Geometría de equilibrio de estructuras en arco

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1 Geomerí de equilibrio de esrucurs en rco Emilio Corés Deprmeno de Físic, Universidd Auónom Meropolin, Izplp Apdo. Posl , Méico D.F., 934 Méico E-mil: (Recibido el 9 de Febrero de 8; cepdo el 31 de Mrzo de 8 Resumen El esudio de l esáic de cuerpos coninuos es un ópico que cobr especil inerés cundo l geomerí jueg un ppel crucil y l solución inuiiv no se d en form evidene. En ese rbjo se nlizn esrucurs de rco en un dimensión, o eje curvo, cundo se someen su propio peso o bien un cier crg dd. Se pre de los principios fundmenles del equilibrio de fuerzs y se obienen fórmuls generles pr el cálculo de momenos (orcs fleionnes sí como fuerzs cornes y de compresión, pr esrucurs con geomerís específics. Por oro ldo, se plne el problem de enconrr l form geoméric del rco que lleve l equilibrio de l esrucur, bjo ls condiciones de crg elegids. Ese esudio, que puede ubicrse denro de l físic plicd, no preende ener un coberur ni un enfoque ingenieril de ls esrucurs en rco. Considermos que ese rbjo por vrios elemenos didácicos sobre principios físicos fundmenles que, rducidos l lenguje del nálisis vecoril y del cálculo, nos llevn resuldos físicos y geoméricos ineresnes, no por su plicción como por su posible conribución l mejor enendimieno de los concepos y l herrmien de nálisis empledos. Plbrs clve: Físic educiv, enseñnz de l mecánic, equilibrio y geomerí. Absrc The sudy of sics of coninuous bodies kindles specil ineres when he geomery plys crucil role nd he inuiive guess is no very eviden. Here we nlyze rc srucures in one dimension, or curve is, when hey re subjeced o is own weigh or o cerin given lod. We sr from he fundmenl principles of equilibrium of forces nd obin generl epressions for he bending momens (orques s well s sher nd compression forces in he srucures. In he oher hnd, we go o he problem of how o find he rc geomery which yields equilibrium, under prescribed condiions. This sudy which cn belong o pplied physics, does no inend o hve n engineering poin of view neiher brod coverge, bou he rc srucures. We consider h his work conins didcic elemens of fundmenl physicl principles, which, rnsled o he lnguge of vecor nlysis nd clculus, brings us o physicl nd geomeric resuls h cn be ineresing boh, for is pplicions s well s for is possible conribuion o he undersnding of conceps nd nlysis used. Keywords: Educionl physics, mechnics eching, equilibrium nd geomery. PACS: 1.4.-d, 1.4.Fk, 1.4.Jp, b. I. INTRODUCCIÓN El rco es un elemeno esrucurl en l rquiecur y en l ingenierí civil, que llev cbo como funciones cubrir clros, soporr crgs, sí como consiuir un elemeno eséico. Un mpli gm de forms geomérics de rcos hn sido consruidos desde l nigüedd [1]. Los romnos usron el rco semicirculr en puenes, cueducos y rquiecur de grn escl; ese ipo de rco consisí en l unión de bloques de bique o piedr, dispuesos en form circulr. En ess esrucurs los bloques se mnenín en su posición debido su geomerí y l fuerz de compresión que cú lo lrgo del eje del rco. Los principios geoméricos jugron un ppel muy imporne en el diseño de rcos esrucurles rvés de l hisori, especilmene en iempos neriores l conocimieno de ls leyes físics []. Oros diseños de rcos hn psdo l hisori, los que fueron concebidos más por su form eséic que por su funcionlidd [1]. Tl es el cso del rco de herrdur en ls mezquis árbes, el rco góico de l Edd Medi, sí como el rco flso en los emplos mys. Además de ess forms coninus, se hn diseñdo rcos en form de esrucurs poligonles, cuy consrucción en lgunos csos ofrece venjs prácics. Los rcos modernos son hechos de cero, concreo y mder lmind y se consruyen en un vriedd de combinciones de elemenos esrucurles, donde lgunos de esos elemenos rbjn compresión y oros ensión. Denro de los cmpos de l ingenierí civil y de meriles, el diseño de esrucurs en rco en un dimensión o eje curvo (o bien cscrones en dos dimensiones, encierr un grn inerés, no por sus plicciones, como por el nálisis eórico del equilibrio y l esbilidd de ese ipo de esrucurs. En l lierur sobre el cmpo [3, 4] enconrmos que eisen, esrucurs L. Am. J. Phys. Educ. Vol., No., My hp://

