Matemáticas II. 2º Bachillerato. Capítulo 6: Geometría métrica en el espacio LibrosMareaVerde.tk

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1 Memáics II. º Bchillero. Cíulo 6: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Pscul Álro Vldés Menénde Reisor: Milgros Ls Tods ls imágenes hn sido creds or los uores uilindo sofwre libre (GeoGebr GIMP)

2 85 Geomerí méric en el escio Índice. ÁNGULOS EN EL ESPACIO.. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS.. ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO.. ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS.4. PARALELISMO PERPENDICULARIDAD Y POSICIONES RELATIVAS. PROYECCIONES ORTOGONALES.. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UNA RECTA.. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UN PLANO.. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UNA RECTA SOBRE UN PLANO. PUNTOS SIMÉTRICOS.. SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO PUNTO.. SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA RECTA.. SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE UN PLANO.4. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO 4. DISTANCIAS EN EL ESPACIO 4.. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 4.. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA 4.. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO 4.4. DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS 4.5. DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO 4.6. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS Resumen En ese úlimo cíulo de geomerí en dimensión res mos ser cces de resoler roblems de cálculo de disncis de ángulos de roecciones uilindo odo lo rendido en los neriores cíulos de geomerí. º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

3 86 Geomerí méric en el escio. ÁNGULOS EN EL ESPACIO.. Ángulo enre dos recs Sbemos ue l dirección de un rec iene dd or su ecor direcor. Con ello odemos deducir: El ángulo ue formn dos recs es el ángulo gudo deermindo or los ecores direcores de dichs recs. Sen ls recs r s con ecores direcores resecios u enemos: u u cos r s rc cos u u Aciidd resuel Hll el ángulo deermindo or ls recs r : s :. 5 De ls ecuciones deducimos fácilmene ue los ecores direcores de r s son resecimene: u 5 Por no: u u u De uí: r s rc cos 78º.. Ángulo enre un rec un lno cos 4 Al conrrio ue en el rdo nerior l dirección del ecor socido l lno (su ecor norml) es erendiculr l roio lno. Por no en ese cso debemos ronr ue: El ángulo ue formn un rec un lno es el comlemenrio del ángulo gudo ue formn el ecor direcor de l rec el ecor norml del lno Se l rec r con ecor direcor u el lno con ecor norml n enemos: u n u n cos r 9º rc cos u n u n º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

4 87 Geomerí méric en el escio Aciidd resuel Hll el ángulo deermindo or l rec r : 4 el lno : 5. n 5 un ecor norml de. Se u un ecor direcor de r Tenemos: u n u n u n 5 5 De uí: r 9º rc cos 9º 74º 6º.. Ángulo enre dos lnos 5 5 cos En ese cso los dos ecores normles son erendiculres los resecios lnos de modo ue: El ángulo formdo or dos lnos es el ángulo gudo deermindo or los ecores normles de dichos lnos. Sen los lnos con ecores normles resecios n n enemos: n n n n cos ' rc cos n n n n Aciidd resuel Hll el ángulo formdo or los lnos : 4 :. Se n un ecor norml de hllmos el ecor norml de con el roduco ecoril de sus ecores direcores: i j k n u 5i j 5k Clculmos: n n 5 5 n n n n Por lo no: rc cos º cos 5 5 º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores 5 6 5

5 88 Geomerí méric en el escio.4. Prlelismo erendiculridd osiciones relis En el cíulo nerior nlimos ls osiciones relis de recs lnos enre recs lnos rir de sus ecuciones ero en cd rdo dimos su inerreción geoméric. Podemos relir el mismo esudio rir de sus ecores roechndo lo rendido hs hor eniendo en cuen l oriención reli de los ecores direcores normles socidos dichs recs lnos. Sen ls recs r s consideremos los lnos. Pr definirlos recismos de los siguienes ecores direcores normles de osición: Rec r Rec s Plno Plno Vecor de osición uno A uno B uno P uno Q Vecor direcor u direcor norml n norml n Enonces el esudio de ls osiciones relis enre ellos se reduce los siguienes csos: r s r Coincidenes Prlelos/s Secnes Perendiculres Se crun u u AB u u AB u AB u u u AB u u n n AP u n n AP u n u n n n n PQ n n n PQ n n n n Aciidd roues. Reli en u cuderno los doce dibujos comrueb ls relciones ecoriles descris en l bl nerior: r s coincidenes r s rlels r s secnes r s se crun r coincidenes r rlelos r secnes r erendiculres ' coincidenes ' rlelos ' secnes ' erendiculres º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

