funciones de DERIVE permiten calcular algunos invariantes y expresiones asociados a la ecuación de dicha cónica necesarios para su estudio:

Transcripción

1 CÓNICS - - Indiiones Llmndo l mriz soid un óni en un deermindo sisem de refereni l mriz de su form udrái, iers funiones de DERIVE permien lulr lgunos invrines epresiones soidos l euión de dih óni neesrios pr su esudio: Epresión Funión de DERIVE min or(,, ) de re ( ) de ( min or(,,) ) de( min or(,,) ) Vlores propios de eigenvlues Veores propios de e_eigenveor (, vlor propio) delee_elemen(,) Unidd Doene de Memáis

2 CÓNICS - - I) Esudir ls siguienes ónis: ) ) Gráfi de l óni b) Euión mriil X ( ) X ) Clsifiión Tipo prbólio 6 PRÁBOL d) Euión reduid b '' λ ' ' ; vlores propios de : λ, λ (on l funión eigenvlues ( )); b ± ± ; pr que b se de signo onrrio λ, ommos b. '' '' '' '' e) Eenriidd prámero de l óni e, por ser un prábol. p p f) Eje vérie. Dibujrlos Veores propios de soidos λ : (,) ( on l funión e_eigenveor (, )) Eje '' n. Busquemos n pr que l inerseión de on l prábol se un únio puno: Unidd Doene de Memáis

3 CÓNICS - - n (n ) n n (n ) ± 6(n ) 6(n n ) 8 Disriminne 6(n ) 6(n n ) n Eje '' ( ) ± bsis del vérie: ; ordend: 8 Luego, V,. El eje fol ps por el vérie es perpendiulr : Eje fol - g) Foo direriz. Dibujrlos. Eje fol irunf. - p de enro V rdio - Observndo el dibujo se obiene que el foo es F (,) l direriz es l re que ps por el puno (, ) es prlel : dir - B) ) Gráfi de l óni Unidd Doene de Memáis

4 CÓNICS - - b) Euión mriil 6 6 X 9 ( ) X ) Clsifiión 6 > Tipo elípio 9 elipse ) < ELIPSE REL ( d) Euión reduid λ '' λ '' ; ;vlores propios de :, (on l funión eigenvlues ( )). Tommos λ ( el de menor vlor bsoluo) λ. Euión reduid: '' '' '' '' 9 e) Semiejes, eenriidd prámero de l óni 9 b ; 6 6 b b Prámero de l hipérbol: b e f) Cenro. Dibujrlo 6 Con delee_elemen(,), se obiene: ; se resuelve el sisem: 9 6 C, 9 g) Ejes (indindo uál es el fol). Dibujrlos Con e_eigenveor (,), se obiene l direión del eje fol:, Eje fol ( ) Unidd Doene de Memáis

5 CÓNICS - - Eje no fol ( ) 6 h) Foos, véries direries. Dibujrlos No: Resolver el sisem Eje fol ( ) irunf. de enro C (, ) rdio k k Foos (Susiuir k por,, 7, 6 ) 6 Véries priniples (Susiuir k por 7 (,),, ) Véries seundrios (Susiuir k por b,,, 6 6 Direries (Susiuir k por / ) ) : Son res prlels l eje no fol que psn por los punos (, ),, ( ) C) ) Gráfi de l óni Unidd Doene de Memáis

6 CÓNICS Unidd Doene de Memáis 6 b) Euión mriil ( ) X X ) Clsifiión < Tipo hiperbólio HIPÉRBOL d) Euión reduid '' '' λ λ ; ;vlores propios de : ± (on l funión eigenvlues ( )). Tommos λ ( signo onrrio ) λ. Euión reduid: '' '' '' '' e) Semiejes, eenriidd prámero de l óni b b b e Prámero de l hipérbol: b f) Cenro. Dibujrlo Con delee_elemen(,), se obiene: ; se resuelve el sisem: ( ), C g) Ejes (indindo uál es el fol). Dibujrlos Con e_eigenveor,, se obiene l direión del eje fol:, Eje fol Eje no fol

7 CÓNICS h) Foos, véries direries. Dibujrlos No: Resolver el sisem Eje fol irunf. de enro C (, ) rdio k Foos (Susiuir k por ) ±, Véries (Susiuir k por ) ±, Direries (Susiuir k por / ( ) k Son res prlels que psn por los punos ±, : ± i) sínos. Dibujrls Son res que psn por el enro ienen de pendiene m l que: m m Como sólo se obiene un vlor rel de m, h un síno prlel l eje OY (de pendiene infini): II) Clsifir hllr l euión reduid de ls siguienes ónis: ) X X 9 Tipo prbólio ( ) ) Unidd Doene de Memáis 7

8 CÓNICS - 8-7, < Dos res prlels de min or (,,) de min or (,,) ) Euión reduid: (No: ( ) ( ) d ; ( ) λ 7 λ '' 7'' r (on l funión re( )); '' ± 7 8 B) ( ) 7 X X 7 6 < Tipo hiperbólio d ; Res senes Euión reduid: λ '' λ '' ; vlores propios de : ± 7 (on l funión eigenvlues ). 7 ( 7 ) '' ( 7 ) '' '' ± ' ' C) > Tipo elípio ( ) X X 7 elipse ( ) > Elipse Imginri Euión reduid: 7 λ '' λ '' ; ; vlores propios de :, (on l funión eigenvlues ( )). Tommos λ ( el de menor vlor bsoluo) λ. '' '' 7 '' 7 7 '' 7 9 Unidd Doene de Memáis 8

9 CÓNICS III) Hllr ls res ngenes l elipse, que sen prlels l eje fol., vlores propios de :, (on l funión eigenvlues ). Con e_eigenveor,, se obiene l direión del eje fol: (,). Euión de l re ngene: k, busndo k de form que su inerseión on l elipse se un únio puno: ( k) ( k) ( k) ( k ) ( k k) k ± k Resolviendo en : k k ±. Luego, ls res ngenes busds son: ± IV) Hllr l euión de l óni que ps por los punos (,),(,9),(, ), ( 9,) (,). L euión busd es de l form B C D E F. Como los ino punos ddos hn de verifir dih euión, susiuendo en ell l l por ls oordends de d uno de los punos, se obiene el siguiene sisem us inógnis son, B, C, D, E F : B C D E F 9 6B C D E F 9 8B 7C D 9E F 9 B C D E F 8 6B 6C 9D E F 9 D F que h de ser ompible indeermindo, luego, definiendo l mriz de los oefiienes del sisem lulndo su deerminne, h de verifirse que: ( 9( ) Unidd Doene de Memáis 9

10 CÓNICS - - Con los omndos simplifir epndir en e, se obiene l euión pedid de l óni: Unidd Doene de Memáis