Sistemas de ecuaciones lineales

Transcripción

1 José Mrí Mríne Medino de ecuciones lineles Observción: L morí de esos problems provienen de ls pruebs de selecividd. Resuelve el siguiene sisem de ecuciones: 9 Aplicndo el méodo de Guss: L solución es: = ; = ; =.. sudir pr qué vlores de k es compible el sisem siguiene: k Resolverlo pr los vlores de k que lo hcen compible indeermindo. Muliplicndo l segund ercer ecución por qued: k k (Como = ) k (Resndo ) ) ( : k Como k + = si k = /, se endrá: Si k /, el sisem es compible deermindo. Su solución únic es: =, = Si k = /, el sisem es compible indeermindo, equivlene =, cu solución es:

2 José Mrí Mríne Medino. Se consider el siguiene sisem linel de ecuciones, dependiene del prámero rel k: k Se pide: ) Discuir el sisem pr los disinos vlores de k. b) Resolver el sisem en los csos en los que se posible. ) Al rrse de un sisem homogéneo siempre será compible: deermindo, con solución únic, = = = cundo el deerminne de l mri de coeficienes se disino de ; indeermindo, con infinis soluciones, cundo ese deerminne vlg. l deerminne de l mri de coeficienes es 6 k k. Vldrá si k = 8. Será disino de cundo k 8. n consecuenci: Si k 8 el sisem será compible deermindo. Si k = 8, será compible indeermindo. b) Si k 8, como hemos dicho, l únic solución es l rivil. Si k = 8 el sisem qued: 8 (puede verse que = + ) (sumndo) 9 = 9 9 Llmndo = 9 se endrá: 9

3 . Un fbricne produce res rículos diferenes (A, B C), cd uno de los cules precis pr su elborción res meris prims (M, M, M ). L siguiene bl represen el número de uniddes de cd meri prim que se requiere pr elborr un unidd de cd produco: Producos A B C M Meris prims M M Se dispone de uniddes de M, uniddes de M uniddes de M. ) Deermin ls cniddes de rículos A, B C que produce dicho fbricne. b) Si los precios de ven de cd rículo son, respecivmene,, 6 euros gs en cd unidd de meri prim, 6 euros, respecivmene, deermin el beneficio ol que consigue con l ven de od l producción obenid (uilindo odos los recursos disponibles). Sen,, ls cniddes producids de A, B C, respecivmene. Con los dos ddos en l bl se iene el sisem: Lo resolvemos por Guss: De l segund ecución se obiene: =. Susiuendo en l primer ercer ecuciones: = = 8. b) Si hce 8 uniddes de A, de B de C, los vende, iene unos ingresos por ven de: I = = euros. Los gsos oles son: G = = 98 euros. l beneficio será de 98 = euros. José Mrí Mríne Medino

4 . Tres hermns, Aine, Clr Mr, decidieron reglr un libro que vle,8 su pdre. Reúnen es cnidd de form que Mr por un ercer pre de lo que poren ls ors dos juns que Aine pore cénimos por cd que pore Clr. Qué cnidd por cd un de ls hermns? (, punos) Sen,, ls cniddes que porn Aine, Clr Mr, respecivmene. Debe cumplirse: + + =,8 ( ) so d lugr l sisem:,8,8,8, Cu solución es: =,6; =,; = 6, 6. len, Pedro Jun colocn dirimene hojs de propgnd sobre los prbriss de los coches prcdos en l clle. Pedro repre siempre el % del ol de l propgnd, Jun repre hojs más que len enre Pedro len colocn 8 hojs en los prbriss. Plner un sisem de ecuciones que permi verigur cuáns hojs repren, respecivmene, len, Pedro Jun clculr esos vlores. Si Pedro repre hojs, Jun repre hojs len hojs, se cumplen ls siguienes relciones: Pedro, : =,( + + ) Jun, : = + len, : + = 8 Qued el sisem,8,, (susiuendo) 8,8(8 ),( +), = 66, = = = 6; = Por no, len repre hojs, Pedro hojs, Jun 6. José Mrí Mríne Medino