6 º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores Geomerí méric en el escio 89. PROYECCIONES ORTOGONALES.. Proección orogonl de un uno sobre un rec L roección orogonl de un uno P sobre un rec r será oro uno Q ereneciene l rec l ue el ecor PQ es erendiculr l ecor direcor de l rec. Pr hllr l roección orogonl de un uno sobre un rec dd or l ecución: : r debemos seguir los siguienes sos: Méodo :. Deerminr l ecución del lno erendiculr l rec r ue s or el uno P. Pr ello uilimos el ecor direcor de l rec como ecor norml del lno uilimos l ecución del lno ddo su ecor norml un uno:. El uno ue esmos buscndo (l roección orogonl) es el uno de inersección de l rec con el lno. Resolemos el sisem formdo or ls ecuciones de l rec del lno. de donde hllmos el lor de ue nos ermiirá clculr ls coordends del uno Q: Méodo :. Como Q erenece l rec sus coordends deben erificr l ecución de l rec:. El ecor PQ es erendiculr l rec or no el roduco esclr de dicho ecor con el ecor direcor de l rec es cero: PQ. Resolemos l ecución resulne: de donde hllmos el lor de ue nos ermiirá clculr ls coordends del uno Q:

7 9 Geomerí méric en el escio Aciidd resuel Hll l roección orogonl del uno P sobre l rec r :. En rimer lugr hllmos l ecución del lno erendiculr l rec r ue s or el uno P: El ecor norml de dicho lno será el ecor direcor de l rec: n l ecución del lno es de l form: D Como debe sr or el uno P : D D D Tenemos: : Resolemos el sisem sndo rimero l ecución de l rec su form rméric: Susiuendo el lor de obenemos: Así l roección orogonl del uno P sobre l rec r será el uno Q Proección orogonl de un uno sobre un lno L roección orogonl de un uno P sobre un lno es oro uno Q ereneciene l lno l ue el ecor PQ es erendiculr l lno. Pr hllr l roección orogonl de un uno sobre un lno ddo or l ecución: : A B C D debemos seguir los siguienes sos:. Deerminr l ecución de l rec erendiculr l lno ue s or el uno P. Pr ello uilimos el ecor norml del lno como ecor direcor de l rec: r : A B C. El uno ue esmos buscndo (l roección orogonl) es el uno de inersección de l rec con el lno. Resolemos el sisem formdo or ls ecuciones de l rec del lno. A A B B C C D D A A B B C C 5 7 º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

8 9 Geomerí méric en el escio Aciidd resuel Hll l roección orogonl del uno P sobre el lno :. Buscmos l ecución de l rec erendiculr l lno ue coniene l uno P: El ecor direcor de dich rec es el ecor norml del lno: L ecución de l rec ue s or P con ecor direcor es: r : Deerminmos el uno de inersección del lno con l rec: : 4 6 Susiuendo el lor de enemos: Así l roección orogonl del uno P sobre el lno es el uno Q Proección orogonl de un rec sobre un lno L roección orogonl de un rec r sobre un lno es or rec s ue esá conenid en el lno l ue el lno ue coniene ls dos recs es erendiculr l lno. Pr hllr l roección orogonl de un rec sobre un lno hllmos l ecución del lno ue coniene r es erendiculr l lno ddo. L ecución de l rec endrá dd en form imlíci como inersección de los dos lnos. º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

9 9 Geomerí méric en el escio Aciidd resuel Hll l roección orogonl de l rec r sobre el lno siendo: r : : Méodo : Obenemos un ecor direcor un uno de l rec: P ecor norml del lno: n. obenemos un A coninución odemos deerminr el lno ue s or el uno P iene como ecores direcores el ecor direcor de l rec el ecor norml del lno: 5 Tenemos el lno : 5 ue coniene l rec r es erendiculr. L rec ue esmos buscndo (l roección orogonl) es enonces: 5 Méodo : Or form de clculr l roección orogonl de un rec sobre un lno ue uede resulr ineresne deendiendo del roblem l ue nos enfrenemos serí: Obener l inersección de l rec r con el lno ue es un uno ue llmremos P. Clculmos l roección orogonl de un uno culuier de r sobre el lno llmémoslo Q. Obenemos l ecución de l rec ue s or esos dos unos P Q. Dich rec será l roección orogonl buscd. Aciidd roues. Hll l roección orogonl del uno. Hll l roección orogonl del uno 4 P sobre l rec r :. 4 P sobre el lno :. 4. Hll l roección orogonl de l rec r sobre el lno siendo: 4 r : : º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

10 º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores Geomerí méric en el escio 9. PUNTOS SIMÉTRICOS.. Simérico de un uno reseco de oro uno El simérico de un uno P reseco de oro uno Q es oro uno P de mner ue el uno Q es el uno medio del segmeno ' PP. Y imos en el cíulo 4 cómo deerminr el uno medio del segmeno definido or los unos A B: b b b M Ahor se r de ir l iners ddos un eremo el uno medio obener el oro eremo. Si los unos ienen or coordends P Q reresenmos P or P : QP PQ Igulndo comonenes: P Aciidd resuel Clcul el simérico del uno 4 P reseco del uno 8 5 Q. Se P dicho uno simérico. El uno Q es el uno medio del segmeno P P. El uno medio de P P es 4 luego igulndo enemos: P