2 hiperesáics e isoesáics. En ls hiperesáics o esáicmene indeerminds ls resricciones recivs del meril son más que ls esricmene necesris pr l esbilidd. Ess esrucurs podemos decir que siempre rbjn en equilibrio, epenss de l resisenci del meril, y eso hce necesrio incorporr l nálisis esáico, el compormieno elásico y ors propieddes de los elemenos de l esrucur. Por oro ldo, en ls esrucurs isoesáics o esáicmene deerminds podemos clculr los prámeros físicos que cún sobre l esrucur, y nlizr condiciones de equilibrio esáico, independienemene de l inervención de l resisenci del meril. En esrucurs ridimensionles uilizds en l consrucción, en generl dicho equilibrio siempre esá grnizdo por l geomerí de l esrucur y por los múliples poyos de és. Sin embrgo, en l esrucur de rco simple, domo o cscrón, donde podemos ener clros grndes y pocos poyos, el equilibrio esáico y l esbilidd pueden ser fcores clve en el diseño. Un mpli vriedd de libros y eos de ingenierí mecánic eponen en form muy delld los concepos de l esáic de esrucurs, [5, 6, 7, 8] e incluyen en lguno de sus cpíulos el nálisis de esrucurs en rco; sin embrgo, hs donde fue posible conocer, en ninguno de ellos se enfoc el esudio en l form sisemáic y didácic en que se presen en ese rbjo. Cbe descr un esrech relción enre el equilibrio de los rcos y su esbilidd. En l prácic un rco consruido de piedr, mder o hierro, puede ener un cier esbilidd ún bjo un geomerí rbirri, debido l resisenci del meril, es decir que cd sección del rco puede quedr someid esfuerzos y momenos considerbles, los cules son conrrresdos por fuerzs y momenos recivos. Sin embrgo, si su diseño obedece un geomerí de equilibrio, ls fuerzs y momenos recivos serán pequeños y sólo cún pr evir l desvición de l esrucur de ese equilibrio. Como ejemplo de ese hecho compremos un vig en form de cnilíver, es decir, colocd horizonlmene y empord en uno sólo de sus eremos, con or vig en posición vericl empord en el suelo. Si l primer se encuenr en equilibrio, signific que l vig proporcion momenos y fuerzs recivs que impiden que cig o que se fleione. En cmbio en l segund el equilibrio esá ddo por su colocción vericl y ls fuerzs y momenos recivos son pequeños y sirven pr mnener dich posición. De es form, l geomerí de equilibrio, demás de repercuir en economí de meril, requerirá menor esfuerzo de l esrucur y por no gozrá de myor esbilidd. Pr bordr ese esudio considermos conveniene prir de un nálisis esáico de rcos siméricos riculdos en mbos punos de su bse sí como en su cúspide. Ver figur 1. Cd puno riculdo, por hipóesis, deberá quedr libre de orcs, es decir, de momenos fleionnes. En odo ese rbjo nlizremos ese ipo de rcos, comúnmene llmdos rcos ririculdos, someidos diferenes disribuciones de crg (mbién simérics. Geomerí de equilibrio de esrucurs en rco Esudiremos no el cso de esrucurs discres, formds por l concención de segmenos recos, como el cso de esrucurs coninus. Observremos cómo ls condiciones de equilibrio impuess nos llevn, en el cso discreo sisems de ecuciones rscendenes, mienrs que en el cso coninuo, se obienen ecuciones lgebrics o bien diferenciles no lineles, cuy solución obenemos en form nlíic, pr dos disins disribuciones de crg dds. En l siguiene sección inicimos nuesro esudio con el cso discreo, es decir con rcos poligonles. Considerremos quí que los rcos esán someidos su propio peso. Se hce un nálisis esáico de momenos y fuerzs que cún en los disinos vérices; se plne enonces el problem de enconrr l form geoméric del rco, es decir, ls pendienes de cd segmeno del rco, que llevn un esrucur libre de momenos fleionnes en odos sus vérices. Se esblecen ls ecuciones que dn l solución, y se hce ver que dichs ecuciones resuln ser rscendenes, por lo que se hce necesrio implemenr un méodo numérico de solución. En l ercer sección bordmos el cso coninuo. Se inroducen los concepos físicos y memáicos pr el nálisis y se obienen, en form generl, epresiones nlíics pr ls fuerzs y momenos, o orcs, que cún en cd elemeno del rco. Ese nálisis se llev cbo pr dos ipos de disribución de crg: disribución uniforme en el eje horizonl y disribución uniforme lo lrgo del eje del rco. Los resuldos se plicn enonces geomerís priculres del rco. Como en el cso discreo, plnemos enonces el problem de enconrr, pr un disribución de crg dd, l geomerí del rco que demás del equilibrio esáico, nos lleve un esrucur libre de momenos fleionnes y fuerzs cornes lo lrgo del rco. Finlmene, en l sección IV se presenn lguns conclusiones. II. ANÁLISIS ESTÁTICO DE ARCOS POLIGONALES II A. Análisis generl Consideremos el cso de rcos siméricos ririculdos formdos por l concención de un ciero número de segmenos recilíneos. Supongmos que l crg sobre el rco es debid su peso propio. Es suposición resul más nurl, que oro ipo de disribuciones de crg, pr el nálisis que hremos y demás permie l comprción con posibles modelos hechos pequeñ escl. Consideremos específicmene el cso de seis segmenos (res en el semirco. Uilizremos un sisem de coordends y, ver figur1. Vemos que por ls condiciones de simerí nos bs nlizr el digrm de un semirco. L. Am. J. Phys. Educ. Vol., No., My hp://

3 Emilio Corés cd uno de los res segmenos. De l figur 3 enemos, pr el momeno respeco P 3 ( M = r / cos 3 f senθ λ r θ u (1 De l figur 3b enemos pr el momeno respeco P 1 M = r[ fsenθ λ(( r / + r cos θ ], ( 1 3 FIGURA 1. Arco simérico poligonl de seis segmenos, riculdo en su bse, punos A, y en su cúspide, puno B. El semirco, figur, se encuenr riculdo en los punos A y B. Por lo no, por simerí de mbs mides del rco y omndo en cuen l ercer ley de Newon, en el puno B no puede cur ningun fuerz vericl, y que de ser sí, en dicho puno (cúspide ess fuerzs esrín cundo en senidos opuesos en cd mid, lo cul esrí en conr de l simerí supues pr el rco. Por lo no en el puno B (figur sólo cú l fuerz horizonl f dirigid hci l izquierd del eje. Por condición de equilibrio sobre el eje horizonl, es fuerz es precismene el coceo 1 que l esrucur ejerce en el puno de poyo A. y de l figur 3c enemos que, como y se dijo, el momeno respeco A debe nulrse por ser ese un puno riculdo, lo que nos permie despejr f medine l relción f = λ[( r / + r + r ]coθ. (3 1 3 FIGURA 3. Los dos segmenos superiores del semirco. En l gráfic precen ls fuerzs que cún sobre el segmeno r 3 y que ejercen momeno respeco l puno P. Nor que λ r 3 es el peso del segmeno y por no cú sobre su puno medio, o se su cenroide. FIGURA. Semirco con eremos A y B y vérices inermedios P 1 y P. L fuerz horizonl f es l fuerz de coceo. FIGURA 3b. Los dos segmenos inferiores del semirco. En l gráfic precen ls fuerzs que cún sobre el segmeno r que ejercen momeno respeco l puno P 1. Los punos A y B quedn, por hipóesis, libres de momeno fleionne; clculremos enonces momenos y fuerzs que cún en los punos P 1 y P. Supongmos que los segmenos recos ienen longiudes r 1, r y r 3, en el senido que v de A B, y odos ellos, un peso por unidd de longiud λ. Asignndo signo posiivo los momenos individules que ienden fleionr l rco en conr de su curvur, eminremos por seprdo el digrm de fuerzs pr 1 El érmino coceo se uiliz pr designr l fuerz horizonl que ejerce un rco en cd uno de sus poyos. El érmino se deriv de l plbr coz. Los momenos y fuerzs que cún lo lrgo de los segmenos recos, fuer de los vérices, se clculrín si fuer necesrio, en form sencill, considerándolos como vigs recs. Ese cálculo, que no incluiremos quí, nos d vlores pequeños si los segmenos son relivmene coros. FIGURA 3c. Segmeno inferior del semirco. En l gráfic precen ls fuerzs que cún sobre el segmeno r 1 que ejercen momeno o orc respeco l puno A. El momeno neo se nul. 3 Si ese momeno fleionne lo clculmos respeco oro puno, como puede ser el puno B, el resuldo es el mismo. Es propiedd del momeno se cumple siempre y cundo el segmeno en cuesión esé en equilibrio de fuerzs. L. Am. J. Phys. Educ. Vol., No., My hp://

