Integración y Derivación Fraccionaria

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Lucía Álvarez Soler
hace 6 años
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1 Cpíulo 2 Inegrción y Derivción Frccionri Anes de denrrnos en los operdores de inegrción y derivción generlizdos recordremos lgunos resuldos y nociones del cálculo elemenl que servirán como puno de prid pr consruir ls definiciones. L n-ésim derivd de un función f esá definid recursivmene por D n f() =D[D n f()], n N (2.) Pr el cso en que n = el resuldo obenido es f(), que signific que l función no esá siendo lerd. En el mismo senido l n-ésim inegrl l definimos rvés de Con l propiedd de que I n f() = I n f()d (2.2) D f() =I f() (2.3) Pr (2.2) Cuchy enconró or mner de escribirl y demosró que l ser ciero que I n f() = (n )! ( τ) n f(τ)dτ, n (2.4) I n f() puede ser reducid un inegrl de convolución. Ese resuldo es conocido como l fórmul de Cuchy y mrc el inicio de l inegrl frccionri. 2

2 CAPÍTULO 2. INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN FRACCIONARIA Operdor Inegrl Frccionrio Con los resuldos del cálculo de orden enero que hemos menciondo esmos lisos pr reducir ls resricciones del índice de ierción de los operdores de derivción e inegrción clásicos Inegrl Frccionri de Riemnn-Liouville Tomndo (2.4) iene senido que inercmbiemos n por un número α> y su vez el fcoril por su vlor correspondiene en érminos de l función gmm. Hciendo los cmbios descrios enemos un exensión del resuldo de Cuchy expresdo de l siguiene mner I α f() = Γ(α) ( τ) α f(τ)dτ (2.5) L ecución nerior d pie l definición de inegrl frccionri de Riemnn-Liouville. Definición Se f L (, b). L ecución I α f() = Γ(α) ( τ) α f(τ)dτ, ( >) es l inegrl frccionri de Riemnn-Liouville de orden α. Cundo α = n N se recuper el resuldo del cálculo de orden enero clásico. Como podemos observr es definición de inegrl frccionri mbién es represend rvés de un convolución. Eso nos d l posibilidd de uilizr (.5) y rr de enconrr el mismo resuldo de l Definición rvés de un inegrl del ipo (.) muliplicd por un consne. Si plicmos l convolución enre (.5) y un función f() es fácilmene verificble que el resuldo sí coincide con el de Riemnn-Liouville. Por lo no, l convolución nos d l opción de que l inegrl frccionri mbién puede ser escri como lo enunci l siguiene propiedd. Propiedd Si I α f() es l inegrl frccionri de orden α de Riemnn- Liouville, enonces és mbién puede ser represend por donde Φ() = α Γ(α) I α f() =(Φ f)()

3 CAPÍTULO 2. INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN FRACCIONARIA 4 L Propiedd resul úil en su relción con l rnsformd inegrl de Lplce. Pr verificr eso endremos que enconrr ls rnsformds de ls funciones Φ() y f() respecivmene. L {Φ()}(s) =s α. Pr f() suponemos que cumple con ls condiciones descris en el cpíulo nerior, donde se requirió que f debe ser regulr rozos y de orden exponencil. Uilizndo ls rnsformds de Φ()y f() y l relción dd en Propiedd, l Trnsformd de Lplce de l inegrl frccionri de Riemnn- Liouville se encuenr medine donde F (s) es l Trnsformd de f(). L {I α f}(s) =s α F (s) (2.6) Propiedd 2 Se f L (, b), enonces se verific que csi pr odo [,b]. lím α Iα f() =f() Demosrción de Propiedd 2 Si l expresión pr I α f le plicmos inegrción por pres obenemos que I α f() = Γ(α) [ α f(τ)( τ)α α ( τ) α f (τ)dτ] Cundo eso lo evlumos en yen el resuldo que se encuenr es I α f() = Γ(α + ) [ ( )α f() ( τ) α f (τ)dτ] que l omr lím α I α f() demuesr muy fácilmene l Propiedd 2. Propiedd 3 Semigrupo o ley de exponenes. Sef L (, b), enonces se verific que csi pr odo [,b]. I β I α f() =I α+β f(), α,β +

4 CAPÍTULO 2. INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN FRACCIONARIA 5 Demosrción de Propiedd 3 Hremos l prueb pr f coninu y α,β + I β [I α f()] = = = = Γ(α) Γ(β)Γ(α) Γ(β)Γ(α) Γ(β + α) = I β+α f() ( τ) α I β f(τ)dτ ( τ) α dτ f(ξ)dξ ξ τ ( ξ) β+α f(ξ)dξ (τ ξ) β f(ξ)dξ ( τ) α (τ ξ) β dτ En el cso en que f no se coninu pero sí perenezc L (, b) bs con enconrr un sucesión de funciones coninus que converjn f en l norm de L (, b) y uilizr el procedimieno nerior. Ejemplo Se f()= y α = 2 I 2 () = Γ( 2 ) ( τ) /2 dτ = (u) /2 du (con τ = u) π = 2 π /2 Es ineresne mencionr que si l función del Ejemplo le volvemos plicr el operdor de Riemnn-Liouville de orden 2 se obiene el resuldo del cálculo elemenl. Eso es que I 2 I 2 () =, que sin ningún inconveniene cumple con l Propiedd Derivd Frccionri de Riemnn-Liouville Definición 2 Pr funciones f() L (, b) l derivd frccionri de Riemnn-Liouville de orden α + esá definid como Donde m = [ α] Z + (D α f)() =[D m I m α f]()