11 94 Geomerí méric en el escio.. Simérico de un uno reseco de un rec El simérico de un uno P reseco de un rec r es oro uno P de mner ue l rec r s or el uno medio del segmeno PP el ecor PP es erendiculr l rec r. Pr hllr el simérico de un uno reseco de un rec dd or l ecución: r : debemos seguir los siguienes sos:. Deerminr l roección del uno sobre l rec r r lo ue rocedemos como se indicó en el rdo.. Llmremos ese uno Q.. Deerminmos el uno simérico de P reseco de Q como hicimos en el rdo nerior. Aciidd resuel Clcul el simérico del uno P reseco de l rec r :. En rimer lugr hllmos l roección orogonl del uno P sobre l rec r; eresmos l ecución de l rec en form rméric: r : Ahor buscmos el lno erendiculr l rec r ue s or el uno P. El ecor norml de n l ecución del lno es: dicho lno será el ecor direcor de l rec: 6 L roección orogonl es el uno de inersección de l rec con el lno: 6 6 Susiuendo el lor de en ls ecuciones de r obenemos: Así l roección orogonl del uno P sobre l rec r será el uno Q 6 6 Ahor clculmos el uno simérico de P reseco de l roección Q. Se dicho P. Tenemos: uno De uí el simérico de P reseco de l rec r será: P º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

12 95 Geomerí méric en el escio.. Simérico de un uno reseco de un lno El simérico de un uno P reseco de un lno es oro uno P de mner ue el lno s or el uno medio del segmeno PP ' el ecor PP ' es erendiculr l lno. Pr hllr el simérico de un uno reseco de un lno ddo or l ecución: : A B C D debemos seguir los siguienes sos:. Deerminr l roección del uno sobre el lno r lo ue rocedemos como se indicó en el rdo.. Llmremos ese uno Q.. Deerminmos el uno simérico de P reseco de Q como hicimos en el rdo.. Aciidd resuel Clcul el simérico del uno P reseco del lno : 4. Hllmos l roección orogonl del uno P sobre el lno r ello buscmos l ecución de l rec erendiculr l lno ue s or el uno P. El ecor direcor de dich rec es el ecor norml del lno: n l ecución de l rec es: r : Buscmos el uno de inersección del lno con l rec: Susiuendo el lor de en ls ecuciones de r obenemos: l 9 roección orogonl del uno P sobre el lno será el uno Q. Ahor clculmos el uno simérico de P reseco de l roección Q. Se dicho uno P. Tenemos: De uí el simérico de P reseco de l rec r es: P 4. DISTANCIAS EN EL ESPACIO º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

13 96 Geomerí méric en el escio 4.. Disnci enre dos unos L disnci enre dos unos A B en el escio es el módulo del ecor AB. d A B b b b AB b b b A B AB b b b Aciidd resuel Clcul l disnci del uno A l uno Hllmos el ecor AB su módulo: B. ( ) AB ( ) ( ) 7 AB u Por no: d ( A B) u Deermin ls coordends de los unos ue euidisn de los unos B. Si los unos son de l form P nos dicen ue: d P d P B Elemos l cudrdo oermos simlificmos con lo ue obenemos: u A Que es l ecución de un lno ue es el lugr geomérico edido de los unos ue euidisn de dos unos ddos. Aciidd roues 5. Clcul l disnci del uno A 4 l uno B Deermin ls coordends de los unos ue disn 4 del uno C. 7. Deermin ls coordends de los unos ue disn R del uno C. 8. Deermin ls coordends de los unos ue euidisn de los unos A B. º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

14 97 Geomerí méric en el escio 4.. Disnci de un uno un rec Definición: L disnci de un uno P un rec r se define como l menor de ls disncis d(p Q) siendo Q un uno de l rec r. L disnci de un uno P un rec r es l disnci del uno P su roección orogonl sobre dich rec. Méodo : L rimer oción es licr direcmene l definición:. Hllmos l roección del uno sobre l rec el uno Q.. Deerminmos el lno erendiculr r ue coniene P. b. Obenemos el uno Q inersección de r. O bien. Plnemos el uno Q ( ) ue erenece r. b. Eigimos ue el ecor PQ se erendiculr l ecor direcor de l rec es decir su roduco esclr debe ser nulo PQ.. Clculmos l disnci de P Q el módulo del ecor PQ. Méodo : L segund oción es roechr lo ue sbemos de ecores. De l ecución de l rec odemos obener un uno de l mism A su ecor direcor : De l figur deducimos ue l disnci d es l roección del ecor PA sobre el ecor PQ. PERO no conocemos el ecor PQ sí ue no odemos uilir el roduco esclr ero sí el ecoril de cuerdo l siguiene figur: Usndo los unos P A el ecor consruimos el rlelogrmo PABC l lur h de dicho rlelogrmo es recismene l disnci ue esmos inenndo deerminr. º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