4 Ahor bien, lo lrgo del rco podemos considerr dos direcciones perpendiculres enre sí, l norml y l ngencil l rco en cd puno. Eso iene un senido muy físico y que l considerr ls componenes de l fuerz en cd puno del rco, lo lrgo de esos ejes, se ienen dos ipos de fuerz sobre el rco con efecos clrmene diferenes. Por un ldo, l fuerz corne en l dirección norml, que cú como esfuerzo corne del rco, y por oro, l fuerz ngencil o mbién llmd il, que es un fuerz de compresión del rco en cd puno lo lrgo de l esrucur. En el cso de rcos hechos bse de bloques de piedr, es evidene que l esrucur puede resisir grndes fuerzs iles y no sí esfuerzos cornes considerbles. En cmbio un rco formdo con un vig de cero podrá resisir mbos ipos de esfuerzos, no cornes como iles. De ese modo, el objeivo hor es epresr l fuerz ne que cú en cd uno de los vérices del rco poligonl, en sus componenes norml y ngencil, es decir, queremos clculr ls fuerzs corne y ngencil en cd uno de los vérices. Respeco ls fuerzs cornes, sí como ls ngenciles en los punos P 1 y P, en el nálisis de fuerzs nos enconrmos quí con l crcerísic de que en cd uno de esos vérices enemos dos direcciones normles y dos ngenciles, debido que hy un disconinuidd en l derivd de l curv del rco. En l figur 4 enemos l fuerz q 1 que en el vérice P 1 cú con igules mgniudes, pero en senidos opuesos (ercer ley de Newon, sobre el segmeno superior y el inferior. De es fuerz queremos enconrr ls componenes norml y ngencil, respeco ls diferenes direcciones que ienen los segmenos coniguos. Geomerí de equilibrio de esrucurs en rco e = cosθ i + senθ j. (5b Mienrs que en el mismo P 1 los vecores unirios en direcciones norml y ngencil l eje del segmeno 1 son e n 1 = senθ i + cosθ j, (6 1 1 e = cosθ i + senθ j. (6b Por no, ls fuerzs corne y ngencil que cún sobre el segmeno en su eremo P 1, son f = q e = fsen θ + λ(r + r 3 cosθ, (7 ( P1 c ( P1 1 n f = q e = f cos θ + λ( r + r 3 senθ, (8 1 y ls fuerzs corne y ngencil que cún sobre el segmeno 1 en su eremo P 1, son ( P1 f = q e = fsenθ λ( r + r cosθ 1 1 n1 1 1 c 3, (9 ( P1 f = q e = f cos θ + λ( r + r senθ (1 Aquí hcemos nor que sobre el segmeno 1 en el puno P 1, por ercer ley de Newon, cú l fuerz q 1. En form nálog, considermos hor el puno P en l figur 4b. L fuerz q iene el vlor q = fi + λr 3 j. (11 En ese puno, P, los vecores unirios en direcciones norml y ngencil l eje del segmeno 3 son (ver figur 4b e n 3 = senθ i + cosθ j, (1 3 3 FIGURA 4. En ( enemos el digrm de fuerzs plicds l segmeno, sobre P 1, y en (b enemos el digrm de fuerzs plicds l segmeno 3, sobre P. L fuerz q 1 iene el vlor q = fi + λ( r + r j. (4 1 3 Esmos hciendo uso de los vecores unirios i y j en ls direcciones y y, respecivmene. En el puno P 1 los vecores unirios en direcciones norml y ngencil l eje del segmeno son e n = senθ i + cosθ j, (5 e = cosθ i + senθ j. (1b Por lo no, ls fuerzs corne y ngencil que cún sobre el segmeno 3 en su eremo P son ( P f = q e = fsen + r 3 n3 θ λ cosθ, (13 c 3 3 ( P f = q e = f cosθ + λrsenθ , (14 y ls fuerzs corne y ngencil que cún sobre el segmeno en su eremo P son ( P f = q e = fsenθ λr cosθ n c 3, (15 ( P f = q e = f cosθ + λrsenθ 3. (16 En ls ecuciones (1 (3, (7 (1 y (13 (16 enemos ls fórmuls generles que nos proporcionn los momenos L. Am. J. Phys. Educ. Vol., No., My hp://

5 Emilio Corés fleionnes, fuerzs ngenciles, cornes y de coceo en el rco poligonl simérico someido su peso propio, odo eso en érminos de los vlores de los prámeros que son l densidd linel de los segmenos, sus longiudes y los ángulos que formn cd uno con l horizonl. A coninución considermos ls condiciones de equilibrio del rco poligonl. Es decir, queremos deerminr si eise un geomerí de nuesro rco poligonl pr l cul, demás del equilibrio de fuerzs y considerdo quí, el momeno fleionne en los vérices inermedios, P 1 y P se nule. II B. Arco poligonl en equilibrio L condición de equilibrio que buscmos signific físicmene el enconrr un geomerí en l que en el rco considerdo quí de siee vérices, un cundo odos ellos esuviern riculdos, endrí un esrucur que se mnendrí en pie, l esr someid eclusivmene su propio peso. Supongmos que queremos diseñr un rco poligonl simérico de seis segmenos idénicos de longiud r. (Si los segmenos se considern con longiudes diferenes, por prejs, ls epresiones serín un poco menos compcs y los resuldos no serín mucho más ilusrivos. Supongmos demás que los segmenos ienen odos un densidd linel λ y que el clro y l flech (ncho y lur del semirco son vlores ddos, y b, respecivmene. Nos plnemos el problem de enconrr los prámeros geoméricos del rco, pr los cules se nule el momeno fleionne en los vérices inermedios P 1 y P. Es decir, pr ls condiciones señlds, necesimos deerminr el vlor de curo prámeros: l longiud r y los ángulos de elevción de los res segmenos, θ 1, θ y θ 3. O bien, si r es do enonces l flech qued por deerminrse. Pr eso ommos ls ecuciones (1 (3; hciendo cero los momenos M 1 y M obenemos ls res igulddes f ( 1/ λrcoθ3 =, (17 f = (3/ λrcoθ, (18 f = (5/ λrcoθ, (19 (és úlim se obiene de l ecución (3. De ess res epresiones pr f despejmos nθ y nθ 1 en érminos de nθ 3, y obenemos ls siguienes relciones enre ls pendienes de los res segmenos de cd semirco: 1 nθ = 3nθ, ( 3 nθ = 5nθ. (1 1 3 Hcemos nor quí l endenci que nos d ese resuldo que relcion ls pendienes de los segmenos medid que los ommos de rrib hci bjo. Esá clro que si hubiérmos considerdo curo segmenos, en lugr de res, en cd semirco, l pendiene del curo rco hci bjo serí 7 veces el vlor de l pendiene del primero, y sí sucesivmene pr un número ún myor se segmenos. Es relción es un condición de equilibrio del rco. Agregmos éss, dos relciones que vienen de ls crcerísics geomérics del rco y esblecids: = r( cosθ + cosθ + cosθ, ( 1 3 b = r( senθ + senθ + senθ. (3 1 3 Obenemos sí en ls ecuciones ( (3, curo ecuciones rscendenes en ls incógnis r, θ 1, θ y θ 3. L solución de ese sisem sólo puede obenerse en form numéric y que se r de ecuciones rscendenes. Es solución puede obenerse en form sencill en un progrm de compudor. L ide es prir de un ciero vlor pr uno de los ángulos, digmos θ 3, que puede ser cero, y enonces ir incremenndo en un mgniud muy pequeñ dicho vlor hs que ls igulddes ( (3 se cumpln. Pr es esrucur en equilibrio, podemos clculr ls fuerzs cornes que cún en mbos eremos de cd segmeno recilíneo. Por oro ldo, combinndo ls ecuciones (9 con (19, (7 con (18, (13 con (17 y (15 con (18 obenemos un resuldo ineresne que se resume en es form: l fuerz corne es l mism en mbos eremos de cd segmeno y iene el vlor f = ( λr/ cosθ, (4 c(i i i donde i es un índice que, en ese cso, v de 1 3 y represen cd uno de los res segmenos. Con l slvedd de que en el eremo superior del segmeno 3 (l pre más l del rco no hy fuerz corne. Es ineresne nor que bjo es siución de equilibrio, en lo que respec l fuerz corne, cd uno de los eremos de cd segmeno rbj como lo hce un vig rec horizonl, con poyos vericles en sus eremos. Consideremos los siguienes ejemplos numéricos. Supongmos que disponemos de 6 brrs recs cd un con un longiud r = 1.5 m. y un densidd linel de ms de λ = 1 kg/m. Supongmos que ls brrs se unen por medio de bisgrs formndo un cden, y que en cd eremo de l cden mbién hy un bisgr l cul se fijrá un superficie horizonl, como se muesr en l figur 1. Ahor bien, queremos colocr los eremos del rco dos disncis diferenes uno del oro: en un cso 8 m y en oro 6 m. Al colocr es cden formndo un rco simérico queremos sber cuál es l posición de equilibrio en l que el rco puede permnecer. Es geomerí qued deermind por los res ángulos θ 1, θ y θ 3 y l flech o lur b del rco. Nor que es l mid del clro y es en ese cso un do del problem. Resolviendo numéricmene ls ecuciones (-(3 por medio de un progrm de compudor, y evlundo ls epresiones (17 y (4 obenemos lo siguiene: L. Am. J. Phys. Educ. Vol., No., My 8 19 hp://