5 CAPÍTULO 2. INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN FRACCIONARIA 6 Un condición suficiene pr que l derivd frccionri exis es que f() C m [, b]. Propiedd 4 Se f L (, b), enonces se verific que csi pr odo [,b]. lím α Dα f() =f() Demosrción de l Propiedd 4 Priendo de l Definición 2 enemos que D α f() =D m [ Γ(m α) Aplicndo el límie mbos ldos llegmos lím α Dα f() = lím[d m ( α Γ(m α) D m ( Γ(m) ( τ) m α f(τ)dτ] ( τ) m α f(τ)dτ)] ( τ) m f(τ)dτ) =D m [I m f]() =f() Propiedd 5 Se f L (, b), enonces se verific que csi pr odo [,b]. Demosrción de l Propiedd 5 (D α I α f)() =f() Por oro ldo enemos I k f() = I k α I α f() D α I α f() = D k I k α I α f() = D k I k f() = f() Un conclusión ineresne es que l igul que en Cálculo Elemenl, el operdor de Riemnn-Liouville de derivción frccionri es el inverso izquierdo l de inegrción frccionri.

6 CAPÍTULO 2. INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN FRACCIONARIA 7 Ejemplo 2 Derivd frccionri de orden α = 2 de f() =. D 2 () = D[I 2 ()] = 2 D[ /2 ] π = π /2 Ese resuldo es olmene inesperdo, y que l derivd frccionri de un consne es disin de cero. Eso mrc un enorme diferenci enre los operdores de derivción clásicos y los generlizdos. Or diferenci muy mrcd es que en Cálculo de orden enero esá clro que D m [D n f()] = D m+n f(), (m, n =, 2,...). Mienrs que en Cálculo Frccionrio no se mniene es propiedd. Un ejemplo muy sencillo es el siguiene. Ejemplo 3 Se f() = /2. I 2 ( /2 ) = Γ( 2 ) ( τ) /2 (τ) 2 dτ = ( u) /2 u /2 du, τ = u π que es independiene de. Enonces por Definición 2 obenemos que D 2 ( /2 ) = D[I 2 ( /2 )] = Si volvemos plicr el operdor de Riemnn-Liouville de orden 2 se obiene como sigue D 2 [D 2 ( /2 )] = D 2 () lo cul es muy disino de lo que se obiene medine D( /2 ). Por lo no, el operdor de derivd frccionri de Riemnn-Liouville no cumple en generl l propiedd del semigrupo. Un culidd sobresliene del operdor de derivción generlizdo es que su plicción re consigo efecos no locles. Eso debido l presenci de un inegrl en su formulción, l cul depende del inervlo donde esé definid. Hecho olmene conrrio lo que ocurre con l derivd convencionl que sólo proporcion informción locl.

7 CAPÍTULO 2. INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN FRACCIONARIA 8 Trnsformd de Lplce de l Derivd Frccionri de Riemnn- Liouville Se D α f() =g (m) (), donde g() =I m α f(), m α<m. Al plicrle l Trnsformd de Lplce se obiene m L {D α f}(s) =L{g (m) }(s) =s m L {g}(s) s k g (m k ) () que sin ningún problem puede ser cmbid érminos de f pr enconrr nuesr siguiene ecución. k=o m L {D α f}(s) =s α L {f}(s) s k D (α k ) f() (2.7) Es ecución iene el inconveniene de que ls condiciones iniciles que se requieren son de orden frccionrio, pero su vez bre ls puers pr un líne de invesigción llmd Ecuciones Diferenciles Frccionris. k=o 2.3. Derivd Frccionri de Cpuo Es definición lerniv de derivd frccionri uiliz ls misms operciones de l definición de Riemnn-Liouville pero inviriendo el orden de plicción. Definición 3 Pr funciones f() L (, b) l derivd frccionri de Cpuo esá definid como (J α f)() =I m α [D m f]() pr, α + L vlidez de es definición esá limid pr funciones f les que D m f L (, b). Eso es equivlene decir que l m-ésim derivd de f es inegrble. Propiedd 6 Se f L (, b), enonces se verific que lím J α f() =f (n) () α n n N

8 CAPÍTULO 2. INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN FRACCIONARIA 9 Demosrción de l Propiedd 6 lím J α f() = lím( f (n) ()( ) n α α n α n Γ(n α ) = f (n) ()+ + f (n+) (τ)dτ Γ(n α ) ( τ) n α f (n+) (τ)dτ) = f (n) () (2.8) No hce fl mosrr l diferenci noble enre ls definiciones de Riemnn-Liouville y de Cpuo. Pr l definición de Riemnn-Liouville que dimos l derivd frccionri de un consne es disin de cero, mienrs que pr Cpuo el resuldo es cero. Or diferenci, que resul de grn yud pr ls plicciones, consise en sus rnsformds de Lplce, y que l definición de Cpuo ofrece un venj sobre ls condiciones iniciles que hcen más fácil l cuesión operiv. Trnsformd de Lplce de l Derivd Frccionri de Cpuo Se J α f() =I m α g(), donde g() =f (m) (), m α<m Al plicrle el operdor de Lplce se obiene L {J α f}(s) = L{I m α g}(s) que es equivlene escribir = s α m L {g}(s) = s α m L {D m f}(s) m = s α m [s m F (s) s k D m k f()] k=o m L {J α f}(s) =s α L {f}(s) s α k D k f() (2.9) Lo ineresne y relmene conveniene de l ecución (2.9) es que ls condiciones iniciles empleds consisen en derivds elemenles que encierrn inerpreciones físics conocids, un hecho muy relevne pr l pre de plicciones de los operdores frccionrios. k=o

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