5 . n un iend por comprr dos chques un blus nos cobrn euros. Si volvemos l iend comprmos un chque, un pnlón devolvemos l blus nos cobrn euros. Si hcemos un ercer vis l iend comprmos chques, un pnlón un blus, cuáno nos cobrrán? NOTA: Puede ser de inerés obener el precio de los pnlones bluss en función del de ls chques. Se el precio de un chque, el precio de un blus el de un pnlón. Tenemos ls siguienes ecuciones:, siendo p lo que se pg el ercer dí. p Trnsformndo el sisem por Guss qued: p p Pr que el sisem se compible es necesrio que = p p =. l ercer dí nos cobrrán euros. 8. L edd en ños de Jun es el doble que l sum de ls eddes de sus dos hijos: Pedro Luis. A su ve, Pedro es ños mor que Luis. Si denro de ños l edd del pdre sobreps en ños l sum de ls eddes de los hijos: ) Plner el correspondiene sisem de ecuciones. b) Deerminr l edd de cd uno de ellos. Sen,, ls eddes de Jun, Pedro Luis. Se cumple: = ( + ) = + Denro de ños: + = ) l sisem que h que resolver es: ( ) b) Susiuendo el vlor de en ls ors dos ecuciones qued: 6 Igulndo: + 6 = + = 9 Luego, = =. Ls eddes son: Jun, ños; Pedro, ños; Luis, 9 ños. José Mrí Mríne Medino

6 6 9. Los lumnos de un grupo de º de SO cursn res signurs opivs disins: Frncés, Culur Clásic nergís lernivs. Si dos lumnos de Frncés se hubiesen mriculdo de Culur Clásic, enonces ess dos signurs endrí el mismo número de lumnos. Si dos lumnos de Culur Clásic se hubiesen mriculdo en nergís Alernivs, enonces nergís Alernivs endrí doble número de lumnos que Culur Clásic. Hll el número de lumnos mriculdo en cd signur. Sen,, los lumnos de Frncés, de Culur Clásic de nergís Renovbles, respecivmene. L informción es: Frncés (F) C C A Relción Alumnos + + = de F C C + = + de C C A + + = ( ) Se iene el sisem: + + = = + = 6 Luego: = = 8 = = H lumnos mriculdos en Frncés, 8 en Culur Clásic en nergís Renovbles.. n los res cursos de un diplomur h mriculdos un ol de lumnos. l número de mriculdos en primer curso coincide con los de segundo más el doble de los de ercero. Los lumnos mriculdos en segundo más el doble de los de primero supern en l quínuplo de los ercero. Clcul el número de lumnos que h mriculdos en cd curso. Si el número de lumnos en º, º º es, respecivmene,,,, se iene: + + = = + + = + so es: (por Guss) = ; = ; = n primer curso h lumnos; en segundo h lumnos; en ercero, lumnos. José Mrí Mríne Medino

7 . Tres hermnos quieren reunir 6 euros pr comprr un reglo sus pdres. Después de un lrg discusión hn decidido que el medino debe poner el doble que el pequeño el mor debe poner dos ercers pres de lo que pong el medino. Cuáno debe poner cd uno? Si el mor pone, el medino el pequeño euros, se debe cumplir: + + = 6 = = / Susiuendo, ( = ; = / = /) se iene: + + = 6 6 = 8 = 6 l pequeño pone 6 euros; el medino, euros; el mor 8 euros.. Tres jugdores convienen que el que pierd un prid doblrá el dinero que en ese momeno engn los oros dos. Después de hber perdido odos ellos un prid, cd jugdor se reir con veine euros. Cuáno dinero enín l principio del juego? Llmmos J, J J los jugdores, que ienen l comenr jugr,, euros, respecivmene. l juego rnscurre como indicmos en l siguiene bl. Siución inicil Pierde J Pierde J Pierde J Siución finl J ( ) ( ) J ( ) = = ( ) J ( ) ( ) = = Se iene el sisem: ( ) ( ) = ; =,; =, 6 l jugdor J ení, euros; el segundo,, euros; el ercero, euros. Nos:. Ls prids ls deberá perder siempre el jugdor que más dinero iene. Sólo sí podrá doblr l cnidd de los oros dos.. Or posible ecución serí + + = 6. José Mrí Mríne Medino

8 8. Los 6 niños de un poblción rurl esán disribuidos en res colegios A, B C. Los mriculdos en C suponen l cur pre de los mriculdos en A, l diferenci enre el número de lumnos de A el de lumnos de B es inferior en un unidd l doble de los mriculdos en C. Averigur cuános niños recibe cd uno de los colegios. Si suponemos que el número de lumnos de los colegios A, B C son,,, respecivmene, se iene: Número de lumnos: + + = 6 Relción enre el número de lumnos en los disinos colegios: = / = Se obiene el sisem: 6 6 (susiuendo = ) (Sumndo + ) = = Si = = ; =. l colegio A iene lumnos; el colegio B,, el colegio C, lumnos.. Tres consrucors invieren en l compr de errenos de l siguiene form: l primer invirió medio millón de euros en erreno urbno,. euros en erreno indusril. euros en erreno rúsico. L segund, invirió.,.. euros en erreno urbno, indusril rúsico, respecivmene, l ercer,.,.. euros en esos mismos ipos de erreno, respecivmene. Trnscurrido un ño, venden odos los errenos. L renbilidd que obiene l primer consrucor es del, %, l de l segund del, %, finlmene, l de l ercer es del %. Deermin l renbilidd de cd uno de los ipos de erreno por seprdo. Si,, es l renbilidd de cd uno de los ipos de erreno, urbno, indusril rusico, respecivmene, se iene el sisem: + + =,( + + ) + + =,( + + ) + + = ( + + ) Simplificndo se obiene: 8 Luego: = %; = %; = % José Mrí Mríne Medino

