Solución: Las transformaciones y el resultado de hacer el determinante en cada caso son:

Transcripción

1 Memáics II Deerminnes PVJ7. Se l mriz Se B l mriz que resul l relizr en ls siguienes rnsformciones: primero se muliplic por sí mism, después se cmbin de lugr l fil segund y l ercer y finlmene se muliplicn odos los elemenos de l segund column por. Clculr el deerminne de l mriz B, usndo pr ello ls propieddes de los deerminnes. Ls rnsformciones y el resuldo de hcer el deerminne en cd cso son: º. º. Se cmbin dos fils, luego el deerminne cmbi de signo º. Se muliplic un column por, luego el deerminne qued muliplicdo por ( ) Como 9 ( 7 9 8) (7 9) (8 ), 8 7 se endrá que B 88 José Mrí Mrínez Medino (SM,

2 Memáics II Deerminnes José Mrí Mrínez Medino (SM, LRJ7. Se P ) ( Hll dos ríces de ese polinomio de grdo curo. plicndo rnsformciones se iene: P ) ( (Sumndo l primer column l segund; y l cur l ercer) 6 (Desrrollndo por l segund fil) 6 ) ( ) )( ( ) )( (. Como se r de dr dos ríces bs con observr que P() cundo o. No: No es necesrio desrrollr el deerminne de form comple, ni mpoco hber hecho ls rsformciones que hemos indicdo. Bsrí con observr que si o el deerminne endrí dos fils igules y, por no, su vlor serí.

3 Memáics II Deerminnes José Mrí Mrínez Medino (SM, LRS7. Obener, en función de, b y c, el deerminne de l mriz c b Resndo l primer fil ods ls demás se iene: c b c b Desrrollndo por l cur column: b c

4 Memáics II Deerminnes EXS7. Se un mriz cudrd de orden. ) ( puno) Si sbemos que el deerminne de l mriz es 8. Cuáno vle el deerminne de? Escribe l propiedd de los deerminnes que hys usdo pr obener ese vlor. b) (,5 punos) Clcul pr qué vlores de se cumple que 8, siendo l mriz n ) Propiedd: Si es un mriz cudrd de orden n se cumple que. Luego, si es de orden,. Por no, 8 ; y como 8. b) Si, pr que ( ) o José Mrí Mrínez Medino (SM,

5 Memáics II Deerminnes 5 CNJ7 b c 5. Conocido que 5, clcul el vlor del siguiene deerminne 5 5b 5c. Uilizndo ls propieddes de los deerminnes se iene: 5 5b 5c b c (se ere el fcor 5 de l primer fil) 5 b c (se inroduce el 5 en l segund fil) 5 b c (se ere el fcor de l segund column) 5 José Mrí Mrínez Medino (SM,

6 Memáics II Deerminnes 6 NJ6 6. Consider ) [ puno] Clcul el vlor de, siendo un número rel.. b) [ puno] Clcul en función de, los deerminnes de y, siendo l rspues de. c) [,5 punos] Eise lgún vlor de pr el que l mriz se siméric? Rzon l respues. ) ( I) ; ; 5 L únic solución común es. b) c) Es evidene que no, pues pr culquier vlor de. José Mrí Mrínez Medino (SM,

7 Memáics II Deerminnes 7 CVJ7 6 y Dds ls mrices B ( ) 6 y C ( y) y 6 6 y 6 ) Clculr el deerminne de l mriz B( ) y obener el vlor de pr el que dicho deerminne vle 6. (,8 punos). b) Demosrr que l mriz C(y) no iene invers pr ningún vlor rel de y. (,5 punos). ) Hciendo rnsformciones de Guss se iene: 6 6 B ( ) 6 (desrrollndo por l ercer 6 column) 6 ( ) ( )( ) 6 Como l mriz B es de dimensión B( ) B( ) Si se dese que B ( ) 6, enonces. b) Un mriz no iene invers cundo su deerminne vle. Por no, hbrá que ver que C (y). En efeco, plicndo ls propieddes de los deerminnes: y 5 7 y C ( y) y 6 y (scndo fcor común de l primer y 6 y 6 y fil) y, pues iene dos fils igules. y 6 José Mrí Mrínez Medino (SM,

8 Memáics II Deerminnes José Mrí Mrínez Medino (SM, 8 RS7 8. Sen y B ) (,5 punos) Esudir pr qué vlores de y l mriz iene invers. b) ( puno) Clculr 5 c) ( puno) Hllr l mriz invers de B. ) L mriz no iene invers en ningún cso, pues su deerminne siempre vle. b) 5 c) L mriz B iene invers, pues B. Su invers es B B B ij ) (, siendo ij B l mriz de los djunos de B. Es mriz de los djunos es: B ij. Luego, B B B ij ) (.