6 TABLA I. Pr un vlor de r = 1.5 m. Se escogen dos vlores rbirrios pr el clro: 3 y 4 m, y un peso por unidd de longiud de 1 kg/m. Pr cd vlor de se deerminn, medine solución numéric, l lur b, los res ángulos θ 1, θ y θ 3, ls fuerzs cornes en los vérices A, P 1 y P y l fuerz de coceo f. (m b(m θ 1 ( o θ ( o θ 3 ( o f c1 (kg f c1 (kg f c (kg f (kg Observmos que l vrir únicmene el clro ocurren cmbios muy precibles en los demás prámeros. Obvimene l flech umen si el clro disminuye; en l úlim column prece l fuerz de coceo, l que el rco ejerce horizonlmene sobre su bse de poyo, se rnsmie rvés del rco y por no es l mism que l fuerz horizonl que cd uno de los semircos ejerce sobre el oro. Si el clro es grnde en relción l flech, l fuerz de coceo umen y vicevers. Un resuldo menos obvio es l combinción de los ángulos que formn cd prej de segmenos siméricos con l horizonl, sí como ls fuerzs cornes que cún en cd uno de los vérices. Pr un poserior comprción con el cso coninuo, descmos quí que en ese cso, l nulr los momenos fleionnes, ls fuerzs cornes permnecen con vlores disinos de cero y eso se debe l disconinuidd en l curv del rco. III. ANÁLISIS ESTÁTICO DE ARCOS CONTINUOS TRIARTICULADOS Consideremos hor un rco coninuo simérico, en un plno vericl, como se muesr en l figur 5. Por condición de isosicidd 4 suponemos que el rco esá riculdo en mbos punos de su bse y en el puno de lur máim. Geomerí de equilibrio de esrucurs en rco Consideremos or vez que y es un plno de coordends cresins por medio del cul describiremos l form geoméric del rco, de l mner que el eje y es el eje de simerí del rco y A y B son ls inersecciones de l curv con los ejes y y, respecivmene. Si suponemos de nuevo que el rco lo someemos crgs con un disribución siméric respeco l eje vericl, enonces podemos hcer el nálisis de fuerzs y momenos omndo solmene l mid del rco, el que v del puno A l puno B, como se muesr en l figur 6. Por l mism condición de simerí en geomerí y crg, y por ercer ley de Newon, observmos que l fuerz sobre el puno B del semirco deberá esr dirigid horizonlmene, en el senido posiivo del eje. Se P(, y un puno culquier sobre el rco, cuy curv esá dd por un función y( sin precisr por el momeno. FIGURA 6. Semirco donde precen los punos riculdos A y B, sí como un puno rbirrio P(, y. S es el segmeno de rco que v de B P. El objeivo del nálisis es clculr el momeno fleionne, l fuerz corne y l fuerz ngencil (compresión que cún en el puno P, omndo en cuen pr ello el digrm de fuerzs que esán cundo sobre el segmeno de rco S que v de B P. Pr eso necesimos hor incorporr l nálisis l disribución de crg que queremos inroducir. Considermos en ese nálisis dos ipos de disribución de crg: un disribución horizonl uniforme y un disribución uniforme lo lrgo del eje del rco. III A. Disribución horizonl uniforme de crg FIGURA 5. Arco coninuo simérico riculdo en mbos punos de su bse y en su cúspide. 4 Es condición signific que los prámeros deerminr pueden ser clculdos en principio, como resuldo de un sisem de ecuciones lgebrics. Suponemos que enemos un crg por unidd de longiud λ lo lrgo del eje, l cul cú sobre el rco, como se muesr en figur 7. Aquí hcemos nor que por propósios didácicos, no vmos considerr en form simuláne dos disribuciones de crg diferenes. Al hcerlo, el nálisis se hce un no más complicdo y puede perderse lgo de l clridd del procedimieno. Tmbién podrímos decir que en ese primer cso esmos suponiendo un siución en l L. Am. J. Phys. Educ. Vol., No., My hp://