15 98 Geomerí méric en el escio Usndo l fórmul del áre de un rlelogrmo: Áre Bse Alur h Sbemos ue l inerreción geoméric del roduco ecoril es recismene el áre: Áre AP Igulndo mbs eresiones: AP h AP h Como l lur h coincide con l disnci del uno P l rec r enemos: AP dp r Por no el rocedimieno seguir es:. Deerminmos un uno de l rec A su ecor direcor.. Hllmos el ecor PA (o AP ). Clculmos l disnci con l fórmul: AP dp r Aciidd resuel Clcul l disnci del uno P l rec r :. A rir de l ecución de l rec obengmos un uno un ecor direcor. Es simle er ue son A. Enonces el ecor AP es AP hllmos el roduco ecoril: i j k AP i j k i 4 j k 4 Como: AP dp r Aciidd roues AP 46 AP dp r u Clcul l disnci del uno P l rec r :. 4 º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

16 99 Geomerí méric en el escio 4.. Disnci de un uno un lno Definición: L disnci de un uno P un lno se define como l menor de ls disncis d(p Q) siendo Q un uno del lno. L disnci de un uno P un lno es l disnci del uno P su roección orogonl sobre dicho lno. Se el uno siguiene eresión: P el lno : A B C D l disnci de P iene dd or l d P A B A B C C D Demosrción Hllmos l roección del uno P sobre el lno de ecución: : A B C D. Deerminmos l ecución de l rec erendiculr l lno ue s or el uno P con el ecor norml del lno: r : A B C. Resolemos el sisem formdo or ls ecuciones de l rec del lno. A A B B C C D D A B C A B C. L disnci es el módulo del ecor PQ : PQ enonces: A) ( B ) ( C ) A B C A B C ( Y susiuendo or su lor: PQ D A B C A B C PQ A A B B C Alernimene odemos hllr l disnci con l roección del ecor PA sobre el ecor norml del lno siendo A un uno culuier del lno : PA n A B C dp n A B C C d P A B A B C C D º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

17 Geomerí méric en el escio Aciidd resuel Clcul l disnci del uno Alicndo l fórmul: P l lno :. A B C D ( ) 6 d P dp 6 u A B C ( ) 6 Ahor robemos con l roección: Hllmos un uno del lno dndo lores dos de ls ribles: : A Obenemos los ecores PA n : ( ) n Finlmene: PA n ( ) ( ) 6 d P d P A B C ( ) 6 Aciidd roues PA 6. Clcul l disnci del uno 4.4. Disnci enre dos lnos Definición: P l lno : 4. L disnci enre dos lnos se define como l menor de ls disncis d(a B) siendo A B. Ddos dos lnos se ueden resenr los siguienes csos: Si los lnos son coincidenes o secnes: l disnci es cero. Si los lnos son rlelos: l disnci enre ellos será l disnci enre culuier uno de uno de los lnos l oro lno. u º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

18 Geomerí méric en el escio Aciiddes resuels Clcul l disnci enre los lnos : : Anlimos los dos ecores normles: Es ráido er ue NO son rlelos: n n or no los lnos moco son rlelos son secnes l disnci enre ellos es cero. Clcul l disnci enre los lnos : : 4 6 En ese cso emos ue ls ecuciones son roorcionles: 4 6 or no los lnos son coincidenes l disnci enre ellos es cero. Clcul l disnci enre los lnos : : 4 5 A diferenci del ejemlo nerior los coeficienes A B C son roorcionles ero no sí los érminos indeendienes D: 4 5 De modo ue los lnos son rlelos. Hllmos un uno de uno culuier de los lnos: : P usmos l fórmul de l disnci del uno P l lno. A B C D d P dp u. A B C 4 ( ) 4 Aciidd roues. Clcul l disnci enre los lnos: : :.. Clcul l disnci enre los lnos: : ' : 5. Clcul l disnci enre los lnos: : ' : Clcul l disnci enre los lnos: : 4 7 : º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

19 Geomerí méric en el escio 4.5. Disnci enre un rec un lno Definición: L disnci enre un rec r un lno se define como l menor de ls disncis d(a B) siendo A un uno de r B. Dd un rec r un lno se ueden resenr los siguienes csos: Si l rec el lno ienen lgún uno en común: l disnci es cero. Si l rec el lno son rlelos: l disnci enre ellos será l disnci enre culuier uno de l rec el lno. Aciiddes resuels Clcul l disnci enre l rec el lno : l rec r :. L form más ráid de nlir el rlelismo enre lno rec es esudir l osición reli del ecor norml del lno reseco l ecor direcor de l rec: Si r son rlelos n son erendiculres Enonces: n or no: n El roduco esclr NO es nulo r NO son rlelos l disnci enre ellos es nul. Clcul l disnci enre l rec el lno : l rec r :. Procedemos como en el ejemlo nerior: n or no: n El roduco esclr es nulo r son rlelos o coincidenes. Uilimos el uno P ue odemos P r hllr l disnci: obener de ecución de l rec A B C D ( ) 6 d P dp u A B C ( ) 6 Si el lor de l disnci hubier slido cero dirímos ue l rec el lno son coincidenes. Aciidd roues 5. Clcul l disnci enre l rec r : el lno : 5. 4 º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