9 Memáics II Deerminnes 9 CMJ7 9. Clcul el rngo de l mriz en función del prámero λ R. Pr qué vlores del prámero λ R iene invers l mriz? (No se pide hllrl.) Si summos l fil ª l ª, Hciendo el deerminne se iene: ( ) Por no: Si y /, el rngo de es, pues. Si, el rngo es es, pues el menor. / Si /, el rngo es es, pues el menor En consecuenci, y como un mriz iene invers cundo su deerminne es disino de, l mriz endrá invers pr odo vlor de y /.. José Mrí Mrínez Medino (SM,

10 Memáics II Deerminnes CLJ7. Hllr pr qué vlores de es inversible l mriz pr. y clculr l invers Pr que un mriz se inversible es necesrio que su deerminne se disino de. Por no, como o, l mriz será inversible pr odo vlor de y. Pr l mriz qued:. L mriz de sus djunos es: ij. Luego, su invers es ( ij ) / José Mrí Mrínez Medino (SM,

11 Memáics II Deerminnes GJ7. ) Sen,, ls fils primer, segund y ercer, respecivmene, de un mriz cudrd M de orden, con de(m). Clcul el vlor del deerminne que iene por fils,, +. b) Dd l mriz C, hll dos mrices X e Y que verifiquen: siendo X X Y Y C C C l mriz rspues de C. Uilizndo ls propieddes de los deerminnes se iene: ( l fil se le sum l fil ) + ( ) ( l fil se le res l fil ) (se cmbi l fil por l fil ) X Y C b) X Y C X X Y Y C C Hciendo l invers: Y / / (sumndo) X (resndo) Y / / X / C Y C C / / C X (L mriz invers de viene dd por.) ( ij ), siendo ij l mriz de los djunos de José Mrí Mrínez Medino (SM,

12 Memáics II Deerminnes RMJ7. i) Definición de rngo de un mriz. [,5 punos] ii) Clculr el rngo de según los vlores del prámero. [ puno] iii) Esudir si podemos formr un bse de R con ls columns de según los vlores del prámero. Indique con qué columns. [ puno] i) Rngo de un mriz es el número de fils (o de columns) que es mriz iene linelmene independienes. El rngo es mbién el orden del myor menor no nulo de es mriz ii) Vmos clculr el rngo por menores; pr fcilir el rbjo rnsformmos l mriz inicil. l column ª le resremos l column ª: C C l column ª: C C l column ª: C C Obvimene hy menores de orden que son disinos de cero. Por ejemplo rngo, es myor o igul que. Vemos los menores de orden : 6 + 9, que es nulo si ; 6 9, que vle si 6 6. Luego el Por no, el rngo de siempre será. (Si, el º menor es disino de cero; si, el primer menor es disino de cero; si ±, mbos menores son no nulos.) iii) prir de l respues nerior podemos dr dos soluciones..ª Si, ls columns ª, ª y ª formn bse de R..ª Si, ls columns ª, ª y ª formn bse de R. No. Puede verse que hy or posibilidd: con ls columns ª, ª y ª si /. (No es posible formr bse con ls columns ª, ª y ª.) José Mrí Mrínez Medino (SM,

13 Memáics II Deerminnes EXJ7. ) (,5 punos) Clcul el rngo de l mriz, según los vlores del prámero b) ( puno) Escribe ls propieddes del rngo que hys usdo. ) Definición. Rngo de un mriz es el orden del myor menor no nulo; y es igul l número de fils linelmene independiene de l mriz. Tmbién es igul l número de columns linelmene independienes de dich mriz. Como puede observrse l ercer fil de l mriz es proporcionl l segund: ; por no puede suprimirse pr el cálculo del rngo. Eso es, rngo ( ) r r. 6 8 hor vemos que los menores que se formn con ls res primers columns son nulos, pues mbs columns son proporcionles. ormmos un menor de orden con l cur column. Como 6 Vldrá cundo ; y será disino de si. 6 8 Por no: Si el rngo de es. Si el rngo es. b) Se hn ido indicndo en el prdo ). José Mrí Mrínez Medino (SM,

14 Memáics II Deerminnes CLS7. Discuir, en función del número rel m, el rngo de l mriz m m. Hciendo su deerminne se iene: m m m m 6 ( m )( m ) Por no: Si m y, como, el rngo de es. Si m, se iene que y l mriz que iene un menor de orden no nulo.) Si m, y l mriz orden son disinos de. endrá rngo. (Puede verse, que iene rngo pues vrios menores de José Mrí Mrínez Medino (SM,

