más érminos cruzados a epensas de producir mayores perurbaciones en los auoérminos. Se verifica: 1 Φ( ϑ, τ ) = ep( α τ ) τ = 0 ϑ = 0 En la Figura 9 se observa una reducción imporane de los érminos inerferenes al considerar la Disribución Cono frene a la Disribución de Choi- Williams. Se puede ver que la Disribución Cono produce un buen resulado si bien ubica los érminos inerferenes en casi la misma posición en el plano iempofrecuencia que los auoérminos de la señal. Esa TFR esá siendo usada fueremene en el área de análisis de voz en reemplazo del STFT especrograma. En la Figura 10 se presena el especrograma del fonema /a/ y la Disribución Cono correspondiene donde se visualiza una mayor niidez en la ubicación de los formanes. Es necesario desacar que ninguna ransformación es ópima para odas las siuaciones. Denro del ipo RID, habrá casos en que en lugar de usar las Disribuciones esandarizadas, resule de inerés diseñar un kernel adecuado para algun ipo especial de señales. 136

28 PROCESAMIENTO DE SEÑALES E IMÁGENES: TEORÍA Y APLICACIONES Pero ambién debe enerse en cuena que si bien con una elección paricular del kernel es posible mejorar la acción de la WVD en lo que a érminos inerferenes se refiere, generalmene es a cosa de perder algunas propiedades imporanes. Diseño de kernels RID William J. Williams (Williams 1998) sugiere el siguiene procedimieno para una primera aproimación al diseño de kernels RID: 1) Diseñar una función real-valuada h ( ) que saisfaga: a) h ( ) debe ener área uniaria: hd= ( ) 1 b) h ( ) debe ser una función simérica del iempo: h ( ) = h( ) c) h ( ) debe ser limiada en el iempo, por Ej. Sí [-1/,1/], h( ) = 0 para > 1/ d) h ( ) disminuye suavemene hacia ambos eremos del inervalo de al manera que su respuesa en frecuencia enga escasos conenidos de ala frecuencia H( ω ) << 1 para ω >> 0. A veces para aplicaciones especiales puede que se necesie requerir que esé en alguna banda de frecuencias paricular. ) Tomar la Transformada de Fourier de: H( ϑ) = h( ).ep( jϑ) d 3) Reemplazar ϑ por ϑτ en H( ϑ ) h ( ) La función inicial h ( ) puede ser considerada como una venana o la respuesa al impulso de un filro. Por lo ano se puede incorporar odo el imporane marco eórico del diseño de filros para el de los kernel RID. La epresión para una Transformación general de ese ipo es: (,, ) 1 u τ τ RID ω h = h u + u ep( jωτ ) dudτ τ τ (33) donde la función de auocorrelación generalizada es: (, ) 1 u τ τ R τ = h u u du τ + τ 137

29 ANÁLISIS CONJUNTO TIEMPO-FRECUENCIA Vera E.P. Como hemos mencionado, si bien es posible lograr muy buenos resulados con el uso de esas ransformaciones, se debe ser conciene de sus limiaciones: 50 DISTRIBUCION DE WIGNER-VILLE DISTRIBUCION DE CHOI-WILLIAMS Figura 8: WVD y CWD de una señal suma de dos señales Gaussianas corridas en iempo y frecuencia. 1) El RID no es no-negaivo como lo es el especrograma. Sin embargo se ha observado que en casi odos los casos, iene en ese senido, un mejor comporamieno que la WVD, lo cual iene un jusificaivo eórico: los érminos inerferenes de la WVD son los que generalmene ehiben valores negaivos. El RID reduce la negaividad como consecuencia de disminuir la magniud de los érminos inerferenes. Es sabido que no es posible obener una disribución iempo-frecuencia posiiva para odas las señales con un kernel fijo maneniendo odas las propiedades de la WVD. Valores de Energía negaiva no pueden ener una inerpreación física convencional, pero ellos son necesarios para lograr los buenos aribuos de la disribución. Debe analizarse enonces los beneficios que se obienen relajando la eigencia de posiividad o perdiendo propiedades. 138