7 Emilio Corés que el peso del rco es muchísimo menor que l crg horizonlmene disribuid que sopor l esrucur 5. FIGURA 7. El digrm indic que en ese cso l crg sobre el rco se encuenr disribuid uniformemene sobre el eje horizonl. En ese cso el digrm de fuerzs prece en l figur 8. Podemos considerr que son curo fuerzs ls que esán cundo sobre el segmeno de rco S, que v de B P. u es l posición horizonl promedio de l crg en el segmeno. Por ser uniforme l disribución de crg, u = /. Ahor clculmos el momeno fleionne (orc que ejercen cd un de ess fuerzs con respeco l puno P. De ls fuerzs neriores sólo dos de ells producen momeno respeco dicho puno (ls que no esán plicds precismene sobre P: l fuerz f que cú sobre B, cuyo brzo de plnc es b y (disnci vericl de B P y l crg vericl λ j cuyo brzo de plnc es u (disnci horizonl de u l puno P. Como esmos suponiendo un disribución horizonl uniforme el vlor de u es simplemene u = /. Ess dos fuerzs producen momenos en senidos opuesos; omndo como posiivo el momeno que iende ror l segmeno S, respeco P, en conr de su curvur, obenemos pr el momeno neo sobre el segmeno M = f( b y λ( u. (5 Ahor, considerndo el semirco enero que v de A B, riculdo en mbos punos, sbemos que el momeno fleionne respeco culquier de esos punos debe ser igul cero. Epresndo dicho equilibrio de momenos respeco l puno A obenemos f b = λ ( X, y que λ es l crg vericl sobre odo el semirco y X represen l componene horizonl del cenroide del semirco, que por ser un disribución uniforme se obiene X = /. Por no despejndo f se iene f = λ /b. (6 FIGURA 8. Digrm de fuerzs que cún sobre el segmeno de rco S. Dos fuerzs horizonles de igul mgniud f y senidos opuesos y dos vericles mbién de igules mgniudes w y senidos opuesos. Aquí se esá considerndo que se cumple l condición de equilibrio de fuerzs sobre el segmeno. Es decir, enemos, en form vecoril: f es l fuerz horizonl plicd por l or mid del rco sobre el puno B, (es es l fuerz de coceo. f es l fuerz horizonl sobre el puno P, ejercid por el segmeno de rco que v de A P (l que equilibr l segmeno en el eje horizonl w = λ j es l crg del segmeno S, es un fuerz vericl plicd sobre un puno u del segmeno, w = λ j es l fuerz vericl plicd sobre el puno P, (l que equilibr l segmeno en el eje vericl Es fuerz f que se rnsmie rvés del rco, siempre en dirección horizonl, consiuye, como en el cso discreo, l llmd fuerz de coceo que odo rco ejerce horizonlmene en sus bses. Susiuyendo l ecución (6 en l ecución (5 obenemos: M ( y, = ( λ / [( / b( b y ]. (7 Pr clculr ls fuerzs corne y ngencil 6 consideremos el siguiene digrm, figur 9 FIGURA 9. Digrm de fuerzs plicds sobre el puno P. 5 Un ejercicio ineresne pr el esudine será precismene seguir ese nálisis pr los dos ipos de disribución de crg quí esudidos, cundo simulánemene. 6 L fuerz ngencil en cd puno del rco es llmd mbién fuerz il. L. Am. J. Phys. Educ. Vol., No., My 8 19 hp://

8 Como y dijimos, sobre el segmeno S esán cundo en el puno P, físicmene dos fuerzs: un vericl λ hci rrib y un horizonl f hci l izquierd. Al vecor resulne de ess dos fuerzs le llmmos q y lo podemos epresr en l form q = fi +λj. (8 Ahor queremos epresr ese vecor q en sus dos componenes en direcciones norml y ngencil l curv y( en el puno P. Sen e n y e vecores unirios en direcciones norml y ngencil respecivmene, l curv y( en el puno P(, y; podemos epresr esos vecores en l form e = k i - h j, (9 n e = h i + k j, (3 donde h y k son cosenos direcores, y por ser componenes de vecores unirios se cumple l relción h + k = 1. (31 L pendiene del vecor e es precismene l derivd de l función y( en el puno P, es decir y'( = k/ h. (3 P Geomerí de equilibrio de esrucurs en rco III A1. Arco semicirculr Pr ilusrr los resuldos neriores, omemos mner de ejemplo un rco circulr, el cul nos permie un solución nlíic, y cuy ecución es y =. (37 En ese cso el prámero b de ls ecuciones (6 y (7 es igul y l derivd de y( l epresmos como y'( / =, (38 y obenemos sí, de dichs fórmuls generles ls epresiones pr el rco circulr, bjo l condición de crg menciond M ( = ( λ /[( ], (39 ( λ [ 1 / 1/] c f =, (4 ( ( λ / [( / ] f = +. (41 Y de l ecución (6, con = b, l fuerz de coceo es f = λ /. (4 De ls epresiones (9 (3 podemos escribir h = y' (, (33 k = y'( 1 + y' (. (34 Ahor epresmos ls fuerzs corne y ngencil, como los producos puno (producos esclres de los vecores q y e n y los vecores q y e, respecivmene. Por lo no, λ + f = c 1 + y ' f λ = [( / b y' ] [( / b y'] 1 + y ', (35. (36 Ls ecuciones (6, (7, (35 y (36 son los momenos y fuerzs corne y ngencil en culquier puno de un rco simérico de culquier geomerí, someido un disribución horizonl uniforme de crg. Esos momenos y fuerzs, en generl son disinos de cero, y como se h dicho, usulmene son conrrresdos por momenos y fuerzs de rección producidos por l resisenci del meril de l esrucur. FIGURA 1. Gráfic del momeno fleionne, l función M(, pr un rco semicirculr,.=1m. y disribución horizonl uniforme de crg, λ = 1 kg/m. L coordend v desde = (eje vericl hs =. En l figur 1, observmos ls gráfics de ls res funciones neriores. Cd uno de esos res prámeros iene un compormieno peculir, como función de. Ls res curvs muesrn y se máimo o mínimo en lgún puno en el inervlo. Ese compormieno se debe l ipo de disribución de crg (horizonl y l geomerí circulr elegid. Observmos que ese rco esrá someido un lo momeno fleionne en punos cercnos l bse de poyo. L fuerz corne pre de cero en l cúspide y iene un máimo locl, ermin con un mgniud grnde (vlor negivo mbién en l bse de poyo, y ps por un vlor de cero en un ciero puno del rco; mienrs que l fuerz ngencil pre del vlor fijo de l fuerz de coceo, en l cúspide y de hí crece hs un vlor máimo siudo L. Am. J. Phys. Educ. Vol., No., My hp://