20 Geomerí méric en el escio 4.6. Disnci enre dos recs Definición: L disnci enre dos recs r s se define como l menor de ls disncis d(a B) siendo A r B s. Dds dos recs r s se ueden resenr los siguienes csos: Si ls recs son coincidenes o secnes: l disnci es cero. Si ls recs son rlels: l disnci enre ells será l disnci de un uno de culuier de ls recs l or rec. Si ls recs se crun: l disnci enre ells será l disnci de un de ells l lno rlelo ell ue coniene l or rec. En rinciio deberímos hcer un nálisis de ls osiciones relis de ls recs nes de clculr l disnci enre ells. Sin embrgo eise un ronmieno más simle ue uede relirse nlindo los ecores direcores los ecores de osición de mbs recs. Dds dos recs r s sen los unos A r B s sen demás u un ecor direcor de r un ecor direcor de s. Enonces hllndo el ecor AB : Si u u AB ls recs r s son coincidenes Si u u AB ls recs r s son rlels Si u AB u ls recs r s se corn Si u AB u ls recs r s se crun Enonces un e ue hemos comrobdo ls osiciones relis de ls recs rocedemos según lo elicdo: Si ls recs son rlels: Como hemos obenido los ecores u AB hllmos l disnci con l fórmul: AB u AB dp r o dp r u º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

21 º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores Geomerí méric en el escio 4 Si ls recs se crun: En ese cso odemos clculr l disnci enre ells medine l eresión: u AB u s r d Demosrción Considermos el rleleíedo deermindo or los ecores u. Alicndo l fórmul del olumen de un rleleíedo: h u Alur Áre de l bse Volumen Con l inerreción geoméric del roduco mio enemos: AD AC AB Volumen Igulndo mbs eresiones: u AB u u AD AC AB h AD AC AB h u L lur del rleleíedo coincide con l disnci enre ls recs r s luego enemos: u AB u s r d Aciiddes resuels Hll l disnci enre ls recs 4 : r : s. Necesimos un uno un ecor direcor de cd un de ls recs. Como r iene dd como inersección de dos lnos obenemos los ecores normles de mbos lnos: n n r obener el ecor direcor de r como: k j i k j i k j i n n u Obengmos un uno de r r lo ue dmos un lor un rible: : A r Por oro ldo enemos l rec : : s s de l ue obenemos el uno B el ecor direcor o mejor considermos

22 º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores Geomerí méric en el escio 5 el ecor r simlificr los cálculos. Ememos hllndo el roduco ecoril r er si son rlels o no: k j i k j i k j i u No obenemos el ecor nulo sí ue r s se corn o se crun. Se el ecor 5 5 AB hllmos su roduco mio con u : u AB El resuldo es disino de cero sí ue r s se crun. Uilimos l eresión r l disnci: u AB u s r d Hllmos el módulo del roduco ecoril de u : 5 u susiuimos: u AB u s r d u. Aciidd roues 6. Hll l disnci enre ls recs 4 : r s :. 7. Hll l disnci enre ls recs : r s :. 8. Hll l disnci enre ls recs : r s :. 9. Hll l disnci enre ls recs : r s 4 :.

23 6 Geomerí méric en el escio CURIOSIDADES. REVISTA Geomerí ruiecur En los libros de Secundri ue cosumbrs usr siemre recen edificios clásicos de l nigu Greci Rom ors culurs nigus. Ho en dí esmos rodedos de edificios con línes mu diferenes sorrendenes lguns de ls cules elorn secos de l geomerí ue hs hce oco no se conocín. Eso no uiere decir ue sólo hblemos de los edificios modernos. Los mocárbes de l Alhmbr en Grnd son un clro ejemlo de cómo jugr con ls res dimensiones l reeición de moios. Mocárbes en l Alhmbr Grnd El Cenro Niemeer de Ailés En oros csos se uilin olúmenes de reolución se consiguen forms sues de seco nurl. Aunue si se r de imir l nurle nd mejor ue er cómo Gudí imió l form de los roncos ls rms en ls columns de l Sgrd Fmili. Sgrd Fmili de Brcelon Monumeno l Consiución Mdrid Se elorn incluso dimensiones sueriores res. El Monumeno l Consiución de Mdrid es el modelo ridimensionl de lo ue se denomin hiercubo un figur de curo dimensiones recibe el nombre de Tesserc. º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

24 7 Geomerí méric en el escio RESUMEN Dds ls recs r s los lnos definidos or los siguienes ecores direcores normles de osición: Rec r Rec s Plno Plno Vecor de osición uno A uno B uno P uno Q Vecor direcor u direcor norml n norml n Ángulo enre dos recs r s Ángulos en el escio u rc cos u Ángulo enre rec lno r rc sen u n u n Ángulo enre dos lnos ' rc cos n n n n r s r Prlelismo erendiculridd osiciones relis Coincidenes Prlelos/s Secnes Perendiculres Se crun u u AB u u AB u AB u u u AB u u n n AP u n n AP u n u n n n n PQ n n n PQ n n n n Proecciones orogonles De un uno sobre un rec Pro( P r) Q PQ r De un uno sobre un lno Pro( P ) Q PQ De un rec sobre un lno s Pro( r ) s rs º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