30 PROCESAMIENTO DE SEÑALES E IMÁGENES: TEORÍA Y APLICACIONES 50 DISTRIBUCION DE CHOI-WILLIAMS DISTRIBUCION CONO Figura 9: CWD y Disribución Cono de una señal con dos componenes Gaussianas corridas en frecuencia. ) En general, los érminos inerferenes no pueden ser oalmene eliminados. Cuando dos componenes de la señal esán poco separadas en iempo o frecuencia, los érminos inerferenes son más imporanes. En realidad, si dos componenes esán solapadas eacamene, los érminos cruzados deben eisir para obener los valores correcos de la energía de las señales combinadas. A veces, los érminos cruzados resulan de inerés ya que reflejan las relaciones enre las componenes de la señal. 3) En el análisis iempo-frecuencia de la señal se uiliza en la mayoría de los casos la forma analíica de la misma, con lo cual se logra eliminar los érminos cruzados enre las componenes de frecuencia posiiva y negaiva. Sin embargo, para algunas señales de baja frecuencia eso no resula conveniene porque crea algunas disorsiones y se prefiere usar la señal real dao direcamene. De cualquier forma en las disribuciones RID los problemas de los érminos cruzados son menores que en la WVD y por lo ano disminuyen las venajas de usar la señal analíica. 139

31 ANÁLISIS CONJUNTO TIEMPO-FRECUENCIA Vera E.P. En la TABLA III se ehiben algunas Disribuciones, sus kernels correspondienes y las propiedades de la TABLA II que saisfacen. Figura 10: ESPECTROGRAMA y Disribución CONO del fonema /a/. Represenacion iempo frecuencia dependiene de la señal A diferencia de las represenaciones aneriores que enfaizan la eliminación de los érminos inerferenes raando de preservar la mayor canidad posible de las propiedades de la Disribución de Wigner-Ville, los kernels dependienes de la señal, ienen por objeivo opimizar el pasaje de las auocomponenes y suprimir las componenes cruzadas para señales pariculares. Es prácica común relajar los requerimienos del kernel con el fin de ganar fleibilidad en la ubicación de las regiones de aenuación donde se encuenran los érminos cruzados, maneniendo baja aenuación en las regiones de los auoérminos. Podemos llamarlos kernel dependiene de la señal en el senido que se diseñan para una señal específica o ipo de señal. Sin embargo se ienen que omar cuidados especiales ya que para alcanzar ese objeivo pueden verse compromeidas propiedades básicas de la Transformación. 140

32 PROCESAMIENTO DE SEÑALES E IMÁGENES: TEORÍA Y APLICACIONES Cuando se iene un kernel fijo, ése acúa sobre la función de ambigüedad como un filro pero iene limiaciones en cumplir su comeido debido a que la localización de los auoérminos y de los cruzados depende de la señal a ser analizada. De aquí que se espere que pueda conseguirse una buena performance usando un kernel especialmene diseñado para una deerminada clase de señales. Para lograr la disribución iempo- frecuencia bilineal para una señal dao que provea en algún senido la mejor represenación iempo-frecuencia, Baraniuk y Jones formularon un procedimieno para el diseño del kernel dependiene de la señal como un problema de opimización. Méodo del kernel ópimo (OK) 1/0 Dada una señal y su AF, el kernel ópimo 1/0 se define como una función φ op real y no negaiva que resuelve el siguiene problema de opimización (Baraniuk 1994): { ϑ Φ ϑ AF(, τ ) (, τ ) dϑ dτ ma (34) φ sujeo a las condiciones: 1) Φ( 0,0) = 1 ) Φ ( ϑ, τ ) radialmene no creciene lo cual puede ser epresado eplíciamene como que debe cumplir: Φ γ, ψ ) Φ( γ, ψ ) γ γ, ( 1 1 ψ en el que γ y ψ corresponden a las coordenadas polares radio y ángulo respecivamene. Es usual agregar una ercera condición: 3) 1 π φ( ϑτ, ) dϑdτ α donde α 0 es un parámero de escala, el cual conrola la imporancia relaiva enre el mejoramieno de los auoérminos y la supresión de los érminos inerferenes, ajusando el volumen bajo el kernel ópimo. Las resricciones de Φ ( ϑ, τ ) obligan al kernel ópimo a ser un filro pasa-bajo de volumen fijo α. La maimización de la medición de performance hace que la banda pasane del kernel se encuenre sobre las auocomponenes. 141