15 Memáics II Deerminnes 5 MS7 5. Clculr un mriz cudrd X sbiendo que verific X B siendo y B. Despejmos l mriz X: X B X B X B X I B Clculo de l invers de : ( ij ) Donde y l mriz de los djunos es: Luego Por no: X I B. ij José Mrí Mrínez Medino (SM,

16 Memáics II Deerminnes 6 NJ7 6. Se consider l mriz. () [ puno] Deermin l mriz B. (b) [,75 punos] Deermin los vlores de pr los que l mriz B iene invers. (c) [,75 punos] Clcul B pr. ) B b) Pr que l mriz B eng invers es necesrio y suficiene que su deerminne se disino de. B. Como si endrá invers. 6, pr los vlores de y l mriz B Si, B. Su invers, B ( B ij) B José Mrí Mrínez Medino (SM,

17 Memáics II Deerminnes 7 PJ7 7. Sen ls mrices y B ) Esudi, en función de, el rngo de ls mrices y B. ( puno) b) Clcul, pr, l mriz X que verific X B. (,5 punos) ) Como sbemos, el rngo de un mriz es el orden del myor menor no nulo. Tmbién es igul l número de fils o columns que dich mriz iene linelmene independienes. Por no, en los dos csos, el rngo no puede ser myor que. El rngo es myor o igul que, pues el menor. Pr ver si puede ser hcemos su deerminne. cundo / Por no: si /, el rngo de es ; y si /, su rngo es. Como l mriz B es un mplición de l mriz, considermos oro de los menores de orden, M ( ). Ese menor mbién se nul pr /. En consecuenci: si /, el rngo de B es ; y si /, su rngo es. No: Podrí observrse que C C + C. b) Pr, y. Como, l mriz iene invers. En consecuenci: X B X B. ( L mriz invers viene dd por es: ij Por no, X. Luego ij ), siendo ij l mriz de los djunos de, que José Mrí Mrínez Medino (SM,

18 Memáics II Deerminnes 8 IBS7 b 8. cd mriz se le soci el polinomio p ( ) ( d), donde c d indic el deerminne de. Diremos que p () es el polinomio crcerísico de l mriz. Se pide: ) Enconrr un mriz que eng como polinomio crcerísico p ( ). Cuáns mrices hy con ese mismo polinomio crcerísico? ( punos) b) Si iene invers, demosrr que el polinomio crcerísico de l invers,, es d p( ) (6 punos) Observción: De l lecur del enuncido se deduce que l escribir el polinomio crcerísico se h debido comeer un error (un err), pues por definición b p ( ) ( )( d ) bc ( d) d bc c d Luego p ( ) ( d). (Por no, en el enuncido se h cmbido un signo. Ese hecho no vrí l respues del prdo ); en cmbio, en el prdo b) descubrirímos que lgo fll. Nosoros primos del polinomio crcerísico correco.) ) Si p ( ) d d bc. Ese sisem iene infinis soluciones, pero por neo se puede hllr un de ells. Es el cso de:, d, b y c. Por no, l mriz pedid es. b) Si b iene invers, su invers es c d d c b d / c / b / /. Por no, su polinomio crcerísico será: p( ) d d José Mrí Mrínez Medino (SM,

19 Memáics II Deerminnes 9 MS6 9. Dds ls mrices I 8 ) ( puno). Comprobr que de( ) (de()) y que de( + I) de() + de(i). b) (,5 punos). Se M un mriz cudrd de orden. Se puede segurr que cumple que de(m ) (de(m))? Rzonr l respues. c) (,5 punos) Enconrr ods ls mrices cudrds M, de orden, les que de(m + I) de(m) + de(i) ) de( ) 8 8 Por or pre, de() Por no, (de()) ( ). Luego, de( ) (de()) I de( + I) Por or pre, de() + de(i) +. Por no, de( + I) de() + de(i). b) Es un propiedd generl. Si y B son mrices cudrds de l mism dimensión, enonces de( B) de() de(b). En priculr, de(m ) de (M M) de(m) de(m) (de(m)) b Tmbién puede demosrse omndo M. c d b b bc b bd Por un pre: M c d c d c cd cb d M cb Por or pre: d b Evidenemene, coinciden c bcd bc bcd bcd M ( d bc) d bcd b c., siendo su deerminne: bcd d bcd b c b b c) Si M M I de(m + I) d d cb c d c d Por or pre: de(m) + de(i) d cb Luego, pr que de(m + I) de(m) + de(i) es necesrio que + d d b Ls mrices M buscds son de l form: M c José Mrí Mrínez Medino (SM,