25 8 Geomerí méric en el escio De un uno reseco de oro uno Punos siméricos P PP PQ De un uno reseco de un lno P PP PQ Q Pro( P ) De un uno reseco de un lno Enre dos unos d P PP PQ Q Pro( P r) Disncis A B AB b b b De un uno un lno d P A B A B C C D De un uno un rec dp r AP Enre dos lnos d ' dp ' si P De un rec un lno d r dp r si P r Enre dos recs dr s AB u u º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

26 9 Geomerí méric en el escio EJERCICIOS Y PROBLEMAS.. Esudi l osición reli de ls recs r : s : clcul: ) El uno de inersección. b) L ecución del lno ue ls coniene. c) El ángulo ue formn ls recs.. Ddos los lnos : 6 : 6 se ide: ) Esudir su osición reli. b) Hllr el ángulo ue formn esos dos lnos. c) Hllr l ecución de un rec s ue sndo or el uno N es erendiculr.. Hll l roección ericl del uno A 5 sobre el lno : Hll l roección de l rec r sobre el lno : sí como el ángulo ue formn l rec el lno. 5. Obener ls coordends del uno simérico de 6. Obén ls coordends del uno simérico de 7. Obén ls coordends del uno simérico de ) L rec r : b) El lno : A reseco de l rec r : A reseco del lno : 4. A reseco de: 8. ) Hll l ecución del lno ue s or el uno s or los unos B C. A es erendiculr l rec ue b) Obén ls coordends del uno simérico de C reseco del lno. A l rec r : se ide hllr: ) L ecución de l rec s ue s or el uno A cor erendiculrmene l rec r. b) El uno de inersección de mbs recs r s. c) Ls coordends del uno simérico de A reseco de l rec r. 9. Ddo el uno. Clcul l disnci del uno M : ) Al uno N b) Al lno : c) A l rec r :. Ddos los lnos : 4 : 4 esudi su osición reli clculr l disnci enre ellos. º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

27 Geomerí méric en el escio r :. Hllr l osición reli de ls recs 4 clculr l disnci enre ells. s : 4. Dds los res de recs 4 r : ) r : b) s : s : ) Esudi l osición reli. b) Clcul l disnci enre ells. 4. Hll l roección de l rec r sobre el lno : sí como l disnci ue h enre l rec el lno. 5. Dd l rec r : se ide: ) Hll l ecución de l rec s ue sndo or el uno A es rlel l rec r. b) Clcul l disnci ue h enre ells. c) Hll l ecución del lno ue s or el uno M coniene l rec r Hll l ecución de un lno ue coniene l rec r : dis uniddes 9 del origen de coordends. 7. Ddos el lno l rec: : r : ) El uno de inersección de l rec r con el lno. b) El ángulo ue formn l rec r el lno. c) L ecución de un lno ' erendiculr l lno ue coneng l rec r. 8. Ddos los lnos : : 4 se ide: ) Ecución de un rec ue se or el uno A se rlel los lnos. b) Vlor de m n sbiendo ue el uno C m n dis uniddes del lno. 9. Hll el áre del riángulo cuos érices son los unos A el uno de core del lno OYZ con l rec r :. B el ercer érice es. Hll l roección de l rec r : sobre el lno deermindo or el origen B. de coordends los unos A º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

28 Geomerí méric en el escio AUTOEVALUACIÓN 4 ) El ángulo formdo or ls recs r : 5 4 s : es: 4 ) cos ; b) cos ; c) cos ; d) cos ) El ángulo formdo or los lnos : ' : 5 es: 7 ) cos ; b) cos ; c) cos ; d) cos ) L roección orogonl del uno P sobre l rec r : es: ) ) ; b) ) ; c) 9 ) ; d) Ninguno de los neriores ( ( ( ) L roección orogonl del uno 5 P sobre el lno : es: 4 ) 4 4 ) ; b) ( ) 4 ; c) 8 ) ; d) Ninguno de los neriores ( ( ) El simérico del uno P reseco del uno Q es: ) ( 5) ; b) ( ) ; c) ( 4) ; d) Ninguno de los neriores 6) El simérico del uno P reseco de l rec r : es: ) 9 7 ) ; 5 b) ); c) ); d) Ninguno de los neriores ( ( ( ) L disnci del uno A l uno B es: ) 6; b) 6 ; c) ; d) Ninguno de los neriores 8) L disnci del uno ) ; b) ; c) 4 4 9) L disnci del uno A l rec r : es: A l lno : es: ; d) Ninguno de los neriores ) ; b) ; c) ; d) Ninguno de los neriores ) L disnci enre los lnos : ' : 5 es: ) ; b) 5 ; c) ; d) Ninguno de los neriores 4 º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

