BLOQUE II: GEOMETRÍA. TEMA 4. ESPACIO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: VECTORES. PRODUCTO ESCALAR, VECTORIAL Y MIXTO

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1 Mat. II-Gomtría BLOQUE II: GEOMETRÍA. TEMA 4. ESPIO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: VECTORES. PRODUCTO ESCALAR VECTORIAL Y MIXTO. VECTORES.. Opracions con ctors Trabajamos n l spacio como hicimos n l plano n º d bachillrato. Un ctor fijo s n sgmnto orintado d orign A xtrmo B q tin las sigints caractrísticas: Módlo: longitd dl sgmnto A B Dircción: la d la rcta q lo contin todas ss parallas. Sntido: indica cal d las dos orintacions posibls sobr la rcta pos l ctor. El q a dl orign al xtrmo. BA son ctors con la misma dircción sntido contrario. Dos ctors fijos son qipolnts si tin l mismo módlo dircción sntido. El conjnto d todos los ctors qipolnts a no dado s llama ctor libr. Los ctors librs s rprsnta por calqira d ss ctors fijos sñalando l orign A l xtrmo B o bin por ltras minúsclas: tc... Exprsión analítica d n ctor Un sistma d rfrncia n stá formado por trs rctas OX OY OZ llamadas js d coordnadas q s cortan n n pnto O orign d coordnadas ligindo na nidad n cada j. Cando las trs rctas son prpndiclars l sistma s ortogonal cando admás las trs mdidas son igals a la nidad l sistma s ortonormal. Si l ctor OP tin d coordnadas dl orign O xtrmo P x z las coordnadas dl ctor OP son OP x z q coincidn con las coordnadas dl pnto P. Si l ctor tin d coordnadas dl orign A x dl xtrmo B x z las coordnadas dl ctor son x x z z z.. Opracions con ctors Sma d ctors San dos ctors librs s dfin l ctor sma como otro ctor obtnido d la forma: Tomamos d sos ctors rprsntants ponindo no l sgndo comnzando n l xtrmo dl primro. El ctor sma srá la diagonal dl parallogramo d lados En coordnadas: ntoncs: Página d

2 Mat. II-Gomtría Propidads d la sma: Asociatia: El ctor nlo s lmnto ntro d la sma: El ctor opsto d s : Conmtatia: Rsta d ctors Para rstar dos ctors librs n l spacio s sma al primr ctor l opsto dl sgndo. En coordnadas: Prodcto d n númro ral scalar por n ctor. Si s n ctor libr n númro ral s dfin l prodcto como n no ctor q tin por módlo l prodcto por dircción la misma d d sntido l mismo d si s positio opsto si s ngatio. En coordnadas: Si Propidads dl prodcto d n númro ral por n ctor: El ntro El spacio ctorial V El conjnto d los ctors librs n l spacio V con la sma l prodcto d n númro ral s n spacio ctorial a q cmpl las ocho propidads q caractrizan la strctra..4. Combinación linal. Una combinación linal d los ctors la forma: n n n s na xprsión d dond los coficints n son númros rals. Un ctor s combinación linal o dpnd linalmnt d los ctors n si s pd xprsar d la forma: n n sindo los coficints n númros rals. Página d

3 Mat. II-Gomtría.5. Dpndncia indpndncia linal. Bas Los ctors n son linalmnt indpndints si: n n n s dcir si na combinación linal d llos igalada a cro implica q todos los scalars son cro. Los ctors scalars n son linalmnt dpndints si xistn n no todos nlos tals q: n n Dpndncia indpndncia con dtrminants En trs ctors son: Linalmnt indpndints si: Linalmnt dpndint si: En n spacio ctorial n conjnto d ctors B { n} forman na bas si:. Los n son linalmnt indpndints. Todo ctor s combinación linal d stos ctors Los scalars n rcibn l nombr d coordnadas dl ctor n la bas B. Los n son únicos. La bas más sncilla s la formada por trs ctors linalmnt indpndints prpndiclars ntr sí d módlo la nidad. Es la bas canónica: B { i j k} { } El ctor tin la sigint xprsión n la bas canónica: i n n n n j k El módlo d st ctor in dado por: Página d

4 Mat. II-Gomtría. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES... Prodcto scalar S dfin ánglo ntr los ctors librs como l mnor d los ánglos q forman dos rprsntants sos con l mismo orign s rprsnta d sta manra:. Dados dos ctors librs dl spacio s dfin s prodcto scalar como l prodcto d ss módlos por l cosno dl ánglo q forman. ª FÓRMULA cos Obsración El prodcto scalar s n númro ral... Intrprtación gométrica dl prodcto scalar Dados los ctors librs tomamos dos rprsntants sos con l mismo orign los ctors fijos. En la figra s obsra q la procción dl ctor sobr l ctor Pro cmpl ' cos ' cos dado q cos s pd scribir: ' s dcir: ª FÓRMULA Pr o El prodcto scalar d dos ctors s igal al prodcto dl módlo d no d llos por la procción dl otro sobr él... Propidads dl prodcto scalar. El prodcto scalar d n ctor por sí mismo s n númro positio o nlo. Así dado l ctor : En fcto cosº Admás como l único ctor q tin módlo igal a cro s l ctor nlo s cmpl:.. Propidad conmtatia. Dados los ctors : Página 4 d