33 ANÁLISIS CONJUNTO TIEMPO-FRECUENCIA Vera E.P. Fijando el volumen bajo el kernel ópimo, el parámero α regula la siuación de compromiso enre la supresión de los érminos cruzados y el derrame de las auocomponenes. Coas razonables son 1 α 5. Para la coa inferior, el kernel ópimo iene el mismo volumen que un kernel para el STFT especrograma y a medida que α aumena, la Disribución de kernel ópimo converge a la WVD. Es posible agregar resricciones para que el kernel elegido permia que se saisfagan algunas propiedades que figuran en la TABLA I ales como que se cumplan las condiciones marginales ano en iempo como en frecuencia, si bien a cosa de perder calidad en la opimización. Méodo del kernel radial gaussiano Aunque el kernel 1/0 es ópimo de acuerdo al crierio fijado, su core abrupo puede inroducir oscilaciones en la Disribución OK, especialmene para pequeños valores del parámero α. Como alernaiva se puede agregar resricciones de suavizado eplício a las fórmulas de opimización (34) ales como que el kernel esá obligado a ser Gaussiano radialmene (Baraniuk 1993): ϑ + τ Φ( ϑ, τ ) = ep (35) σ ( ψ ) El érmino σ(ψ) represena la dependencia de la aperura Gaussiana con el ángulo radial ψ = arcan( τ / ϑ). El kernel de la forma (35) es acoado, radialmene no creciene, y además, suave si σ lo es. Como la forma del kernel radial Gaussiano esá compleamene paramerizado por esa función, basa enconrar la función ópima σ op de la señal para deerminar el kernel buscado. Formulaciones adapivas Si bien las Disribuciones OK 1/0 y Radial Gaussiana ienen generalmene buena performance, diseñan un solo kernel para oda la señal. Para analizar señales con caracerísicas cambianes en el iempo o para rabajo en iempo real con señales de larga duración, sería conveniene una TFR adapiva dependiene de la señal. La adapación del kernel a las caracerísicas locales de la señal requiere que el proceso de opimización se adecue a esa nueva resricción. En el dominio de la función de ambigüedad esa siuación no es inmediaamene admiida ya que la deerminación de la AF incluye información sobre odo el iempo y oda la frecuencia de la señal, dificulad que puede ser superada por el desarrollo de una AF a iempo coro (Jones 1995), lo cual permie 14

34 PROCESAMIENTO DE SEÑALES E IMÁGENES: TEORÍA Y APLICACIONES la aplicación a poseriori del procedimieno de opimización de deerminación del kernel radial Gaussiano Φ ϑ, τ, ) y un slice ( 0, f ) de Disribución en op ( 0 frecuencia de kernel ópimo en 0. En paricular, la Disribución kernel cono adapivo (Czerwinski 1995, Khadra 1998), se ha popularizado debido a su habilidad en resolver componenes ransiorias de la señal o cambios abrupos en sus caracerísicas. Esa capacidad se apoya en una propiedad deseable para odas las represenaciones iempofrecuencia que es el de anularse fuera del sopore en el iempo de la señal y que la función cono la saisface plenamene. El kernel cono es a menudo paramerizado por un solo valor, la longiud del cono, que conrola fueremene el comporamieno de la TFR resulane. Conos coros permien a la TFR ehibir los rápidos cambios en las caracerísicas de los ransiorios de la señal, mienras un cono largo suminisra ala resolución en las componenes de la señal de larga duración (Khadra 1998). Trabajos recienes han permiido desarrollar una écnica que selecciona adapivamene la longiud del cono en los disinos insanes de iempo, la cual es elegida por un crierio de opimización similar al usado en (34) que maimiza la energía y permie seleccionar las disinas longiudes del cono mediane un algorimo rápido que compua recursivamene una función de ambigüedad a iempo coro con longiudes variables. La Figura 11 esquemaiza el diagrama de flujo. Sin embargo, pueden hacerse algunas críicas a ese ipo de represenaciones adapivas. (Williams 1998) Ane odo no es más una disribución bilineal o cuadráica, lo que dificula inerprear los resulados en érminos de energía. Además el iempo compuacional requerido se incremena noablemene lo que enorpece el rabajo a iempo real y los resulados obenidos parecen no jusificar esos inconvenienes. Influencia del ruido El comporamieno de la WVD frene al ruido es malo (Cohen 1995). La WVD epande el ruido sobre odo el plano iempo-frecuencia, además de producirse érminos cruzados enre los auoérminos y los érminos ruidosos y ésos enre sí. La Disribución de Choi-Williams iene una mejor respuesa frene al ruido. C op 143