9 José Mrí Mríne Medino 9. Un griculor compr semills de grbnos, el kilo, de lubis, el kilo de lenejs,8 el kilo. n ol compr kilos de semills pg por ells. Sbiendo que el peso de ls lenejs es el doble que lo que pesn, conjunmene, los grbnos ls lubis, clculr qué cnidd de semills h comprdo de cd legumbre. Sen,, los kilogrmos comprdos de grbnos, lubis lenejs, respecivmene. Debe cumplirse que: + + = compr kg, +, +,8 = pg = ( + ) Se obiene el sisem: 8 8 L solución es: =, =, = 6. Dividimos un número de res cifrs, "", enre l sum de éss obenemos de cociene de reso. L cifr de ls decens, "", es igul l mid de l sum de ls ors dos. L cifr de ls uniddes, "", es igul l sum de ls ors dos. Hllr el número "". A prir del enuncido se obienen ls siguienes ecuciones: + + = ( + + ) + = + so es, el sisem: 9 8 Hciendo rnsformciones de Guss: = ; = ; = l número buscdo es.

10 . Se mecln res clses de vino de l siguiene mner: ) liros de Tenerife, 6 de L Plm de Lnroe, resulndo un mecl de peses/liro. b) liros de Tenerife, de L Plm 6 de Lnroe, dndo un vino de peses/liro. c) liros de Tenerife, 6 de L Plm 6 de Lnroe, dndo un vino de 6 peses/liro. Hll el precio por liro de cd clse de vino. Sen,, el precio, respecivo, del liro de vino de Tenerife, L Plm Lnroe. Con los dos ddos, se obiene el sisem: Muliplicndo l ercer ecución por resándole ls ors dos ecuciones, qued: 6 9 ( = ) - ( = 68) - ( = ) 6 8 =. Y con eso, =, =. 8. Un cpián iene res compñís: un de suios, or de uvos un ercer de sjones. Al slr un forle promee un recompens de 9 escudos que se reprirán de l siguiene form: el solddo que primero sub odos los de su compñí recibirán un escudo; el reso de l recompens se reprirá pres igules enre el reso de los solddos. Sbiendo que si el primero que sube es un suio, los de ls demás compñís reciben medio escudo; si el primero es uvo, los resnes reciben un ercio de escudo, si el primero es sjón, un curo de escudo, cuános hombres h en cd compñí? Sen,, el número de suios, uvos sjones, respecivmene. De cuerdo con el enuncido se iene: Hciendo ls rnsformciones que se indicn, qued: José Mrí Mríne Medino

11 José Mrí Mríne Medino 9. ) Clsific, en función de los vlores del prámero, el siguiene sisem de ecuciones lineles: ) ( b) Resuélvelo, si es posible, pr =. Se A l mri de coeficienes M l mri mplid. l sisem endrá solución cundo r(a) = r(m). M A l deerminne de A, A Con eso: Si r(a) = = r(m). l sisem será compible deermindo. Si =, ls mrices quedn: M A l menor 9 M Luego: r(a) =, r(m) = el sisem es incompible. Si =, ls mrices quedn: M A l menor M Luego: r(a) =, r(m) = el sisem es incompible. b) Pr =, el sisem qued: cu solución es.

12 José Mrí Mríne Medino. Se el sisem homogéneo de ecuciones: ) Deermin el vlor o vlores del prámero pr que el sisem eng soluciones disins de l nul. b) Resuelve el sisem pr el vlor o vlores de hlldos en el prdo nerior. ) l sisem iene solución disin de l nul pr quellos vlores de que hgn que el deerminne de l mri de coeficienes se cero. L mri de coeficienes, A, iene por deerminne, ) ( A que vle cundo = o Por no: si, el sisem endrá solución únic, l nul: =, =, =. si = o, el sisem endrá soluciones disins de l nul. b) Pr = o, el rngo de l mri A es, pues el menor, ls soluciones dependerán de un indeermind. Pr = el sisem inicil es equivlene : (hciendo = ) Pr, el sisem inicil es equivlene : (hciendo = )