5 En fcto: cos cos Mat. II-Gomtría. El prodcto scalar d ctors s homogéno o lo q s lo mismo cmpl la propidad asociatia mixta. Dados los ctors l númro ral k: En fcto: Si k > k k k k k cos k cos k En la figra s obsra q los ánglos q forman con l ctor l ctor l k s l mismo. k Si k < k k cos k cos k En la figra s obsra q los ánglos q forman con l ctor l ctor l k son splmntarios por lo tanto cos cos k k Si k = la igaldad s idnt. 4. Propidad distribtia rspcto d la adición. Dados trs ctors s rifica: Tomamos trs rprsntants d los ctors por jmplo CD. S proctan los ctors CD s ctor sma AD sobr l ctor. La procción dl ctor sma s AD ' ' C' D' ; dado q ' C' D' son parallos podmos scribir: ' C' D' ' C' D' Aplicando la intrprtación gométrica dl prodcto scalar: CD ' C' D' ' C' D' CD Lgo podmos scribir:.4. Exprsión analítica dl prodcto scalar Sa { } la bas canónica dl spacio san dos ctors q podrán xprsars como combinación linal d los ctors d la bas: Página 5 d

6 Mat. II-Gomtría Página 6 d El prodcto scalar srá: Pd simplificars notablmnt la xprsión antrior si s scog la bas d manra adcada. Así si los ctors d la bas son prpndiclars ntr sí los prodctos crzados i j sindo i j; admás si los ctors d la bas tinn d módlo s cmpl q i i i. Una bas cos ctors son prpndiclars d módlo rcib l nombr d bas ortonormal. Un jmplo d bas ortonormal s la bas canónica formada por los ctors: i = j = k =. Tomando na bas ortonormal l prodcto scalar rslta la xprsión: ª FÓRMULA La xprsión antrior rcib l nombr d xprsión analítica dl prodcto scalar; sta xprsión únicamnt s álida si los ctors stán xprsados n na bas ortonormal. Ejmplo 8 Calcla l prodcto scalar d los ctors xprsados n na bas ortonormal. 4 ojo s n númro.5. APLICIONES DEL PRODUCTO ESCALAR.5.. MÓDULO DE UN VECTOR. PROPIEDADES. VECTOR UNITARIO. Módlo d n ctor. El módlo d n ctor s s longitd. En la figra s obsra q la longitd d la procción dl ctor sobr l plano XY s la hipotnsa d n triánglo rctánglo d cattos por lo tanto s longitd srá. También s q l ctor s la hipotnsa d otro triánglo rctánglo d cattos la procción antrior por tanto s módlo srá: Como s pd dfinir l módlo d n ctor como la raíz cadrada positia dl prodcto scalar dl ctor por sí mismo:

7 Mat. II-Gomtría. Propidads longitd. admás o si o Esta propidad s idnt al sr l módlo na. Para calqir ctor dl spacio s cmpl q: Si ntoncs:. Si son dos ctors dl spacio s rifica: Esta s na conscncia idnt d la dfinición d sma d ctors d la propidad d q n todo triánglo la longitd d no d ss lados s mnor q la sma d las longitds d los otros dos. Admás: VECTOR NORMALIZADO Ejmplo 9 El ctor normalizado n la dircción sntido d ctor = 5-4 s obtin diidindo las componnts dl ctor ntr s módlo s dcir: 5 4 Est ctor tin módlo ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES. ORTOGONALIDAD. Ánglo q forman dos ctors. S dfin ánglo ntr los ctors como l mnor d los ánglos q forman dos rprsntants sos con l mismo orign s rprsnta d sta manra:. Dados dos ctors dl spacio s prodcto scalar s: cos d dond: cos El cosno dl ánglo formado por dos ctors s obtin al diidir s prodcto scalar ntr l prodcto d ss módlos. Si los ctors stán xprsados n na bas ortonormal: rslta: cos Página 7 d

8 Mat. II-Gomtría Ejmplo Calclar l ánglo formado por los ctors sigints: = - = cos 6º Ortogonalidad d ctors. Dos ctors son ortogonals si s prodcto scalar s. El ctor nlo s ortogonal a calqir ctor psto q s prodcto scalar por calqir otro ctor rslta simpr nlo. Si dos ctors son distintos dl ctor nlo para q san ortogonals s prodcto scalar db sr psto q los dos tinn módlo distinto d s ncsario q sa l cosno dl ánglo q forman s dcir q l ánglo sa 9º. O lo q s igal q los ctors san prpndiclars. Por tanto la condición para q dos ctors distintos dl ctor nlo san prpndiclars s q san ortogonals s dcir q s prodcto scalar sa. TIVIDADES 9. Dados los ctors calcla: a El módlo d b Normalizar ambos ctors. c El prodcto scalar. d El ánglo q forman El alor d k para q l ctor k sa prpndiclar a. Comprba q los ctors son ortogonals. Halla ss módlos.. Dados los ctors a 4 b dtrmina a b para q los ctors san prpndiclars admás.. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES... Prodcto ctorial d dos ctors librs IMPORTANTE SELECTIVIDAD El prodcto ctorial d dos ctors librs dl spacio s dsigna por s otro ctor q tin: Como módlo l prodcto d los módlos d por l sno dl ánglo q forman: sn La dircción d s la prpndiclar común a. El sntido s l dl aanc dl sacacorchos q gira d a sigindo l camino más corto. Página 8 d