9 Emilio Corés muy cerc de l bse. Al ver ess gráfics resul evidene que el rco semicirculr no es un esrucur cercn l equilibrio, pr un disribución horizonl uniforme de crg. FIGURA 11. Bjo l condición de crg disribuid uniformemene sobre el eje horizonl del rco, l fom prbólic qued libre de momeno fleionne, sí como de fuerz corne lo lrgo de odo el rco. FIGURA 1b. Gráfic de l fuerz corne, l función f c (, pr un rco semicirculr,.=1m. y disribución horizonl uniforme de crg, λ = 1 kg/m. L coordend v desde = (eje vericl hs =. FIGURA 1c. Gráfic de l fuerz ngencil, l función f (, pr un rco semicirculr,.=1m. y disribución horizonl uniforme de crg, λ = 1 kg/m. L coordend v desde = (eje vericl hs =. III A. Arco en equilibrio Volviendo ls fórmuls (6, (7, (35 y (36 nos plnemos el problem de enconrr si eise un geomerí del rco, o se un función y( pr l cul el momeno fleionne se nule en odo puno del rco. Físicmene es condición signific que el rco no enderí fleionrse en ningún puno. El problem se resuelve hciendo M = en l ecución (7 y obenemos un función que puede escribirse en l form y ( = b[ ( / + 1]. (43 Ahor bien, es función y( demás de hcer cero el momeno fleionne en odo el rco, nos d lgo más, y que si hor ommos su derivd y susiuimos en l ecución (35 pr l fuerz corne, obenemos como resuldo que pr l mism curv y( mbién se nul dich fuerz. Eso signific que l hcer M = obenemos un inegrl de l ecución que resul de hcer f c =. Es decir, esmos obeniendo que pr l geomerí prbólic, ecución (43, no M como f c son cero pr odo puno (, y del rco. En ors plbrs, ese resuldo nos dice que pr un disribución horizonl uniforme de crg, el rco prbólico simérico es un esrucur no solo en equilibrio de fuerzs, sino que se encuenr libre de momeno fleionne y de fuerzs cornes lo lrgo del rco. Solmene l fuerz ngencil (o il es diferene de cero y se epres por l ecución λ + f = 4 + 4b 4 [( / b b ], (44 que es l fuerz de compresión, como función de l coordend horizonl, l que qued someido el rco bjo ess condiciones. Como cso priculr, si evlumos es epresión en =, se obiene l fuerz de compresión en l cúspide del rco, que es precismene l fuerz de coceo dd por l ecución (6. III B. Disribución uniforme de crg sobre el eje del rco Consideremos hor el cso en el que l crg que sopor el rco se debe solmene su propio peso. Suponiendo que enemos un sección y un disribución de ms uniformes, enonces enemos un crg, es decir el peso por unidd de longiud λ. Ver figur 1. Es, como vemos, l ecución de un prábol cuyo eje de simerí es el eje y, ver figur 11. L. Am. J. Phys. Educ. Vol., No., My hp://

10 FIGURA 1. El digrm indic un disribución uniforme de crg lo lrgo del rco Observmos en l figur 13 que el digrm de fuerzs es muy similr l de l figur 8; sin embrgo, lguns de ls fuerzs muesrn diferencis impornes. Geomerí de equilibrio de esrucurs en rco Ahor clculmos el momeno fleionne (orc que ejercen ess fuerzs con respeco l puno P. Como vimos en l sección nerior, de ess fuerzs sólo dos de ells producen momeno respeco dicho puno: l fuerz f que cú sobre B, cuyo brzo de plnc es b y y l crg vericl λs j cuyo brzo de plnc es u. Observemos que en ese cso u es l componene horizonl del cenroide del rco S, y como veremos es necesrio hcer un inegrl pr deerminr su vlor. Ls dos fuerzs que cún sobre P producen momenos en senidos opuesos; omndo como posiivo el momeno que iende ror l segmeno S, respeco P, en conr de su curvur, obenemos pr el momeno neo sobre el segmeno M = f( b y λs( u. (45 Ahor en ese cso, no ls longiudes de rco como los cenroides del rco S y del semirco compleo, deben epresrse en érminos de inegrles de líne sobre el rco, que su vez pueden escribirse como inegrles sobre l vrible. Si llmmos L l longiud de odo el semirco, que v de A B, enonces rco es: L = ds, donde l diferencil de ds d dy 1 y ' d = + = +. (46 Por lo no, enemos FIGURA 13. Digrm de fuerzs que cún sobre el segmeno de rco S. En ese cso enemos mbién, como en el nerior, dos fuerzs horizonles de igul mgniud f y senidos opuesos y dos vericles mbién de igules mgniudes w y senidos opuesos. Aquí se cumple mbién l condición de equilibrio de fuerzs sobre el segmeno. Pero diferenci del cso nerior, hor l crg sobre el segmeno S es su propio peso y es igul λs. Al cmbir el sisem de fuerzs, cmbirán mbién ls ecuciones pr el equilibrio. Es decir, enemos, en form vecoril: f es l fuerz horizonl plicd sobre el puno B, (fuerz de coceo, f es l fuerz horizonl sobre el puno P (l que equilibr l segmeno en el eje horizonl, w = λs j es el peso del segmeno S, y es un fuerz vericl plicd sobre un puno = u, w = λ S j es l fuerz vericl plicd sobre el puno P, (l que equilibr l segmeno en el eje vericl, u es l componene horizonl del cenroide del segmeno S (es decir de l posición promedio de l crg en el segmeno. X es l componene horizonl del cenroide del semirco compleo (ese puno no se muesr en l figur. 1 y' d. (47 L = + Por definición de cenroide, escribimos pr el produco LX LX = 1 + y ' d. (48 En form similr epresmos l longiud S del segmeno, sí como el produco S u en l form 1 y' d, (49 S = + Su = 1 + y ' d. (5 Como el semirco enero lo suponemos riculdo en sus dos eremos A y B, el momeno fleionne sobre él debe nulrse, lo que se epres por l ecución f = λl ( X. (51 b Susiuyendo ls ecuciones (48 - (51 en l ecución (45 obenemos L. Am. J. Phys. Educ. Vol., No., My hp://

11 Emilio Corés M = λ φ( d φ( d (1 y/ b ( (, φ d + φ d donde, por comodidd esmos definiendo (5 φ ( = 1 + y' (. (53 Pr clculr ls fuerzs corne y ngencil hcemos el mismo nálisis vecoril de l sección (III A, con l diferenci de que pr l crg vericl, en lugr de l fuerz λ (disribución horizonl, hor enemos l fuerz λs (disribución sobre el eje. Con lo cul el vecor q definido como l resulne de ls fuerzs horizonl y vericl que cún sobre P, es hor q = fi +λj. (54 Ahor queremos epresr ese vecor q en sus dos componenes en direcciones norml y ngencil l curv y( en el puno P. Si, como en l sección nerior, e n y e vecores unirios en direcciones norml y ngencil respecivmene, l curv y( en el puno P(, y, podemos epresr esos vecores en l form e = [ iy'( j ]/ φ(, (55 n e = [ i+ y'( j ]/ φ(. (56 Ahor epresmos ls fuerzs corne y ngencil como los producos puno de los vecores q y e n y los vecores q y e respecivmene, por lo no f = [ fy'( + λs]/ φ(, (57 c f = [ f λsy'( ]/ φ(. (58 Ls epresiones (51, (5, (57 y (58 son ls fórmuls generles pr el momeno fleionne, sí como fuerzs de coceo, corne y ngencil (il, pr un rco simérico de culquier geomerí, someido un disribución de crg uniforme lo lrgo de su eje, o se su propio peso. Esos momenos y fuerzs en generl son disinos de cero, pr geomerís rbirris y deberán ser conrrresdos por momenos y fuerzs recivs producidos por l resisenci de l esrucur. III B1. Arco semicirculr Pr ilusrr esos resuldos, mner de ejemplos, vmos considerr dos geomerís con l simerí vericl requerid, y que nos llevn resuldos nlíicos. Ess geomerís son el semicírculo y l prábol y como veremos, ningun de ess dos es l geomerí de equilibrio pr es disribución de crg. En primer lugr consideremos el rco semicirculr. Pr es form de rco primos de l función y =, (59 con lo cul l función φ definid en l ecución (53 qued ( / y / φ = =. (6 Con es función ls curo inegrles de l ecución (5 se evlún direcmene con uilio de ls bls y se obiene (recordndo que quí b = φ( d = π /, (61 φ ( d =, (6 φ( d = rcn[ / ] = θ, (63 φ ( d = [ ]. (64 En l ecución (63 θ es el ángulo que form el vecor de posición del puno P del rco con el eje vericl (ángulo polr. Susiuimos ess inegrles en ls ecuciones (51 y (5 y enemos: f = λ[( π / 1], (65 M = rcn (. ( λ ( π /( y de ls ecuciones (57, (58 y (65 obenemos f = λ + c (66 (1 π / rcn ( /, (67 f = λ + (1 π / rcn ( /. (68 En ls figurs 14 observmos ls gráfics de ls funciones neriores. Observmos en ls res funciones un compormieno culiivo muy similr, l cso de l disribución horizonl de crg, con un geomerí semicirculr. Ahor l fuerz ngencil prece en form monóonmene creciene y con vlores más los que en el cso nerior. Es fácil concluir de ess gráfics, que el rco L. Am. J. Phys. Educ. Vol., No., My hp://

