4. Modelos AR(1) y ARI(1,1).

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1 4. Modelos AR( ARI(,. Los modelos uorregresivos son quellos modelos ARMA(p,q en los que q0. En generl, vmos denorlos por AR(p. En un modelo AR(p en vlor en el momeno de l serie se expres como un combinción linel de ls p observciones neriores de l serie más l innovción:... p p En los modelos MA(q, el vlor de l serie en el momeno se expres como un combinción de innovciones. Sin embrgo, exise un relción enre los modelos AR los modelos MA.

2 Vmos considerr, por ejemplo, el modelo MA( ddo por: θ Teniendo en cuen que susiuendo recursivmene hci rás, se obiene l siguiene expresión: θ θ θ θ

3 En l prácic, l informción disponible pr poder esimr los modelos luego predecir con ellos son ls propis observciones de l serie. Por ello, vmos exigir que los modelos MA sen inveribles. L propiedd de inveribilidd esblece que el vlor presene de pued expresrse como un combinción linel convergene de observciones psds. En el cso concreo del modelo MA( eso signific que θ <

4 En generl, en un modelo MA(q, l condición de inveribilidd viene dd porque ls soluciones de l siguiene ecución q θ x... θ q x 0 sen mores que uno en módulo. Como cso priculr, podemos ver que pr el modelo MA(, l ecución es θ x 0 Por lo que su solución es: x / θ

5 Modelo AR( En un modelo AR(p, el vlor de l serie en el momenoes un combinción linel de ls úlimspobservciones de l vrible. En el cso más simple, el vlor de l serie en el momeno solo depende de l observción previ. El modelo AR( viene ddo por: c L condición de escionriedd es que <. En ese cso, l medi mrginl viene dd por c E( c E( µ El modelo puede ser mbién escrio como µ µ (

6 Ls observciones flucún lrededor de que es l medi de l serie. µ AR( model: (0.*(-( L medi no es 5 sino 5/( AR( series: (50.*(-(

7 Función de uocorrelción de series generds por modelos AR(. Vrinz mrginl (( ( ( ( ( ( ( σ σ µ µ µ µ E E E E E Vr

8 Ls uocovrinzs vienen dds por } ( ( {( } ( {( ( σ µ µ µ µ γ E E ( } ( ( {( } ( {( ( σ γ µ µ µ µ γ E E ( } ( ( {( } ( {( ( σ γ µ µ µ µ γ h i h h h E E h

9 Por lo no, ls uocorrelciones del modelo AR( vienen dds por h ρ ( h, h 0,,,... Ls correlciones ienden hci cero exponencilmene: ls observciones lejds en el iempo vn eniendo menor influenci. Cuno mor se más lenmene decrecen ls correlciones.

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12 El prámero esá relciondo con l memori de l serie. Cuno más cerc esé de cero, l memori es más cor. A medid que se incremen, l memori es mor, consecuenemene, l dependenci con respeco l psdo más fuere AR( series: (0.5*(-( AR( series: (0.95*(-( AR( series: (0.8*(-( (-0.8*(-(

13 En un modelo escionrio, el efeco de ls innovciones es rnsiorio mienrs que en modelos no escionrios, sus efecos son permnenes (l serie no reorn un medi consne. Pr ilusrr ese resuldo, vmos considerr el siguiene modelo AR(: Si susiuimos recursivmene hci rás, se obiene l siguiene represención: i i 0 i

14 Si el modelo es escionrio, ls ponderciones de ls innovciones psds vn descendiendo hci cero. Por lo no, el modelo AR( puede proximrse medine un modelo MA(q Si, enonces los efecos son permnenes. El modelo resulne es el pseo leorio. En ese cso, el modelo no puede proximrse por un modelo MA(q. i 0 i

15 Cundo > el compormieno de l serie es explosivo. Ls innovciones mu lejds en el iempo son más impornes que ls más cercns. Ese compormieno no es mu hbiul en series reles.