9 Mat. II-Gomtría Conscncias Si o ntoncs. Si tinn la misma dircción son linalmnt dpndints ntoncs. i j k j k i k i j Las igaldads antriors son cirtas a q sn 9 = los módlos son la nidad l sntido s pd comprobar para cada prodcto... Intrprtación gométrica dl prodcto ctorial San los ctors librs tomamos dos rprsntants d stos con orign n l pnto A. Los ctors dtrminan parallogramo. n El ára dl parallogramo DC srá: Ára BH BH Dado q sn sn BH sn lgo: Ára = BH sn Ára = IMPORTANTE SELECTIVIDAD El módlo dl prodcto ctorial d los ctors parallogramo dtrminado por stos ctors. Ára parallogramo = coincid con l ára dl El ára dl triánglo s la mitad dl ára dl parallogramo por tanto l ára d n triánglo d értics A B C srá: ÁREA triánglo =.. Propidads dl prodcto ctorial Propidad anticonmtatia: dados los ctors librs rifica: dl spacio s Propidad asociatia rspcto d la mltiplicación por n scalar: dados los ctors librs dl spacio l scalar k: k k Propidad distribtia rspcto d la adición: dados trs ctors librs dl spacio s rifica: Página 9 d

10 Mat. II-Gomtría El prodcto ctorial no cmpl la propidad asociatia: dados trs ctors librs dl spacio : Los ctors rsltants no tinn la misma dircción. Por sta razón l prodcto ctorial ntr trs ctors nnca db scribirs..4. Exprsión analítica dl prodcto ctorial La xprsión analítica dl prodcto ctorial d dos ctors librs dl spacio s: i j k Para dmostrar sta igaldad s db dsarrollar l dtrminant r q cmpl la dfinición dada d prodcto ctorial. Esta igaldad también s podría scribir dsarrollando por los lmntos d la primra fila: i j k Ejmplo Calclar l prodcto ctorial d los ctors - = -. i j k i j 6k Ejmplo Dados los ctors = - = - calclar n ctor nitario prpndiclar a El ctor i j k 5 6 s prpndiclar a pro no s nitario para obtnr l ctor nitario tngo q diidir ntr l módlo obtngo: Si hbis mltiplicado habría obtnido l opsto d st ctor q s la otra posibl solción. Página d

11 Página d Mat. II-Gomtría Ejmplo Dados los ctors dl jmplo antrior cál s l ára dl parallogramo q dtrminan? El ára dl parallogramo coincidirá con l módlo dl prodcto ctorial d A 5 7 TIVIDADES. Calcla l ára dl triánglo cos értics son los pntos: A B C -.. San los ctors ; 5 calcla: a b c d 4. PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES. 4.. Prodcto mixto Una z tratados l prodcto scalar l prodcto ctorial podmos stdiar l prodcto mixto q s na combinación d ambos. Dados trs ctors librs dl spacio s dfin s prodcto mixto como: 4.. Intrprtación gométrica dl prodcto mixto San trs ctors librs dl spacio. Considramos trs rprsntants sos con n orign común AD El olmn dl parallpípdo formado por los trs ctors s: V = S h dond S s l ára d la bas h la altra. s l ánglo q forman los ctors. Pro: S h cos Lgo: V cos cos Por tanto rslta: V El prodcto mixto s n alor absolto l olmn dl parallpípdo constrido sobr los trs ctors. Como n parallpípdo contin 6 ttradros l olmn d n ttradro d értics A B C D srá: V AD Exprsión analítica dl prodcto mixto San trs ctors dl spacio xprsados n la bas canónica: Aplicando las xprsions analíticas dl prodcto scalar dl prodcto ctorial a la dfinición dl prodcto mixto obtnmos:

12 Mat. II-Gomtría Página d Q corrspond al dsarrollo por los lmntos d la primra fila dl dtrminant: Dfinitiamnt s pd scribir: La idntidad antrior constit la xprsión analítica dl prodcto mixto. Ejmplo 4 Dtrminar cal s l olmn dl parallpípdo constrido con los ctors = ; = = -. V 4.4. Propidads dl prodcto mixto Dados trs ctors s cmpl: si solo si son linalmnt dpndints. R k k k k k Estas propidads son conscncia dircta d las propidads d los dtrminants. TIVIDADES 4. Calcla l olmn dl cbo dtrminado por los ctors j i k. 5. Catro pntos no coplanarios dtrminan n parallpípdo. Dmstra q D C B A son no coplanarios calcla l olmn dl parallpípdo q forman.