12 semicirculr no es un esrucur en equilibrio pr un disribución de crg sobre el eje del rco. Geomerí de equilibrio de esrucurs en rco Con es función enemos or vez que l lur del rco es b y el semincho es. L derivd de l función es y'( = b/ y l función φ en l ecución (53 es en ese cso 4 φ ( = 1 + (4 b /. (7 Necesimos hor evlur ls curo inegrles de l ecución (5. Pr eso uilizmos dos fórmuls de inegrles definids que son ls siguienes φ( d = ( / φ( + ( /4 b rcsenh( b /, (71 FIGURA 14. Gráfic del momeno fleionne, l función M(, pr un rco semicirculr, con = 1m y un disribución uniforme de crg sobre el rco, λ = 1kg/m. L coordend v desde = (eje vericl hs = 1b 4 3 φ( d = φ(. (7 Esmos usndo en l ecución (71 l función invers de 1 z z senhz = e e. Susiuyendo eso en l ecución (5 se obiene φ( ( / φ( ( /4 ( /, (73 L = d = + b rcsenh b 4 3 φ( ( /1 [ φ ( 1], (74 LX = d = b FIGURA 14b. Gráfic de l fuerz corne, l función f c (, pr un rco semicirculr, con = 1m y un disribución uniforme de crg sobre el rco, λ = 1kg/m. L coordend v desde = (eje vericl hs =. φ( (/ φ( ( 4 [( ], (75 S = d = + / b rcsenh b/ 4 3 φ( ( /1 [ φ ( 1]. (76 Su = d = b Finlmene susiuimos ess epresiones, (7 y (73 (76, con y'( = b/ en ls epresiones (51, (5, (57 y (58: M ( = ( b/ f+ ( / φ( + + ( / 4 b rcsenh[( b/ ] ( ( / 1 b[ φ ( 1], FIGURA 14c. Gráfic de l fuerz ngencil, l función f (, pr un rco semicirculr, con = 1m y un disribución uniforme de crg sobre el rco, λ = 1 kg/m. L coordend v desde = (eje vericl hs =. III B.- Arco prbólico Coninundo con el cso de crg disribuid lo lrgo del rco, como segundo ejemplo consideremos hor un rco prbólico cuy ecución l escribimos en l form y ( = b(1 / (69 1 f ( = ( b/ f λ[( / φ( c φ( + (78 + ( / 4 b rcsenh[( b/ ]], 1 f = f + λ b φ ( ( / [( / ( φ( (79 + ( /4 b rcsenh[( b / ]], L. Am. J. Phys. Educ. Vol., No., My hp://

13 Emilio Corés donde l fuerz de coceo f iene el vlor [ f = b + b rcsenh b λ( / φ( ( / ( / (8 3 ( /6 b [ φ ( 1]. En ls figurs 15 observmos ls gráfics de ls res funciones neriores. El momeno fleionne sí como l fuerz corne ehiben un máimo y un mínimo respecivmene, y un compormieno muy diferene l del cso del rco semicirculr, en cuno l senido de mbos prámeros. Recordemos, de cuerdo con nuesr definición, que un momeno fleionne posiivo signific que el rco, dejdo en liberd, iende fleionrse en senido conrrio su curvur. Nomos que, como mbién ocurre en los csos neriores, l fuerz corne se hce cero sólo en un puno preciso del rco. El rco prbólico, l igul que el semicirculr, no son esrucurs de equilibrio pr un disribución uniforme de crg sobre el eje. FIGURA 15. Gráfic del momeno fleionne, l función M(, pr un rco prbólico, con = 1m y un disribución uniforme de crg sobre el rco, λ = 1 kg/m. L coordend v desde = (eje vericl hs =. FIGURA 15c. Gráfic de l fuerz ngencil, l función f (, pr un rco prbólico, con = 1m y un disribución uniforme de crg sobre el rco, λ = 1 kg/m. L coordend v desde = (eje vericl hs =. III B3. Arco en equilibrio Primos hor de los resuldos obenidos pr l disribución uniforme de crg lo lrgo del eje del rco, válidos pr un geomerí rbirri. Esos resuldos quedn epresdos por ls ecuciones (51, (5 y (57. Como en el cso de l disribución horizonl de crg, formulmos hor el siguiene problem: Enconrr si pr un disribución uniforme sobre el eje del rco eise un cier geomerí pr l cul el rco quede libre de momeno fleionne y/o fuerz corne en odos sus punos. Igulndo cero l ecución pr M(, y, dd por l ecución (5, podemos escribir l relción ( f / λ ( b y = φ( d φ( d. (81 Vemos que quí inervienen l vrible, l función y(, sí como dos inegrles en l vrible. Del ldo izquierdo enemos el fcor f /λ que no depende de (recordemos que l fuerz de coceo iene el mismo vlor en odo puno del rco. Con el objeo de ener un relción enre y y derivmos l epresión nerior y se obiene ( f / λ y'( = φ( d, (8 FIGURA 15b. Gráfic de l fuerz corne, l función f c (, pr un rco prbólico, con = 1m y un disribución uniforme de crg sobre el rco, λ = 1 kg/m. L coordend v desde = (eje vericl hs =. l cul volvemos derivr pr eliminr l inegrl y obenemos sí un ecución diferencil de segundo orden pr l función y(, y''( + ( λ/ f φ( =. (83 Es ecución diferencil es no linel, por l form de l función φ ( = 1+ y'. L. Am. J. Phys. Educ. Vol., No., My hp://