16 Momenos condicionles del modelo AR(:,..., ( E,..., {,..., {( },..., ( {(,..., ( σ σ < E E E E Vr

17 Generlizción modelos AR(p Vmos considerr el modelo AR(: c L condición de escionriedd es que el módulo de ls soluciones de l ecución sen mores que uno. x x En ese cso, l cf del modelo AR( viene dd por, ρ ( h ( ρ ( h ρ ( h, h h >

18 (.6*(--0.8*(-(

19 (-.5*(--0.7*(-(

20 Ls uocorrelciones de los modelos AR(p decen exponencilmene hci cero. El nálisis de ess uocorrelciones no permie deerminr el orden del modelo. Auocorrelción prcil de orden h: Correlción enre e un vez que se iene en cuen el efeco sobre mbs de ods ls observciones inermedis hh h Corr(, h,...,

21 Pr clculr ls uocorrelciones prciles: Por ejemplo, en un modelo AR(: 0

22 En un modelo AR(: Ls uocorrelciones prciles son cero pr h>p

23 5. El Modelo ARMA(, En el modelo MA(q, ls innovciones dejn de ener efecos después de q periodos. Por or pre, en el modelo AR(p, los efecos de ls innovciones esán resringidos. El modelo ARMA permie recoger efecos más durderos de ls innovciones con menos resricciones. Los modelos ARMA se pueden obener l gregr modelos AR modelos MA. Muchs series económics se obienen por gregción, lo que mbién jusificrí l prición de modelos ARMA.

24 Los modelos ARMA son modelos mixos que ienen no componenes uorregresivs como de medis móviles. Un modelo ARMA(p,q es escionrio si su pre uorregresiv es escionri es inverible cundo su componene de medis móviles es inverible. En el cso más simple, el modelo ARMA(, viene ddo por c θ L condición de escionriedd es < condición de inveribilidd es θ < l

25 En ese cso, l medi mrginl es µ c l función de uocorrelción es ρ( h ( θ ( θ, θ θ ρ ( h, h h > Ls uocorrelciones son similres ls del modelo AR(p pero el decimieno no empiez desde el principio.

26 (0.8*(-(-0.5*(-

27 (0.8*(-(0.5*(-

28 (0.5*(-(0.5*(-

29 Resumen Momenos mrginles Momenos Condicionles Fc Fc prcil Medi Vr. Medi Vr. AR( c σ σ Dece expon. 0 pr h> AR( c σ 3 σ Dece expon. 0 pr h> MA( c σ ( θ θ σ 0 pr h> Dece expon. MA( c 3 σ ( θ θ θ θ σ 0 pr h> Dece expon. ARMA(, c θ θ σ θ σ Dece expon. Dece expon.

30 5. Modelos ARMA con dependenci escionl Al nlizr series mcroeconómics es hbiul observr que ienen prones escionles rnsiorios relciondos normlmene con moivos insiucionles o meereológicos Qurel GDP Europe from s 99 up o 3h 004

31 Los modelos ARMA necesin ordenes mu grndes pr represenr esos prones escionles: perdemos l venj del número reducido de prámeros de los modelos. Alerniv: modelos ARMA muliplicivos escionles que imponen resricciones que son rzonbles en l prácic.

32 Vmos considerr, por ejemplo, un serie mensul. En ese cso, l dependenci escionl puede represenrse medine ( Φ P ( L L 4 Θ L Q 4 ( L... ε ( θ L θ 4 L 4... ε

33 Sin embrgo, l perurbción, no será en generl ruido blnco porque l serie puede ener mbién dependencis regulres. Por lo no, p q ε ( L ε θ ( L El modelo muliplicivo ARMA(p,qx(P,Q s es p P s ( L Φ ( L θ ( L Θ ( L Ese es un modelo ARMA(p*,q* con resriciones en los prámeros. q Q s

34 Ejemplo: (-0.6L(-0.8L((-0.3L( ( ( 0.3 ( 0.8 ( 0.6 ( L L L L L L L

35 7. Modelos ARIMA Como hemos viso, ls series reles son hbiulmene no escionris. Cundo l evolución de l endenci l escionlidd son esocásics, es necesrio rnsformr ls series omndo diferencis pr que l serie rnsformd se escionri. Vmos suponer que l serie de inerés es I(d, es decir enemos que omr d diferencis pr que se escionri d w Un vez que l serie h sido rnsformd, el modelo ARMA se jus l rnsformción escionri, es decir, w w... θ... pw p θ q q

36 Modelo ARIMA(p,d,q: Ejemplo: Modelo ARIMA(,,0 El modelo ARIMA es un modelo ARMA con ríces uniris q q p d p d d θ θ * * (

37 Modelo ARIMA muliplicivo: p P s d D s ( L Φ ( L θ ( L Θ ( L q Q s

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