29 Geomerí méric en el escio Aéndice: Problems de geomerí méric en ls P.A.A.U. () Consider ls recs r : r : ) Esudi l osición reli de r r. b) Encuenr si es osible un lno rlelo r ue coneng r. c) Encuenr l disnci enre r r. () Consider el uno P el lno :. Clcul: ) Ls ecuciones de un rec ue se or el uno P se erendiculr l lno. b) L disnci d del uno P l lno. () Consider los unos A O. ) D l ecución de un lno ue se or A O se erendiculr : 5. b) Encuenr l disnci del uno medio de A O. (4) Considere el lno : el uno P. ) Obén el uno P simérico de P reseco de. b) Hll el uno de core del lno con l rec ue s or P P.. Consider l rec r :. ) Escribe uns ecuciones cresins de l rec s. b) D l osición reli de ls recs r s. c) Obén l disnci enre r s. (5) Se s l rec ue s or los unos A B (6) Consider un moimieno en el escio l ue cd uno de coordends b c uno de coordends b b c b. ) Busc el conjuno de unos ue se mueen l origen de coordends. lo muee l b) D un ecución del lno ue deerminn los unos del rdo () el uno. c) Busc l disnci del origen de coordends l lno. (7) Sen el uno P el lno : 8. Clcul: ) Ls ecuciones de un rec ue se or el uno P se erendiculr l lno. b) L disnci d del uno P l lno. c) L ecución de oro lno rlelo disino de él ue dise de P l mism disnci d. (8) Se considern los unos en el escio A B. ) Hll el uno medio de A B. b) D l ecución del lno reseco l cul A B son unos siméricos. º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

30 Geomerí méric en el escio (9) Considere el lno : l rec r :. ) Hll l osición reli de l rec el lno. b) Encuenr un rec erendiculr mbos. c) Busc l mínim disnci enre l rec el lno ddos. () ) Deermin el lor de k r ue los unos A B C D k se encuenren en el mismo lno. b) Hll l disnci del origen de coordends l lno deermindo or los unos A B C. () Ddo el uno O busc un uno O del escio l ue l rec ue s or O O se erendiculr l lno de ecución ls disncis de O de O coincidn. () Se considern l rec lno siguienes: r : 5 5 : : 4 ) Deermin l osición reli de l rec reseco cd uno de los lnos. b) Deermin l osición reli de los dos lnos. c) Clcul l disnci de r l lno. () ) Obén l osición reli de los lnos C ue s or A B 6 C. b) Busc l mínim disnci enre los lnos neriores. (4) Sen el uno P el lno :. Clcul: ) L ecución de un rec ue se or el uno P core l lno. b) L disnci del uno P l lno. (5) Se considern el lno ue s or los unos A ue s or los unos A B ue s or los unos P Q 6 R. Clcul: ) Ls ecuciones generles o imlícis de. b) L osición reli de. c) L disnci enre. (6) Considere los unos A B C. ) D ls ecuciones de l rec r ue s or B C. b) Clcul el lno ue s or A es erendiculr r. c) Hll el uno de core enre r. c) Obén el uno simérico de A reseco de r. B C el lno º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

31 4 Geomerí méric en el escio P l rec r :. Clcul: ) L ecución del lno erendiculr r sndo or P. b) El uno de inersección enre r. c) L disnci del uno P l rec r. (7) Sen el uno (8) Ddo el uno A el lno : 4. ) Clcule l rec r erendiculr l lno ue s or el uno A. b) Hlle el uno de inersección enre r. c) Hlle el uno simérico de A reseco de. (9) Se considern los unos A B. ) Hll los unos C D ue diiden l segmeno AB en res res de igul longiud. b) Hll el lno reseco l cul los unos A B son siméricos. 4 () Se deno or r l rec 6 7 ) Hlle l ecución del lno ue s or P es erendiculr r. b) Hlle el uno de r más róimo P hll l disnci de P r. or P el uno de coordends () Se deno or rs l rec ) Esudi si ls recs r s se corn si se corn hlle el uno de inersección. b) Hll l ecución del lno ue coniene r es rlelo s. c) Hll el uno de r r ue euidis de A B. () Sen ls recs. se s l rec ue s or A r : k s :. ) Esudi si r lgún lor de k ls recs son rlels. b) Esudi si r lgún lor de k ls recs son erendiculres. c) Hll l disnci del uno A l rec s. () Ddos los unos A B C. ) Hll el lno ue coniene los res unos. B. b) Clcul un uno P ue esé disnci de uniddes del lno del uno medio del segmeno AB. c) Considerndo D clcul el olumen del eredro limido or los unos A B C D. º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