14 Podemos comprobr, por susiución, que un solución de es ecución, que sisfce ls condiciones en l froner de nuesro cso, es y ( = b[ cosh( / b], (84 donde esmos usndo l función hiperbólic z z cosh( z = (1/[ e + e ]. (85 Al susiuir l solución, ecución (84 en l ecución (83, obenemos que l fuerz de coceo resul ser f = λb. (86 Ahor bien, nos enconrmos or vez con un propiedd ineresne de es solución pr l curv y(. Si por oro ldo imponemos l condición de que l fuerz corne se cero, pr odo puno del rco, con el fin de enconrr qué form geoméric sisfce dich condición, enconrmos l mism ecución diferencil, ecución (83, que fue obenid bjo l condición de hcer cero el momeno fleionne pr odo puno el rco. Ese resuldo iene inerés memáico y que ls ecuciones pr M[y(] y f c [y(] son en relidd funcionles, o se funciones que vn de ls curvs y( funciones de. Se demuesr direcmene, de ls ecuciones (5 y (57, que hciendo M = y derivndo con respeco se obiene ecmene l epresión que resul de hcer f c =. Por no, l derivr dos veces l epresión obenid con M = se obiene un ecución diferencil pr l que idenificmos dos inegrles de movimieno: M = y f c =. L solución de dich ecución diferencil, ecución (83, epresd en l ecución (84 es l ecución de un cenri (ver figur 16. Eso signific físicmene que el rco someido su propio peso y cuy form geoméric es un cenri, se encuenr en equilibrio ol, es decir, libre de fuerzs y libre de momeno fleionne y fuerz corne. Cbe señlr que l cenri es un form muy conocid relciond con oro sisem mbién en equilibrio, y nos referimos l curv que describe un cden fleible l colgrl de sus eremos; l diferenci enre ess dos cenris esrib en que l de nuesro rco es conve y l de l cuerd colgne es cóncv [9]. Geomerí de equilibrio de esrucurs en rco Hgmos un comprción de ls geomerís de equilibrio, enre el rco coninuo y el poligonl, someidos su peso propio. En el cso coninuo, como y observmos, l curv es un cenri conve. Si es curv l superponemos con l gráfic de l solución numéric pr el cso poligonl, con un número cd vez myor de segmenos, obenemos que los vérices del rco discreo iendn cercrse cd vez más l cenri. Eso corresponde l límie coninuo del rco poligonl. Aún con un número reducido de segmenos es posible percibir con clridd es endenci. En l figur 17 mosrmos l superposición de ess gráfics: en el cso ( enemos l cenri dd por l ecución (84 y un rco poligonl de seis segmenos idénicos, mienrs que en el cso (b enemos l mism cenri y un rco poligonl de ocho segmenos idénicos. Ambos rcos esán cubriendo un clro ol de 1 uniddes. L geomerí poligonl se obiene por medio de un progrm numérico. FIGURA 17. Superposición de l cenri dd por l ecución (84, con un rco poligonl de 6 segmenos igules. Al imponer l condición de que mbos rcos engn el mismo clro, observmos que sus flechs mbién coinciden. L form poligonl se cerc l curv coninu, por debjo de ell. FIGURA 17b. Superposición de l cenri dd por l ecución (84, con un rco poligonl de 8 segmenos igules. Observmos quí que el rco poligonl se cerc ún más l curv coninu. Físicmene ese resuldo es consisene con el hecho de que l incremenr el número de segmenos del rco poligonl, en el límie esremos precismene en el cso de un cden fleible. En principio en un cden colgne podrímos inverir olmene su curvur y quedrí en equilibrio, pero n lmene inesble que es csi imposible observr dich siución en l prácic. IV. CONCLUSIONES FIGURA 16. Bjo l condición de crg uniformemene disribuid sobre el rco, l form cenri qued libre de momeno fleionne sí como de fuerz corne lo lrgo de odo el rco. En el presene rbjo se h hecho un nálisis de ls condiciones geomérics de equilibrio esáico pr rcos siméricos someidos un disribución de crg dd. En el cso discreo, o bien de los rcos poligonles, se lleg epresiones memáics pr fuerzs y momenos en cd L. Am. J. Phys. Educ. Vol., No., My hp://

15 Emilio Corés uno de los vérices, y l geomerí de equilibrio se obiene medine l solución de un sisem de ecuciones rscendenes. Por oro ldo, en el cso de rcos coninuos se obienen fuerzs y momenos en cd puno del eje del rco. Si l geomerí del rco se epres como un función y(, enonces dichs vribles físics son funcionles de l vrible. L solución nlíic del problem de enconrr l curv de equilibrio se obiene en ese cso medine el esblecimieno de un ecución lgebric o bien diferencil no linel pr y(. Ese rbjo, como y dijimos, no preende ener un enfoque ingenieril, y que por un ldo se circunscribe esricmene l nálisis de rcos siméricos, de sección uniforme ririculdos, en donde es posible obener sisems cerrdos de ecuciones. Por oro ldo, no se esán considerndo propieddes elásics, ni de resisenci del meril. El objeivo es presenr, denro de ese esquem concreo, un nálisis sisemáico y riguroso que nos permie obener resuldos generles donde podemos vrir condiciones de crg y geomerí. Se hce nor quí mbién l uilidd de un herrmien memáic decud que nos llev esblecer l relción enre el equilibrio y l form geoméric. Finlmene, rvés de ese nálisis esmos presenndo l lecor un esudio de myor clridd y un enfoque más didácico que el de l bibliogrfí consuld. El méodo de nálisis, no en cuno los concepos de l esáic, como por el desrrollo memáico, considermos que puede consiuir un porción vlios en l enseñnz de l Físic. REFERENCIAS [1] Willims, K., Arches: Gewys from Science o Culure, Neus Nework Journl 8,, Achiecure nd Mhemics, (Sep. 6. [] Huer, S., Mechnics of msonry vuls: he equilibrium pproch. Hisoricl Consrucions, (Lourenco, P. B., Roc, P. (Eds., Guimres, 1. [3] Lizárrg, I. M., Esrucurs Isosáics, (McGrw-Hill, Méico, 199. [4] Lenovich, V., Frmes nd Arches: Condensed Soluions for Srucurl Anlysis, (McGrw-Hill, USA, [5] Monrull, M., Análisis de Esrucurs:Méodos Clásicos y Mriciles, (Horcio Crbjl, Espñ, 3. [6] Hibbeler, R. C., Engineeing Mechnics: Sics, (Prenice Hll (11h Ed., USA, 6. [7] Johnson, R. Jr., Eisenberg, E. R. Sb, G. H., Vecor Mechnics for Engineers: Sics, (McGrw-Hill Science/Engineering, Mh, USA, 3. [8] Nelson, E. W., Bes, Ch. L. nd McLen, W. G., Schum s Ouline of Engineering Mechnics, (McGrw- Hill, USA, 7. [9] hp://mhworld.wolfrm.com/cenry.hml consuldo el de febrero de 8. L. Am. J. Phys. Educ. Vol., No., My 8 hp://