SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES amn

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1 Apunes de A. Cbñó Memáics plicds cc.ss. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. CONTENIDOS: Plnemienos de problems lineles. Soluciones de un sisem de ecuciones lineles. Sisems lineles equivlenes. Méodo de reducción de Guss. Inerpreción geoméric de sisems lineles. Los sisems de ecuciones precen en csi ods ls ciencis en muchs siuciones de l vid rel. Ddo el sisem de m ecuciones lineles con n incógnis:... n n b... n n b... m m... mn n b donde. son los coeficienes de ls incógnis, b...son los érminos independienes. Discuir un sisem es esudir ods ls soluciones que pueden presenrse en él, dependiendo del número de ecuciones, del número de incógnis de ls relciones eisenes enre uns ors. Según ls soluciones se ienen los siguienes sisems: Los sisems que ienen solución se llmn compibles. Si l solución es únic, el sisem es compible deermindo. Si iene más de un solución, el sisem es compible indeermindo. Se puede firmr en ese cso que iene infinis soluciones. Los sisems que no ienen ningun solución se llmn incompibles. Sisems homogéneos. Se llm sí los sisems de ecuciones lineles en los que son nulos los érminos independienes de cd un de ls ecuciones. Ese sisem siempre dmie l solución rivil. Dos sisems son equivlenes cundo mbos ienen ls misms soluciones. Méodo de reducción de Guss Si en un sisem de ecuciones se susiue un ecución por el resuldo de sumrl miembro miembro (previmene muliplicd por un número disino de cero) con or u ors ecuciones muliplicds por números culesquier, resul un sisem equivlene l ddo. En el resuldo nerior se fund el méodo de Guss o reducción, pr resolver un sisem de ecuciones lineles. Si l plicr el méodo de Guss resul lgun ecución bsurd, de primer miembro nulo el segundo miembro disino de cero, el sisem es incompible. Si l plicr Guss no resul ningun ecución bsurd, el sisem es compible. Después de eliminr ls ecuciones que son combinción linel de ors nos quedrá un sisem de h ecuciones con n incógnis que es equivlene l ddo. hn el sisem es compible deermindo. h<n el sisem es compible indeermindo m Sisems de ecuciones lineles.

2 Apunes de A. Cbñó Memáics plicds cc.ss. Ejemplo: Resolver los sisems ) b) 9 8 c) d) e) 9 Ejemplo Ddo el sisem de ecuciones: Si es posible, ñde un ecución de modo que el nuevo sisem resulne se: ) Incompible b) Compible indeermindo Jusific us respuess. )Un ecución que hg el sisem incompible h de ser de l form: ( ) ( ) b k k b con, Si ommos, por ejemplo,, b, enemos: Añdiendo es ecución, el sisem es incompible. b)pr que se compible indeermindo, l ecución que ñdmos será de l form: ( ) ( ) enemos) que dos de ls (un combinció n linel b b Si ommos, por ejemplo,, b, quedrá: 8 Añdiendo es ecución, el sisem es compible indeermindo. Los sisems homogéneos siempre ienen l solución. n llmd solución rivil. Pueden o no ener ors soluciones disins de l rivil. A los sisems homogéneos se les puede plicr el méodo de Guss. Después de eliminr ls ecuciones que son combinción linel de ors nos quedrá un sisem de h ecuciones con n incógnis, equivlene l ddo. hn el sisem es compible deermindo. (Solución rivil) h<n el sisem es compible indeermindo. (Infinis soluciones) Ejemplo: Resolver 9 Inerpreción geoméric de un sisem L ecución bc iene por represención en el plno cresino un rec. L siución geoméric de un sisem de dos ecuciones con dos incógnis es l siguiene: Compible deermindo Compible indeermindo Incompible. Sisems de ecuciones lineles.

3 Apunes de A. Cbñó Memáics plicds cc.ss. De igul form si el sisem esá formdo por más de dos ecuciones se obendrá un siuciones precids ls neriores. Ejemplo Resuelve los siguienes sisems h un inerpreción geoméric de los mismos: ) Resolvemos el sisem por el méodo de Guss: ;., sisem es compible deermindo.su solución es El :, puno que se corn en el son res recs mene, Geoméric Ejemplo En un residenci de esudines se comprn semnlmene heldos de disinos sbores: vinill, chocole n. El presupueso desindo pr es compr es de euros el precio de cd heldo es de euros el de vinill, euros el de chocole euros el de n. Conocidos los gusos de los esudine, se sbe que enre heldos de chocole de n se hn de comprr el % más que de vinill. ) Plne un sisem de ecuciones lineles pr clculr cuános heldos de cd sbor se comprn l semn. b) Resuelve, medine el méodo de Guss, el sisem plnedo en el prdo nerior. ) Llmmos l número de heldos de vinill que se comprn semnlmene, l de heldos de chocole, l de heldos de n., % más que vinill n Chocole euros ol Precio en ol Comprn heldos Sisems de ecuciones lineles.