32 5 Geomerí méric en el escio (4) Se el eredro de l figur formdo or A B C 6 D ) El áre del riángulo limido or los unos A B C. b) L ecución del lno ue s or los unos A B C. c) El lor de r ue el ecor AD se erendiculr l lno. d) Pr 5 el uno D simérico de D reseco l lno. (5) Se el uno A el lno :. Hll: ) L ecución de l rec ue s or A es erendiculr. b) L ecución del lno ' ue s or A no cor. c) L disnci enre los dos lnos. (6) Sen los unos A B. Deermin: ) Ls ecuciones rmérics de l rec r ue une los unos. b) L ecución del lno ue s or A es erendiculr l rec r. c) L disnci del uno B l lno.. Clcul: (7) Se el rism ringulr (riángulos igules rlelos) de l figur con A C A. Clcul: ) L ecución del lno ue s or los unos A B C. b) El lor de r ue el lno ' ue coniene los unos A B C dise un unidd del lno. c) Pr el lno ' el olumen del rism. (8) Los unos A B C D formn un rlelogrmo. Clcule: B ) Ls coordends del érice D oueso B. b) El áre del rlelogrmo. c) L ecución de l rec ue s or el uno medio del segmeno AC es erendiculr l lno ue coniene l rlelogrmo. (9) Se consider el rleleíedo cuos érices de l cr inferior son los unos A B C D con A C érices ouesos. Se A el érice dcene A en l cr suerior. Clcul: ) Ls ecuciones de los lnos ue conienen ls crs inferior suerior. b) Los érices de l cr suerior. c) El olumen del rleleíedo. () Dd l rec r de ecución el uno P. Clcul: 4 ) L ecución de l rec ue s or P es erendiculr r se o en r. b) Ls coordends del uno Q simérico de P reseco r. º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

33 6 Geomerí méric en el escio () Se el uno A ereneciene un lno. Clcul: ) L ecución del lno sbiendo ue P erenece l rec erendiculr ue s or el uno A. b) L ecución de un lno cu disnci se de uniddes. c) Un uno B ereneciene l lno ' : ue esá disnci 45 de A. () Se l rec r :. 6 6 ) Clcul ls coordends de los unos P Q ue erenecen l rec disn 5 uniddes del origen de coordends. b) Se M el uno medio del segmeno de eremos P Q. Clcul sus coordends. c) Jusific or ué de odos los unos de l rec r M es el más róimo l origen de coordends. () Los unos P erenece l rec : Q son dos érices coniguos de un recángulo. Un ercer érice r. ) Deermin los érices de un recángulo ue erifiue ls condiciones neriores. b) Qué osición reli deberí ener l rec r l ue coniene l segmeno PQ r ue l solución fuese únic? Ron l resues. (4) Ddo el eredro con un érice O sobre el origen de coordends los oros res A B C sobre los semiejes osiios OX OY OZ resecimene se ide hllr: 8 ) Ls coordends de A B C sbiendo ue el olumen del eredro es u ue ls riss OA OB ienen igul longiud ue l ris OC iene doble longiud ue OA. b) L ecución de l lur del eredro corresondiene l cr ABC. c) L disnci enre ls recs AC OB. d) El ángulo ue formn ls riss AC AB. (5) Ddos los unos A B C se ide: ) Comrobr si esán linedos en cso conrrio clculr el erímero el áre del riángulo. b) Hllr el lor de l lur corresondiene l érice A. c) Clculr el lor del ángulo corresondiene l érice B. d) Hllr l ecución de un de ls res medins. (6) Ddo un riángulo de érices A B 5 C 4 ) El erímero. b) El áre. c) El lor de l lur corresondiene l érice A. d) L ecución de un medin. e) L ecución de un mediri. f) L ecución de un lur. hll: º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores

34 7 Geomerí méric en el escio (7) Sbiendo ue l ecución de un lno es : 4 : ) Hll l ecución de un lno ' rlelo l lno ue dise un unidd del uno Q. b) Hll l disnci enre mbos lnos '. c) Hll el áre del riángulo cuos érices son los unos donde el lno cor los ejes de coordends. (8) Ddo el lno : l rec r : el uno ) Hll l ecución de l rec s ue se erendiculr r se or P. b) Hll el uno P simérico de P reseco de r. c) Hll el uno P simérico de P reseco de. P : (9) Se consider el eredro cuos érices son A B C ) Hll el áre del riángulo ABC el olumen del eredro ABCD. b) Clcul l disnci de D l lno deermindo or los unos A B C. c) Hll l disnci enre ls recs AC BD. (4) Sen los unos A 4 B. D. ) Hll ls coordends de los unos P Q ue diiden l segmeno AB en res res igules. b) Si P es el uno del rdo nerior más róimo l uno A deermin l ecución del lno ue coniene P es erendiculr l rec AB. c) Deermin l osición reli del lno l rec r : (4) Hll los unos de l rec: r : cu disnci l lno : 4 4 es igul u. (4) Ddos los unos P Q Q(; ; ) se ide: ) Hll odos los unos R les ue l disnci enre P R se igul l disnci enre Q R. Describe dicho conjuno de unos. b) Hll odos los unos S conenidos en l rec ue s or P Q ue erificn: donde "dis" signific disnci. (4) Ddos el lno : dis P S disq S el uno P se ide: ) Hllr l ecución de l rec r erendiculr l lno ue s or el uno P. b) Hllr el uno Q inersección de con r. c) Hllr el uno R inersección de con el eje OY. d) Hllr el áre del riángulo PQR. º de Bchillero. Memáics II. Cíulo 7: Geomerí méric en el escio Auores: Leici Gonále Álro Vldés Reisor: Milgros Ls Imágenes creds or los uores