4 Apunes de A. Cbñó Memáics plicds cc.ss. b) ) ( : 8 Por no, se comprn heldos de vinill, de chocole de n. EJERCICIOS.. Resolver e inerprer el siguiene sisem: 8. Resolver por el méodo de Guss los siguienes sisems: ) b) c) 8 d) e) f). Resolver por el méodo de Guss: ) b) c) 9 9. Ddo el sisem ñdir un ecución más pr que el sisem resulne se incompible. Añdir mbién un ecución l sisem ddo rrib pr que se compible resolverlo en ese cso.. En un sisem de dos ecuciones lineles los coeficienes el érmino independiene de l primer son proporcionles los correspondienes de l segund. Cómo es el sisem?. En un sisem de dos ecuciones lineles los coeficienes de l primer son proporcionles los correspondienes de l segund, pero no los érminos independienes. Cómo es el sisem? Sisems de ecuciones lineles.

5 Apunes de A. Cbñó Memáics plicds cc.ss.. Considerr el siguiene sisem de ecuciones lineles con dos incógnis: ) Añdir un ecución l sisem de modo que el sisem resulne se compible. b) Añdir un ecución l sisem de mner que el sisem que resule se incompible c) Inerprer geoméricmene los prdos b. 8. Resolver clsificr el sisem: Represenr e inerprer gráficmene l siución reliv de ls recs cus ecuciones formn el sisem. 9. Los sueldos del pdre, l mdre un hijo sumdos, dn p. L mdre gn el doble del hijo, el pdre gn / de lo que gn l mdre. Se r de clculr cuáno gn cd uno.. Se dispone de un recipiene de liros de cpcidd de res medids A, B C. Se sbe que el volumen de A es el doble del de B, que ls res medids llenn el depósio que ls dos primers lo llenn hs l mid. Qué cpcidd iene cd medid?. Hllr res números sbiendo que el primero es igul dos veces el segundo más l mid del ercero, que l sum del segundo el ercero es igul l primero más, que si se res el segundo de l sum del primero con el ercero, el resuldo es.. Clculr res números que cumpln ls condiciones siguienes: ) El primero es l sum de los oros dos. b) El segundo es igul l mid del primero más el doble del ercero. c) L sum de odos es.. L sum de ls res cifrs de un número es, si se inercmbin l primer l segund, el número umen en 9 uniddes. Finlmene, si se inercmbin l segund l ercer, el número umen en 9 uniddes. Clculr dicho número.. Hllr un número de res cifrs, sbiendo que sumn 9, que si del número ddo se le res el que resul de inverir el orden de sus cifrs l diferenci es 98 que demás l cifr de ls decens es medi riméic de ls ors dos.. Dos hermnos, chrlndo, concluen que enre mbos ienen 9 ños el uno le dice l oro: Denro de 8 ños, mi edd será el doble de l u. Cuános ños iene cd uno en l culidd?. Un esdo compr brriles de peróleo res suminisrdores diferenes, que lo venden, 8 dólres el brril respecivmene. L fcur ol sciende millones de dólres. Si el primer suminisrdor recibe el % del ol del peróleo comprdo, cuál es l cnidd comprd cd suminisrdor?. Un individuo invirió ps. reprids en res empress obuvo p. de beneficios. Clculr l inversión relid en cd empres, sbiendo que en l empres A hio el doble de inversión que en l empres B C juns que los beneficios de ls empress fueron de % en l empres A, % en l B % en l C. 8. Los nimles de un lbororio deben mnenerse bjo un die esric. Cd niml recibe g de proeíns g de grss. Se dispone de dos ipos de limenos: el ipo A con el % de proeíns % de grss, el ipo B con el % de proeíns % de grss. Cuános grmos de cd limeno pueden uilirse pr obener l die correc de un único niml? Sisems de ecuciones lineles.

6 Apunes de A. Cbñó Memáics plicds cc.ss. 9. Jun Pedro invieren p. cd uno. Jun coloc un cnidd A l % de inerés, un cnidd B l % el reso l %. Pedro inviere l mism cnidd A l %, l B l % el reso l %. Deerminr l cnidd B, sbiendo que Jun obiene inereses de p. Pedro de 9 ps.. El dueño de un br h comprdo refrescos, cerve vino por impore de p.(sin impuesos) El vlor del vino es p. menos que el de los refrescos de l cerve conjunmene. Teniendo en cuen que los refrescos deben pgr un IVA del %, por l cerve del % por el vino del %, lo que hce que l fcur ol con impuesos se de 9 p. Clculr l cnidd inverid en cd ipo de bebid.. Cuános liros de leche con % de grs h de meclrse con leche de % de grs pr obener liros de leche con % de grs?. Al represenr en el plno ls ecuciones de un sisem formdo por ecuciones (E,E,E ) dos incógnis, se observ que E es un rec prlel l eje OX, E E se corn en el puno(,), E E se corn en el puno (,) E es prlel l eje OY. Obeng ls ecuciones del sisem. EJERCICIOS PROPUESTOS. º Esudi si son equivlenes los sisems: ) b) c) d) Sol: ) Sí; b) Sí; c) No; d) Sí _ º Esudi, resuelve cundo sen compibles, los siguienes sisems: ) b) c) Sol: ) S.C.D.; ; ; ; b) S.C.I.; λ; λ; ; c) S.I. Sisems de ecuciones lineles.

7 Apunes de A. Cbñó Memáics plicds cc.ss. º Resuelve los sisems: ) b) c) d) e) f) Sol: ) S.I.; b),, ; c) λ, λ, λ; d) λ, λ, λ; e) S.I.; f),, º Resolver: ) b) c) Sol: ),, ; b) S.I.; c) λ, λ, λ Sisems de ecuciones lineles.